在前一节中，我们用交互风形式验证了势能，在考虑起点和终点的系统中生成了代表平均流向的加权向量。当起点和终点有很大差别，以上班通勤流为例，主要流向反映了这种差异，在像伦敦这样有单一强核心的城市，流明显地从就业起点中心到居住终点中心移动，具体如图2.3。如果我们假定起点和终点相同，并且流量矩阵是对称的，那么这应该会形成起点和终点矢量流的同一模型。我们所期待的线性图（图2.1）对其做了假定，就如同方程2.46和2.47中托布勒的对称基线重力模型一样。为了论证这一基于对称性的一般模式，我们建构了对称的平均流量矩阵方程2.57，并且在方程2.6中转换这个平均值为加权的概率性的流量矩阵，如方程2.58所示。
i、xi、yi和j、xj、yj的坐标区域对应了对称的流的方向，通过利用和方程2.7一样的位移方式而产生。我们在此重复一下，关于起点可写作方程2.59，终点为2.60。
根据方程2.57和2.58，我们可以清楚地看到基于这些位移的起点和终点的向量是同一的，即方程2.61，
图2.9a反映了根据这些方程所计算的大伦敦地区的地图。我们需要注意，具有显著对称性的流的方向，很可能是由居住地而非工作地所决定的，反映出伦敦的主要流方向是从郊区到中心。
我们简要地介绍一下托布勒的第二个模型，它采用了相反的方法，用于构建非对称的流矩阵，如方程2.62：
由于不对称性可正亦可负，将常量化更加困难，虽然这种差异更应被视为方向差异，而不是绝对差异。因此我们可以常量化方程2.62，形成权重而不是概率，得到方程2.63：
现在起点地区和终点地区坐标不同，由与方程2.7相同形式的位移生成，我们可将其写作方程2.64：
对于终点地区可写作方程2.65：
在大伦敦地区流量矩阵中我们计算了起点和终点的向量的不对称性，这些分别呈现在图2.9b和2.9c中。起点的梯度是背向中心的，然而终点的却是指向中心的，正如我们对此类单中心城市系统的预期。
图2.9 （a）定向的对称流（b）从起点处不对称的流（c）从终点处不对称的流
值得注意的是托布勒（1981）的非对称流动的具体模型，他认为应该用传统的对称的重力模型方程2.13进行建模。将流Tij模拟为：
如果模型是准确的，那么就没有不对称，那么=0。如果我们对j区的方程2.66求和，那么我们得到方程2.67：
现在，正如我们所预料的那样，这种势能可能不等于另一个其他的考虑到起点和终点或者在起点和终点的净差额，Δi不等于零。将起点和终点的对称吸引点记为Ai和Aj，托布勒认为可以将方程2.66近似为一个新的方程：
如果我们对方程2.68求和，代入j或i，我们可以写出净差额的方程2.69。
也有可能从净差来求解吸引点Ai然后去划分这些吸引点并且去检查它们的梯度。这是一个比我们这里的解释说明更为正式的互动风的概念扩展。但是总的来说，这可能更近似一种方向向量，我们可以通过使用方程2.69的答案计算出图2.3和2.9中的数据。虽然在这一章我们没有校准我们的数据模型，如果进行校准的话（详见第9章），我们将能够基于本章展示的大量模型变量对流进行预测并生成方向向量。
2.3.4 从流到网络
流是区位之上活动所依存的原材料，基于这一理解，在城市中，流反映了能量和信息如何被分配以维持城市肌理的运作。我们在本章已经阐述了空间互动理论，这也是最完善的如何将流应用于城市的理论。这一理论探讨的是流如何跨越空间，以及如何跨越时间以形成。由于流的形成需要时间，流经常被用来体现变化的动态。但是我们这里的关注点主要在空间，到目前为止，对于诸如贸易和迁徙模型等可能涉及时间的流，我们对动态的关注都是间接的而不是直接的。
我们的研究一直需要正视一个现实，很难用清晰明了的方式来描绘流和网络。绘制流和网络经常会陷入杂乱。最糟糕的情况是直接掩盖了有意义的模式，而最好的情况就是保持含糊不清，即使对于最具创新力的视觉呈现方式来说也是这样。事实上，比较受青睐的做法是把流表现为某种平均，或是通过对互动聚集赋予恰当权重计算出的区位属性。还有很多其他方法也正在被探索。例如，伍德、戴克斯和斯林斯比（Wood、Dykes and Slingsby，2010）喜爱树图，将众多互动压缩为能够嵌套在原始地图上的乘数，而蕾伊（Rae，2009）偏爱用流的聚合来得出地点间的差异，让用户从这些数据集合中插入有意义的信息。网络理论研究领域提出了一些用以描绘流和网络的独特图解方法，我们将在下一章节介绍其中一部分。然而除此之外，进展非常缓慢。当流被加入网络中，描述方法通常都十分笨拙了。当然，我们也看到可视化领域正在不断进步。在接下来的章节中，我们会使用这些方法。
在下一章，我们将稍稍改变我们的视角，暂且忘记流，转而考察流始终占据的网络。在某种意义上，这种分离是科学发展的必然要求。迄今为止，流和网络理论的任何融合都是通过将流表达为图纸上曲线的重量来实现的。实际上，我们对如何将网络嵌入空间交互流理论的关注有着明显的不足，这在很大程度上是因为对流的表述与对网络的表述相比有点过于抽象。例如，尽管需求线能够被嵌入欧几里得空间，但在绘制、生成或建模时都无法体现，只有诸如交通规划进行网络分配和模拟等过程中才具有物质表现形式。
接着，我们将网络放在一边，首先去验证关于连接和关系的更具一般性的问题，这定义了城市中的不同元素如何相互关联。实际上，这方面的探究十分稀少，作为关系分析的具体案例，我们将陈述更多的多变量和格局分析，将问题聚焦在如何定义这些关系以说明构成城市的各种元素如何彼此关联。这也许明确地表现了流和网络的特征，也许没有，但通过这种发展科学的方法，我们将更多关注到连接和相关关系、通信和协调的概念，而不仅局限于网络本身，在发展了这种方法之后，我们才去介绍网络。在这一目标实现之后，我们才能够说如何用这些基本工具和方法来拆解城市功能，并对其结构和动态产生更加深刻的理解。
入度（in-degree）和出度（out-degree）是图论中的术语，一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数；出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。——译者注
