马尔科夫设计机
“机器”本质上是一个系统，其行为充分地遵循规律或不断重复，因而我们有能力对它将来的行为做出预测。
——W·罗丝·艾希比（W.Ross Ashby），《控制论导论》（1956，第265页）
上一章概述的设计方法取决于对问题结构的识别，以及对影响问题解决方案的要素网络的处理。这样一个网络包括其中的子问题之间的关系强度，而且一般而言，这些问题是任何方案都无法一步解答的。正如我们在上一章中描述的那样，协调竞争或冲突要素的过程被类比为设计师处理相互冲突的不同方案的过程，并可以设想为由网络结构决定的平均化过程。在每个要素都与每个其他要素直接或间接相关的结构中，这个过程得到一系列连续的协调，其中原始要素互相协调，逐步形成一个解决方案。
我们认为这个过程等同于一个一般系统领域发展比较成熟的理论——马尔科夫过程。这样一个系统的行为被假设为仅取决于它以前的状态，而实际上系统缺乏记忆。这样的相关性模式显然只是一个大概的设计过程模拟，但发展这一方法的重要性在于对设计的模拟。正如我们在全书中贯穿的一个观点，我们探索城市科学以及城市设计科学的工具是解释性的。这种类推为我们提供了方向。霍华德（Howard，1971）中肯地提出了这一观点，当他说“没有一个物理系统能够被完全界定为马尔科夫的或非马尔科夫的，问题的核心在于马尔科夫模型是否有用。如果马尔科夫假设可以被证明是正确的，那么研究者就可以享受到分析和计算方面的便利，而这在复杂模型中很不常见”（第4页）。这种模拟在设计中还有另一个角色，丘奇曼（Churchman，1971）曾经有过详细描述。对设计过程的探索，必须有一些实际设计系统可以参照做比较的替代设计系统。设计过程只能在这样的持续比较中发生，随之改进整个过程；在这里将要详细说明的理论尝试模拟这个角色。
在最后一章中，我们出于一些原因使用“机器”这个词，而不用“模型”。因为设计可以是特别私人的过程，机器而不是模型，让人觉得设计师对整个过程有很强的掌控，而机器只是想象的辅助——一个放大我们的智慧的工具，有些时候也包括我们的创造力。机器可以被理智地或拙劣地使用，它们可以被误用或滥用，这样的定义可以稍微降低这个论点的基调。此外，这里建立的马尔科夫机与有限自动机理论中的一个特定级别的数学机器相似并不是巧合，尽管这里的介绍会遵循常规路线。第8章中，我们引入用于为城市发展建模的元胞自动机比这里介绍的机器更广泛一些，但一阶动力学仍然是相同的。这也是另一个案例，展示了用于模拟城市系统的形态和结构的网络和动力过程与设计那些相似城市时使用的方法有相似的特征。这确实是本书中所用的工具的一个特性：从任何角度来说，网络和动力在分析城市时非常重要。
这一章分为三个部分。在第一部分中，我们将基于马尔科夫过程介绍用于设计的代数学知识。我们或多或少将重复上一章中介绍的序时平均基础方程，但会接着将这些总结为更通用的马尔科夫链形式。尤其重要的是，机器生成的设计方案包含了一系列权重，与影响问题的要素相一致。我们将介绍设计机的分类法，以界定问题的类别并使用相对应的方法。我们在第3章中曾提到这种分类方法，但这里我们将使用它。本章的第二部分是关于机器的选择，从许多可能的机器中，按照特定的选择标准来选择。选择这样一个机器的问题，我们称之为“设计设计机”，是作为动态规划中的一个问题来构想的，并且通过迭代法解决。最后，机器被应用于一个高速公路选址设计的问题，这个问题最早由亚历山大和曼海姆（1962a）提出并解决。这样可以与我们在上一章中介绍的，原来用于解决这个问题的层级体系设计方法进行比较，也可以对设计机生成的多个不同方案进行控制。
11.1 设计代数学
11.1.1 再谈序时平均
设计问题之复杂在于要为一系列相互竞争和冲突的要求（体现为要素）提出一个综合性解决方案，因此设计是一个协调和解决冲突的过程。此外，有观点认为设计不仅仅是简单的选择，而且是一个创造性过程，丘奇曼（1971）把这个过程定义为“为了弄清哪一个方案可以达到想要的目标或一系列目标，而概念性地从一系列可供选择的方案中做出选择的思考行为”（第5页）。这与任何一个方案都是可选方案或子方案之间的协调这一理念有共同的内核，这个理念也是上一章中问题构建的基础。在这个意义上，设计是在冲突的可选方案之间所做的选择。
我们将从重申上一章中介绍的平均方程开始，这些方程展示了包含问题不同解决方案的一系列要素是如何被互相协调的。实际上，在第10章中，我们将空间范围定义为一个要素，我们将在这里继续讨论，但如果将这个要素视为一个数值会比较简单，可以让我们更加具体地展示收敛到一个加权平均数的过程。在第10章中，我们定义了一个空间范围要素k——一幅地图，Ajk——这里我们将减少空间范围——由单元i赋值——简单的定义为要素Ak。从要素集Ak（t）=Ak开始，即时间周期t到t+1的初始状态，同时使用一个强连接的二进制连接矩阵[ajk]，新的平均值可以计算为
我们在第10章中没做任何证明就提出，如果网络是强连接的，那么这个过程将会收敛。从第一个要素集中可以清楚地看出，任意子集之间的任意平均数会缩小它们的范围，而且如果一个要素可以直接或间接地影响任意其他要素，原始要素在最终解决方案中会变得越来越弱。如果这个过程继续下去，那么当m→∞时，极限，从而，设定开始时间为t=1，这个极限可以被写为
其中c是最终要素解决方案的均衡态或稳态值，而[πjk]是稳态矩阵。
很值得用可视化方法展示这一方法实际上是如何生成加权平均的。图11.1a中，我们展示了一个假定网络，存在于五个设计师、行动者或要素之间——任何一个代表了读者想要放在问题中的对象——而后我们展示了一个强连接的有向图。在图11.1b中，我们展示了一个对称的二进制矩阵，而图11.1c展示的是基于其标准化的跃迁矩阵。注意这个矩阵反映了用于建立要素平均值的权重，不同的节点连接到这些要素上。在图11.1d中，我们展示了一个体现序时平均生成的前馈和反馈连接的迭代结构。在图11.1e中，我们展示了每个要素规定的初始值的收敛过程，其取值区间在3到10之间。这个过程从标在图11.1a中的节点旁的每个要素的值开始。这形成向量
正如我们在下面会看到的，这个中值向量可以直接从网络的一些简单性质中生成。
图11.1 一个通信网络即意见收敛的说明性案例
值得一提的是，这一过程与一个被称为霍普菲德（Hopfield）网络的神经系统网络很相似（Gurney，1997）。在霍普菲德网络中，问题在于发现连接权重，以反映要素需要符合的特定值的目标集，简而言之就是提出输入要素的清单。神经网络包含了寻找网络连接的权重值，这些网络连接将这些要素转变为一系列已知的要素——比如一个模式。在这个角度来说，神经网络问题与设计问题十分不同，因为网络训练针对的是要素的已知模式，以确定输入要素怎样转变为这个模式。在设计过程中，不需要有这样的训练，而结束迭代的唯一标准是收敛到极限，在这里所讲述的案例中则表现为形成共识。虽然我们不会继续将它比喻为神经网络，但其中的很多建议颇具参考价值，例如将多元信息压缩为更收敛的形式，与这里建立的设计方法有一定的相似性，希望读者可以阅读这篇文章。
11.1.2 收敛性的凯梅尼斯内尔证明
在方程11.5中，[πjk]是矩阵的极限形式，明显必须存在于收敛过程中。如果在极限中Aj（t+m）=Ak（t+m）=c，j≠k，那么显然，解决方案是由原始要素Ak（t=1）的加权平均数组成的，其中权重wk反映每个要素在最终解决方案中的贡献。方程11.5中提出的推测有很多证明，而且因为这样一个证明对这个方法及其在后续章节中的详尽阐述非常重要，值得详细说明。证明所用的形式最早由凯梅尼和斯内尔（Kemeny and Snell，1960）提出，而它的普及则是由于他们的阐述。
本质上，这个证明展示了当m变大时，Aj（t+m）与Ak（t+m）之间的差别变小。首先，让我们定义xt和yt分别为要素Ak（t），k=1，2，…，n的最大值和最小值，并按相似的方法，xt+1和yt+1分别作为要素Ak（t+1）的最大值和最小值。为了方便证明，我们重新排列Ak（t）以及关联矩阵[pjk]，以便A1（t）是最小值yt，而An（t）是最大值xt。接下来，我们定义一个要素集Aj，其中A1=yt，Ak=xt，k≠1。那么，从这些定义中，可以明显地看出
然后，将方程11.11和11.12组合，得到
方程11.13是一个递推关系，因此它可以展示
因为ε≤1/2，方程11.14的极限收敛为
另外，由于Aj（t+m）和Ak（t+m）之间的区别趋向于0，这个过程在收敛，而对于所有j来说Aj（t+m）=c。因此方程11.5中的推理被证明为
然而，从马尔科夫过程的观点来看，同样重要的是矩阵的表现，而这同样可以从证明来解决。假设Ak（t）=0，k=1，2，…，n-1，而An（t）=1，那么，由方程11.16可以看出[pj（km）]中第n列的每个单元都是常数。重复输入Ak（t）=1，k任意，那么由于每列的单元是常数，则每一行必须相等。可以写为
因此wk是真正意义上的权重，并反映了最终解决方案中每个要素的相对重要性。
11.1.3 标准马尔科夫过程
我们还没有用传统的马尔科夫过程把这一方法发展为设计机，马尔科夫过程最初是从概率论的一个分支发展而来。实际上，概率解释在这个背景下并没有序时平均有价值，但可以从基于概率的考虑过程中获得一些间接观点。平均过程与概率过程相反，其中平均是通过跃迁矩阵每行的线性加权要素来实现的。计算马尔科夫链所处状态的概率则是通过该矩阵的列来完成的。实际上，后面这个过程可以称之为一个前进过程，而平均则是一个后退过程，尽管这是一个偶然的观察，而且简单地与这些过程运行的方式相关。与任何正式的用途或发展并不相关。
本质上，标准过程即前进过程，计算的是系统在不同状态下的概率，与设计网络的节点或问题的子解决方案相当。这些概率是相对权重wk（t），随着过程继续，这些权重将逐渐变得稳定，收敛至均衡权重wk，这实际上给出了系统每个状态的时间占比。如果系统漫游于所有可能状态之间，即初始子解决方案的完整集之间，这可以看作在特定子解决方案中系统所处状态的概率。如果我们接着按这些权重对子解决方案求平均值，通过序时平均的后退过程，我们将得到单一解决方案。
首先，我们定义时间t上系统解决方案的概率为权重wk（t）。然后应用跃进概率[pjk]（实际是状态j改变为状态k的条件概率）进行更新，由第3章中的标准递推关系可以得出
更重要的是，方程11.22说明了收敛到wk与初始概率wj（t=1）是独立的，而这个特定概率往往用于说明马尔科夫过程“没有记忆”。
这一点对于理论的首要意义不是介绍概率参数本身，而是展示一个方便的方法来计算稳态概率或权重wk。在极限中，方程11.20到11.22表明了
而将方程11.22代入方程11.23得到经典稳态方程
这反映了稳态方程可以直接从跃迁概率矩阵中计算出来，不需要依靠迭代。然而，与方程11.24相关的方程系统是线性的且同质的，因此只能使用从集合中减去第一个n-1方程并加上方程∑kwk=1来直接解决。随之可以提取出如下形式的一个可解方程组：
由于[wk]使用任意标准方法，上述线性方程的数集可以被解。
随着马尔科夫过程达到稳态，评估其行为有几种方法。特别是包含对跃迁矩阵频谱分析的方法，分解为特征根或特征值，帮助确定不同状态的收敛比例以及阻尼效应（Bailey，1964）。工程学中一个相关方法通过Z变换分析用几何学方式处理马尔科夫过程，但因为大多数此类方法涉及更复杂的数学问题，这里不再继续探讨。简单而言，使用将高跃迁概率联系到稳态概率的方程，可以对马尔科夫过程的收敛展开较为实用的分析。比如，根据巴特（Bhat，1972），我们可以将收敛的测度指标定义为稳态跃迁πjk与跃迁概率矩阵之差，如上一章中的方程10.42，尽管其他方法经常是通过比较先验概率和后验概率。泰尔（1972）使用了库尔贝克（Kullback，1959）著名的“信息歧视”统计数据来衡量收敛，
方程11.26实际上类似一个卡方统计。这些方程很容易应用，在下文设计机部分我们也将用它来分析收敛情况。
11.1.4 设计机的分类
为确定上文提到的各种理论的类别，我们从马尔科夫过程的特性出发，然后应用图论，建立一套设计机的分类系统。在讨论有限马尔科夫过程或马尔科夫链的类型时，一个有用的概念与不同状态之间是否可达相关。可达的状态，即互相可以到达的状态，构成了一条不可再分的链——不能分解，而且它的状态被认为是不变的（Feller，1957）。相反，不可达的状态被称为临时状态，从这个意义上说，一旦过程离开这些状态，就不会回来。如果只有一个状态是不变的，所有其他状态都会是临时的，那么这个状态被称为吸收态，而链则被称作吸收马尔科夫链。
一个直观上更吸引人的链的分类是通过图论来分类。众所周知，方程组可以表示为有向的线性图，其中变量被表示为图中的节点或顶点，而方程系数则表示为连接节点的弧或者线段。确实，在特定的案例中用图论的概念来解决方程组问题比较简单。正如我们在上一章中提到的，可以用有向图来表达方程11.2或11.19中给出的马尔科夫过程，如图11.1。哈拉里和利普斯坦（Harary and Lipstein，1962）称这个结构为马尔科夫有向图，这些作者也展示了图论可以用于将马尔科夫链分类。而且，用图论展示的马尔科夫过程可以被比作一个通信系统，其中节点代表信息发射器和接收器，边代表通信频道。这里描述的设计过程和社会权力结构的类比起源于这个解释（French，1956;Harary，1959;Lambiotte et al.，2011），而图论同样把这一过程与前面的设计方法联系起来，如第10章。
上文曾间接提到，图11.1可以很好地体现马尔科夫链中的可达性概念。如果像图11.1一样，存在一条从一个节点到另一个节点的可能路径，这条路径可以是有向的或无向的，那么这个节点或状态对于其他节点或状态来说是可达的。这种可达性实际上是对连通性的一种测度，图形分类最为完善也为本书所一直使用，因而马尔科夫链使用了这些概念。
对于不可约链，所有状态均不变且相互可达，可以分为“完全连接链”和“强连接链”。在完全连接链中，所有状态都互相直接可达，即：矩阵[ajk]和[pjk]的所有单元均为正值。强连接链包含了不直接可达但间接可达的状态，当矩阵的指数m<n，整个均为正值。
我们也从连通性的角度将不可约链分为三种类型。在“单方面连接链”中，一条链可以分为一个具有不变状态的不可再分集和其他临时状态集。“弱连接链”可以被分为两个或两个以上的不可再分集，“无连接链”可以完全分为两条或两条以上的链，然后再按照上述方法分类。图11.2给出了这种分类方法的图示，可视化地展示了这些可达性和连通性概念的含义。
图11.2 设计问题作为马尔科夫有向图的分类
就马尔科夫过程而言，不可约链能够达成所有要素真正协调的解决方案，然而在可约链中，所有要素都不能协调。在单方面连接链中，一个要素或一个要素集占主导地位，而与临时状态相关联的要素没有作用。然而，在弱连接链中，不会达成单一解决方案，因为两个或两个以上的要素集显示了独立解决方案，而且由于不可达性，永远不会融合。真正的协调得到的结果只能使用不可约链。在本章剩下的部分将只讨论强连接链和完全连接链，因为只有这些链才能得出非凡的解决方案。在现实中，可约链可能与许多无法解决或只能部分解决的设计问题相匹配。从根本上说，只有当每个节点或行动者之间有直接或间接的连接才能实现真正的协调。
11.1.5 对称设计机：一个戏剧性的简化
不可约链有一个特别的分类，需要我们在继续讨论之前予以严肃对待。这些链中，与矩阵[ajk]关联的要素Aj（t）和Ak（t）之间的原始关系集是对称的。在这样的矩阵中，稳态权重wk完全一致，与方程10.12中的入度（或出度）ak成比例；即wk∝ak。这些权重可以被直接计算为
如果我们把这个权重换为稳态方程11.24，并写出跃迁矩阵的基本形式，根据可以得出
由于方程11.27中所包含的对称性，很容易证明方程11.28，这对设计机理论有着重要的影响。
如果一个设计问题中的要素之间关系是对称的，上述结果意味着从以下方程中可以一步得到解决方案
第10章中介绍的几个设计方法都是基于要素之间的关系是二进制或对称的假设，即ajk=akj，而且ajk=1或0。实际上，后面将要介绍的案例最初是通过关系的二进制集来建立的。对于这样的二进制矩阵，上述结果意味着在最终解决方案中，每个要素的权重与数集中的要素之间的正关系的数量成比例。事实很直观，对于结构可以用简单二进制来描述的问题，权重集也相应简单。
从这方面来说，将二进制问题推到极端也很有趣，因为每个要素与其他每个其他要素相连接，每个要素在最终解决方案中的权重相等。在这种情况下，pjk=1/n，可以明显看出跃迁矩阵已经处于稳态。对方程11.24中的pjk进行代换可以得到
我们注意到马尔科夫设计机这样一个结构，与一个使用“叠筛”技术的直接协调的结构完全一致，后面这个结构被用于物质设计问题中，在第10章中介绍过。到此刻，设计机的正式结构已经被充分地展现出来，扭转了论证逻辑，并将问题扩展到考虑从一类机器中选择特定机器。在接下来的部分，我们将通过此类设计机的实践应用来正式提出并解决这个问题。
11.2 设计机的设计
11.2.1 马尔科夫决策问题
由于设计过程使用马尔科夫机器按顺序进行求解，很可能随着平均化过程出现奖励或处罚。比如，如果冲突要素之间必须达到一个协调，那么可能出现一些得失，这些得失可能反过来影响过程的形式。另一方面，如果问题被看作对问题有不同态度的设计师尝试解决相互之间冲突的过程，奖励处罚特性可能更加明显。可以修正已经描述过的过程以说明此类行为，正如最早由贝尔曼（Bellman，1957a）提出的并由霍华德（Howard，1960）详细描述的那样。下列结果仅与不可约链有关。
假设一个过程，在这个过程中，设计师必须在跃迁概率[pjkq]中的不同数集q之间做出选择。这些包含了不同的奖励集[rjkq]，以便优化值的一些标准，其中下标q指的是这些替代对象集以及可能被选择的奖励。问题可以被正式明确，其中的每个要素j在时间t+1的期望值vjq（t+1）取决于
而且在这个形式下，它是一个典型的动态规划问题，正如贝尔曼（1957b）考虑的那样。贝尔曼的最佳性原则说明了一个用于从时间t=1开始解决上述问题的后退迭代方法，但这个方法主要用于确定任意时间点该过程的值。这里讨论的这个案例，更重要的是随着过程无限持续而从中获得的平均值，而在可以确定这个值之前，需要研究其极限行为。
11.2.2 决策过程的极限行为
首先把vjq（t+1）代入方程11.33来计算vjq（t+2）的值。然后，在这个时间点抑制上标q，
然而，方程11.41展示了在极限中，这一过程仅取决于m的值，因而是线性的。如果应用下列定义，这个结果会更明显：
对于每个截距为vk斜率为z的状态k明显都是线性的。实际上，方程11.44定义了过程在每个阶段获得的平均值，而方程11.45用于展示在极限中平均值占主导地位。因此优化策略明显必须是最大化这个过程中获得的平均值。有几种方法可以达成。乌尔夫和丹齐格（Wolfe and Dantzig，1962）为这个问题开发了一个线性规划策略，但这里用的算法来自霍华德（Horward，1960）。
11.2.3 霍华德的算法
霍华德的方法被分为两个部分，循序并迭代地应用。对于被采用的特定替代方案q，给定一个随意的初始决策，被称为定值阶段的第一次操作，产生了相对值vj和增益z。然后，根据这些值，算法进入策略改进阶段，检验每个替代方案k并选择最佳的。这些新的替代方案接着回到定值操作中，这个过程一直持续直到决策达到某种收敛。
首先，将决策过程方程11.33的一般方程与极限方程11.45结合为
由于vk（t）的极限值也可以通过方程11.45来确定，方程11.46变为
重新排列并简化方程11.47得到
这是一个有n+1个未知数的n方程组。在现在的形式中，它是不可解的，但因为极限方程是线性的，是vk的相对值，这一点非常重要。因此如果vk的一个值被设为等于0，得到的方程组可以通过标准方法求解，从而推导出vk的相对值以及增益z。
从基于方程11.48修改过的方程组中得到的相对值，可以被代入优化方程11.34。那么
由于增益mz对于所有k都是常数，那么只需要从中选择q，就可以对每个替代值进行计算。然后把新的奖励顶点[gkq]和矩阵[pjkq]重新代入方程11.48，那么方程11.48和11.49不断重复直到出现替代方案的一个稳定集合。
当替代方案的数值较小时，可以最大化过程的增益，对于矩阵[pjkq]所有的组合，通过对方程11.49求解，选择最佳设计机。然而，对于少数替代方案和状态，这种方法不能用。比如，考虑一个有20种状态的过程，每个状态有两个替代方案。则会有220个可能的设计机，而且从中做出一个选择的任意策略，都需要建立在完整列举的基础上，这显然是不可能的。
11.3 设计机的应用
11.3.1 亚历山大曼海姆高速公路选址问题
我们在第10章中，已经把马尔科夫设计机应用于一个实体规划问题，包括在小镇中寻找新的居住用地。但我们仍然需要比较这些方法的变化，这里我们将进行包含这种比较的应用。设计问题的选择是由亚历山大和曼海姆（1962a）最早提出的，在某种意义上这是一个经典，因为经过很多设计理论家的阐释，它是分层设计方法的最佳案例之一，但其最佳发展是在亚历山大（1964）的著作《形态综合论》中。这个问题是对马萨诸塞州西部的斯普林菲尔德和北安普敦之间的一条高速公路进行选址，而亚历山大和曼海姆（1962a）使用并在这里采用的设计途径，包含了根据一系列冲突的物理要素来寻找高速公路的最佳可能路径。总共选择了26个物理要素，而且每个要素按照其对问题的潜在解决方案绘制成图。因此每个要素展示了对于该高速公路来说可接受或不可接受的选址区域。这26个要素展示在图11.3中，该图是从原始报告中摘取的。从黑到白的渐变反映了对于新高速公路选址来说，从高到低的潜在土地适用性。
亚历山大和曼海姆对该问题的处理，首先通过以二进制的形式详细说明所有要素之间可能的成对连接。如果要素被判定为相互大大加强或互相冲突，那么要素与其他要素有关。就第3章介绍的相关分析而言，没有形成正式的对连接强度的测度方法，因此关系矩阵是直观得出的。该矩阵随后通过聚类分析法被分解，得到的层级结构被用作得到最终解决方案的过程中综合或分解要素的顺序。亚历山大和曼海姆同样尽力指出，综合的过程并不仅仅是平均的一种，而且是设计师根据自己对于最终结构的预期形式的理念，来加强形成的解决方案。因此可以这样说，直觉被允许通过后门进入这个过程。同时，这也让这个方案的解决方案之间通过不同方法的任意正式比较显得有些不确定。虽然如此，由亚历山大和曼海姆综合的解决方案将会被比较，他们的方案如图11.4所示。
图11.3 亚历山大曼海姆高速公路选址问题要素图
图11.4 亚历山大曼海姆分层设计解决方案
这个高速公路选址问题的三种不同解决方案，是通过马尔科夫设计机生成的。这些马尔科夫解决方案都是通过方程11.27的结果来计算，因为它们的关系矩阵是对称的。亚历山大曼海姆问题的马尔科夫等价问题是通过报告中提出的原始二进制关系来计算的，并作为直接比较。第二个解决方案中所有要素都具有相同权重，类似于上一章中介绍的基波（Keeble，1952）和麦克哈格（McHarg，1969）的筛映射方法，而第三种解决方案通过建立在空间冲突基础之上的关系矩阵来生成。可以计算每对要素之间的关联空间系数，而关系矩阵直接建立在这个关联上：
在图11.5中，展示了通过这三个变种生成的这个问题的解决方案，与亚历山大曼海姆解决方案的直接比较显示了一些重要区别。在这三种情况中，解决方案非常相似，具有空间关联，而与亚历山大曼海姆相关的解决方案，可以看作比“筛映射”方案稍微稳固的版本。实际上，这是它本身的一个有趣结果，因为它确认了同一个问题的解决方案之间的区别并不大的这一直觉，这些不同的解决方案有不同的加权结构，而它们之间的区别并没有权重本身的区别那么大。相对图11.4中的原始解决方案而言，图11.5中的这三个解决方案把高速公路的主线往西部延伸得更远，而亚历山大和曼海姆的路径接近康涅狄格河。马尔科夫解决方案与原始解决方案中，高速公路在斯普林菲尔德附近的第一段是相似的，但在这条路径根据每个单独的要素来检验的时候，很难看出亚历山大和曼海姆如何选择他们的路径。然而，由于亚历山大和曼海姆提到的直觉偏差，以及他们明显对于现场条件更为深入的当地知识，这个比较是不确定的。尽管如此，这些比较是有趣的，并提供了看待一个著名问题的不同方法。
图11.5 设计生成的解决方案
图11.6 设计机生成的加权结构
在图11.6中，展示了三个马尔科夫问题的不同加权结构，这显然支持了我们之前的观察结果，权重不同，解决方案也会不同。然而，也许这些权重最重要的方面是要素之间的比较。在某种意义上，权重应该反映关于不同要素的重要性的一些直觉概念，或至少可说明的概念。在亚历山大曼海姆问题中，最重要的要素与道路建设有关，而最不重要的要素与制度约束相关；这是否体现了设计者脑中的最佳排序，这是一个值得探讨的主题。但马尔科夫设计机可以生成这类信息的事实，造成了这些争论的开始。对其本身来说这被视为这个方法的一个重要优点。
11.3.2 选择最优设计机
也许这里提出的理论中最投机的部分在于设计机的设计。很容易看出，可以存在不同的机器，而有一些相比其他的更合适，但很难设计出相关标准进行选择。在这个特定背景下，一个最优机器是一定范围内可能替代结构的综合，这些结构的基础是反映因果或统计规律的不同关系组合。在设计领域中，一些争论集中于，因果关系或统计关系是否应该形成影响设计协调的基础，但是，因果和统计之间的区别只是设计机最优性的一种判断方法。好像有很多方法可以建立最优性，而评估这一最优性的原则很少，这一事实仅仅加强了这个观点的投机性质。正如我们在全书中尽力指出的，我们的科学是解释性的，而不是决定性的，对于城市问题和城市规划问题，需要包含多方利益相关者的多样方法。我们的科学目的在于展开讨论，而不是得到“答案”或“方案”本身，尽管我们以这些形式来表达观点。
在图11.7中，展示了反映严格因果或统计关系的两幅图，以及直观选择的一些比较随意的回馈结构。第三幅图反映了使用上文提到的霍华德算法选择的最优结构。应用这个方法的一个问题是关于所选结构的连通性；显然，对于霍华德的方法或马尔科夫设计解决过程来说，最优机器必须是强连接的才有意义。在算法设计的过程中就已经对结构连通性进行了检查，不满足强连通性需求的结构被放弃，导致不太理想的结构被选中。有鉴于此，检查程序无法随意，而这又构成了一个有待研究的技术领域。
另一个困难是关于在原始机器中存在线性相关的可能性，或在寻找最优机器的过程中生成线性相关的可能性，特别是在处理基于二进制关系的设计机时。矩阵[pjkq]中的线性相关意味着，两个或以上的要素拥有相同的关系集，而这对设计机来说是不能辨别的。这对于更广泛的设计问题来说也有影响，而它的重要性取决于设计师评估关系集中的冗余度的方法。但从一个纯技术的角度来说，这可以是一个问题，特别是如果它出现在最优寻找过程中，因为它意味着关系增益不能被计算。实际上，在这个问题中，霍华德的算法从使用关系统计集开始，这个问题就不会出现，但如果这个过程从使用亚历山大曼海姆的二进制矩阵开始，就会出现这个问题，因为这是线性相关的；这类相关性的影响可能会很重要。
图11.7 从两个可选系统中选择最优设计机
注：由于这类图非常难以绘制，通过构建第一幅图的理想形式，并根据这个形式绘制第二和第三幅图，以此来获得对不同结构的印象。
这个最优设计机的加权特性是通过方程11.25用传统代数来计算的，而最终解决方案见图11.8所示。这个解决方案与图11.5中展示的那些相似，而且也跟图11.4中展示的原始解决方案类似，从而说明了在生成设计问题的理性现实解决方案的过程中，技术是稳健的。
11.4 作为艺术和科学的设计
这里所提倡的理论构建风格更像是建议而非决议，推演而非归纳，这与其他规划和设计方法直接对立，后者更强调对设计过程的观察以及将设计构建在观察的数据基础之上。因此我们这里提出的方法可能会被批评为没有实际结果，会强调没有符合理论与现实的一致性这个最低限度。但是没有一种方法是普适的，我们需要建立这样的观点：对这种方法的评判应该建立在它对设计整体知识体系的贡献上。设计的兴趣往往会从一个极端转换到另一个极端，拒绝之前已有的内容，而不是试图从一个良好基础的原则和技术集合中更进一步。将理论和实践联系起来，将抽象和现实联系起来都是很重要的，但是这个领域中的问题难度较高，不那么容易回答。我们需要理论性和实证性的研究方法，急需针对设计开展一系列研究，将设计作为将艺术融入科学的独特行为，正如我们在上一章开头所引用的芒福德（1928）所言。作为基础，我们需要认可这里所提出的类比方法可以帮助建立想象并带来更好的理解。亚历山大（1964）在半个世纪前就提出了这样的观点，并且仍然在坚持这一点（Alexander，2012）。
图11.8 由最优设计机生成的解决方案
尽管在这里并没有将设计机根据现实情况进行适用性调整，依然有很多可以尝试的方式。将设计机作为包含决策过程的社会权力结构，这种阐释似乎有很大潜力，尽管这个过程中涉及的数据非常难以获得，而且其中很多重要的特征可能无法观察到。但是在社会心理学中已经有了一些进展，使用了形式化组织结构来解决问题。虽然这些研究看起来远离本书中所讨论的内容，但我们仍然可以探索潜在的联系。我们在第3章中提出了一些理论和方法，在接下来的三章中将进一步实质性地建立它们。我们相信，它们的价值更多在于提出问题而不是寻求解答，在于提供不同规划和设计中多元利益的模型和类比，在于如何在解决冲突的形式化过程中调和这些利益。理论的每个小方面很容易产生众多技术进步，但更大的进展需要从探索这些概念的实践性应用中获得。在社会和设计科学中，对理论进行思考和推敲往往并不难，而通过理论生成有用和持久的判断则极其困难。真正的挑战是理解好设计中的判断和观点。下一章中将对提出的理论进行详细描述，并试图进一步厘清和限定问题。
