集体行动的理论
我提议将组织看作分隔的不同组事件、分隔的不同组人群行动者进行社会交换的系统。这一系统由行动者、事件、行动者对事件进行控制的结构，以及行动者在事件中的利益结构所定义。
——詹姆斯·科尔曼（James S.Coleman），
“社会结构与行动理论”，刊于《社会结构研究方法》（1976，第86页）
我们在本书前两部分开始阐述的城市科学聚焦于将城市看作一个人造物，看作一个产品而不是一个过程。但是我们很快到达了这样一个点，形态需要让位于功能，城市过程开始主导我们的模型，城市要素之间如何相互关联，如何提供变化的动态进而驱动了城市的演化道路。聚焦点的这种变化在城市规划研究中已经十分明显。城市规划与设计的新哲学已经体现了这种关注对象的变化，开始寻求将过程看作社会行为理论的内在部分，通过社会而不是孤立的专家群体或专业人士来解决这些问题。这一主题在后理性主义理论中体现得很典型，其基础是将城市规划看作一个社会学习的过程，最早由弗里德曼（Friedmann，1973）、里特尔和韦伯（Rittel and Webber，1973）以及其他一些理论家所倡导。将规划视为争论和协商的过程这一观点主导了当代的规划理论（Forester，2009;Healey，2006）。这一方法变化并不难以解释。系统方法在为规划提供便利而定义明确的理论基础方面有明显的失败，在理论与实践、问题与答案之间也存在错配，最终导致科学确定性的溃退。将规划看作易于接纳变化的价值系统、多元主义复杂性、不可靠性的概念如今看起来更为合适。因此，规划作为社会学习，在全社会范围解决问题的观点成为公认准则。
有许多方式阐述这一新范式。例如，一种主导性的观点是，规划应当建立在小群体之间的交易和交流系统基础之上，这在形式上与布劳（Blau，1964）和霍曼斯（Homans，1974）所倡导的社会交换理论相近。泊詹耐克（Bazjanac，1974）在描述里特尔的“设计作为辩论性过程”思想时，也强调了交流和学习在决策中的作用。他指出：“大多数决策实际上就是谈判。这意味着达成较好决策的过程并非一个从运筹学角度进行优化的过程，而是一个在不同方面进行协商和妥协的过程。”（第11页）前两章介绍的设计模型很快也走向了这一方向，将设计看作一种集体而不是个体行动，至少是许多个体聚集在一起贡献思想并达成理性妥协。这种方法的种子植根于一种将设计看作解决社会问题的途径的思想。前两章提及的简单的设计代数学将我们推入一个更加丰富的正规行动的框架，使得我们能够将设计所涉及的背景复杂的行动者与他们致力于应对的问题、政策、规划等联系起来。
有必要解释下设计作为集体行动这一概念。很明显，设计的产物——包括规划、政策及其他呈现和形式，都是奥尔森（Olsen，1965）所定义的公共或集体商品。但在过去，设计这一行为通常被认为是专家或职业人士的个人行为。像许多公共政府的各个方面一样，设计也是通过个人行为来提供集体商品的。然而，较新的规划设计理论却认为，一直以来建筑领域的失败就在于过分强调专业性和个人行为，并认为如果把设计看作集体行动的话就能做出更好的成品。这个想法已经得到许多人的响应，如科尔曼（Coleman，1966）就已勾画出该理论的雏形。本章大体上会阐述一个集体或一个小群体解决设计问题的过程，这会直接联系到平衡和均衡的概念。本章也会讲到交换和权力，以及群体可用来完成指定任务的资源。
在前两章中，我们开发了一个冲突解决模型。把一个集合中的n个因素定义为Aik，然后假设或计算出每个因素之间的主要关系。实际上，由于我们在本章和接下来的章节中要更广泛地使用注释以便区分因素与行动者，我们现在起使用下标i、j、k、ℓ来指代对象或代理人，例如行动者、因素、规划、政策等。并且我们把在z单元或区域的行动者i称为Azi因素。请勿把这些新的定义与前两章中的老定义混淆，前两章中i下标指代的是地点。前面章节中，我们把一系列关系定义为用平均化过程得出的这些因素间发生常规转化和演变的联系网络。权重是由每个因素与其他因素的连接个数决定的。我们解释了通过使用这些连接，每个因素会在每次互动时演变成更接近最终均值。我们解释了这种移动平均的过程最终可形成在马尔科夫过程中有所体现的稳态的妥协，马尔科夫过程给平均算法提供了另外的补充解释。我们还展示了当连接矩阵对称时，每个因素在最终联系矩阵或相邻矩阵中入度或出度的权重；这是个简单的关于加权平均法的结果。就像上一章中的模型一样，本章的模型也无法进行实证检验，因为我们的关注点主要是规范性的。实际上，冲突解决的真正过程并非以我们假设的方式收敛，因此在这个意思上来说，我们采用的过程是理想化的。
已经有几位作者在社会学和社会心理学的框架下探究了与此相似的模型。也许最相近的模型是前两章中提到的由弗兰奇（French，1956）提出、哈拉里（Harary，1959）阐述、格鲁特（Groot，1974）概括的模型。但拉波波特（Rapoport，1949）似乎是最早推测马尔科夫链与捕捉态度和其他社会特征的改变的相关性的。在稍许不同的框架下，安德森（Anderson，1954）和克鲁沃勒斯（Kreweras，1968）探究了这类模型在分析投票模式改变中的使用。我们在第3章中看到的最初的这些研究有后续进展，其中黑格泽曼和克劳斯（Hegselmann and Krause，2002），德马科、巴亚诺斯和兹波尔（DeMarco、Vayanos and Zwiebel，2003）的近期作品最有代表性。这些研究的普遍共识是此类模型可以帮助我们近似理解社会态度的改变进程，但马尔科夫假设尤其强烈且难以实证。在这个层面上来说，这些模型表述的是最优过程和解法。
到目前为止，我们假设模型中每个行动者直接与一个且只有一个因素匹配。尽管前面章节例如方程11.19至11.24中给出的形式相当简洁，但要想超越理论而具有现实意义，必须突破几个重要的局限。局限之一是我们严格假设了每个因素直接与一个且只有一个行动者或利益集团相匹配，这显然是一个不切实际的假设。这个假设暗示了每个行动者对问题只有一个看法；尽管行动者可能会有一个主导型的观点，还是存在许多必须加以考虑的衍生观点。因此本章的一大任务就是放松这种假设，展开一个分开处理但一致地对待行动者和因素的模型。这种延伸在科尔曼（1966，1972，1973，1998）的文章中已经有所体现，他将行动者和因素作为两个分开的关系集来联系，这两套关系是每个行动者对事件或因素的利益诉求和每个个体对因素的控制，两个集合关系本质上可理解为二部图，在第3章我们已经做出过大致描述，继而在第6章和第7章对对象、节点与街段的两个集合关系做过深入的讨论。这里我们把关注点从描述城市转到设计城市上，两个对象集合分别是行动者和因素。但我们会发现，每组关系都彼此不同，而在本书的前面部分，我们基于二部图结构只需要用两种方法来考虑一组关系。现在我们有基于同一顺序的两张图，但需要处理不同的关系。这就是科尔曼的特别之处，他提供了一个简单但有效的方法来延伸滑动平均的马尔科夫模型，并放松了关于因素和行动者对应关系的严格假设。下一节中，我们会相应地延伸我们的模型。
12.1 集体行动的链条
12.1.1 定义利益和控制
每个行动者i对因素k的利益被称作xik，这涉及设计解决方案时每个因素对每个行动者产生的效应。显然，因素和行动者的数量很可能不一样。我们在这假设有n个行动者和m个因素；因此利益矩阵[xik]用概率形式可这样表达
每个利益xik被定义为行动者i表现出的对因素k的利益诉求的比例。相似地，行动者j在设计解决方案时对每个因素ℓ也有一定程度（比例）的控制权。这种控制被称作cℓj，用概率形式可这样表达
根据这些对利益和控制的定义，可以计算两组衍生关系：首先通过把控制映射到利益，然后把利益映射入控制。第一种映射中，可通过找出一个行动者对任一因素的控制程度和利益数量来得出因素k和因素ℓ之间的关系。然后，通过对所有的行动者求和
这个方程由两个随机矩阵[ckj]和[xjℓ]相乘得出。在方程12.3中，qkℓ表示了控制的比例乘以所有对k有控制并对ℓ有利益诉求的行动者的利益总和。相似地，第二种映射是通过算出行动者i对任一因素的利益诉求和行动者j对任一因素的控制的乘积，然后对所有的因素求和得出的。那么，
方程12.3和12.4中的两个矩阵都是随机的，第一个指事件之间的关系，第二个指行动者之间的关系，很明显这些就可作为基础来用之前的模型计算因素或态度的均值。另外，这两个矩阵始终一致且清楚地互相涉及，因此它们相关的马尔科夫链也一定是相关的。我们现在要探究这两个马尔科夫过程，并为准备下一节中更实质性的分析做准备。
12.1.2 马尔科夫过程的解释
根据因素之间的一系列关系时段的新因素可通过平均方程得出
有种很好的用原矩阵[ckj]和[xjℓ]来解释方程12.5的方法：首先，每个行动者根据自身利益诉求对每个因素加权，然后对所有的因素求和，可得出对解决方案的态度，即。然后通过按照对每个因素控制程度对每种态度加权，然后对所有的态度求和，这些态度即可演变成新的因素。
这个过程可不断进行，通过对方程12.5的递推，可以形成新的因素，
这样就不需要使用迭代解法了。
第二个行动者关系集合[pij]也设立了一条关于行动者态度对比因素的平均链，过程完全可以由以上类推。尽管没有特别需要注意的地方，为了完整性和为了更好地定义，这里也将会把这个过程解释一遍。首先，把原始态度集合设为，在t+1时可通过以下方法演变成新的态度：
在第一个过程中，有一个物质解释的方程12.10，正好跟方程12.5相逆。这里的控制和态度的乘积产生了一个预期因素，而这个预期因素加上利益时就演变成了新的态度。方程12.10的递推可得出：
对于不可约的跃迁概率矩阵[pij]而言，方程12.11是收敛的，且的极限是：
通过比较方程12.6和12.11，这两个马尔科夫过程显然是相关的。下一节中，两条马尔科夫链通过稳态方程相连，可更加深入地理解这些过程。
12.2 稳态分析
同样地，关于[rj ]的方程也可类推得出
方程12.19和12.20现在是连接两个过程的基本方程。
下面是对这些方程做出的解释：每个行动者对系统中每种态度的权重是他赋予每个因素的权重与对该因素的控制程度的乘积之和。或者说，每个因素的权重是每种态度的权重与该态度所含利益程度的乘积之和。引入这些思想之后就可以看出，权重显然体现了利益和控制的一种均衡状态，使得方程12.19和12.20同时均衡。我们后面对该模型与科尔曼（1966）理论进行比较时还会谈到这些概念。
因素和态度之间的关系也很有意思，因为这种关系阐明了两条链紧密相连的另一种方式。在上两章讨论设计问题时，我们习惯通过找出每个行动者的利益诉求，并找出因素对所有利益的平均值，用因素来具体化解决方案。那么对于给定因素集合{Azk（t）}，通过以下方程就可计算出态度
方程12.10记录着态度随着时间的变化，我们用以下方程可衍生出新态度
这与方程12.21的形式相同。这种论述当然也能推广到极限方程如下：
前两节我们已经证明，Azk（t+m）收敛于Az，且方程12.25证明了在极限内。因此，对态度的共识与对因素的共识是一样的。另一条相关的链也可同样被证收敛。如果态度是初始给定的，且因素通过控制关系与态度相关联，方程为
如果方程12.21和12.26初始成立，就暗示了。换句话说，该过程已经达到均衡，且存在统一共识。这可以通过将方程12.21代换入方程12.26，反之亦然，然后将最终形式与方程12.25和12.27比较来证明。
12.3 科尔曼的交换理论
12.3.1 交换关系
科尔曼（1966，1972，1973，1998）提出的集体行动理论的基础是每个行动者j对于任意因素ℓ的控制程度cℓj具有一定的价值Vℓ。行动者有能力并愿意根据自己对任一因素xjℓ的利益诉求和根据可用的权力或资源rj来影响事件。在这个情境下，权力不再是行动者之间的关系概念了，而是根据行动者使用自身资源的能力来衡量出的影响力。科尔曼提出，在一个完美交换体系中，行动者会达到一个均衡；这个均衡中，他们对某一因素的控制的价值等同于他们根据利益大小而分配给该因素的资源。可以有几种情况：改变控制、改变利益，或者通过社会交换来改变因素价值或资源。从形式上来说，下列关系必须成立
通过对方程12.28求和，即先对j求和再对ℓ求和，价值和权力能从下列方程得出
请注意科尔曼的理论得出的方程与方程12.19和12.20一样，后面两个方程联系了两个稳态的马尔科夫链。同时也请注意Vℓ和rj可以理解成稳态下的权重，以及价值和权力。科尔曼然后提出行动者能形成新的控制矩阵的一种方法是通过根据他们的利益和价值的比值来按比例分布权力；那就是
同样地，也可通过下列方式形成新的利益矩阵
尽管科尔曼没有提出这点，但如果说新的控制和利益的关系在均衡中出现的话，那么这些方程必须同时联立解出或迭代解出。
然而，此处真正的重点是方程12.19和12.20、方程12.29和12.30之间的对应关系。显然，科尔曼的理论可被解释成是种马尔科夫过程，该过程中价值和资源（即权力）随着行动者互相交流沟通而逐渐改变。实际上，从初始的价值集合{Vk（t）}和资源集合{ri（t）}中，t+1时的新变量即可通过使用前向马尔科夫方程得出
这两方程在极限内分别收敛于Vℓ和rj，但从最初的价值和权力的分布来看，对于任一t+1的迭代，这些数值与方程12.19和12.20并不一致。即总体而言
然后就出现一个问题了，那就是控制和资源的实际值和由这些实际值算出的同一变量的期望值之间的差别该如何收敛。已知控制和权力的实际值的初始分布，可从由以下方程算出期望值
这些期待数值出现在方程12.33和12.34给出的相关的马尔科夫过程中，因为方程12.37和12.38分别是方程12.34和12.33的一部分。那么
在之前小节对这些过程的展示中，方程12.39和12.40有实体解释；比如方程12.40中，资源的重新分布的实现方式是通过给定初始水平的资源和利益，找出每个因素的期望值，然后把可用的控制应用到这个期望值上。
从之前的论证中可以很直观地看出rj和Vℓ的期望值在极限内是向它们的实际值收敛的，但为了强调这一论点，还是值得再次说明一下的。对一个变量收敛的证明很容易类推到其他变量上。权力rj∗（t+m）的期望值就可从如下方程得出
方程12.44可继续简化，直到变成方程12.20；这就完成了的证明。
12.3.2 交换作为自然的马尔科夫过程
科尔曼的理论中对方程12.29和12.30还有一种解释，也就是用另一种求解方法来处理同样的方程，这种解释很自然就把问题引到了马尔科夫过程之一概念上。首先给定已知向量集合{ri（t）}和{Vk（t）}，t+1时这些变量的新解法可用方程12.37和12.38计算出来。在下一次迭代时，可用方程12.39和12.40，然后这些解法能反馈到方程12.39和12.40中，整个过程持续下去。这个迭代解法的自然过程有一些非常有意思的特性，因为它用期望值和实际值同时定义了两个变量的收敛。下面重新用这个解法来计算新值Vℓ∗和rj∗在t+1时的状态
因此，当m为偶数时，这个解法表现了方程12.33和12.34给出的基本马尔科夫过程中计算出来的实际值，而当m是奇数时，可算出同样变量的期望值。之前的计算结果可保证这些过程是收敛的。然而，如果只有一种初始分布是确定的，那么解题过程中就只出现一条相关的马尔科夫链，也只会出现一个期望值。例如，如果给定rj（t），那么Vℓ（t+1）可按上述过程算出，但是这样确定的
这种情况下，算出的rj∗（t+m）值是实际值，而Vℓ∗（t+m）的值是期望值。实际上，后面这种解题过程明显比前面那种要快，但两种都是为了证明马尔科夫模型和科尔曼的理论是完全一致的，同时也都是有用的解释所有行动者达到均衡的一种方式。
上一章中，我们阐述了设计机可以设计出与行动者交流信息的过程有关的奖惩结构优化。科尔曼模型中可以很直观地加入选择好的可优化奖惩功能的关系，第11章介绍了具体操作方法。这里我们将不再详述，因为现在有必要把这个模型延伸到有关规划设计的对象和事件的更广泛的问题上面。因此，我们将再次延伸这个模型，之后再阐述这个模型在一系列半真实的城市问题中的应用。
12.4 理论延伸
我们可以简单地延伸科尔曼的理论，只要通过连接不同的定义利益体系的对象集合，并注意到任何两个对象集合之间的关系总是可以根据一个集合对另一个集合的利益和控制程度来确定的。我们可以构建能互相连接多个集合对象的关系链，请记住我们需要假设这种关系链有尽头，这样均衡关系才能仅与一个对象集合对另一个集合的利益和控制的程度相关。让我们假设行动者在很多问题上都有利益诉求和控制。同样，行动者对不同政策也有着利益诉求和控制。因此，行动者之间会发生两种模式的互动——一种是通过问题，一种是通过政策——这些模式又能确定政策和问题之间的关系。当然，我们需要把政策和问题联系到城市体系上来。问题和政策目前为止都被视为因素——即可映射的适合发展的程度——因此我们需要把问题和政策通过这些因素来相连。问题显然出自利益体系，正如政策显然是为了改变利益体系而设定的一样。问题可通过多个因素体现，而政策则是通过操控这些因素来减轻问题的。因此，在这个理论范围内，有必要将政策和问题联系到因素上。
相应地，我们定义四个体系内的对象集合：行动者、问题、设计用来减轻这些问题的政策，以及用来形容能确定问题和政策的利益体系的因素。政策和问题不是一对一的，因为问题能通过政策组合来解决，因此任何一个政策可以影响许多个问题。政策和问题之间这种缺乏对应的现象也通过行动者如何与这些事件相联系而体现，即一个行动者对一个问题的利益和控制指的就是这个行动者在那些方面能如何影响其他行动者。一个行动者对政策的利益和控制也是如此，包括行动者认为的政策的意义大小以及行动者对其的控制程度。此外，利益和控制也不是一对一的。我们之前就已见证，这种非对应关系导致我们需要一些冲突解决方案，这样才能使平衡——一种均衡——在行动者之间演变；而这种演变的方法则是根据行动者赋予的利益和他们通过控制实行的权力而来的。
通过把利益和控制相连，可以直接预测出行动者之间通过问题、以及行动者之间通过政策而形成的影响模式。另外，假设不同因素的重要性是已知的，但因素在形成政策组合中的重要性仍需靠理论来预测。与众多行动者、问题、政策和因素相关的是它们在决策制定结构中的相对重要性。这些实体的重要性正代表了该理论想要达成的预测。因此可得出以下预测：首先是问题的重要性；第二是政策的意义；第三是根据定义的问题得出的因素的价值；第四是行动者的重要性反映了行动者拥有的权力，首先是对问题的权力，然后是对政策的权力，通常而言这两种权力的分布不是一样的。总结而言，该理论能通过行动者对问题和政策的利益和控制形成的影响模式来预测行动者的权力、问题的重要性、政策的意义和因素的价值。做出这些预测所需的过程与决策制定规则或体系的“章程”有关，下面将会对此概述。
章程的基础是任何政策或问题对一个行动者而言的重要性，通过组合所有行动者对政策或问题表现出的利益程度和行动者对该政策或问题拥有的权力而得出。如果权力不与利益对应，重要性就会低，反之亦然。同样，一个行动者的权力是通过组合问题或政策的重要性和一个行动者对这些实体的控制程度得出的。如果权力分布和重要性分布不匹配，行动者的权力就会小，反之亦然。当然，会出现互相确定或同时发生的情况来使得问题更加复杂。比如，预测权力需要知道一个政策的重要性，反之亦然。因此，做出这些预测的方法必须是同时的；或者如果说技术原因无法做到同时的话，解法必须是有序的和收敛的。某种意义上来说，从权力和利益中得出重要性，以及从重要性和控制中得出权力的过程可被视作一种交换过程，在此交换过程中，行动者用利益交换控制直到形成均衡。这个意义上来说，行动者是集体行动的，正如我们在上述简化了的包括行动者和因素的科尔曼（1973）理论中看到的那样。
一种展示这种章程结构的方法是从函数出发。目前为止，假设对问题的权力的初始分布是已知的。那么过程中的第一步是通过组合权力和利益来得出问题的重要性。这种方法会在下面详细给出，我们将使用这章和前两章中用过的常规的线性变换。函数角度来说，形成这个循环序列的前四步可以这样写出
这个体系的结构很复杂，图12.1能最直观地体现出来。每个箭头线代表上述的一种函数关系。显然，除了直接的关系，也有很多间接关系，如政策和问题的关系和政策和因素的关系。尤其重要的是虚线代表的关系。虚线表达了因素和政策的相关性。从图中可很明显看出，行动者和自身（即所有其他行动者）的关系是通过政策和问题而形成的，其中这种关系是一种基于设计网络的互动模式，而政策和问题能体现结构内的循环。有几点需要说明。正如上文暗示的那样，循环的出发点显然是随意的，且接下来更正式的分析的一个重大任务就是探究这一点。此外，根据上述序列得出的函数关系的连续运算将导致权力分布、问题重要性、因素价值、政策意义发生改变。这个过程是否收敛或均衡将决定于函数f∗是如何被明确的，但为了预期到这一点，这个过程可被看作行动者试图通过调整总的问题和政策意义来恢复权力的平衡，以便反映出利益和控制的给定结构。因此这个过程可比作一种冲突解决，在这种冲突解决中，至少可以暗中通过寻求均衡或平衡而达成一个共识。换句话说，对于这种体系内任何一种利益和控制模式，都应有能反映上面详述的函数运算的独特的权力分布。
图12.1 决策制定体系结构
在前两章中，我们提出可将规划设计问题视作一种平衡冲突因素的方式，也就是我们提出的可被诠释成问题的次解方法。我们现在通过引入用因素形容的问题和政策来延伸这个想法，但正如我们所证明的那样，如果我们要让延伸后的理论不成立，我们可以用前面章节中提到的许多方法来做到这一点。假设只有一个行动者、一个政策、一个问题和几个因素。行动者可能是规划制定者，在这种情况下，政策和问题显然是一对一的。因此，这样理论就不成立了，而且揭露了因素与问题的相关性代表了在制定政策时因素的权重或相关性。这种形式下，因素可被视作政策的组成部分，因素的权重可被视作第10章和第11章中介绍的在叠加、层次、滑动平均中用到的组合目标的权重。一旦正式的理论得到展开和模型用代数方法被证明不成立时，这一点就会变得更加清晰。
12.5 正式理论结构
12.5.1 与科尔曼模型的关系
我们将尽量使用之前和本书第三篇之前的章节中用过的标记法。但当我们很快用完了这些常规标记法后，我们会重新定义一些术语并更广泛地使用向量矩阵标记法，这种标记法对于连接不同实体很有用。然而，该理论会用更传统的标记法来介绍，以便我们能将它直接联系到方程12.1到12.14中的最简形式的科尔曼模型。
假设决策制定结构包含I或L（I=L）个行动者、J个问题、K个因素和M个政策，并且给定行动者对问题的权力初始分布{ri（1）}。那么问题的重要性{zj（1）}可通过组合行动者权力和每个行动者对任一问题的利益程度{Xij}得出。那么
方程12.52究竟可预测什么是个值得考虑的问题。通过把任一行动者i的权力与该行动者对问题j表现出的利益程度相乘，可得出问题j对行动者i的相对重要性。然后，通过对所有行动者求和，问题j在整个体系中的总重要性就可算出。得出每个问题的重要性后，就有可能通过组合每个问题的重要性和每个因素与该问题的相关性来预测任一因素的价值。正式写作如此，
从问题的重要性出发，可得出第二组权力分布{rℓ∗（1）}，即行动者用来决定政策意义的权力。通过组合重要性和每个行动者对任一问题被接受拥有的控制程度{Cjℓ}，可得出新的权力分布
此时，值得总结下已得出了什么。大体上，该理论通过组合行动者权力和对问题的利益得出了问题的重要性，然后通过组合重要性和对问题的控制得出了新的权力分布。第一次运算后，因素的价值也被预算出来，且这些运算包括解答出图12.1中箭头线f1、f2、f5表达的关系。
从新的权力分布{rℓ∗（1）}出发，有可能经历两种相似的运算，包括预算政策的意义{sm（1）}。首先，组合权力和每个行动者对政策m的利益，由{Wℓm}的定义，可得出
新的权力分布{ri（2）}将被用来预测问题重要性的进一步分布，而现在{ri（2）}可通过组合政策意义和每个行动者对每个政策拥有的控制程度{Gmi}来得出。那么
方程12.55和12.56代表了图12.1中f3和f4代表的运算，而且现在也很清楚地看到已经走完决策制定体系的一个完整的循环了。我们现在必须证明这个体系是否通过这个序列的连续运算达到均衡，如果是的话，我们需要讲清楚这个均衡的特质。在此之前，值得用矩阵形式再展示下这个模型，因为这样会简化接下来的分析。
12.5.2 建立矩阵
已经介绍完所有必须的术语了，但首先请注意以下向量和矩阵定义：r是行动者对问题的权力的一个1xI向量，z是问题重要性的一个1xJ向量，v是因素价值的一个1xK向量，r∗是行动者对政策的权力的一个1xL向量，s是政策意义的一个1xM向量。X是行动者对问题的利益的一个IxJ矩阵，F是因素与问题的相关性的一个JxK矩阵，C是行动者对问题的控制的一个JxL矩阵，W是行动者对政策的利益诉求的一个LxM矩阵，G是行动者对政策的控制的一个MxI矩阵。方程12.52至12.56现在能写得更简洁些。首先，问题的重要性由此算出
然后因素价值由以下给出
方程12.58表现了因素价值也能通过用方程12.57代换z（1）而被视作一个权力的函数。新的权力分布由此算出
方程12.59尤其重要，因为通过用方程12.57代换z（1），很明显可以看出对政策的权力的初始分布可被看作对问题的权力的函数。方程12.59中新的矩阵XC代表了行动者通过组合对问题的利益诉求和控制而达到的关系或互动。因此从上述意义上来说，这展示了互动是体系的衍生物。我们将把行动者i和j之间由问题引发的互动定义为。那么
方程12.59现在可被写成
其中P∗是一个IxL（或IxI，当I=L时）行动者互动矩阵，其中互动是通过对问题的利益诉求和控制产生的。
相似地，政策的意义可写成
对问题的权力的新分布可由此形成
采用上述同样的逻辑，定义行动者ℓ和i由于政策产生的互动p′ℓj，那么
方程12.63可被写作
其中P′是个LxI行动者互动矩阵，其中互动是通过对政策的利益诉求和控制而产生的。整个过程实际上可被视为互动矩阵P∗和P′。用方程12.59中的r∗（1）代入方程12.63中，那么
显然，模型一次循环中（对问题和对政策）的权力变化与行动者之间的两种互动有关。把Pij定义为行动者i和j通过问题和政策产生的总互动，那么
方程12.66可写作
其中P是一个IxI=LxL的互动矩阵，组合了对政策和问题的利益和控制。
12.6 模型分析：均衡属性
12.6.1 收敛至稳定态
方程12.66至12.68展示了模型的基本过程，这些方程可推广适用到任意迭代或过程的第t次循环
方程12.69是递推结构的一阶方程，通过对该方程的递推，很容易展示对于任意t+1时的迭代，对问题的权力都能看作是初始权力向量r（1）的函数。那么
相似地，模型的每个方程都能表达成对问题的权力的初始（外生）分布的函数，这些方程如下所示：
当然，问题是：这个过程能否收敛于一个不被重复运算而改变的均衡呢？某种意义上来说，我们从上述介绍过的模型中可以预期到这样的结果，且答案将取决于通过行动者的利益和控制形成的那两个互动矩阵的结构。
首先，让我们审视下矩阵P∗和P′。P∗是通过将矩阵X和矩阵C相乘所得。现在，X和C都是随机的，即都是每一行元素的和为1。矩阵代数的基本定理告诉我们两个随机矩阵相乘会得出另一个随机矩阵。因此很容易证明
在此知识基础下，考虑下方程12.65给出的递推关系。可以完整地写成
其中是通过和P矩阵进行矩阵乘法得出的第tth个权力。审视下方程12.73就会清楚看到这种递推形式定义了一种有穷的马尔科夫链。正如我们之前好几次观察到的那样，马尔科夫链定理的一个著名的结论就是像P这样一个相关的随机矩阵的权力将会收敛于一个稳态的矩阵，该矩阵内每一行都是一样的。上一章中，我们展开了凯梅尼和斯内尔（Kemeny and Snell，1960）提出的证明。那么更正式地来说，在极限范围内，
因此方程12.73给出的过程收敛于
第11章中介绍的凯梅尼-斯内尔收敛定理展示了πij的每一行都是一样的，即πij=πj，∀i。那么
设定α=Σiri（1），那么对问题的权力的均衡分布rj则是和πj成比例的，即rj=απj。注意，如果ri（1）回到正态和为1，那么α=1且rj是随机矩阵P的稳态或定点向量。
用矩阵的术语来说的话，这个过程的收敛可写作如下，
其中Π是P的IxI极限矩阵。这个过程的均衡关系可通过审视方程12.71的极限得出。用方程12.77代入，得
方程12.78能说明很多，因为它展示了均衡的共时性。各种实体之间的原始关系在均衡中得到了保留，且这个方程也展示了需要的情况下可同时计算出不同的均衡分布。例如，方程12.78中r的稳态方程可写作
这里可以同时联立解出。我们在上一章中注意到如果把I-1方程从方程12.79中拿出，那么第Ith个方程可作为权力的范式，该范式先加总，然后可通过任何常规方法（例如，采用Gauss-Jordan算法或Cramer算法）解出扩展后的非齐次方程的向量r。然后可以马上算出所有其他的均衡分布。注意，对政策的权力均衡分布和对问题的权力均衡分布是通过以下方式相关联的：r∗=rP∗且r′=rP′，而这些方程也揭露了可通过解出方程12.79的补充关系式r∗=rP∗P′来达到均衡。
12.6.2 延伸模型中隐含的关系
目前体系内实体之间隐含的其他关系可用方程12.78中的关系来正式检验。用代入法，对问题的权力和问题的重要性之间的关系可由r=zCWG给出。问题的重要性、政策的权力、政策的意义之间的关系是z=r∗WGX和z=sGX。对政策的权力和政策的意义之间的关系是r∗=sGXC，政策的意义和问题的重要性之间的关系是s=zCW。其实，这些关系代表了图12.1中缺少的，但可以从已知线的间接联系中得出的隐含的箭头线。然而，因素价值和政策意义之间的关系尤其重要，它有助于展示政策是如何能被看作一揽子加权的因素的。从因素和问题的关系v=zF入手，我们可以用z=sGX替代z，得出v=sGXF。GXF矩阵是随机的，定义为T，即
其中T的每个元素都给出因素k在政策m中的相关性或权重。因此该矩阵可用来证明政策如何能用利益体系的组成部分或因素来建构，并且也给问题、政策、行动者和因素提供了一个一致的关系。图12.2给出了上面介绍的不同矩阵关系的框图，揭示了图12.1中的函数逻辑如何能转化成更正式的运算术语。
最后还要说明两个分析点。上述展示的收敛和均衡是用对问题的权力的外生分布作为任意出发点的。但是，有必要从其他出发点来描绘收敛过程，那么问题是：从任意对政策的权力分布r∗（1）出发，或从政策的意义s（1）出发，又或从问题的重要性z（1）出发的话，能否达到同样的均衡呢？这个体系的马尔科夫性质确保了收敛是独立于初始分布存在的，且很容易就能证明这个结论可以延伸到任何出发点。某种意义上来说，这一点已经含蓄地体现在了上述方程12.78中展现的均衡关系中。
用有点偏门的方式也能证明这一点。首先用方程12.78中最后一个均衡方程来替代r，代入第一个均衡方程。得出
图12.2 决策制定体系的正式关系
可重新排列成
矩阵CWGX可看作互动矩阵或连接问题的网络。此外，这也展示了上述方程可以同时解出z。同样，也可得出政策之间的互动矩阵或网络。操作下方程12.78中的r可得出
此方程可简化为
注意s = rXCW。矩阵GXCW代表了得出的互动矩阵，也展示了可以同时计算出均衡向量s。除了暗示收敛从任一出发点开始都是一样的之外，这个讨论也确定了于问题和政策的模型中两种其他的互动方式，很可能有助于深刻理解问题和政策之间的关系。
12.7 体系结构中的不稳定和不均衡
目前为止的讨论都隐含了一个想法，那就是提出的决策制定结构中定义的过程将产生稳态均衡。但是，即便只是草草地回顾一下决策制定的惯例也会发现，很少有充分定义好的均衡状态。更有可能的情况是，向理论中的均衡移动的过程中，目前理论没有做出解释的一些变化会不断干预该过程。本节和下一节将提出四种应对这种变化的方法。第一，引入连通性的概念，因为在处理互动、影响或沟通模式时，体系在不同程度上是可分解、可分离的，而这种分割就解释了不均衡状况的发生。第二，体系和周遭环境的关系非常重要，因为关系发生改变和环境对体系的输入可产生不稳定状况。第三，由于要考虑到信道容量的限制、影响的滤波和排队，体系结构本身会发生改变。第四，将会处理行动者行为的改变，即体系的“章程”的改变。
考虑以下情景：两个行动者在决策制定结构中并无关联。如果一个行动者对政策或问题的利益诉求和控制模式和另一个行动者完全不同，即这个行动者考虑的政策和问题和另一个行动者没有重叠部分，那么决策过程是可分离的。这种可分离性无法直接由检验利益和控制的模式来确认，因为也须考虑到间接效应。例如，两个行动者的概况也许没有直接重叠的部分，但他们可能通过一个或几个中间行动者有所重叠，因此两个行动者也可以是间接相连的。不过，如果体系可分离，就有可能把总互动矩阵P分解为两个或更多的矩阵。但也许更有意思的情况是互动模式反映出一小群行动者的主导地位或影响的单边效应。这种情况下，甚至不可能出现某些行动者间接影响其他行动者的情况了，这可能是因为小群体的主导地位——行动者只会影响他人，自己却不被影响。或者也可能是因为两个或几个小群体的存在，这两种情况都可以影响不属于这些群体中任何一个群体的行动者，或都不影响互相的群体。
这些反映连通性程度的例子都可通过用图论分析总互动矩阵P来处理（Harary、Norman and Cartwright，1965）。我们在前面章节中用这些方法对基本决策模型的权力结构进行了分类，但最有意思的是网络连通性的变异，因为这是收敛于均衡的过程的关键。显然，只有在对于总互动矩阵P的特定权力t来说，这个矩阵的每个单元都是正数且大于0时，过程才会收敛。这就是等同于矩阵P的强连通性要求的马尔科夫要求。在体系由一个小群体的行动者主导的情况下，矩阵Pt可分解成一个吸收集和几个瞬时集，体现出在极限内矩阵P的稳态分布仅由这个吸收集的状态决定。这种过程中会有一种收敛，但在有两个或更多的吸收集或无关联集的情况下，收敛是不可能的。连通性问题可能出现在原始的决策制定结构中，这样的话，这可能暗示了一些定义有问题。有可能在思考体系结构如何随着时间改变时，连通性可能是某之前时间点的结构或连通性的函数。这个意义上来说，体系可能变得失去连通性。
上述勾画的理论结构是基于一个封闭体系的，该体系的外部环境是被看作稳定的。简单说，该封闭体系的均衡是体系本身的函数，而不是外部大环境的函数。这种严格的形式是否合适将取决于情境和现实中体系的封闭程度。最简单的想象环境和体系的关系的方法就是想象环境对体系的一个输入随机且随意地干扰了体系状态。考虑这个情况：每个行动者的权力通常是由上述描绘的决策制定过程的函数决定的；但偶尔，一个行动者的权力突然被体系外的东西干预。这种情形下，模型的马尔科夫性质可以保证尽管过程的收敛的路径会不一样，但最后的均衡能维持不变。这个过程是基于均衡状态独立于起始状态存在这个想法建构的，因此外部环境的变化仅仅是该过程的一个新起始状态。
