城市中的网络如何存在与我们之前提到的分形模型相关，包括那些特征性的物理印迹形成的通道，人和物通过这些通道移动。这些网络中的流，同样取决于区位的规模，但这些流往往会受到距离的遏制效果影响——这被称为距离阻力，通常用dij表示任意两点i和j之间的距离阻力。对这种流的关系有一个相当早期的形式——万有引力，早在17世纪末期在牛顿《原理》一书中提出运动定律之后不久，万有引力便被提出以用于对空间中运动的建模：
其中Pi和Pj是人口数，Tij代表了地点或区域i和j之间的相互作用。这个定义被拉芬施泰因（Ravenstein）称为平方反比定律（inverse square law），用于描述英国19世纪末期城市和区域间的人口流动（Tobler，1995）。这同样也符合比例定律，自20世纪50年代以来，已经以不同形式被用于对各种空间层面的不同交通流的建模。的确，这个关系是很多土地使用与交通建模工作的操作性基础（Batty，1976），也构成了这门新科学的很多应用的基础，我们将在第9章中继续讨论。之后的两章中，我们会广泛探讨流和网络的相互作用概念，这也是构成这门新科学的关键要素。
空间在社会网络中是隐性存在的，空间塑造了城市以及城市中的人和团队相互进行交易、交换、交友、实施决策以及管理等。如今有很多对这类网络的建模，随之产生的新形式的网络科学，主要关注网络中的模式——簇团、短链接、弱联系、桥接和层级体系，这些也是我们这门新科学的核心内容，我们将在第3章中继续描述它们。图1.4展示了上述其中一些网络以让读者对网络有初步的认识。耦合网络中有很多难点，包括物质（能源）和非物质（信息）网络相互耦合的发展方式，这些网络相互交织的方式，以及通过链接延展和扩散的过程方式（Newman，2010）。研究的前沿是探究这些网络是如何相互链接，以及其形态模式作为决定城市运行的社会和经济过程的物理表现，是如何依靠这些网络表示的。要想理解网络是如何断裂和分离的、规模经济和创新是如何通过不同网络的相干来实现的，乃至繁荣和财富创造与网络效应的关联方式，其关键点都是这门科学需要去解决的核心问题。规模变化将所有这些概念联系在一起。
图1.4 连接一起的交通网络生成复杂交通动态
注：左上图a是伦敦的巴士路线图，长直线为长距离巴士；右上图b是城际巴士和渡船；左下图c展示了长距离的地上铁路（浅色）和地下铁路（深色）线；右下图d是伦敦中心城区所有道路交通的局部样本。
1.8 进化和突现
除了在讨论既有格局之上的动态过程对集聚经济的产生和增长的影响时提及反馈的关键作用，到目前为止，我们对城市的描述尚未正式涉及城市如何随时间发展。之前提到的模式大多是由相对较小尺度上自下而上的个体行为（或者至少是代表团体和机构的个体行为）运作而来，任意截面快照都显示为无数个体决策形成的自然秩序，并随时间演进而逐步生成。这些决策的影响通过各种形式的隔离与扩散在空间上发散，各种模式也在过程中涌现。
想象在普通社区邻里的规范布局模式中，城市通过一些可能促进增长的种子进一步发展。如果我们将城市景观定义为一个网格，即每一个单元周边都有八个相邻的单元，中间的已发展单元就是种子，作为某种不变的地方模式，其周边的单元将随之开始发展。如果某个单元已经完成发展了，我们可以制定一条规则，在该单元周边下一个发展的单元必须尽可能远离原单元。这一规则将使种子单元向四周发散，在空间中呈现四条放射发展线。我们可以放宽规则，并规定在一段时间范围内，如果一个单元已经完成发展，它就可以向八个方向中的任意一个方向发展。这将会在种子单元的周边带来扩散发展，所有的单元都会逐渐完成发展，但在时间序列上是随机的。图1.5是扩散发展的一些典型模式，这些以模块方式生成的模式并没有覆盖所有空间，并且呈现清晰的分形结构。这些模式通常被称为元胞自动机（CA），它们体现了层级体系结构的核心概念，即层级体系结构是在不断生成自相似体的过程中产生的，并在跨尺度上呈现分形。在近20年中，它们是很多城市物理增长模型的构成要素或“代理”（Heppenstall、Crooks、See and Batty，2012）。
图1.5 采用最近邻里带动发展的模块化规则，自下而上生成的理想化城市模式
资料来源：Batty（2005）。
反过来，我们也可以考虑在已发展的系统中存在两种不同的个体——譬如共和党人和民主党人，他们在空间中随机分布。如果规则是仅当属于另一党派的邻居不占多数时，个体才能够与邻居和睦相处，那么我们可以将邻里空间作为共和党和民主党的检测板。然而，如果某一个体随意改变了自己所属的派别，一个邻里变成了五个共和党人和三个民主党人的构成，且改变自己派别的共和党人处于三个民主党人中间，那这个邻里中将会产生隔离。实际上，整个空间都在不断更加破碎，产生高度隔离的共和党人区域和民主党人区域。这个模型最早是由谢林（Schelling，1996）提出的，它描述的是一个典型的突现场景，个体很愿意在某种平等状态下相互成为邻居——比如共和党人与民主党人数量上的平衡，但是一旦某个个体产生变化，模式就会开始分化，而那些看起来支持利益或观念平衡的中立状态会逐步走向极端。图1.6描绘了从一开始共和党人和民主党人随机分布的初始状态下，隔离是如何发生的。
图1.6 从时间t=1时的随机空间分布发展到t=200时的高度极化而稳定的隔离状态
1.9 规模、形状和尺度：规模变化定律
1.9.1 基于空间、距离、规模和频率的关系
规模变化是一个将所有这些形态和过程联系在一起的概念（Batty，2008）。当我们认为一个对象的规模发生变化时，我们是指这个对象变成了更小或更大但形式相同的形式，即便形式上可能有一定区别。例如，如果一个对象在空间上发生缩放，意味着其空间形态相同或等比例变大或变小（Bonner，2006）。从严格意义上来说这意味着自相似性，这也是分形结构的重要基础（Mandelbrot，1982）。实际上，由于对象在规模上的变化，通常会在比例上发生一些特定改变，对象比例的调整必须保留其主要的核心功能。这表明规模变化可以带来质的改变，虽然变化的程度仍然属于自相似性，但是已经发生了一些转换。这种情况有时被称为自仿射性（self-affinity）。城市在规模尺度变化并在形状上发生改变时有很多特性，我们将结合之前的讨论分析这些特性。之后我们将提出一系列规模变化定律，这些定律将在本书中不断出现。实际上，这些规模变化定律将成为这门新科学的一个经典特征。
显然，城市在发生规模变化的同时也会在形态上发生变化，通常称之为异速生长（allometry）。它反映的是聚集经济，当衡量所有城市时我们称其为“市际”（interurban）聚集经济，而考虑城市内部时则称为“市内”（intraurban）。小城市的数量远远多于大城市的数量，这也体现了聚集经济的竞争性，其中包含的不对称性是，所有大城市实际上都是由小城市发展而来的。在通常根据城市规模等级来衡量的城市规模分布中也体现了这一点。城市在空间中的布局也遵循它们的规模体系，小城市总是分布在大城市的腹地。相比小城市，大城市总是占据了更大的空间范围，其构成的层级体系在中心地理论中已有阐述。在城市内部，较大城市中居民之间的相互交往一般会比较小城市更为频繁，尽管这并非城市规模本身所带来的。这或许可以解释为对空间的竞争结果，这种竞争在大城市中往往比小城市更为激烈，从而带来更为接近的物理位置以及更加频繁的相互作用。正如我们之前提到的，如果将城市视为更大区域中的一个点，那么可能的相互作用发生量为与人口数成正比的P2。然而，邓巴（Dunbar，1992）和其他一些学者认为，对每个个体来说，可能的潜在朋友和同事数——亦即相互作用量的平均值约为150。这一限制在150人口规模的小城镇中达到顶点，镇上的每个人都认识其他所有人，相互作用的总数即为150P。而所有大于此规模的城市，其相互作用总量应符合150P的线性关系。实际上，由于大城市中发生相互作用的压力更大，其相互作用的总量很可能大于这个线性关系，并且这还与收入及其他经济指标有关，我们将在后面章节中讨论这些。
有一点很显然，居民间的相互作用会随着相互间距离的增加而变弱，这就是引力定律。可由物理学中的反向平方定律直接类推而来，并成为自杜能（Thunen，1826/1966）以来的城市经济模型中对空间和距离（或交通成本）间交易进行分析的基本定律。我们或许还可以提出，当城市发展变大占据更多空间时，尽管密度增加，居民间的距离增加也对市内的相互作用形成了抑制，或许可以抵消高密度和竞争所加大的相互作用力。城市系统中很多其他类型的空间扩散活动都会随着距离增加而减弱，其中的一些例子，当城市在相对无干扰环境中发展时，可以观察到距离和时间对从中心市场或枢纽中扩散的活动的相同影响。
1.9.2 七条比例定律
目前为止，我们还没有对城市系统的比例变化进行汇总，在进入讨论之前我们需要对这些关系进行汇集。为此，我们将这些关系以比例定律罗列出来，总共有七条定律，还有一些内容不太能够成为定律。也许有人会认为定律远远不止七条，或者认为本质上只有一条定律，因为这些定律都是从其他定律推导出来的，或许只有一条关于规模和形态的基本定律。我们可以认同上述观点，但在实际应用上必须小心。这些可能并不是在物理科学中被接受的定律，但它们揭示出了时间和空间的强大规律。因此，在其他因素都不变的情况下，我们可以提出以下几条定律：
·当城市增长时，“潜在链接”的数量随着人口的平方而增长。在计算科学中这被称为梅特卡夫定律（Metcalfe's Law），在网络科学中则被称为摩尔定律（Moore's Law），随着局域网的发明被提出，如今已适用于所有网络现象。马克·扎克伯格最近提出了一个更为广泛的猜想，他认为信息分享量每年都会翻倍，有人将之称为扎克伯格定律（Hansell，2008）。
·当城市变大时，城市中居民的平均真实收入（以及财富）会增长更快，呈现积极的超线性增长。这就是贝当古和韦斯特在关于异速规模变化的近期研究中提出的贝当古-韦斯特定律（Bettenc-ourt-West Law），或者也可以根据19世纪末期对于城市聚集经济最初的相关研究，称其为马歇尔定律（Marshall's Law）。
·越大的城市的数量越少。城市的频率分布呈正偏态，往往近似于逆幂律，可以被转化为等级规模关系。最基本的形式是齐普夫（1949）提出的齐普夫定律，他首先研究并推广了城市规模与频次的关系。
·当城市最初的市场或行政中心开始增长时，土地价格（租金）和人口密度随着与中心点或中心商业区（CBD）距离的增加呈现非线性降低。克拉克（Clark，1951）发现了人口密度与距离的关系，土地租金与距离的关系则首先由阿隆索（Alonso，1964）提出，但他们的研究都源自杜能（1826/1966），1826年在农业背景下，杜能首先从以他的庄园为中心的土地使用情况中发现了这一规律，故我们称之为杜能定律。这也可以理解为质量半径关系，即人口的聚集随着与CBD的距离增加呈现超线性增长的分形规律，增长指数（分形维度）在1~2之间（Batty and Longley，1994）。
·当城市增长时，根据马歇尔定律，两个城市间的相互作用随它们规模的乘积而增长，但相互作用数量随着距离的增加或是交通成本的上升而减少。某种意义上来说，这是一个二维版本的杜能定律。而根据提出引力模型的空间相互作用的早期研究（Alonso，1976，1978;Wilson，1970），这可以被称为阿隆索威尔逊定律。不过，更通用的名称是托布勒定律，具体表述为“任何事物都与其他事物相关，但距离较近的事物之间的关联性高于距离较远的”（Tobler，1970）。
·当城市增长时，其中心区域人口密度趋于降低而整体密度分布趋于平缓。这一现象在很多城市中得以验证，并且往往是由于中心区的土地使用置换以及城市用地从边缘区向腹地蔓延。这首先由博希埃（Bussiere，1970）在对巴黎的研究中提出，故我们称其为博希埃定律。这条定律可以推广到所有的城市活动中。实际上，随着时间推移，由于技术进步和财富的积累，城市中心的密度会上升而边缘区的密度会下降。
·城市越大，它们越具有可持续性，即更加“绿色”。这是近期的研究发现，虽然发展中世界中当前仍然有不少城市处于快速增长阶段，但与历史上西方城市在工业革命时期快速增长阶段的情况恰恰相反。我们将此称为布兰德定律，因为布兰德（Brand，2010）在对城市规模和可持续性进行研究后提出，在保持城市生活品质的前提下，更高的密度能够带来良好的社会相互作用，也有利于实现可持续的交通解决方案，远比低密度蔓延更有效率。
除了以上几点，还有更多其他对城市中行为变化的观察和研究都与以距离和交通成本来衡量的城市规模和空间有关。例如，当城市增长时，其平均密度通常会增加。尽管迄今为止并没有系统性的证据来证明这点，但这反映了当城市中平均交通时间增加时，人们会更多选择公共交通工具。还有很多类似的观点，等有了更多的系统性证据，就可以纳入我们这个宽松的定律体系。
1.9.3 增长、规模、密度和相互作用的比例缩放
我们将检验这些定律中的其中四条，以阐述它们之间的相似性和不同点。但是，首先我们需要对比例缩放有一个明确的定义。假设有一个函数y（xi），对于不同的空间位置或地区i，某一属性与另一属性xi相关。如果我们将xi变化λ倍，当函数的值成比例变化，即y（λxi）∝y（xi），则可以说这个函数发生了“比例缩放”。唯一符合的函数是幂律，可以写成y（xi）=xia，其中的指数α可以是任何值。然后对这个函数增加一个比例λ，可以得到：
从这个方程中可以很清楚地看到，“新”函数y（λxi）是与旧函数y（xi）成比例的。
城市属性随规模与彼此关系变化的方式是最重要的比例定律之一。这就是马歇尔定律，从聚集中产生规模经济。这也是异速生长，意味着质的变化，通常伴随着生物种群的形态变化，某种动物或植物不得不对总量进行自我调节以符合线性发展。最简单的方式是考察城市的用地规模Ai是如何随着城市人口Pi的变化而变化的。比如，如果城市在二维平面上扩张的同时也在向第三维度扩展，我们可以认为城市的增长与人口的关系是Pi∝di3，其中di是线性维度的。当然，用地的增长是与这个维度的平方相关的，即Ai∝di2，故人口与用地的关系是：Pi∝Ai3/2。这条幂律是一个正异速生长的例子，因为幂大于1。假如人口是与用地等比例变化增长的，我们则认为这是等速生长，而且有足够的证据表明异速生长系数，即上述关系中的幂指数更接近1而非3/2。如果幂指数小于1，则是负异速生长。因此，异速生长可用于研究规模和形态变化关系（Bonner，2006）。无疑，相对于平面来说，人口向第三维度的增长给形态度量带来了变化，但在这个幂次定律中，更为普遍的是考虑如何反映规模经济和非经济活动。例如，有很多证据表明收入yi的增长比例高于人口增长比例，即：
其中α>1。而道路空间等物质基础设施的增长比例低于人口，即α<1。这分别反映了正的和负的异速生长（Bettencourt、Lobo、Helbing、Kuchnert and West，2007）。
另一个与规模相关的定律涉及多种对象，比如城市、公司、收入等的规模分布，并且与有限资源下竞争带来的分布现象有关。例如，在中心地理论的层级体系中的城市分布，就是在等级为s人口数为Ps的城市的分布频率fs的幂次定律，一般可以表示为：
其中的幂指数ζ总是大于1。其更严格的形式是fs~Ps-2。实际上，用累积分布的等级rs来表达这种频率更为方便，将典型的等级规模分布表示为：
如果ζ=2，则Ps（r）~rs-1，就变成了纯粹的齐普夫定律，最初在齐普夫的《人类行为与最小努力原则》（1949）中提出。这就是所谓的等级规模规则，不仅应用在城市规模和相关事物如收入和公司规模中，也可以应用于巴拉巴希（2002）称为“无比例”网络的节点规模变化。曼德博（Mandelbrot，1982）认为它是构成分形现象的一个基本规模关系，通过齐普夫定律可以很容易看到为何这个幂次定律是无尺度的。如果我们将等级r直接翻倍至2r，规则就变成了Ps′（2rs）~（2rs）-1=2-1 rs-1~2-1Ps（r）。简单来说，人口规模按比例变化。第2等级的人口是第1等级人口的一半，以此类推。有很多模型可以生成规模等级关系：如比例效应和偏好依附，以及通过模块化和常规方式将腹地分隔为相互排斥的细分地块，或是针对人口密度进行多种假设，从而将齐普夫、杜能以及托布勒定律联系在一起。这也将市际的中心地理论以及市内的城市经济都与规模变化联系起来（Simon，1955;Gabaix，1999;Rozenfeld、Rybski、Andrade、Batty、Stanley and Makse，2008）。贝里和奥可丽兹可扎因（Berry and Okulicz-Kozaryn，2012）对这些概念进行了非常好的综述和扩展，说明了此类比例定律的重要性，并持续地发展我们这门新科学。
涉及城市中和城市间活动的分布时，规模变化跟密度和相互作用相关，这点我们在前面章节中已经提到。相互作用的影响的最纯粹形式就是梅特卡夫定律，这也是人们为什么追求创新、进行创意乃至收入增长比例超过人口增长的原因之一。对于人口数P，其“潜在相互作用”数量是P2。这些数量中只有一部分可能真正实现，但是因为人口P中的每个人都会与其自身发生作用，那么实际发生的相互作用数T与人口数的关系是P≤T≤P2。如果排除自身相互作用，且双向的相互作用只记一次，那么可能的最大值变为T=P（P-1）/2。当然，随着城市人口的增长，城市中发生相互作用的面积也会随之扩大。进行相互作用的最远路程是与距离成正比的，如果区域的半径为d，那么T=P（P-1）/2d，相互作用数下降到引力场T≌（P/d）2。正如在前面提到的邓巴（1992）数，我们或许可以认为对任意可以相互作用的人口都具有一个恒定比例ξ，潜在的相互作用数量位于ξ（P2/d2）≤T≤ξ（P2/d）范围内。如今，对于创意活动来说，更需要相互作用潜力而不是单纯的人口规模，因此也就知道为什么收入及其相关属性相对于人口增长呈现超线性（或正异速生长）的增加。
接下来的问题是如何对相互作用进行建模。我们已经阐述过两个不同地点的相互作用通常采用万有引力模型，其一般形式为：
其中K为常数，包括了影响相互作用发生的多个方面。ϕ通常是一个大于1的参数，反映了距离对相互作用的阻力（Wilson，1970）。这个模型是典型的规模变化模型，如果我们将阻力加倍为（2dij）-ϕ，相互作用就变为2-ϕTij。这个相互关系模型具有很高的通用性，已经在土地使用交通模型中应用了多年，并且还会继续使用下去。很容易可以看出，从这个模型中可以根据密度推导出杜能定律。如果假设在初始中心为P0，例如CBD区，与这个中心距离为d0j的其他地点为Pj，那么可以通过P0Pj的关系方程1.6将人口密度表示为：
我们可以将这些定律联系起来，或者至少提供将它们联系起来的方式。如果我们假设人口密度成比例变化，而这个人口数出现的频次是由具有初始中心0的环形城市周长所给出的，可以很清楚地看到，人口ρj的频次，这就是齐普夫定律在市际层面的应用。将其进一步扩展到中心地系统中，我们需要相应的规则来生成从最小到最大地点的层级体系，而多组的人口ρj可以被设计用于生成连续的规模等级尺度。距离和道路空间是两个变量，经过一些处理我们可以看到，在人口规模增长时出现多种超线性关系，这与我们在现实城市中的观察也是一致的（Bettencourt、Lobo、Helbing、Kuchnert and West，2007）。这是一个尚未成熟的综合方法，还需要其他人提出更加详细的论证。我们在此更加关注应用。而像这门新科学中很多其他内容那样，还需要未来的很多研究来完善这部分理论。
在第2章中，我们将对这些关系进行更加详细的阐述，并探索如何对城市中的流系统进行建模。但在这里，我们强调上面提到的这些比例关系是相互联系的。然而，将它们以明确的方式联系起来仍然有不少挑战，因为它们是从不同角度反映的城市系统。我们并不试图为城市系统建立一个完整的或是统一的比例缩放理论，因为这样会偏离我们的中心任务而去解释城市理论。需要知道的是，比例定律贯穿了这门科学的方方面面，对探索城市系统结构的诸多特性来说有重要帮助。
1.10 建立城市科学的演算方法
简·雅各布斯（1961）在她极具影响的著作《美国大城市的死与生》中认为，城市“……问题是处于有组织的复杂性状况中……它们往往具有数个甚至数十个变量，都在同时变化且以微妙的方式相互关联”（雅各布斯的原文斜体）。前面章节中我们总结的比例定律以及我们描述的多种理解复杂性的方法，都反映了她所说的关联和微妙之处，这在我们这门科学中随处可见。雅各布斯继续写道：“城市……的组织复杂性中并不存在某个问题，一旦解决它就可以解决所有问题。它们可以被分为很多类似的问题或片段。”这很能体现本书提出的一些观点，即不存在能被任何人用于任何地方的单一方法，但为了帮助我们设计更好的城市，仍然存在一些不变的、规律性的问题值得我们去探索。此外，复杂性概念本身就否认存在一种支配性方法，复杂性科学有足够的开放性以包容不同的方法（Miller and Page，2007）。因此，我们坚决主张我们在这里建立的是“一种”城市科学，而不是唯一的城市科学。
我们用很有说服力的方式，科学地阐述了我们对城市的理解和构想。当然，还有必要进一步证明定义的正确，因为很多研究视角将城市视为一种艺术形式，并将城市所处的更广阔环境视为某种人文主义背景。正如读者已有所了解的，我们对科学的定义是相对宽泛的，在这里我们认为所有系统性的知识都是科学。科学是结构化的知识，这些知识用公认的工具和方法得出，其产生过程可以被其他人重复。获得的知识可能是采用不同方式推导的，不同推导方式与重复推导可能有一些区别，但核心标准是明确清楚的。这与我们对待艺术概念和知识的方式大不相同，因为艺术的产出是非常个体化的，依赖于个人的直觉。当然，这并不是说在科学中直觉就不重要，显然在所有方面都需要直觉。直觉可以帮助获取知识，但直觉的作用是隐形的。城市经常被视为艺术作品，城市规划历史更曾经为“城市美化”所支配。这使得我们这门科学更加复杂，因为这对什么是好城市做出了包括美学、经济效率和社会平等混合原则的预设，从而不可避免地成为艺术和科学的混合体。实际上，这些内容中没有哪条会与一门关于城市的科学相矛盾，这门科学必然会容纳所有这些观点，并且提供一系列包含所有观点的应用工具。
在下面的章节中我们将会使用和描述的工具和方法，都是基于将庞大的城市各类要素之间的关系的定义为相互作用。我们信奉：相互作用存在于区位，区位也是相互作用的一项功能。的确，在半个多世纪之前，城市规划的一个关键概念就是交通是土地使用的一项功能（Mitchell and Rapkin，1954）。为此，我们将引入工具来探索和理解基于流和网络二元相互作用的城市，所谓的二元实际上是同一枚硬币的两面。下一章将首先阐释流的概念，网络为流提供了物质结构，但流又相对独立于网络。我们的流理论将以空间相互作用为基础，并首先对用于各种交通建模的结构进行分析。我们还将描述如何对流进行可视化，叙述从地方动力学的角度，将流作为理解城市功能如何运行的基础的历史。这些将为第3章做好铺垫，第3章更加侧重于从物质的角度来理解决定城市结构的各种关系。但在此之前，我们将重点关注网络，将其与人口、区位以及各类相关属性等关系系统联系起来，从而展示理解世界的多样视角如何自然而然地带来网络的概念。对这些概念的详细阐述将为本书的第二篇做好准备。该部分中，我们将开始在各种城市特征场景中进行应用，展示那些用于理解城市结构和动力的模型和方法为何可以被视为流和网络的自然结果。
物理主义（physicalism）是一种具有基础主义性质的科学范式理论，试图以现代物理学理论为中心对客观世界的所有现象做出彻底的和完备的解释。——译者注
