实际上，我们将在这里提到的图或网络被称为“平面”，在不损失普遍性的情况下，我们将假定这种图是无向的。非正式地，这些图中的任意连接之间都没有焦点，是我们把它们表达在二维空间里。更正式地说，存在一个守恒规则表明，在这种图中的节点数量N减去边数E加上面数F等于2，所谓的面指的是由边围合起来的区域，即
最简单的二维图是树图，树图中没有面，简简单单由一串没有成环的边缘组成。更复杂的二维图是一系列节点的三元组（triple），即每个三元组gijgjkgki=1中有一个连通的组成部分。现在想象一张图，从两个节点gi和gj及它们俩之间的连接gij=1开始，然后建立另一个节点gk和新的连接gik=1和gjk=1，完成一个三元组。我们接着增加另一个节点gℓ，并将它与现有节点中的两个相连，以使连接不相交。这样，我们可以想象这个图按照一系列三元组扩展，建立一个六角蜂窝状的结构。很直观地可以看出，如果当gij=1时，我们把从一个节点到另一个节点的距离当作dij=1，那么这个图每次增加一个新节点，其增长的距离不会超过两个单位距离。即，图中的总距离D（N）可以定义为：
那么很明显，图中的平均距离收敛为一个常量，而每个节点的入度（或出度）的平均数同样也收敛为N→∞。这些结果适用于其他种类的二维图，可以看出每个节点的平均入度的最大值小于等于6，同时其度分布更像一个随机图；即图中没有幂律度分布，也不太可能出现大型枢纽（Barthelemy，2010）。
这适用于类似街道的网络，这种网络中很少出现超过6条或7条连接进入或离开的节点。当然，在网格模式中连接数平均为4，而且大多数街道网络的合理入度的范围可能遵循左偏态分布，其均值大约为4。对于轻轨网络和重轨网络来说，入度平均数更小；实际上，对于在世界城市中的一系列地铁系统来说，在它们的环线内，密集核心区的平均入度的阶为2.5（Roth、Kang、Batty and Barthelemy，2012）。实际上，在所有此类网络中，平面性倾向于理想化的结果，因为道路有时候并不相交而是通过隧道和桥跨越，铁路网络就是个明显的例子。甚至公共事业网络也按照这种方式相交，也许更甚，因为它们的选址比供给人和货物移动的网络更加灵活。对于信息网络来说，到目前为止我们对它的形态甚至拓扑结构都还没能形成清晰的认识，但如果我们能够把它们在二维空间上画出来，很可能发现大量的交叉。此外，与通过优先选择生成的、遵循幂律度分布的网络相比，这种平面的网络聚类更小也更少见。
图3.8展示了一个在伦敦内城中心区的密集街道网络，该图是一个6英里见方的街区（总共36平方英里，大约93平方千米）。我们简单地用节点来代表每个街道交口，用节点之间的连接来代表街道片段，从中我们注意到图中的二维图形有几个关键属性。原始图是有向的，由各个位置上的单向街道组成，有很多尽端节点，以及在交通灯、交叉口等位置分隔街道片段的节点。实际上，真实的网络表现远远超出一个纯粹的二维图，但因为我们的兴趣只在任意两个节点之间是否存在连接之上，我们不考虑方向。使用这些简化手段，N=22 260个节点中大约有52 448个连接或边缘。通过方程3.3的计算，其平均连通性很低，只有0.000106，这表明平均度（注意本图是对称的，入度和出度相等） NC（Ψ）=2.356。这个度分布非常简单，最大连接数为6，其中一个节点有1到6条连接的分布为[4，615，6，313，10，130，1，194，7，1]。
图中的总距离是边e的数量，由方程3.41可以计算出D=52 448。如果我们用图本身来计算它的实际距离，那么总距离是3 179千米，我们可以计算每段街道的真实平均距离为63米。与任意节点相关的平均距离，即到该节点最近邻点的距离除以所有这类距离的总数，为143米。在图3.9中，节点是任意排列的，我们把与每个节点相关的累计距离画为节点数量的增加（需要被连接的节点），可以看出这个距离与节点数成简单的线性比例增长，与节点所处的区域也呈线性关系。这个网络的最后一个值得注意的特性，是在图3.8中我们用粗线表示的最小生成树。该图表现了一个没有任何自环的二维图，所有节点都是相连的。因此这是个树图，而且它表现了穿越全图的更小的总距离（即到达每个节点）。当然，它并不是一个在伦敦这么密集的区域投递材料到每一个节点的高效系统，但如果材料必须从这些节点中的一个投递到另一个的话，它可能是一个高效的系统，正如我们对整个城市形态学的分析所能看出来的，我们将会在下文讨论。
图3.8 伦敦中心街道二维图，图中最小生成树（图中最多）为黑线
图3.9 二维图中的累计距离
作为对二维图分析的总结，我们用相同的方法分析了大伦敦区域内的网络。图3.10a、3.10b和3.10c分别展示了这一网络大致按照容量，被分解为三个重要性层级，在3.10d中叠加了地铁和地面轨道网络。表3.1中列出了这些网络的不同测量值，可以清晰地看出道路指数明显聚集，但两种轨道网络与其他网络的区别很明显，在这类网络中树图更加适用。这些轨道网络的节点之间的平均距离远大于道路网络，而且它们的连通度更高，片段数量与可能的片段数量之间的相关性大于道路系统。实际上，尽管道路系统在三个不同的层级上，但它们相互之间很相似，连通度很低而所有的三个节点间的平均距离都小于100米。很明显，这是这些网络相交方式的一种加工，说明在包含高速公路和干线公路的主要道路级别，很少有立体交叉建设，因为大多数主要道路是从普通道路系统的不可或缺的部分逐渐演变而来的，这构成了当地交通的一个关键元素。
图3.10 大伦敦地区分级交通网络图
注：a.大伦敦地区内的高速公路和主干线公路。b.二级公路和次级路。c.大伦敦地区内的地方道路和路径。d.地铁和地面轨道网络。
表3.1 大伦敦地区内不同实体网络的特性
这一分析也表明，在出行过程中从一个网络切换到另一个网络的游客，他们的行为可能会受到这些网络之间的区别的影响。分析多模式切换及其对耦合网络的可能影响是网络科学领域的一项较大挑战，我们在这里不再展开。同时也要注意表3.1中的计算，地铁网络与第2章以及接下来部分所采用的计算方法不同，图3.10d中的网络是基于穿过相同站台的线路之间的连接，而不是之前使用的拓扑形式。这些网络表明我们需要更有效的方法来把它们连接在一起，但是因为我们还没有有效的方法来分析它们如何相交，如何共同发挥作用。第三篇的后面部分，我们将关注顺序耦合的网络，这将涉及解决冲突的问题，并引出“网络的网络”，但我们的科学并不会转到这一领域。
3.6 中心性、可达性和空间网络的异速增长
3.6.1 图形中心性的测度
在网络系统中，与第2章中介绍的“可达性”或流系统的“势能”相当的概念是“中心性”。入度或出度可以很好地测度节点的到达情况，但入度和出度只考虑了直接连接，不同于对流势能的测度，没有反映任何大于直接相邻节点的距离。在二元图中，测量度的方法只是简单地计算到达或从任意节点出发的连接的数量，即相邻的数量，而不是实际距离，如果用真实距离对图形进行加权，可以计算出更加传统的测度指标，即可达性。我们把度方程3.13和3.14重复为
如果实际距离dij被用在二元连接gij上，将提供一种与二维欧几里得空间相关的测量方法。如果所有可能的连接都被考虑进去，那么对每个节点进行测量可以反映系统内从所有节点到考虑中的节点的总距离，有必要用一些方式对这些测度方法进行转化，以生成相应的可达性指数。其中一种相关的测度方法被称为“邻近中心性”（closeness centrality），它被用于社会网络理论中（Jackson，2010;Prell，2012），计算邻近中心性首先需要计算总相邻距离Di：
我们只用出度来展示这一方法，因为出度的衡量需要遵循方向，但这确实是一个衡量分散性的方法，而且通常转化为Li：
K是一个常数，往往等于节点数减去1，即N-1，dij是从i到j之间的最短距离。
一个更令人满意的方法是“中介中心性”（betweenness centrality）ck，特别是用在二元对称图中，弗里曼（Freeman，1979）第一次提出了中介中心性的定义，即：
其中σikj是从节点i到j且通过节点k的最短路径的数量，而不是距离。这显然可以看出一个节点与其他节点之间是怎样联系的，但它需要被加权，因为从i到j之间可能有好几条距离相当的最短路径。当存在超过一条路径时，那么每条路径就作为总路径σij的一部分。当有两条路径的情况下，每条路径计算1/2；当有三条路径时，每条路径计算1/3，以此类推。
根据对距离的不同定义，在度、邻近性和中介性三种测度方法基础上有很多变体，但为了展示它们的用途，我们选择了一个真实但相对简单的空间网络——伦敦地铁系统。以城市中心为中心，伦敦地铁系统或多或少呈现放射树状形态，但在构成扩展CBD边界的环线内部有一个复杂的多中心交联组（Roth、Kang、Batty and Barthelemy，2011）。这个系统中共有307个节点和353条连接，其连通性为C（Ψ）=0.0077。密度是连接数除以自连以外的可能连接，即ΣiΣjgij/N（N-1）=0.0038，它的值是连通性的一半（因为这是对称系统）。我们将不在这个系统中展示所有三种方法，只在图3.11中画出了中介中心性，但我们计算了它们之间的相关。度分布和邻近中心性（注意由于是对称系统，入度和出度分布是相同的）之间的相关系数很高，为0.727；但度和中介中心性之间的相关值较低，为0.513；邻近中心性与中介中心性之间的相关系数为0.492。简而言之，这些方法确实可以计算出相当一部分不同种类的可达性，而且这些方法也有可能有潜力用于分析流系统，从而丰富了第2章介绍的可达性和势能测度方法。
图3.11 伦敦地铁网络中，以站点作为节点的中介中心性
图3.11以球形方式展示了中介中心性指数，说明该网络系统相对简单（与大多具有相同节点数的社交网络相比）。但是，这也说明了呈现包含多个节点和连接的图的困难程度，即使在这个案例中该图主要是（但不完全）平面的，嵌入在地理空间中，并且是树形。在这种情况下，地理嵌入对于理解CBD的节点聚类是很重要的，但是其他图形表达对于空间网络仍是有用的。这类图包含了显示节点和边的一种方式，相交数量最小，并且边的长度尽可能相等，这种方式是展示结构的好方法，在图3.12中，我们展示了“力导向”算法如何帮助我们真正洞察并理清关系。
图3.12 用哈雷尔科伦的力导引算法计算的伦敦网络中介中心性（锚定在希斯罗机场，左下）
我们用于生成图3.12的特定做法是，如果是弹性的就将力分配给边，如果是带电粒子，则把力分配到点，而这些力把节点拉在一起或使它们分开，通过不断迭代直到建立某种均衡，最终形成的图每条边的长度尽可能相等。这一方法也有很多变体；其中生成了图3.12的是哈雷尔和科伦（Harel and Koren，2002）提出来的。其效果是扩大中心区域，并定义系统内的循环，以使CBD中的多中心枢纽的复杂特性变得清晰。可以生成这类可视化效果的软件包有很多，在本书的后续部分我们间或应用于表达网络。
3.6.2 空间异速生长和网络规模变化
一个很难但与空间网络互补的方法是关于网络的比例性，与节点数量或距离无关，但与它们定义出来的区域有关。我们可以建立道路空间数量R，每个空间起始中心的人口数量的总和——N个节点，与典型出行者从起点到终点的平均出行距离为之间的关系函数：
平均距离是区域A的平均半径，定义为=A1/2，由此方程3.46可以被写为通用形式：
实际上，如果我们把人口密度定义为ρ=N/A，或者N=ρA，那么方程3.47还可以写为：
这是一个关于区域超线性缩放或正异速增长的典型案例。此关系等价于对三维空间有机体的代谢率方程进行1/4次方缩放，其中相似关系为V（R）=ρV4/3∝V（D+1/D），D现在是对象存在空间的维度（West、Brown and Enquist，1997）。
多个起点对应一个终点，网络形成树状并铺满整个空间的系统具有典型的单中心城市形态，所有出行都朝向城市中心以开展工作、交换或其他。这个集中的系统可以得出方程3.47和3.48，我们在图3.13a中展示了一个向中心节点移动的严格的树状分形层级体系。然而，大多数系统更加倾向于去中心化，图3.8中展示的极端情况更像一个拥有多起点和终点的网格。萨马涅戈和摩西（Samaniego and Moses，2008）认为在这样一个系统中，出行的平均距离与密度成反比，即，这一结果是从假设密度的倒数是一个空间单位得出的，从中我们可以提取出系统的半径。那么方程3.46和3.47变为
可以简写为：
明显可以看出，区域的规模变化现在是线性的，当我们注意到R=ρ1/2A。这在我们检验图3.13b时很有意义，图中分布的是随机分配到城市空间中起点和终点之间的线。
图3.13 （a）中心化的网络形态（b）去中心化的网络形态
3.6.3 演绎、工具和可视化
这里将要对本书第一篇进行总结，我们已经介绍了用于构建我们的城市科学的模型、方法以及工具，在描述城市结构和动态时，我们是将其作为用各种方法和工具来模拟和影响其形态的范例，而不是将其作为自身的演绎。在本书剩下的部分中，位置和互动的概念基础上，我们将更多关注流和网络作为城市进程和形态的根本组成部分的实质性意义。本章主要介绍了表达和探索网络的工具，我们特别强调：虽然网络发源于空间和位置，但是网络在城市中跨多个维度存在，存在大量不涉及空间维度的非空间网络或社会网络。我们的想法是将空间网络作为建立城市区位结构的基本框架，但实际上这一理念只在本章及之前各章谈及流的时候，以及相对于面积的网络比例性（图3.13）时做了概要性探讨。建立在流和网络之上的城市区位，其范畴从高度集中到去中心化结构，从单中心到多中心，从严格分层到重叠的网格，在第二篇中，我们将在许多应用中探索这些可能性。
为可视化复杂系统，网络被假设为易于在二维空间中呈现的节点和连接，从而被视为重要范例。不植根于空间的社会网络最容易可视化，因为不需要将连接与其自身空间分离；即它们互相之间不交叉，这与本章介绍的大部分网络都不一样。除了这方面制约，当节点数量增加到50或更多的时候，二维（甚至三维的）可视化就会变得很杂乱。即便简单如伦敦地铁这种网络也是这样，我们在前文曾经提到，伦敦地铁很大程度上是树形结构。此外，考虑到节点及其连接都包含了自身维度，在网络中很难以可视化途径对模式进行识别，这些网络中远不止一些节点而已。因此，虽然接下来仍会大量使用这些图纸，我们认为可视化途径有其明显的局限性。为了理解互动如何造就区位并决定城市形态和结构，诸如层级划分法、传统图绘法，以及下一章将要介绍的轨迹法等大量其他手段与网络分析方法一样重要，图3.7已经展示了这一点。
到目前为止，还有很多种其他网络我们没有介绍。具体来说，包含神经网络的连接主义方法很可能成为多变量分析的一部分（Gurney，1997），这也建立在黑格尔名言“万物皆有联系”的缺省模型基础之上。我们将在第三篇中简要提到这些，包括考察不同行动者和要素之间的矛盾，这本身是城市规划的固有内容，但值得强调的是，在任何情况下，网络都有利于简化各组成部分之间的关系。在许多方面，我们研究城市的方法都提醒我们，无法清晰地区分利益现象的原因和结果，将其分割为特定的离散关系（往往是二元的，单向或双向关系）不可避免是对现实的过度简单化。在某种程度上，这把我们推回到流的世界而不是网络的世界，或至少是加权的、完全连接的网络。
最后，我们这里的焦点在于积极应用并标准化这些工具。也许本书的第二篇和第三篇之间区别很大，但不能将第二篇看作城市科学而将第三篇看作城市规划科学，因为我们希望它们之间能够结合得更紧密。在第二篇，我们的主要视角是认识和理解城市，通过各种方法描绘现实情况并模拟其形态和过程，而在第三篇，我们的焦点转向探究如何通过区位和交互作用对城市进行设计和控制。尽管我们在本书中不会过多引用“优化”这一概念，因为我们把规划和设计更多看作一个协调的问题，而不是优化的问题，或者使用西蒙（Simon，1956）的经典术语——“满足”的问题，我们在第三篇中对网络的使用主要聚焦于用它们实现改变的标准过程。本书将通过不同的方法应用这些主题，随着观点发展，我们将建立一门同时包含实证和规范两种视角的科学，演绎愿景并扩展到设计，反之亦然。
二维图（planar graph），通常翻译为“平面图”，本书译作“二维图”。在城市规划和研究中，平面图有着比较强的布局属性，而本书所提及的planar graph是一种与维度相关的分析图。——译者注
第二篇
城市的科学
在阐述我们这门科学时，我清醒地意识到，我不可能知道读者已有的城市背景知识，也不知道他们将如何用这些知识来理解已有的思想和方法。这是一个巨大的问题，因为我们将要做的是从一个特别专注和正式的视角来探讨我们应当怎样建立对城市的理解，而不只是复述每个市民都具有的城市常识。从某种意义上说，即使是最一般的读者都可能发现关于城市的一些兴趣点，但要想提出让所有读者都信奉的一般化视角却很难。建立一门新的正式的科学需要大量方法论方面的考虑，并应当包容多种维度，这对这样一本刚始于致辞的书而言是一个挑战。我决定从将城市重新定义为一系列行动、互动和交易开始，由此提出一系列方法和工具，并建立我们这门学科的基础。在第二篇，我们将使用这些工具来探索城市的不同方面，如增长、大小、规模、形状，以及这些属性差异的产生过程等（Batty，2008）。在第三篇，我们使用类似的工具来显示如何通过设计规划师、政策分析师、政治家等可能影响有关未来共识的人，来管理变化中的城市。
因此，本篇将从六个看待城市的不同视角来应用第一篇中所介绍的工具和方法。首先，在第4章中，我们将通过规模和增长来探索城市体系，关注整个体系中的城市规模分布规律，并指出真正的谜题，城市体系中的规模分布保持稳定，但组成体系的城市却大小变化很不稳定。这里我大量引用了第一篇介绍的比例律，这就在第5章引出我们的第二主题，即：城市体系及其各部分如何按照它们之间或之内的层级比例变化。我们因此开始研究个体城市，研究支撑城市增长的关系网络，揭示出不仅区位存在系统化的比例缩放，将人口与城市中心区和其他城市联系在一起的关系组或网络组也同样在以相似的方式比例缩放。
这也将我们带到第6章所讲述的第三个主题，我们找到一个更好的比例方法来研究网络。这里我们强调一下本书最为重要的思想：网络提供了一个抽象的概念帮助我们概括城市如何运行，预测远比观察更加重要。为实现这一点，我们可以将网络理解为两个集合之间的关系（像二部图所表达的），从而推导出两个集合对象之间的关系网络。进一步分析城市中一个集合中的对象如何与另一个集合中的对象彼此连接，我们就能够预测他们的形式和结构。如果我们代入街道网络和街道相互交叉，这个概念就变得实体化了，继而引入关于我们如何看待网络的原始问题和对偶问题。我们将介绍一种空间句法，可以用来表达街道和他们彼此之间的关系。这种手段帮助我们阐明街道及其交叉口的重要性，在对特定节点或区位所发生现象的测度基础上，丰富了我们对连通性和可达性的理解。在空间句法基础上，我们将在第7章讨论第四个主题——可达性问题。除对街道等物理网络和关系进行更加抽象的定义，与这类网络相一致，我们也展示了距离、形状和形态。我们因此引入城市形态的讨论，也为耦合网络这一网络科学的前沿问题的研究打开了一扇小门。
在第8章和第9章讨论的第五个和第六个视角，我们略微改变了策略，讨论不同的城市仿真方法。第8章侧重于增长和发展的“自下而上”分层过程，介绍了分形思想，并连接回到层级网络、比例法、自相似性等概念。我们展示了这些想法可以通过元胞自动机模型实现运转，将城市作为物理结构“从下到上”来培养，我们描绘了这些思想如何提供操纵杆以帮助我们控制城市动态发展过程，我们介绍的大量材料涉及这一点。第9章展现了另一组基于空间互动的模型，我们的关注点在于对空间分区之间流的层面来对城市体系进行仿真。这里我们再次强调平衡的概念，同时聚焦于开发工具以引导对城市未来的讨论，高度结构化的可视化方式将会有巨大帮助。在展现这些思想时，虽然我们用了相当翔实的方式来可视化我们的模型和进程，焦点逐步转向土地使用交通模型，以及本篇最后一章所讨论的各类“如果……那么？”问题。
有很多种不同的方式对这些方法进行分类。在第一篇，我们重点关注的是呈现，虽然抽象但在很大程度上是基于网络的。在第二篇，我们的重点是对生成物质形态的一般过程进行建模，不管是基于区位还是基于网络。在第三篇，我们将看到，我们会回到审视直接改变城市形态的设计和政策过程。在所有这些角度中，我们关心的概念是区位和枢纽、网络链接，以及作为网络节点的决定城市所发生现象的行动者和代理人。将这些相对贡献或相对重要性进行排序的一种方法是计算他们彼此之间的联结性或可达性。事实上，这种方法的很多逻辑在各种不同的连通性和可达性概念中也有所体现，因而第一篇所介绍的网络和流分析工具同样有助于我们将这些思想加以应用和实践。
一件非常吸引人但我没有做的工作是向读者呈现更全面的城市科学领域到目前为止所取得的成就。序言部分我略有提及，但因为存在很多不同的观点，这项几乎是不可能完成的任务。然而，我们可以介绍一下此前的研究者为这样一门科学做过的努力。事实上，这一领域的体系结构在很大程度建立于不同的行业角度，城市如何将经济学、地理学、工程学、环境学和社会学等不同学科应用到住房、工业、交通等不同行业并实现自身运转。在经济学中，城市和区域如何运行一直是宏观区域分析和微观城市理论的关注重点，价格机制被认为主宰了土地使用和交通连接如何改变自身并形成我们观察到的城市。社会物理学已在一定程度上丰富了这一传统，并引入了操作性和实践性工具，虽然社会理论往往从地理学视角提出关于城市结构和隔离形成的理论，但仍然在一定程度上与城市经济学理论的推演结论相一致。区域科学和城市经济学学科关注的是定义各种方法，辅以交通建模和各种来自人口统计学的方法。但很少有研究突出城市中的能量交换乃至信息交换过程，也很少从坚实的生态学基础上思考城市如何运行。到目前为止，现有的（在复杂性理论之前）理论和模型，在很大程度上是描述性的且大多很肤浅。这对我们了解如何建立一门新的科学提出了巨大的挑战，如果我们想要设计全面拥抱复杂性的未来城市，这又明显是必不可少的。
在后面的章节中，我将试图提供这样的见解，但对于那些寻求一门整合的科学，各种应用都已经打好包亟待使用，无须考虑具体的城市问题的人来说，他们恐怕要失望了。不存在这样的包，可能永远也不会存在。如同物理学，看起来整个领域都渴望一个整合理论，或者说终极理论，但正如物理学，这是海市蜃楼。更加可能的情况是，一门新的城市科学将由采纳并修正大量方法和工具而来的一系列方法组成，在一定程度上是一种集成，而这只能建立在一致的哲学基础之上，我们可以称之为复杂性哲学。接下来六章的一些部分联系相当紧密，但他们只能帮助我们建立更好的理解，我们追求设计更可持续的城市的道路注定弯绕曲折，它们能够帮助我们设下一些路标。
