潮起潮落：交互、引力与势能
城市中的移动要素，特别是人和他们的活动与固定的物质部分同样重要。
——凯文林奇（Kevin Lynch），《城市意象》（1960，第66页）
将城市类比为机器或生物体能够帮助我们更好地理解城市整体结构和形态变化。运动零件相互配合所构成的复杂钟表装置表明，机器可以实现形式与过程的同步和谐，概念稳定而层级秩序俨然，一如我们在前一章所阐述。与之相反，生物体依存于网络连接，传递能量流并维系自身的运动部件运转，生物体并不能跨越其所依存的整个空间，但其结构被严格地自组织为高效的层级式运输系统。如果将城市和人体进行类比，城市中心相当于心脏，在分层组织的系统中担当能量输送（用交通的形式）的引擎作用，成百上千年以来，货物和人不断在生产基地之间往返，从达·芬奇年代乃至希腊时期便是如此。维克多·格鲁恩（Victor Gruen）的《我们城市的中心》（1964）一书是众多隐喻图像中的一幅，它建立在并没有超出偶然条件发展的有机体概念基础上。他说：“我可以看到一个大都市生物体，由细胞核和细胞质构成的细胞组合成集群，形成如城镇之类的专业器官。”将城市视为由一些支撑性的连接构成的系统，强调基本结构也是我们在本章和下一章所表达的主要观点，我们将先讨论流，然后讨论其物质化和拓扑化所形成的具体网络。欢迎加入得到书社，微.信:whair004.罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享
流与网络是一对双重概念，互为一枚硬币的正反两面（Lambiotte et al.，2011）。实际上，流和网络在科学上有一定区分，可以在不提及另者的情况下单独讨论。虽然我们从一开始就将遵循这一区分，以从思想上理解城市如何从叠加的网络中产生各种可见和不可见的流的汇聚，但并不止步于此。本书的第二篇和第三篇将通过网络从不同角度对流进行合成，反之亦然。我们认为，流更多是关于过程的，其运行跨越空间和时间标度，能够显现出驱动城市短期运行和长期转型的变化动态。网络首先是一种物理容器，其容量对能量流、信息流有限定作用，网络虽然以物资、人、思想等形式物质性地存在于实体的欧几里得空间，但往往隐藏于我们所能直接感知的互联网或信息空间背后。网络可能为线、面、体的几何形状所制约，但对于社会网络来说并没有这些边界。在城市领域，我们更多地关注于物质，这也将使网络的角色进一步复杂化。
更重要的是，流的叠加形成了位置所发生的一切：流是位置所发生的一切的总和与结合，或者说合成，简而言之可以是相加，但深入而言“整体可能并不等于部分的总和”。流意味着力量，其累加或结合产生了势能，并与发生位置推移的具体对象有关。这构成了空间交互模型的基础，也是我们在这里所使用的范式。按照网络的逻辑，枢纽或节点的强度至少在物理或者拓扑层面等同于一个简单的连接功能。在本章，我们首先将建立描述一般性流动的术语和表达规则。虽然我们的关注点是空间位置，但实际上这一框架可以被用于表达任何一套特定的、明确界定的、能够代表某一系统的对象。我们将介绍后续模拟所需的代数知识，帮助我们对流系统所蕴含的复杂性进行可视化。这些实际上揭示了我们在前一章所提及的城市系统的复杂性特征。
在有了固定的表达法之后，我们首先将回顾一下历史上曾经有过的各种可视化呈现方式，这将有助于我们对最简单的流模型——重力模型展开讨论。重力模型堪称空间交互理论的基础。在过去的半个世纪，这些模型构成了对交通、人口迁徙，以及其他各种反映人和思想在城市、区域乃至全球等更大范围进行移动的物质流进行模拟的基础。我们将介绍用于生成各种连贯模型的标准框架，这可以从信息理论导出并使我们能够对这些模型进行推广和修正以用于不同类型的空间系统。城市实际上反映了流的格局所蕴含的压力，拉动人、物质、信息进入核心（中心化），以对称方式将同样的活动向外推至边缘（去中心化）。我们可以通过建立其自身的非对称性来检测流，非对称格局显然具有本质性。接着我们将从其自身角度考察这些非对称性，对这些模型进行调整以显示对称性与非对称性之间的现实距离。我们将得出结论，这些本质上稳定的流的概念意味着长期的变化。这也要求我们聚焦于网络——流的容器，这将构成第3章的主题。
2.1 流的描述
2.1.1 流与位置
我们首先将依据流的出发点、相同或不同的到达点对场所位置进行分类。我们把流出发点的活动量称作起点Oi，其中i=1，2，…，I代表一组活动，其中I代表着出发点的总数，把流到达点的活动量称作终点Dj，其中j=1，2，…，J代表一组活动，J代表着到达点的总数。需要注意，I并不一定等于J，但在很多时候I=J。在这种情况下，我们将起点和终点数量定义为N，表示两组位置是相同的，尽管活动总量通常并不一致。如果没有特别提及的话，在后续讨论中我们都假设N=I=J，因此，在考虑位置的情况下对流进行加总时，求和范围将超过N。
我们将一组起点和终点之间的流定义为Tij。这一表达借用了交通模型中的出行（trips）一词，但其内涵更为一般化，并不局限于某种交通线路。最基本的计算关系可以表达为：
和
流T的总和可以由连接起点与终点的流一般加总得出，如式：
在第1章我们已经指出，对于任何一种给定的区位关系，对应着许多种可能的出行模式。简而言之，在流的模式数据掌握很少的情况下，依据一种流的模式解释城市中的区位关系将面临巨大的问题。实际上，正如我们所看到的，我们所提出的流系统模型很可能将某种我们观察到的流模式的可能性推到最大而忽视了其他模式。我们从位置转换到流的原因正是对于一种流模式而言存在着多样化的位置模式，我们需要知道哪一种是最恰当的。
方程2.1到2.3经常被称为“交通问题”，由此我们可以得到一些定量的认识。这一问题通常表现为，当我们将从起点到终点的交通成本定义为cij，我们需要找到一种出行模式{Tij}实现总成本C（方程2.4）的最小化。
如果所有的流均具有正整数值，我们将能够求解。可能的解决方案至少存在N种！也就是将T分配到联系ij上，其数值由方程2.1和2.2给出的起点和终点数目所限定（Doig，1963）。以对从居住地到就业地之间的流进行求解这样一个小问题为例，大伦敦地区有N=33个市，如果包含自身到自身的流的话，那么存在N2=1 089种可能的流，存在1037种可能的出行模式，大大超出我们所能观察到的跨地区居住与就业人口分布模式。这也为我们的科学应当聚焦于流而不是区位，聚焦于运送人员、物资、信息的网络而不是区位关系提供了极好的论据。此外，虽然其中大多数模式完全不具可能性，但仍然有许多能够导致相同结果的区位关系。我们的目的是理解城市并考虑到此类等价后果，也就是说，相同的格局可能来源于不同的原因，当我们只看到位置，将无法解释为什么会出现这些使用合理却连接模式各异的问题。
2.1.2 流的系统：需求线、网络流和势场
依据位置解释流的难题很快延伸到我们如何才能理解其中的复杂性。一种对流进行可视化的常用方法是绘制由起点到终点或反过来的向量，而流量以线条的宽度表示。这在交通模型中被称作需求线。但随着起终点数目增多，连线将会按照位置数的平方增长，我们从流向地图（flow map）中识别出模式也将变得越来越难，注意力将聚焦于表现本身。为了解决这一问题，我们使用2001年大伦敦地区33个市之间的就业居住出行矩阵，设定绘图的不同层级阈值，成功地简化了图形以便于读取主导性模式。实际上，我们建构了聚集矩阵Tij+Tji，忽视了自我流动Tii，并按照矩阵的显著细胞数为N（N-1）/2绘制出得到的聚集模式。矩阵的最大值为39 411而最小值为7。图2.1展示了从Tij≥Tkℓ（最小）到Tij（最大）进行选择性绘图的结果。我们可以清晰标出平均位置，如下式：
这种图的问题是很难简单有效地突出模式特征。虽然动画（我们无法在这里展示，可参见图2.1）确实有助于揭示隐含的结构，但最终是混乱的。
图2.1 流量聚集的可视化，从完整33×33矩阵到最大流，中上幅为流平均值
为了避免线条更加纷乱，这里我们并没有通过提高分辨率展示大伦敦地区更加复杂的结构（在后续章节将会涉及）。如果我们想要尝试呈现双向流——从i到j或反过来，视觉表达问题将更加棘手。虽然在这方面我们也取得了一定的进展，并将在后续章节展示一部分成果（Wood、Dykes and Slingsby，2010; Wood、Slingsby and Dykes，2011)，但是从历史角度看，这也是为什么这种流向地图在计算机时代到来以前很难出现的原因。第一幅已知的计算机图形绘制于1959年，在芝加哥地区交通研究中使用了数字显示器（称作Cartographatron）来展示这一图形（Creighton、Carroll and Finney，1959）。
图2.2用与图2.1相同的方式展示了大约990万条个人出行。这种可视化方式显然只能产生简单的印象主义效果，非但不能揭示芝加哥更加复杂的多中心本质，反而强调了城市的单中心特征。托布勒（1987）指出，由于设备的散焦能力，此类呈现方式相对模糊和不精确，已经为更加现代化的显示技术所淘汰。
图2.2 1959年使用Cartographatron显示器实现对个体出行的最早数字呈现
诸如此类流的系统可以通过其他很多方式来可视化，一个明显而简单的扩展方式是求得起点和终点的流的平均值。这需要将流用势能的方式进行加权平均，可视化为一个矢量，其方向由求解区所有流向的平均值决定，其大小则由流的规模决定。这个矢量场与势能的概念有很强的联系，如果将流视为一种力，平均矢量就可以被比作环绕求解区的势能场梯度。要建立起点区i和终点区j的矢量，我们首先将流Tij标度化并将其表示为占流总和T的比重pij：
i区和j区的坐标xi，yi和xj，yj定义了流的方向，我们可以依照坐标变化求出每一个起点的流加权平均值
以及每个终点的流加权平均值
我们的新矢量将每个起点和终点的平均流向分别定义为和。托布勒（1976）对流的此类特征做了大量探索并称之为交互风。基于不同的加权方法还可以产生多种变体，在图2.3中我们用这些形式展示了界定大伦敦的33个位置。将流信息压缩成这种形式有一个巨大的好处，它能够揭示系统中的大量非对称现象。在图2.3a中，作为就业地的起点相较于作为居住地的起点更加密集成簇，从城市边缘向城市中心的运动占了主导地位。如果我们反过来进行可视化，如同图2.3b展示从就业地出发去往居住地的运动，我们发现，平均方向有很大的不同，结构上的变化绝不是简单倒过来。
图2.3 （a）从起点到所有终点方向的流；（b）从终点到所有起点方向的流
2.1.3 流的表达史
当前在运用各种数字媒体进行可视化表达方面已经取得了一些引人注目的进展，然而正如我们在图2.3中所看到的那样，在将流简化为位置属性或是将双向流简化为单向流的过程中，我们很难避免信息丢失。在简化流而不损失流和方向信息方面已经有了很多尝试。最早构想通过迁徙活动模拟城市间流动的人之一，厄内斯特拉芬施泰因（1885，1889）推崇的方法是在跨越单一边界进入邻近区域或连续区域的流当中选出最为重要的，如果假设每个区域平均有四个邻近的附加位置的话，就可以将N（N-1）条流（排除发生于每一区域内部的流动）降低到大约5N。我们重新制作了拉芬施泰因的图纸（图2.4），显然，我们可以将主导性流场，也就是拉芬施泰因所说的“迁徙形势”（currents of migration）从全部流向中以可视化的方式显现出来。在存在主导流向的情况下，这种可视化方法确实有用，但如果存在逆流、旋涡、涡旋的情况就很难发挥作用了。遇到这些情况将无法准确地重建拉芬施泰因那张著名图纸所采用的逻辑。
在拉芬施泰因两代以前，德国地理学家约翰科尔（Johann Kohl，1841）在一篇讨论城市功能与结构的著作中提出城市功能是由跨越空间的活动流联系在一起，这不禁让人联想到我们在前一章简要提及的分形结构。活动流动到中心并填充空间的思想主导了他的研究，这在他所绘制的很多关于交通如何连接城市与其腹地之间的功能和活动的图示中都有体现。虽然我们把不同空间尺度、跨城市与区域断面图片、流动态等都放在了一起，但图2.5所展示的科尔的工作仍然是最有表现力的成果之一。力场、迁徙场、互动风和网络等概念对本章乃至本书其余部分的很多思想都具有主导性作用，尽管如此，科尔的思想显然过于神秘了，读者只能去猜测怎样才能将其用于组织城市结构。托马斯普克（Thomas Peucker，1968）第一个使科尔的工作引起我们的注意，他认为科尔的目标如同后来的塞尔达和格迪斯一样是建立一门像地理学一样的城市科学。普克说：“科尔希望这本书能够改变整个地理科学的基础，或者说建立地理学真正的基础并使之成为一门真正的科学”（1968）。虽然他的研究可能更多侧重于下一章将要讨论的网络，他在论文中所描绘的流的系统看起来与我们本章所聚焦的流和运动基本同义。
图2.4 拉芬施泰因（1885）所绘制的迁徙形势图
实际上，一直用来表现流的主导性方法是将流聚合为类似于拉芬施泰因提出的定向场（directional field），并融入对流量的表达。此类可视化类似于将流场分配到承载他们的地理空间网络，这与交通工程师和规划师所采用的方法几乎一样，先预测起点与终点之间的出行格局，再将这些出行分配到网络。显然，物质出行拥堵，而网络与代表出行需求的大量流相比却相当不足（通常都是这样），但是，这对社会网络并不适用，因而将流拆解分配到路线在很多情况下并不能作为可视化的一般性方法。尽管如此，我们这里仍将对很多循这一途径对流进行可视化的方法做一个总结。
图2.5 科尔的流场
资料来源：Kohl（1841）。
已知最早用于表现此类流的图纸是由亨利哈尼斯（Henry Harness）在1837年为驻爱尔兰英军绘制的都柏林及其附近被称作帕莱（Pale）的地区图纸（Robinson，1955）。图2.6a展示了其中的一幅，描绘了保安机构所统计的主要公路旅客运输量（passenger conveyance volumes）。当时政府正在考虑将铁路兴建到爱尔兰，哈尼斯受委托开展了此项工作，然而值得一提的是这些图纸目前看起来是已知最早描绘交通流如何沿物质性网络运动的成果。在哈尼斯之后，此类流向地图大量产生，如查尔斯约瑟夫米纳德（Charles Joseph Minard）绘制于1869年的“拿破仑东征图”，描绘了拿破仑大军在1812—1813年从巴黎进军莫斯科的减员和溃败过程。“拿破仑东征图”因塔夫特（Tufte，1983）的推崇而闻名于世，但这只是米纳德所绘制的诸多图纸中的一幅。图2.6b展示了他在全球尺度上所描绘的贸易过程，其中所蕴含的网络相较于爱尔兰图纸隐性而不是显性。
图2.6 将流量分配到隐性或显性的网络
注：a.哈尼斯于1837年为都柏林区域绘制的旅客运输量分布图；b.米纳德于1864年绘制的葡萄酒流向地图——一个起点（法国）和多个终点间的贸易被叠合为单一流。
将流分配到网络是交通建模的关键一步，分布模型Tij中的流量往往被分配给起点i与终点j之间的最短路径，而流量又塑造了城市活动的关键枢纽（如CBD）。这些任务可能非常复杂，因交通系统层级、不同交通方式下的几何结构差异而各不相同，也因当代方法倾向于活化其功能。流量往往在工作日差别巨大，道路容量常常增减不定。正如我们一直所说的，为了实现可视化，对流的发生路线、流量的比例所进行的抽象可以有不同的度。图2.7a展示了伦敦市中心公共自行车计划在高峰时段的典型的流向地图。在相同的视觉呈现方法下，在诸如公交、重轨、地铁等各种交通方式之间进行流量分配的相互比较是更加抽象和困难的工作，然而仍然有很多相关的可视化方法，例如借助伍德、斯林斯比和戴克斯（Wood、Slingsby and Dykes，2011）研制的空间树状图把信息压缩到这些出行的起点。
图2.7 将流分配到各种网络系统
注：a.将伦敦中心城区典型24小时的公共自行车分配到街道网络；b.如同血液一般流动的里斯本交通（引自Cruz，2012）;c.伦敦地铁系统的早高峰人流；d.推特位置信息所展示的大伦敦地区道路（引自Fischer，2012）。
当前，基于多种多样的空间数据生产出了大量流向地图。克鲁兹（Cruz，2012）制作了一部动画来表现里斯本多种交通格局的流速和流量，如同血液在身体中的流动，图2.7b显示了其中的一帧。图2.7c展示的是里德斯（Reades，2012）的成果，他用类似的动画方式描绘了伦敦地铁的脉动效果。光靠这些图片并不能公正地反映这些流系统如何运行，我们建议读者访问d克鲁兹（2012）和里德斯（2012）的网站（链接到YouTube和Vimeo）观看实际动画。当前有很多人正在尝试借助各种数字传感途径对流的运行进行可视化，特别是基于智能手机使用数据和位置数据以及从各类计算设备发送的联系和消息。各类包含位置的图片、与推特馈送等相关的短信息、追踪车辆和用户位置的地理定位信息、交通卡刷卡信息等为研究城市中的流提供了大量新的数据来源。图2.7d展示了费希尔（Fischer，2012）基于大伦敦地区的推特馈送所绘制的路径，这也是他对很多大城市此类媒体进行可视化分析的系列成果的一部分。这些海量信息并不具有很强的使用背景，因为推文包含了一切可以通过短信息发送的信息。所抓取的信息也不因为时间段而特别重要，此类流信息越来越主导我们对人们在城市中如何联系的理解。毫无疑问，我们需要更多地探索如何将它们用于城市规划与设计、管理和服务供给等明确的目的。
将流分配到所流动的路线需要经过系统化地变形或抽象过程，以明辨其间复杂的相互关系，而这一过程往往存在争议。图2.8a反映了我们根据流量变换流系统显示方式的能力。法利斯等人（Feles、Gergely、Bujdosó、Hajdu and Kiss，2012）所绘制的布达佩斯地图证明，在不损失一组相对位置的视觉整体性前提下，街道格局可以根据流量进行系统化变形。变形地图（Cartogram）对地图进行系统化扭曲，将地图从反映真实面积变形为反映点密度，使面积与密度成比例关系。多林（Dorling，2012）用这种方式探索了许多区位现象，并将其推广为互动模式。图2.8b展示了他如何提供地图扭曲来反映英格兰和威尔士的日常通勤流。流的表达并不需要服从网络系统，从而呈现有诗意的效果。图2.8c显示的是奥斯特维克等人（Austwick、O'Brien、Strano and Viana，2013）采用与伍德等人（Wood、Slingsby and Dykes，2011）相似的方法，对早高峰网络相关联的出行流量进行了色彩和平滑处理，这里与图2.7a是基于同样的公共自行车数据。
还有很多通过新技术对空间流进行可视化的范例，但是我们现在需要改变一下方向并思考如何将这些空间系统作为流场来建模。在后续章节，随着我们的焦点转到使城市功能得以运行的社会性和组织性网络，我们将介绍其他一些不涉及地图空间几何属性的可视化方法。在本章，在探索了如何对流进行建模之后，我们将回到这些表达类型，因为通过对这些系统进行建模，我们能够提出更加强有力的概念来呈现其因时空而发生的变化。
图2.8 在各种网络系统中对流进行扭曲
注：a.布达佩斯的街道网络（引自Feles et al.，2012）;b.用变形地图方式描绘的英格兰和威尔士1981年日常通勤流；c.伦敦中心城区早高峰时段的公共自行车流。
2.2 流的初级模型：引力与势能
2.2.1 基本模型
一种简单的空间交互模型建立在牛顿万有引力定律基础上，将流表达为任意两个位置——起点i与终点j上活动量之间的作用力。我们曾经在第1章的方程1.1和1.6介绍过这个模型，当时我们指出各种方式的人口互动都可以类比为引力。实际上，万有引力定律是牛顿第二运动定律——力等于质量乘以加速度的推广，但考虑到了两个物体i和j或由规模（或人口）定义的两个质点Pi和Pj，并考虑到了两者之间的阻碍因素。这个定律可以通过方程1.6重新表述为：
其中，Tij是位置i与j之间的相互作用力或能量流，dij用于度量诸如i与j之间距离之类的阻碍作用，K代表一个标度常数（在经典力学中被称作引力常数），ϕ是一个参数，在纯粹标度情况下通常等于2，也就是说与距离的平方成反比。这一模型首先为拉芬施泰因（1885，1889）在提出和验证迁徙定律时所使用。
这个模型透露的一个关键信息是：如果距离或阻力矩阵{dij}是对称的，那么其结构也是对称的，也就是说dij=dji，∀ij。但是总的来说，这些模型的实践发展并没有深入研究或应用这种对称性，为了将其应用于真实的流系统，必须考虑到质点（实际上代表一个点或一片地区大部分所在的地理位置）所具有的多种属性引起的变形。对这些模型的最完整的陈述是威尔逊（Wilson，1970）提出的空间交互模型族。他提出了四种变体，方程2.9所代表的模型是其中第一个，也是最具一般性的一个。这些变体将要预测的流限定为与系统中所观察到的活动整体——总体交互T有关的各种外在位置信息；总体交互与出度节点——起点i，Oi相关；总体与入度节点——终点j，Dj相关。这些总体由方程2.1到2.3所表述的流矩阵{Tij}中的三个制约因素所定义，尽管有些唠叨，我还是要将起点和终点的人口案例重新表述为：
和
可以定义四种一般模型。第一种是无约束模型（unconstrained model），起点和终点都没有约束，也就是说方程2.10和2.11不适用，但总体交互活动由方程2.12所约束。在这种情况下，整个系统只有一个常量，我们称之为K（=Ki=Kj，∀ij），这样就可以得到方程2.9的引力模型。第二和第三个变体有时候被称作区位模型，分别受起点约束或终点约束，方程2.10或2.11与之相应。在这两个模型中，起点或终点（Ki或Kj）只有一个是常量，从而确保了方程2.10或2.11得以成立。威尔逊（1970）把这些模型命名为起点约束模型（origin-constrained model）和终点约束模型（destination-constrained model）。族中的第四种模型是当方程2.10和2.11中的起点和终点均受限，模型中出现两组常量Ki和Kj。这被称作双约束模型或起点终点约束模型（origin-destination-constrained model）。应当注意到在这个模型族中，对于第一个无约束模型来说，从出度节点i出发并到达入度节点j的每一连接ij上的流都需要预测。在单约束模型中每组节点中的一个受约束，对起点约束模型来说，流出到不同终点而不是流入终点的活动受到约束，需要通过模型进行预测，而终点约束模型则相反。在双约束模型中，起点和终点的活动都已给定而无须预测，因而终点在于出行的分配。最后这个模型在传统上就是交通流模型将出行分配到网络的基础，此前我们曾经做过可视化呈现。
2.2.2 无约束模型：对称基准
无约束模型可以表述为方程2.9
这里包括了常数K，以确保满足方程2.13中的对流T的整体约束。假设距离矩阵是对称的，这一模型中的流和出发于每个起点到达每个终点的活动也是对称的。通过对终点、起点的流直接求和，我们可以将其表述为：
Vi和Vj实际代表人口势能——类似于潜在的能量或作用力的总和（Stewart，1941）。在空间系统中，这些反映了一个起点对所有终点或一个终点对所有起点的相对邻近性，或者说可达性（Hansen，1959）。显然，在对称的情况下这些是等价的，正如方程2.14和2.15所示。在土地使用与交通规划中，也可以定义为可达性，用于判断区位势（potential of locations）。这样，通过比较起点和终点两个区位的实际人口，我们可以测度真实系统与其对称理想状态有什么不同，也就是说si与Pi或是sj与Pj的差别。据此，我们将这些势能定义为比例关系Vi=si/KPi和Vj=sj/KPj。
在后续部分我们将检验这些基准对称并在第3章继续讨论，但需要指出，如果我们将有条件概率定义为：
很容易就能看到方程2.15的终点势能可以被写作起点势能的线性函数：
当定义条件概率矩阵时，考虑终点而不是起点，反过来也是一样。这实际上也就是马尔科夫过程（Markov process），我们将在第3章运用这些思想，这里只简单提一下，对这些思想与引力模型较为深入的研究可以参考史密斯和谢（Smith and Hsieh，1997）以及巴沃德（Bavaud，2002）的成果。
2.2.3 一般流模型
现在我们转到一般约束模型。这一模型对基准进行了变形以体现真实系统中的相互关系和特点。在后续部分我们将重点展示双约束模型及其变体与基准的近似程度，因为空间交互模型的一个重要分支就是探讨真实系统与理想形态、理想结构之间的近似程度，或是探讨关乎系统运行的一些无效假设与真实系统之间的距离。我们将一般模型写作：
如果我们将其与对称等效方程2.9进行比较，很显然差别只不过是用因子Ki和Kj替代了K，通过对起点、终点和距离进行变形以反映起点和终点对流的约束。简而言之，将空间交互模型族的任一模型视为对称等效模型的变形或推论具有重要意义，我们将对称等效模型作为基准模型。
借助于下列方程，用不同的起点和终点活动量Oi和Dj来定义常量Ki和Kj，现在我们就可以使用起点和终点的约束方程2.1和2.2。
可以建立起点与终点之间的显函数：
需要指出的是，既然有了来自彼此之间与人口Pi或Pj不同的起点和终点活动量Oi和Dj，那么基本引力模型方程中的质量因子或吸引子——人口就可以依据各自相应常量被替换为起点和终点的活动量。如果我们假设Oi=Di=Pi，∀i，方程2.21和2.22中的这些变量就可以被消除，从而得到：
模型可以依据起点终点条件Oi和Dj写作方程2.9，当然我们需要注意这些其实都等同于人口。有一点非常关键，我们将在后面用到，如果距离矩阵是对称的，使用人口作为起点和终点，就能得出对称模型方程2.9，变量变为Ki=Kj=K，i=j。接下来就是从这一对称模型导出的所有其他结果，下面我们将回到这一点。
让我们回到不对称一般形式，如果我们注意到
我们就能够相当容易地用直接概率形式写下双约束模型。这些方程就转变为：
在我们转到本章后续部分对一般模型与对称模型的关系进行检验之前，我们先讨论单约束模型，一般情况可以有一些非常有趣的简化。仅就起点约束模型而言，我们写作：
方程2.28的单一约束模型现在就可以被用于预测终点区域的活动量，我们将其称之为Dj′。一般而言，这将与观察到的活动量Dj有所不同。变换关系可以被写作：
这表明存在一种对称的可逆关系，可以直接从方程2.26、2.27和2.30得出：
当然，在用终点活动Dj计算起点活动Oi′的单约束模型中，我们也能够得出相同的结构。
2.2.4 生成连续流模型
我们对这些模型的处理已经建立在通过严格计算交互进行分配的推导一致性基础之上，也就是说，确保流的总和为已知总体，这构成了特定模型必须满足的约束条件。威尔逊（1970）的交互模型族正是按此建立的。然而，有一些有力的框架用于生成此类模型，我们需要在一个能够对约束和目标函数做出相应选择的优化框架下对流进行设定。在本章的开始部分，我们讨论了交通问题并针对这一问题的变体提出了大量可能的解决方案，因此，我们其实已经一睹曙光。
一个最广泛用于描述复杂系统中多样性程度的函数是由香农（Shanno，1948）对信息（熵）的测度，他测量了一般条件下构成系统的不同组件概率的不确定性程度。如果每个事件具有一定的发生概率，并且将起点与终点之间流的概率定义为pij，那么我们可以对每个概率取对数log pij，继而得出加权平均值H，如式：
如果所有概率pij都是相同的并且其中一个事件确实发生了，可以得到信息的最大值，在这个案例中我们可以很容易得到H=logM，其中M是出行概率的总和，在这一标记法中起点和终点的数量相同，M=N2。在仅有一个概率为正且等于整体而其他皆为零的情况下，如果事件发生将没有信息可以获得，也就是说H=0。方程2.32所表达的函数满足这些限定，因此是一个描述系统结构的合适测度，并可以用在这些方面。我们现在通过向起点、终点、总流和诸如出行成本等其他相应信息施加限制生成了空间交互模型族。我们将通过概率形式而不是与流量相关的直接限制对这些模型进行发展，通过将流Tij记录为总流量T与相应概率的乘积，可以得到我们所有的早期模型。这些起点和终点概率之和为1，
约束与方程2.32所测度的熵相一致，但考虑到起点和终点的规范化约束，方程2.33就有些冗余，可以直接表达为：
这在结构上与方程2.21至2.23中的双约束引力模型常数完全相同。这种最大化的特别后果是：出行成本或距离函数不再如我们在第1章介绍的那样纯粹用比例法则来表示，而是用负指数函数形式。这种函数的适应范围更广，在这本书的其他部分我们还将看到。
正如我们所提到的，为了应对真实的出行或人口问题，可以简单地通过总量乘以概率对这些模型进行缩放，如T代表交通系统中的总出行，P代表城市系统中的总人口，Y代表贸易系统中的总收入等。但是这个系统构成了交互模型族的基础，可以通过放松标准化约束来生成；例如，忽略距离约束（Kj=1，∀j）或忽略起点约束（Ki=1，∀i），或是两者皆忽略，我们需要提出方程2.33中的总标准化，以提供一个总体常数K。值得一提的是这些模型也可以按照随机效用理论生成近乎等效的形式，此类模型关注个体层面而不是出行者整体，被称作离散选择模型（discrete choice model）（Ben-Akiva and Lerman，1985）。
我们将检验这些模型中的一个——仅有起点约束的单约束模型。这可能是一个用于预测从工作地到居住地之间交互活动的模型，例如我们将在第9章所讨论的已知起点地区工作分布的情形。那么，Kj=1，∀j，模型为：
此类模型的关键问题是，我们不仅能够预测i区与j区之间的交互活动，而且可以预测其落在终点区的概率pj′，如式
由此我们可以得出终点区的总流Dj′=Tpj′。
如果我们放弃起点和终点约束，模型变成与我们开始于方程2.9的传统引力模型相似的形式。但是，要生成常见的标准引力形式的模型，其中每个起点和终点区集群出现，分别赋予Pi和Pj，我们需要修改熵方程，因而最大化
这与我们开始于方程2.9的模型在形式上等价。出行成本或距离可以表达为以ϕ为比例参数的幂律形式。
2.3 利用流的不对称性
2.3.1 再论基准模型
我们回过头来继续讨论流系统的对称性。正如我们在本章较早部分讨论工作出行格局时所看到的那样，对称性对城市系统中的运动路径有重要意义。实际上，到目前为止我们所介绍的各种空间交互模型都是准对称的。回到早前的直接出行、基于人口的吸引点、基于欧几里得距离的阻碍因素等形式，我们能够将一般双约束模型标准化为其对称等效模型：
我们建立这一模型的方式使我们能够通过不同常数（约束）看到任意流量矩阵{Tij}之间的关系，这是对基本对称的影响。方程2.43不仅起终点间总量对称，流量也对称，也就是说Aij=Aji，∀ij。由于模型总是基于常数Ki和Kj的值而独立对称，当起点和终点自然产生势Vi和Vj，族中任何模型都可以被看作原始对称模型的衍生。借助方程2.43中的函数{Aij}，我们可以看得更加清楚：
方程2.44和2.45以最直接的方式呈现了起点与终点的加权势能数值是对称的。要生成相应族中流模型，我们所要做的就是理解：如果非限制模型需要全局常量，那么KiKj=K，如果起点（或终点）限制需要单独的限制模型，那么Kj=1，因而KiKj=Ki（或Ki=1因而KiKj=Kj）。
在大多数情况下，无约束的重力模型在它的基础形式上是对称的这一事实长久以来是被认为有问题的，因为在真实空间系统中观察到的大多数流矩阵（即使不是全部）都是非对称的。事实上，很多空间交互理论的目标都在于通过已知或假设的信息或限制为决定如何在模型建构中体现这些非对称性提供逻辑依据。我们将在这里提到，至少有两个其他策略可以用于处理非对称性。
一是采用各种各样貌似真理的定义使得任何不对称的流量矩阵对称，二是把不对称的矩阵分解成对称和不对称的等量，采用一些呈现于此的方法处理其对称性。随后的很多研究都是基于托布勒（1976，1981，1983）的方法。托布勒利用不对称性研究出一系列改进的重力模型。接下来我们来看看他的实例。
2.3.2 托布勒模型
第一个方法就是将一个不对称的流量矩阵Tij≠Tji转换为一个对称的流量矩阵。托布勒认为，这种不对称性可能是因为基本重力模型中起点和终点之间的感知距离的不对称性。要解决这个问题，他认为首先应添加建模的流，正如方程2.46，然后平均估算一般流量，如同方程2.47。
显而易见，这等同于我们在本章之前部分所构建的大伦敦地区的流的系统，详见图2.1和2.3。
现在对称的平均流量可以由一个对称的模型解释，但是大量信息却在此过程中被丢失了。因此一个更广泛的关于取平均的逻辑是基于第二种分解方法进行。如果我们以对称畸变与距离dij相关这一方式作为前提，我们便可以写出一个新的距离，即与r全局校正因子和ρij具体的局部修正相关的实际距离，我们便可以写出这个不受约束的重力模型2.48，在j和i之间的流量值便可被写作方程2.49，请注意距离的对称性和我们假设的ρji=-ρij这一事实。
如果我们把方程2.49除以方程2.48，便得到方程2.50，这样我们可以方便地推算出局部的修正因子ρij为方程2.51。
将方程2.51代入2.48，便得出方程2.52，并且根据方程2.52，基线对称便可写作2.53。将此代入方程2.52，便可产生被观察的流对其对称和反对称组件的唯一分解，写作方程2.54。这样我们就从早些时候在真实系统中对分解程度的评估中提取了一个不同的基础理论，基于它在无拘束重力模型中的对称基线。
根据这个结果，我们可以制定各种措施。例如，基于各自的流之间的平方偏差即可写。正如托布勒（1976）所认为的那样，这种分解的本质是从数据中删除了模型中对称的部分，并着重解释了此案例中反对称部分的余值。这遵照了科尔曼（Coleman，1964）提出的长期存在但鲜为人知的“余值方法”（method of residues），他认为这个余值应该是在空间交互中被塑造的而不是实际存在的流（Batty and March，1976）。还有其他的模型以多种不同的方式利用对称性。多里戈和托布勒（Dorigo and Tobler，1983）提出流可以被建模为一系列推拉效应的线性和，我们将其记为方程2.55。
这显然是对称的，并被附加了新的特征，它可以被分为具体的非对称的推拉效应，这依旧可以体现在方程2.55。多里戈和托布勒在一些细节上探究了该模型的属性，特别是关注了推拉效应的可分离性，并提出这些形式有非线性影响。这个模型适用于之前提到的全部常规分析，但这种简化中几乎未能带来任何更多的解释。最后，值得注意的是，阿隆索（1976）在追求运动的一般理论时，提出了一个交互模型，这个模型有一个潜在的对称基线，但是他假设诸如人口规模项，或者起点和终点项，或者其他一些区位变量等吸引点指标可以用幂函数来表达。他的模型可以被写作方程2.56，
其中Aiφ和Bjζ结合起来，吸引点也可以包含常量，以确保满足各种约束，并且参数φ和ζ弹性地反映了隐含在空间交互的推拉效应中的集聚或规模经济。交互效应tij也可能是个障碍。如果它是一个对称的距离，那么对称的基线可以被纳入该模型结构。从这一模型基础上产生了更多的拓展模型（Hua，2002;de Vries、Nijkamp and Rietveld，2000），但都侧重于对提出不同的模型吸引点进行解释说明，而不是不对称本身。
2.3.3 流的势能
