连接和相关：网络科学
我们现在所处的时代，是一个连接的时代，如果想要理解它，我们必须首先理解怎样科学地描述它，也就是说，我们需要关于网络的科学。
——邓肯·瓦茨（Duncan Watts），《六度：连接时代的科学》（2002，第14页）
流和网络是一枚硬币的两个面，离开一方，另一方也不可能存在。我们需要谨慎地理解这一说法的含义，就如何表现和模拟城市中的连接和互动而言，这两者代表了完全不同的观点。简而言之，流和网络都有各自独特的结构。在上一章中，我们假设流可以在任意两个位置之间存在，然而对于网络来说，这种情况很少见，很大程度上是因为它们在城市中的空间模式，意味着某种在物理空间上的嵌入。流的结构很大程度上取决于它们在空间位置上怎样构成活动，而网络结构则更多取决于空间位置之间如何连接（或没有连接），而不是取决于构成起点和终点的节点的大小。我们将从上一章停止的点开始，首先阐明流可以怎样通过网络来巩固，接着我们将改变描述方式，并介绍不同的结构测度方法。这将展示一系列方法，用于表现组成城市的基础对象之间的关系。这里，我们会尝试建立关于关系和连接的一个通用方法，这些关系和连接让我们可以在城市对象或组成部分之间建立不同的网络，同时，我们也会定义这些方法的不同类型。
本书中，我们将城市定义为元素或成分，我们认为这些元素或成分是不可再分对象，用于组成城市结构，并且具有构成城市功能的一些行为特征。这些对象有些时候指的是一些“代理人”，大多数情况下，我们会把这些对象看作位置、活动类型、个体或一定数量的人群，所有这些对象都具有一定的意义。这些对象会有一些与其他对象互相区分的属性，同时有联系或连接存在于对象之间形成流或网络，这些流或网络往往与这些对象的多个属性相关。流和网络可以植根于物理空间，作为位置之间的相互作用或交易的集合，或者作为不同节点之间的联系，通过二维图往往可以画出它们的关联网络。或者它们还可以更抽象，直接基于社会空间而不是欧几里得空间，通过它们之间的拓扑学关系来表现。关系可以存在于单组对象之中，如简单图示，或存在于两组不同的对象之间，如二部图，存在于三组或以上对象之间的、更高级别的关系往往被归纳为按顺序方式连接的两组不同对象之间的网络。所有这些概念都将在本章中得到阐述。此外，我们将关系或连接作为理解城市的一个重要的基本原则，本章集中讨论的网络正是基于这一前提。
我们将从类似上一章中描述过的流系统开始，介绍这些流系统如何天然具有网络性（Lambiotte et al.，2011）。然后我们将论证这类流系统可以通过关系和关联方面的概念来更好地理解，同时，这也可以为我们提供一个构建网络的思维方法，而不是简单地把这些流系统作为独立存在的个体。当然，它们确实是独立存在的个体，我们也有很多案例是从这个假设出发的，但我们将从一些关系的集合中构建并推导出网络，这一理念将会为我们研究城市提供一个有力的思考方法。通过引入二部图这一关键概念，我们将根据它们的类型和连通性，来检验这类图表的简单统计数据。这样，我们就可以决定图的进程，尤其是枢纽和节点的确定方法，或者是图（以及流系统）的始点或终点，决定系统要素间连接的流或行动的功能等状态变化的过程。而后，我们将介绍如何用二维图来表达城市结构，并从中归纳出拓扑图。这绝不是想要构建关于网络的详尽论述，因为我们将会挑选出我们需要的部分，用于推导出我们的论点。我们鼓励读者更广泛地了解网络科学这一领域，这是此处所提出的观点的基本背景（Newman，2010），但我们并不会过多涉及这一领域。欢迎加入得到书社，微.信:whair004.罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享
3.1 从流到网络
我们从起点i和终点j之间的流矩阵Tij开始，这一矩阵记录了两点之间的移动，如果用二维图来记录的话，这一矩阵可能被嵌入二维欧几里得空间中。让我们暂时不考虑空间，把这些起点和终点当成我们感兴趣的对象，比如个体、群体或者活动，这些对象可能是基于空间的，但很多时候并不是这样。正如我们在图2.1中把这些移动作为期望线画出来，我们在这里也用同样的方式将它们表示出来，但不标示它们在空间中的位置。我们将按照通常的表达方式，用特定的圆形网状图来表达流和网络连接，用圆上的点来表示枢纽或节点——起点和终点。然而，这种表达方式只有在起点和终点同属一类对象时才能采用，当它们不属于同类对象时，我们需要用二部图来表达。这一点我们将会在稍后进行讨论，现在我们讨论图3.1，基于图2.1中不同阈值的上班行程数据，我们画出了伦敦33个行政区之间的流。
实际上，我们画出了对称流，因为当节点超过10个的时候，很难用图形方法来表达网络中Tij和Tji之间的直接流。坦率地说，大多数网络，无论规模多大，在可能的情况下，都很难被梳理成看起来符合实际的关系图，因此，尽管我们以圆的形式来构建流图在某种程度上有点武断，但在缺乏非常明确的分级或聚类的情况下，我们仍然将以这种方式来表达流。因而图3.1是基于对称流Sij
这组图显示，当我们选择不同的阈值，流图发生很大变化。图3.1a表达的是完整的流矩阵；在图3.1b中我们仅画出连通性超过11 000的流，以表达所谓的强连接矩阵；而在图3.1c中表示的无连接矩阵中，在选择阈值时我们让节点之间完全断开，以形成两个或两个以上的独立系统。我们仍然是在分析流系统，但构成这些流的二元图（binary graphs）仅仅是节点之间连接的布局，我们在图3.1中的每种流图形的右边将这些二元图展示出来。因为这个矩阵是对称的，这些图不具有方向性。如果我们画出每一条单独的流，那么形成的图就具有方向性，我们将之称为有向图（digraph）。在本书的后续部分中我们将会用到这种图。
图3.1 不同流阈的流、连接和网络
图3.1中的三组图分别展示了完全连接、强连接和无连接情况（Harary、Norman and Cartwright，1965）。在完全连接图中，从一个起点或终点发出的每个流都会直接到达其他每一个节点。在强连接图中，这样的流直接或间接地到达每个起点或终点，间接到达即通过中间节点到达。而在无连接图中，至少有一个从某个节点发出的流没有到达另一个节点，实际上将该图分为两个或更多的子图。这里有另外一种类型我们需要注意，称为弱连接图。这种类型的图中，每个节点都和其他节点相连，但任意两个节点之间都不可能找到直接路径。因此，弱连接图相比强连接来说连接要弱，但在我们引入的大多数模型中，我们的关注点会在对称和强连接的系统上，主要是因为这类科学处在初级阶段，并且在节点之间的连接方向上很难做到精确。
从我们的例子中，我们可以通过设定流的阈值来展示一个弱连接的系统。这是基于试错法，图3.2就是一个例子。该图十分稀疏，图中的箭头表示方向。我们把阈值设定在最大直接流的38%左右，此时所有节点仍然是系统的组成部分，但穿过整个图的路径数量很少。实际上，这是这个流系统高度不对称的间接证据。正如我们将看到的，这类流系统很少被作为图检验，因此对应了流和网络之间的分离，这一点我们会在继续阐释这一科学的过程中尝试解决。
图3.2 直接流和表示弱连接系统的图
我们关注的是把连接作为一种看待移动和互动的通用方法，这一关注点会直接引出一个问题：我们所检验的各类结构是怎样连接的。正如我们将会看到的，这类方法有很多，但我们值得通过一个集聚指标来考察，在密度降低时流系统及其图形会如何变化。最简单的方法就是计算图中存在的连接数量，并计算该数值与所有可能连接的比例。让我们定义一个一般图形G（N，g），其中节点为N，连接数为g。这与它相关的流系统T是相反的，流系统T中当节点（或起点）i到节点（或终点）j之间有流Tij时，gij才存在。如果我们将流阈值设定为Ψ，那么我们可以将图形中的二元关系定义为
在这种特定的方法中，我们不把自流Tii考虑在内；因此gii=0，∀i。连接的最大总数是所有节点之间其他可能的连接数，这取决于节点数量N。这种方法中的C（Ψ）的取值为0到1之间，当所有节点之间都存在连接时，C（Ψ）=1，这种情况如图3.1a所示的流矩阵，当系统中不存在流或整个系统完全无连接时，C（Ψ）=0，也就是说没有一个节点与其他任意一个节点有联系的简单情形。
这是非常简单的，但它提供了与网络进化相关的直接结构性结果，而且实际上它也与网络动力学相关（Watts，2002）。如果我们逐渐加大流的阈值Ψ，连通性会逐渐减少，由于底图组成系统的连接越来越少。我们可以识别出来系统从强变弱直到变成无连接的模式的那个临界点，这种情况下流的路径可能会有点出人意料。我们将用两种方法来分析伦敦数据，首先从完全连接图的所有连接都是正数时开始——即C（Ψ）=1时——然后按照从流量最小且只存在一条流的情况开始到流量最大的顺序，一条一条地减少流。我们在图3.1中的对称流矩阵中做了这样的处理，在图3.3中我们展示了这些方法中的两种。首先，我们简单地记录作为相连结构的一部分的剩余节点数n（Ψ）≤N，即强连接或弱连接的情况，然后我们会马上看到，当连接逐渐被去掉的很长一段时间里，系统仍然保持强连接，而后突然变成无连接。这里我们不用这种方法，但是当我们追踪成果图中的最短路径时，这些路径在无连接结构中的距离是无穷大，但会突然变为有限距离，然后迅速汇集到一个相对稳定的值。一旦超过这个阈值，简单地增加更多的连接并不会显著减少这些路径的长度。这是一个阶段转变的例子，在这一过程中系统迅速从无连接转变为有连接。我们在其他情况下检验了这个问题，但这种情况主要取决于网络的结构（Batty，2005）。更通常的情况下，不是用减少连接的方式来证明，而是逐渐在一个系统中增加连接，逐步增加到那个让系统突然变为连接系统的那个点，这个点是一个关键阈值，许多在无连接系统中不可能的活动和移动在这里成为可能。在某种意义上，这种类型的转变是一个简单的模型，模拟了城市如何从突然认识到规模经济效应的不连接组团开始发展的过程。图3.3实际上展示了伦敦案例的这一转变，尽管这一模型并不反映大城市地区的流系统实际发展。
图3.3 从完全连接到无连接的转变
3.2 观察和预测网络结构
到目前为止我们对流的分析很大程度上是从测量和观察活动的角度来进行的，如出行、移民、信息流等。例如伦敦上班行程矩阵，是从全面人口普查记录中观察到的流中提取出来的，尽管我们用上一章中的引力模型可能预测到这种流模式，但要假设其中所包含的网络不存在。然而，从更一般的意义上来说，当我们检验感兴趣对象之间的连接时，我们也关注基于其他对象或它们的属性会如何解释这种连接。如何提取连接及其模式构成了多变量分析的核心，而且有可能从网络结构方面了解对象之间的关联。我们将在此处探讨这一观点，因为它代表了一种观察网络的间接有力的方法，让我们可以通过改变解释对象间连接如何建立的已有观点，来对网络进行分类。
我们将从定义一个对象或元素集{yi，i=1，2，…，N}开始，以及一个属性集{Xk，k=1，2，…，M}，从中我们注意到每个对象i都与一个属性k通过一系列的连接或联系相关联，可以定义为NxM矩阵{Aik}。我们可以在对象和它们的属性之间生成不同的比较，可以在比较对象的过程中通过比较属性中的共同元素或对共同元素进行计数，或者在比较属性的过程中比较对象。对象可以是位置，那么位置之间的共同元素可以看作流。就位置的属性而言，那些可能是位置特性的属性，共性更可能是这些特性在不同位置之间的比较。让我们假设，不对共同元素进行计数，而是对它们的分布进行比较。我们通过把元素相乘来实现这一比较。首先，我们可以建立矩阵Fij用于对象之间的比较
每个元素Fij是具有属性k的对象i和对象j的分布的被乘数。从方程3.4中我们可以看出该矩阵是对称的；即Fij=Fji；这意味着边缘、行和列的总和相等：
对于相同位置的属性可以进行一个相似但相反的比较，通过建立属性比较矩阵Hkℓ
同样是对称的，且行与列的总和相等。总体理念是在这些连接、网络中进行上述可以提取或生成的比较，我们会在后续章节中广泛地用到这些概念。这里我们不对矩阵符号进行介绍，但稍后我们会在更详细介绍这些概念的时候提到。
这种类型的比较有两种变体。一是考虑到数值大小，乘法比较可能需要通过某种方式标准化，我们马上会讲到这点。但对于关系矩阵{Aik}来说，我们有可能将其分割成整数或二进制形式再进行比较，这也可以看作标准化的一种形式。一旦成功，我们也可以用同样的方式对矩阵{Fij}分割，然后就可以通过不同的图形分析来寻找与这类连接相关的模式和步骤。替换矩阵{Hkℓ}也可以同样处理，这样我们就可以得到大量可用于流和网络分析的可能结构。
基于这种方法，最粗浅的比较是计算对象和它们的属性之间的不同相互关系。为了描绘任意两个对象i和j的属性分布的关系ρij，也称为皮尔森积差相关（Pearson product-moment correlation），我们从相应观察中减去平均值和，建立每个对象的协方差，然后除以各自标准差。其形式为
这比方程3.4中的通用形式更好，可以被分割并形成多种多样不同的流系统或网络。当然，相关系数在-1到+1之间，而且如果除了强度以外不需要其他关联标志，那么系数可以取平方值ρi2j（尽管这会造成变化幅度方面的不同解释）。也存在其他形式的相关关系，但我们在这里只强调，很多从数据提取模式和结构的多变量分析往往可以用网络来解释。在这些情况下，我们的方法简单而有效。下面我们将要开始探索二部图，其中基础的对象起点属性矩阵实际上是与这一图形相关的流矩阵，从而向这些关系赋予实质性内容。
3.3 二部图：生成流图和它们的对偶图
二部图基于任意两个对象集之间的联系，或是对象与其他对象区分开来的本质属性。有时，在二部图的双模系统中，对象和属性指的是“模式”（Borgatti and Everett，1977）。在不加权的情况下，它们是从流矩阵中提取出来的，一般是具有NxM形式的关系矩阵{Aik}。严格来说，这类关系不是空间互动模式中的移动所构成的那种流，但可以方便地把它们当作存在于等价图形中，我们称之为Γik。我们可以在不失去二元图的普遍性的情况下，用数值Ψ阈值化矩阵{Γik}，类似我们对流矩阵{Tij}在方程3.2中所用的方法。那么
正如我们通过区分对象i或属性k的联系或不同来建立流矩阵一样，我们可以在这些数集之间建立高层级的流矩阵（从双模式减到单模式）。在对象的属性之间做比较的话，加权图Θij为
那么其对偶为
实际上，虽然Θij和Φkℓ是从二元二部图中建立起来的，但它们并不是二部图，如果再一次将它们阈值化，可以简化为以下形式：
其中合适的分割值为大于零的集。
这些流和二元二部系统在很多类的问题中出现，最早的应用可以追溯到70年前（Davis、Gardner and Gardner，1941）。在后续的章节中，我们将广泛地将它们用于对街道系统中的片段和交叉点进行表现和模型化，从而与空间句法联系起来（Hillier and Hanson，1984）。我们同样会把它们用于表达行动者之间的社会网络，这些行动者参与城市设计中有关冲突解决的问题，我们将在本书的第三篇着重介绍。它们用于在“Q分析法”（Atkin，1974）中表达和分析社会关系，也用在科尔曼（1973）的社会交换理论中。在网络科学里，瓦特（Watts，2002）把这种二部表达称为从属网络。然而，在这里说明它们的用途，我们要考虑基于空间互动流系统的网络，基于空间互动的流系统是我们上一章的重点，构成我们前面的案例。这类在起点和终点之间的互动矩阵可以看作单部图，但严格来说，它们是二部的，因为起点和终点是不同的对象集。
为了展示它们的用途，我们从大伦敦流数据集中选择了五个就业区作为起点，七个居住区作为终点。起点是大型内城就业区，终点的居住区也是另外两个内城区域。它们的具体位置在哪对于我们的观点无足轻重，但流矩阵{Aik}是由{Tij}的子集组成的到底意味着什么对于我们是有价值的。这个矩阵中的行是由流形成的，此处的流指的是从就业区到居住区的出行，接下来如果我们从通过终点的分布情况来建立每对起始点的关联或联系，那么方程3.4中的矩阵{Fij}就是衡量任意两个就业起点区在生成前往居住区的行程方面的相似程度的方法。正如方程3.8，把这个流矩阵的二部形式通过它的等价阈值转换为二元形式是很有用的。我们将其展示在图3.4中；我们没有在图中画出任何连接的箭头，但很明显的是，其隐含的二部图是有向的。如果这个矩阵中的两行是一样的，那么会出现相关系数等于1的情况。同样，如果我们比较任意两个终点的出行是怎样流向它们起点的，那么方程3.6中的对偶矩阵{Hkℓ}则是比较任意两个终点流向不同就业区的行程的相似度。这样，第一个矩阵衡量了就业区的相互关联程度，第二个则衡量了居住区的关联程度，但两者都是通过与对方的关系来衡量。如果每一个始点到它的终点的行程的分布形式都一样，那么这两个矩阵都会呈现相关系数等于1的情况。
现在我们可以方便地展示如何建立流矩阵和它的对偶矩阵。我们用了方程3.4和3.6来计算，而不是用已经分割过的方程3.9和3.10。我们在图3.5a和3.5b（二部图中将流简化为线条表达）中展示了这两个矩阵。结果表明，如果我们对图3.5a中从起点到终点而后回到起点的流进行计数或者比较，对图3.5b反过来进行同样的操作，那么这些关系是对称的。实际上，当我们通过方程3.7计算关系矩阵，求得{ρ2ij}及其对偶等价值{ρ2kℓ}，这些都为这一对称性提供了显而易见的案例，见图3.6a和3.6b。它们提供了对这种模式进行分析和后续解释的基准，但需要注意的是它们关注的是互动模式，而不是简单的区位模式。
图3.4 二部流图及其等价二元图
图3.5 连接二部图
图3.6 基于起点的关系流图（a）及其基于终点的对偶图（b）
实际上，很少有从这些方面来对城市互动进行的分析，为了展现我们的分析方法，现在我们将用伦敦的全部33个行政区（自治市）来检验整个行程矩阵{Tij}。为了进行这些比较，我们将计算基本二部流矩阵{Aik}内的元素之间的相对平方差，流矩阵{Aik}实际上是原始的行程矩阵，现在关注的是那些对象类型与终点十分不同的起点。考虑到两个从不同的起点（或终点）开始的大值之间的对比会比大值与小值之间的对比更加相似，我们并没有对这些平方差进行标准化。当然，其分布同样用这些平方差来解释，我们可以为起点和终点把平方差定义为
这些关系量度本质上是一个对象与另一个对象的不同程度的相异指数。它们太凌乱而不能像流图一样图形化表达，但我们可以把对象聚集起来，逐渐放松相似度，并在分类中增加更多的对象。图3.7a中的树图或系统树图用于展示不同的起点与其他起点之间的接近程度，图3.7b则展示了终点的接近程度。实际上，构成每个系统定义的聚类，它们的起点和终点都十分相似，这表明区位是一个重要的结构特征，决定了人们如何去工作以及如何从工作地点离开。虽然地理邻近的地区看起来集聚，但从因果分析角度来说，有相似的人口统计学特征的地区之间更接近。其实，这些组合方式显示的是，如果你在一个与其他地方相似的地方工作，那么这些地方与你居住的地方也会是相似的。这是一个复杂的问题，我们需要对空间互动系统是如何组织的，以及可能产生什么样的影响进行大量的思考。
图3.7 （a）起点基于终点流和（b）终点基于起点流之间的层级集聚差异
3.4 连通性、聚类和小世界
我们用于描述流和网络的许多工具和模型对于两种系统都适用，但流系统常常在结构上比网络更加同质化，因此我们在这部分介绍的大多数结构测度方法都是基于图形。简而言之，图形结构与连接的存在与否相关，尽管在很多流系统中，每一个连接都伴随着很多流，就像我们在上述例子中展示的那样。在某种程度上这也是一个比例问题，但我们将使用的方法关注的是连通性和聚类，只有当节点之间的可能连接的某个子集存在的时候这个方法才有意义。除了结构方法以外，网络科学最近的发展产生了很多关于节点和连接密度的统计学模型，我们将通过一些分析和统计分布，来完成我们关于结构方法的简单调查。
我们对图形的构成元素还没有下过严格的定义，很大程度上是因为这些术语会随着极少数强烈的惯例而改变。节点、枢纽、顶点都是用来定义图的元素或基本组成部分，连接、弧或边都可以用来描述元素间的联系。我们将在定义为G（N，g）的图形中使用节点和连接，其中N是节点的数量，gij是节点（或起点）i和节点（或终点）j之间的一条普通的连接。这与我们之前非正式的论述是一致的。我们已经定义了一个基本方法，将方程3.3的图的连通性定义为C（Ψ），即大于阈值Ψ的正二元连接与所有可能连接数的比例，如果可能的话，自连不计算在内。当然，这个方法可以归纳后用于不同的子图，而且在某种意义上，图中不同聚类的任意分区，都适用该连通性。最容易理解的包含节点的结构方法，是根据它们的度来定义的。一个节点的入度dj指的是前往该节点的连接数，定义为
而出度di则是以该节点为起点的连接数
这些是计算节点密度的方法，它与连通性的关系为：
其取值为0到1。很容易可以看出，平均密度（或平均入度）可以计算为NC（Ψ），取值为1到N-1之间。
图的组成部分可以是一个节点或一组与每个其他节点都相连的节点，因此可以平均为一种超级节点。在一定程度上，当我们把图分解或者构成层级时，我们假设在每个层级上元素都是按照这种方式连接的，尽管它们可能并不是，因为通常会应用相似性标准，而层级是随着节点之间和节点组之间的相似性减少而建立的。在图3.7中，我们的层级实际上是基于完全连接的加权图建立的，这种加权图是具有与连接强度相关的相似性标准的流系统，而不是连接存在与否的情况。这直接为我们引出了适用于细分这个系统的一系列方法。最常见的一种是聚类分析法，其中，一个聚类被定义为基于一个特定节点i的完全连接的子图。对于有向图，我们基于gik计算所有在其附近的连接，因为∀k≠i，同时，我们建立这个数字与所有可能在附近存在的连接的比值。那么，最早由瓦茨和斯托加茨（Watts and Strogatz，1998）定义的聚类系数为
其中，整个图的平均聚类系数可以计算为
注意，C与总体连通性指数C（Ψ）不同，但可能可以预料的是，它们是共变的，因为它们衡量的是类似的连接密度。
图形概念的核心是道路、路径和循环。途径包含一系列不需要区分的节点，然而路径是一个有清晰节点的漫游。循环是一个环形的道路，如果其节点是清晰的，它也有可能是一条路径。实际上，如果每个节点到另一个节点都存在路径的话，不管这个路径是有向的还是无向的，图形或多或少都是连通的。杰克逊（Jackson，2010）为这个领域提供了一个容易理解的导论，他引用了网络科学（Harary、Norman and Cartwright，1965）发展之前更早的概念。图论大部分针对的是图中路径的分析，但在这里，我们运用的主要不是这个，因为在第二篇中，我们关注的是流系统，在第三篇中我们会关注图示进程。然而，在网络科学中一个正在发展的领域通过这些方式研究城市网络，我们将在下面提到。
一个与图形规模的相关概念与任意两个节点之间的平均距离有关；这个特性构成了从规模和连通性的角度来定义不同类型图形的基础。假设每个节点有相邻点d，而每个相邻点与相连的相邻点之间的距离，就像在二元图中一样，为一个单位距离。在这类简图中，计算到达所有相邻点的平均距离十分简单，因为所有的节点所拥有的相邻点数相同，这里的相邻点指的是与任意节点i之间的步距或距离为1、2、3一直到n的点。注意，我们假设n是一个单位距离。那么，1个步距远的范围内有d-1个邻点，2个步距内有d（d-1）个邻点，3个步距为d2（d-1），总的来说，n个步距则有dn-1（d-1）个邻点。当到达一个数量级的时候，邻点的数量到达N~dn，因此我们可以把步距或典型距离计算为n=log（N）/log（d）。假设每个节点有100个相邻点，那么我们可以计算出到达比方说100亿个人的典型步距为5。实际上，这个值是图的直径，如果这是关于世界人口按照相互关系配置的合适模型，那么它直接展示了到达每个人的步距很小，实际上小于所谓的六度分离，这被称为“小世界”（Milgram，1967;Watts，2002）问题的特征。然而，这并不是一个合适的模型，因为人群转变为聚类，因此典型距离可能稍微有点大。
由密集的连通组群构成的图形的另一个极端是随机图。这类图由从总集N中随机选择出来的用于连接不同节点的弧组成，符合每对节点之间不超过一条连接的条件。在这类图中，任意一对节点之间的平均距离与节点数量之间的相关较小，但其聚类系数也小。金芳蓉和陆临渊（Chung and Lu，2002）展示了这类图中的平均单位距离或步长n取决于度分布，但在遵循幂律分布的图中，它可以和log[log（N）]一样小。在聚类图中，聚类系数很大，但平均距离也很大。实际上，许多社会系统呈现相对较小的路径长度和相对较大的聚类系数，反映出随机图和聚类图之间的某些折中。瓦茨和斯托加茨（1998）将这类图称为“小世界”，并且他们在按对数log（N）增长的图中展示了平均距离或步距n。近年来有很多在不同领域拆分许多网络结构的案例，都能够证明小世界（Watts，1999;Newman，2010）的存在。实际上，二维图不包含小世界，因为它们的平面性意味着由于欧几里得空间的特性，连接很少相互交叉，我们稍后会检验二维图，并将之应用在空间网络上。因此它们不能代表密集聚类。
网络科学中很大一部分的关注点不是在图的结构上，至少直接关注结构的很少，但会关注它们的统计特性，统计特性强调的是连接的分布，即起始或前往不同的节点。任意节点有d条连接的概率p是一个二项式，而且如果这个概率值小而节点数量大的话，那么其分布近似于泊松分布（Poisson distribution）。简而言之，很多这种度的分布接近正态分布。另一类网络在一定程度上处于另一个极端，它们之中的节点度呈偏态分布。节点很少但有很多连接，或者是有非常高的度，但是连接数很少。这些网络可以通过偏好依附的过程来建立，用这种方式建立的网络中，丰富的节点会变得更丰富，贫乏的节点则保持贫乏。巴拉巴希和阿尔伯特（Barabasi and Albert，1999）使用过这种方法，尽管在网络方面可以追溯到德索拉·普莱斯（de Solla Price，1965），而在此之前尤尔（Yule，1925）在随机系统方面有过应用。在本书中我们不会过多讨论网络形成的动力，但在第5章中，我们将探索这些网络是如何生成节点度上的偏态分布，并遵循幂律和比例。这会重新应用到第1章中介绍的比例法则，但我们仅在接下来的两章中认真谈论这个问题，首先讨论位置分布，然后讨论网络。
本章中我们将介绍网络的另外两个重要特性。我们首先关注的是进程，网络由进程所定义，然后我们会检验将网络植入空间系统中的方法，展示二维图与空间图的区别。网络进程可能有很多种，但所有进程都包含一个概念，即网络作为散布在节点之间的流的交流手段，是直接连通的。因此，网络可以生成叶栅流（cascading flow），如果节点或边在某些地方损坏了，叶栅流中的中断可以被找到，但进程还可以被定义为，当代理人运用不同的影响度或对其他对象的控制权的时候，进程是用于说明信息或想法或意见是如何被集中在一起的，即节点之间的冲突可以怎样被解决。这引出了反映交易、贸易或交换的互动网络的概念，我们将会在第三篇中详细介绍。在某种意义上，扩散是所有这些进程的核心，但在下一部分中，我们将关注网络中的交流如何实现冲突解决，其中包含作用于图的进程中的稳态或均势。正如我们会看到的，这是街道网络系统集中性的关键点，我们会在第6章和第7章中提到。在网络上把马尔科夫过程应用于意见池的想法，是我们在第三篇构建的概念的核心，第三篇中我们的关注点会转向为关键代理人和参与方是怎样就城市规划达成一致意见建模的方法。
3.5 网络进程：流的动态
3.5.1 定义一个基础的概率进程
我们将首先定义条件概率pij，即单部图或流矩阵Fij中，一个对象从i到j的移动概率为
我们在这里假设该矩阵是强连接的，即不论是有向的还是无向的，每个始点都可能到达每一个终点，反之亦然。因此，这是一个跃迁矩阵，我们可以用它来展示对象在系统内始点和终点的公共集之间可能怎样移动。设想一个流元素或一个单途径oi（t=1），我们将之定义为oi=[0，0，0，…，1，0，…，0]，即该途径在状态为i的情况下从t=1开始的概率是1。那么该途径在t=2时，在任意终点j结束的概率则基于跃迁概率方程，
当t=3的时候，我们可以重复这一过程，则得到
把它改写为矩阵方程会更简单，当P是NxN跃迁矩阵的概率时，则o（t）是途径处于状态i时的一个1xN的概率向量。方程3.20可以被写为
其中包含了递推关系
现在，对于一个强连接的跃迁矩阵来说，将之收敛为一个稳态矩阵，
这个矩阵中每行都是相同的。把方程3.23用于方程3.22，可以很容易地看出稳态向量o为途径进入每个状态的概率赋值
这是一个典型的一阶马尔科夫链，我们将在后续章节中更详细地探讨它。它是一个优秀而又简单的进程模型，用于表达图或网络中扩散的动态变化，而且它有很多应用。如果我们把它当作一个单一限制的空间互动进程，那么第一次迭代是基本引力模型，可以写为
如果我们通过Oi（t+1）=Di（t+1）继续迭代，那么它可以被看作一个移民进程，或作为搜索未知空间的过程。然而，本书中这个模型主要应用于社会和政治网络，而不是用于空间网络，我们在做更多的应用时需要记住这一点。这样，这个进程是通用的。
3.5.2 前进、后退和可逆进程
我们已经说明了不对称流矩阵Fij或强连接的二元等价矩阵的模型，这个模型可以是流的直接说明，也可以作为二部图的乘积，正如方程3.4或3.6。如果我们使用一个基础对称引力模型，如第2章中的方程2.9和2.13，或一个二部流矩阵或二部图的乘积（或它的对偶），那么{Fij}是对称的；即Fij=Fji。这对马尔科夫链有很重要的影响。这一对称性还反映在任意节点的入度和出度相等上，即si=sj，i=j，这里，我们把这些度定义为
这些对称网络上可以定义两个进程，我们可能可以随意地将它们称为前进进程和后退进程。前进进程包含跃迁矩阵pij，我们可以将之再次定义为
这个方程在方程3.24中有稳态等式，可以写为
通过代换，很容易可以看出这些权重或概率与入度和出度成比例关系；即
这是一个简单但非常重要的结果，我们将在后续章节中着重应用它，因为它说明了这类对称是均势的一种形式。在这种情况下，一个节点的度直接反映在对象、活动或行动者的重要程度上。在后续章节中，我们将更多地讨论这一进程，以及它怎样按照其特征值写成方程，这实际上反映了收敛至稳态的过程以及最终的概率权重。
后退进程包含了一个均值，我们对它的定义如下。假设，从一个向量开始，正值cj（t）位于时间t，然后我们可以在节点i连接的每一条连接之上，建立这些值的均值为
我们可以通过时间来研究这一进程，但只需要展示整个进程收敛到一个极限或共识或平均值c=ci，∀i（强连接对称矩阵），为
这可以很容易地通过对方程3.30进行递归来证明，需要注意的是生成的矩阵收敛为随机矩阵Z，而且该矩阵的所有行都等于o，正如我们在方程3.28与3.29中展示的，o与每个节点的入度或出度成比例。
前进进程本质上是一个随机途径，后退进程是均值或共识生成进程，这两个进程代表了不同的系统和它们的应用，我们将在后续章节中探讨它们的应用。然而，同样值得注意的是方程3.28中定义的稳态下的跃迁概率确定了一个可逆进程或可逆马尔科夫链，可以写为
这一方程直接由Fij的对称性生成。这意味着定义在出度上的进程和定义在入度上的进程是相同的。如果我们把相反进程写为
其中跃迁矩阵qij定义为
那么显然可以看出，这与定义在跃迁矩阵{pij}上的进程完全相同，因为本质上入度与出度是相同的，当用以定义关注系统节点或元素的进程时，这是对称性的关键要求。
3.5.3 相关对称结构
我们的基本结构是一个对称矩阵{Fij}，我们将之定义为“默认对称”。假设这个矩阵不是单位矩阵，那么它的元素会显示一部分结构，其中节点及其连接与其他节点相互关联。如果这个矩阵是单位矩阵，那么没有节点与任意其他节点相关。这个默认对称也可以通过一些节点的属性信息{zi}扩充，即
初始矩阵的对称性显然通过以下方程保持
由于{zi}和{Fij}的对称性，方程3.36右侧的求和被互相调换。注意到作为相同默认类别的一部分，我们可以用其他保证该矩阵正定的功能，比如ziβ，以这种方式从ziβFijzjβ或诸如此类的形式建立Qij。
然而，在一个更基础的对称结构中——这里我们指的是“元素对称”——节点之间不是通过它们的互动而相关，而其中的这些互动是由关于节点的一些对称信息形成的，即通过节点{xi}属性的独立乘积形成的。那么
其中矩阵很清晰地被分割为节点元素，如
这个矩阵的结构取决于入度和出度的乘积，这等同于说明了从任意入度或出度开始的任意随机途径，生成的一阶访问概率与节点访问的入度和出度成比例（Lambiotte et al.，2011）。
还有被定义为“生成对称”的第三结构，通过在一个不对称网络{Wij}中分别对入度和出度应用节点信息而建立起来，分别由{xi}和{yj}定义。因而，这个对称矩阵被定义为
方程3.39提供了另一种探索网络系统对称性的方法，而且它与我们在上一章中介绍的一些概念有强烈的共鸣，这些概念中我们关注的是当从某些对称基线出发时，空间在流系统中如何被扭曲。实际上，空间流和网络系统中的对称基线概念是一个有力的概念，这个概念中关注的是城市空间可能扭曲位置和相互作用的方法。这样，接下来我们关注的就是，当这样的对称结构被作为空间行为发生的背景画布时产生的剩余误差。在整本书中，我们都将秉持这个通用概念。
近来网络科学领域开始讨论这类结构，而有一些类似的概念在此之前就存在。在20世纪50年代中期，研究心理测量和社会测量传统的弗兰奇（French，1956）建立了一个共识模型，本质上是基于平均化过程建立的，即我们在上述方程3.30中称为后退进程的过程。哈拉里（Harary，1959）探索了同一个模型，但他把这个模型放在马尔科夫框架中，也许是无意的，把前进进程模型也包含在其中。我们将这个模型来生成平均图，以反映规划编制过程中不同行动者之间冲突的价值观和意见，从而将规划与共识建构联系在一起（Batty，1974a）。本书的第三篇中深入探讨了这个问题，在第三篇中我们将这个问题扩展到一个完全成熟的决策模型（Batty，1984）中，引入德格鲁特（de Groot，1974）和其他人比如凯利（Kelly，1981）的观点。最近，杰克逊（Jackson，2010）在一个相似的网络背景下回顾了德格鲁特模型。他说：“德格鲁特模型是简单并且易处理的，而且有一些优良的特性，让它成为实证和规范两方面特性的有效基准。”他继而建议，“每个代理人对最终共识的影响取决于网络结构……代理人赋予其每个朋友相同的权重，代理人的影响力与他或她的度成比例”。正如兰伯特等人（Lambiotte et al.，2011）提到的，社会学传统中的向后模型有很多其他的延伸（比如，见Hegselmann and Krause，2002），尽管其中大部分与基础模型相差不大。我们会在第三篇中再次提到相关的大量文献研究。
3.5.4 空间网络和二维图
本书中我们并不是简单地关注存在于欧几里得空间中的网络或图形，而是关注具有不同的空间嵌入度的关系集。有些网络的节点是固定在特定地点上的，但它们的连接并不固定，比如航线、无线电，而与视线相关的网络，一直到社会网络，它们的节点和连接可能在持续地移动，而且肯定不与空间上的固定点有关。然而，所有我们将要分析的网络都有一些空间联系在其中，它们往往与城市和物质规划相关。本节我们将集中关注最严格的空间网络，其节点和连接都嵌入在空间中，比如街道网络。毫无例外的是，这些网络都从属于承载着我们在第2章介绍的那类流的基础设施，但是需要注意的是我们分析这些网络的方法，我们倾向于假设尽管它们的节点是固定的，它们的连接是抽象于其真实物质空间之外的。在某种程度上，这是我们处理这些系统的一种方法，而不属于它们在二维（或三维）空间中的真实运行。
