城市增长：等级、规模和钟盘
我在小城镇所讲的故事并不比我在大城市讲的少。大多数历经沧海桑田的小城镇起初规模就很小，大多数在我有生之年迈向伟大的城市起初也不过是小城镇罢了。
——希罗多德（Herodotus），《历史》（摘自简·雅各布斯，《城市经济》，1969）
大约在公元前8000年，依赖狩猎和采集生活的原始人类开始发展定居农业。然而，对于人类何时建立第一座城市仍有诸多争议。许多人认为定居农业在满足人类日常生活所需之外使得生产有了剩余，剩余带来了劳动分工，劳动分工促进了各种社会及科技创新，并进一步提供了建立城市所需的要素（Bairoch，1988）。雅各布斯（Jacobs，1969）等其他一些人则认为城市其实伴随着人类产生而产生，即便城市的建立不能被推到农业革命以前，至少也与农业革命同时进行，与人类游牧和耕种活动并存。有事实证明，公元前4000年左右，苏美尔地区就存在着城镇，但是城市化人口比例非常之低。如此低的比例持续了几千年，直到17~18世纪西方国家开始第一次工业革命才发生改变。
在第1章中，我们提到由于人口集聚带来的经济效益高于成本，城市规模扩大会带动城市经济总量上升。不同历史阶段的情况也表明，随着人口增长，城市规模扩大，积极的集聚使城市居民的收入不断提高。当然，这一结论并非放之四海而皆准，不过基于我们对于效益和城市规模的合理估算，过去200年的城市发展显然如此。自史前以来，世界人口呈现指数型增长，但直到近几百年之前，生活在城市的人口比例一直稳定地处在低位。确切的比例不得而知，不过根据钱德勒（Chandler，1987）的调查，从公元前500年到第一次工业革命，全世界最大的50座城市人口总和约占总人口的2%~3%。随后，城市人口比例迅速增长。截至目前（2012年），全世界城市人口约占总人口的52%。有预测认为到21世纪末，所有人都将生活在城市，这也意味着届时全世界约90亿人都将被城市化。我们为之奋斗了将近10万年的目标将得以实现。如此大规模的城市化变革带来的影响难以想象（Batty，2011）。
然而，城市化和城市建设的历史远没有如此顺利。莫里斯（Morris，2010）认为文明的发展总是会遇到“瓶颈”，比如，在第一次工业革命之前，城市在集聚了100万人口之后，很难再扩大规模。城市文明和那些大城市在时代变迁中交替兴衰。然而城市规模在不同阶段以及不同时间有明显的变化规律，在本章中，我们就将探讨一些持续发生的变化。这些变化由于对资源的残酷竞争所致，并且很可能愈演愈烈，因为全球将完成生育率从高到低的转变，人口总量将稳定在较高的水平。在本章中，我们将试图理解这些变化：首先，城市如何自行发展成不同的规模？其次，某一城市的规模如何随着城市等级的变化而变化？我们将从一个近乎无政府状态的模型出发，探索人口聚集如何随机发展却又与城市规模密不可分。在这一模型中，一方面，富人会更富裕，穷人会更贫穷，另一方面模型中也存在足够的机遇让富人变穷，穷人变富。随后，我们将依据城市具有的资源建立模型的变量，研究不同城市规模的分布。通过比较模型与其他规模，比如固定规模与建造规模，我们将引入下一章关于城市等级和规模的讨论。
4.1 人口增长与城市规模
4.1.1 最简单的模型
增长模型的基本假设是在任意两个时间段（t，t+1）之间，变化与目标（主体）的规模互成比例。如果城市发展随着时间推移而继续增长，那么两者就是正相关的。如果我们假设净增长率“λ”保持恒定，目标的变化，也即人口变化P与增长率之间的关系为
方程4.1中一个简单的递归所导向的回升或复合可以表示为：
该方程是通用的增长方程。从中我们很容易得知当λ>0时，人口急剧增长；当λ<0时，人口急剧下降；如果λ=0，人口保持恒定，也就是说P（t+T）=P（t）。如图4.1所示，我们可以看到关于此方程清晰的变化。然而，如果各个时间段的净增长率在-ξ<λ<ξ范围内随机变化，且平均净增长率为0，这一增长率将产生复合，人口从正值开始，增长率逐渐趋于0，人口最终也将归于0。当然，这也取决于增长率围绕0上下随机波动的次序，如果这一随机增长率自始至终均为正值，人口将呈现指数增长。这一原理可以用于解释一个较大的人口数量样本，比如城市系统中的人口。接下来，我们将进一步探究。通过图4.1我们发现，在我们选择的典型随机增长率出现次序下，人口下降到0。为了使人口在据其最初数值固定的范围内上下波动，我们需要引入加性模型（additive model）而不是乘性模型（multiplicative model），各个阶段的增长独立于之前的增长率。
似乎我们设计的人口模型和太多不同的目标相关，人口也似乎总是正增长的。而当我们将随机选择的增长率应用于每个不同的目标时，结果会不同。若随机增长率大于一个单位，结果是基数较大人口的小幅增长，而当随机增长率小于一个单位时，结果是基数较小人口的大幅增长。到这里，我们可以总结单个目标的模型为：
方程4.3递归的结果是在T点之后的长期方程：
这意味着人口规模将呈现对数变化。我们将此方程应用于10 000个城市，每个城市从一个单位的人口开始，并将随机选择的增长率λi（t）在-0.01<λ（t）i<0.01代入每个城市i。人口分布如图4.2a所示：显然，由于无人口规模的限制，人口分布向左倾斜，并随后表现为正态对数，甚至幂函数。经过10 000个时间单位之后，最大人口为12 119，但平均人口仅为9。实际上，对于模型的解读源自季布兰特（Gibrat，1931），他用此模型研究公司规模中比例效应与增长过程的关系。此后，该模型也被多次用于强有力地证明该过程与上述规模分布的关系（Sornette，2004;Saichev、Malevergne and Sornette，2010）。
图4.1 指数变化
（黑色，连续增长；浅灰色，持续下降；连续常量虚线，下降；白色，随机变化）
布兰克和所罗门（Blank and Solomon，2000）发现，如果采用更小的约束值，比如在此次研究中保证人口数量不低于1个单位，分布将呈现为幂函数。图4.2a清晰地展示了如果我们使用f[Pi（τ）]，我们将得到
K是比例的常量，α是分布的反幂。我们可以通过使预计值之间平方差的和最小化来拟合方程4.5，将参数K和α进行回归分析，从而将方程4.5转化为：
图4.2 比例增长
（a）频度范围100以内的分布，最大值为12 000; （b）整个范围的位序规模分布。
如果我们认为方程4.5是f（P）=KP-α的延续，我们求下界至上界的积分得出累计计数，这与r相等。在离散条件下，时间断面τ的人口位序人Pi（τ）为：
方程4.7是由齐普夫（1949）提出的位序规模律，也就是我们在第1章中提到的定律，我们可以用以下方程表示：
方程4.9图示请参照图4.2b，显然大部分时候的关系是线性的，也因此证明了规模是基于幂律分布的。实际上，这一模拟产生了几乎典型的幂函数关系，β为0.965，99%的变化都得到了解释。这与齐普夫定律也就是α=2且β=α-1=1时的位序规模律极其相似（Zipf，1949）。
4.1.2 基于资源交换的模型
人口呈现幂律分布的基本原因是边界之间交流的不对称，人口既不会呈现负增长，也不太可能不断膨胀。某种程度而言，幂模型并不能进一步解释交流不对称的情况，因而也只能是一种数学的构造。下一章我们将会看到，尽管这一模型展现了人口分布过程，城市规模增长时间跟现实生活中城市的变化并不相符。在我们开始考察经验证据之前，我们还需要更深层次的理论解释。接下去，我们就将探讨一种理论。
假设某一城市体系在时间点t的总人口固定为P（t），N个时间段人口总和为Pi（t），即：
城市规模发生变化的唯一途径来源于迁徙。我们设任一时间段[t→t+1]中城市移民为ΔPi（t），且0<ΔPi（t）<Pi（t）。如果我们假设一种最简单的情况，在随机选择的时间t内，随机选择的两个城市j和k之间发生的移民使得城市j在人口数量Pj（t）基础上增加ΔPj（t），而城市k则减少了相同的人口，方程可表示为：
方程4.10中的守恒也很容易被表示为：
这一过程就好像原子随机对撞中获得与失去能量（人口数），总能量（总人口数）则保持恒定。在一个系统中，两城市分别具有人口P1（t）和P2（t），两个人口事件分别为ρ（P1（t））和ρ（P2（t）），其相乘的概率为ρ（P1（t）+P2（t））=ρ（P1（t））ρ（P2（t））。因此，唯一符合标准的就只有玻尔兹曼分布律（Boltzmann-Gibbs distribution）ρ（P1（t））=C exp[-P1（t）（t）]和ρ（P2（t））=Cexp[-P2（t）（t）]，其中（t）为每个城市平均人口，C是比例常数（Dragulescu and Yakovenko，2000）。
这一结论适用于很多事件与城市，若稳态分布满足：
负指数分布与概率分布直接相符。如果我们用反向累积方式做积分运算，进而线性化并利用最小二乘回归法计算参数，我们也可以将其看作位序规模分布。现在，设方程4.13为连续式方程，算积分，回归到离散型方程，负指数分布类似的位序规模分布方程可以被写成：
方程4.14可以被线性化成logri（t）=logK-λP（t）。为了与前文所定义的位序规模关系保持一致，我们实际上将其写成：
其中很明显参数λ-1=（t）。
至此，我们已经利用简单的资源交换模型建立起了分布方程，适用的参数包括N=500城市，总人口10 000，时间点总数为100万。我们从平均分布的情况开始，即每个城市有20人，固定每次增长或减少数为ΔPj（t）=2，∀j，t。模型开始运作后，我们确保人口数不少于零。如果我们选择的城市人口数小于零，直接放弃这组数据，重新选择城市，采纳人口数大于等于零的情况。如方程4.14所示，城市规模的分布逐渐导向玻尔兹曼律。我们在图4.3a中展示了概率分布，在图4.3b中展示了位序规模对数模式，两者都证明与理论分布十分吻合。如德勒吉列斯库和雅科文科（Dragulescu and Yakovenko，2000）所示，概率分布在吻合度上略低于位序规模分布，但原因主要是人为误差，如果计算次数接近100万，吻合度也会接近完美。每个城市的平均人口通过位序规模分布中的斜率表示，这与各系数及交换模型的初始条件相符。尽管这并不是严格意Pi义上的幂次定律，通过放宽条件，使用相同的代数，我们也可以看出交换—移民的过程会趋向幂次定律的分布。
图4.3 加性交换模型生成玻尔兹曼分布
注：a.频度到27的分布；b.全部范围的位序规模分布。
在很多交换模型过程产生的人口规模分布会与等级规模法则相符，乘性模型而不是加性模型会使得分布趋向幂律形态。然而，这些模型容易受到交换率和交换量的影响，并且它们无法保持系统中应有的人口总量。比如类似方程4.11所示，城市是随机选择的，并随机新增与城市人口成一定比例的人口数，并从随机选择的另一城市人口中去掉相同比例的人口。由于两个城市的人口基数并不相同，对称性就被打破了。
方程4.16中，我们设随机选择的变化率为ξj（t），且0<ξj（t）<1。只有当人口值小于1时，交换才会发生，也即若Pj（t），Pk（t）<1，交换被放弃。如果我们大量进行此类交换，城市规模的概率分布将逐渐汇聚，但具体是哪种分布模式仍不清晰。举例来说，我们采用与上述玻尔兹曼律模型相同的起始参数，也即N=500城市，总人口10000，时间点总数为100万，每个城市20人的统一分布。然后，使用总是小于0.5的随机变化率，分布将接近幂次定律，见图4.4所示的位序规模模式。然而，当增长率更低时，其他模式更接近指数型。若人口数被作为资本或财富来考虑，即人口数可以为负值，又会有全新的模型。这些模型在其他研究中也曾被使用过（Ispolatov、Krapivsky and Redner，1998）。
图4.4 乘性模型生成类幂律分布
4.2 复杂系统特征——比例率
在本书中，我们将证明复杂系统的一个重要特征是分布状况会随着系统中成分及主体规模的变化而有规律地变化。比是否构成严格意义上的幂次定律更加重要的是在各种比例变化中都存在规律性本身。城市规模分布规律与不同等级城市的空间影响相关，这一样例已经揭示了这一点。我们在第一章中讨论了构成城市的不同模式，在此我们将讨论城市最简单的组织形式将在何种程度上解释城市空间和时间变化的规律。我们已经介绍了概括这些特征的办法，即根据齐普夫（1949）的城市等级顺序来考察城市的规模分布。如果分布符合幂次定律，则位序规模规律符合方程4.9所示；若分布呈负指数型，则符合方程4.14或4.15所示。
用于解释分布规律的最简单模型将在最后一节中介绍，这些模型或基于乘性增长或基于加性增长，前者符合幂次定律分布，后者符合指数定律分布。在两种情况中，不同规模城市的产生是由于城市可以无限制地扩大，但当城市人口低于一定限制时即不复存在。在这些模型中，刚好触及限制门槛的城市被认为处于衰退，但仍有可能获得增长的机会。随机比例增长模型产生幂次定律分布，但更普遍的分布模式是对数式的。只有当模型具有硬性较低门槛，幂次定律分布才有可能在稳态下建立起来（Simon，1955;Gabaix，1999;Blank and Solomon，2000;Sornette and Cont，1997）。
接下来，我们将探讨城市分布如何随着时间和空间变化而变化。城市分布随着时间变化相对稳定，城市很少在几百年乃至几十年间发生规模上的变化。然而，当我们考察城市的位序与时间的关系时，变化非常明显，城市等级通常在50年到100年间发生变化。我们引入了很多衡量城市等级随空间及时间变化的方法，并通过“位序钟”的方式来表示（Batty，2006a）。我们以意大利城镇在1300年至1861年的人口变化为例来介绍这种办法。然后，我们会分析比较城市规模分布的规律，包括公元前430年起的世界各城市，1790年起的美国城市，1901年起的英国城市及1950年起的以色列城市。各个“位序钟”所表现出的增长与变化形态大相径庭。当我们将“位序钟”的城市规模分布，与美国公司在世界500强中的分布（从1955年起），以及纽约高层建筑与世界高层建筑分布（从1909年起）相比较，我们将形态和数据制成了不同的视觉盛宴。这为我们理解微观层面动态迥异的体系如何在宏观层面保持规律与稳定提供了丰富的材料。
在解释规模的时候，我们所建构的模型其实太过简单，甚至有些无力，因为模型中所假设的前提——竞争关系，并不能被很好地解释。模型无法证明为什么乘性增长本身是合理的。简单来说，就是为什么城市间的竞争以此种方式进行，这一问题没有被解释。我们所建立的加性（或其他乘性交换模型）都很难解释现实中发生的规律。下一章中，我们会进一步解释网络效应，网络中的节点通过比例效应增加网络连接点从而实现规模增长，其间也会产生竞争（Batty，2006b）。事实上，巴拉巴希（2005）的模型基于偏好性的附加，可以被视为网络竞争效应模型下的一种情况，因为他们都强调共同累积优势。
用此种概括的体系可以解释好几种增长过程。就城市而言，人口规模会扩大也会缩小。城市从小型定居点演变而来，成为大城市必须首先是小城市，因而其增长本就是不对称的。当然，这也是所有增长过程的共性。由于我们难以确定构成城市的最低人口水平是多少，更因为缺乏数据支撑，我们只能从大城市入手，取最大的一两百座城市建立分析模型。在这一模型中，当一座城市进入我们选取范围内——比如说前100，那这座城市就诞生了，否则即宣告其不再属于城市的范畴。当然，城市分布通常符合克里斯塔勒（Christaller，1933/1966）在中心地理论中提出的空间竞争等级模型，随机增长模型似乎也符合上述逻辑。然而，尽管下一章会讨论，我们现在还不打算讨论从个人和公司在市场环境中进行空间选择的角度建立城镇与区域体系的社会经济空间模型。此时，我们还是倾向于简单地论证基本的乘性与加性增长模式可以为城市规模分布体系提供一个基础。
界定城市的空间范围会有困难，但这个问题总体上可以被解决，因为城市空间范围往往决定了城市规模。相比而言，公司更难以被界定，因为一旦兼并发生，集团规模就会发生变化。在最近一百多年间，城市的建筑本身可能并没有太大变化。尽管一般来说城市建筑会随着城市规模扩大而升高，但就最近一百多年来，摩天大楼的建设才是首选。很多摩天大楼都曾被推倒重建，只有少部分被改建、扩建或缩建。观察公司与城市如何在竞争中扩大规模比观察建筑高低更加容易。然而，如果一些地方已经有了摩天大楼，也会出现占地更广的建筑。随机的乘性增长模型适用于城市之间互相模仿，跟风建设第一高楼的情形。因此，对于建筑，我们可能会见到与城市、公司规模不同的动态变化。在我们讨论的时间段内（近一百年左右），我们将不考虑被拆除的小部分高楼，而仅仅关注拆除之后重修且目前仍在服务期的那部分。
4.3 城市的时空动态
我们从一个简单的案例入手，即14世纪至19世纪间意大利半岛上的城市增长（Bosker、Brakman、Garretsen、De Jong and Schramm，2007;Malanima，1998）。案例中的时空动态并不复杂，因为在14世纪及意大利统一期间建立的主要城市（博洛尼亚、佛罗伦萨、热那亚、米兰、那不勒斯、帕多瓦、巴勒莫、罗马、威尼斯、维罗纳），到1861年（分析结束点）并没有发生大规模扩张或等级的大幅度升降。我们设了七个时间点1300年、1400年、1500年、1600年、1700年、1800年及1861年，并且我们找到了这一时期内555个城镇的人口数量，并根据人口规模对城镇进行了排序，分析了等级变化的情况。上述重要的城镇自文艺复兴开始就一直占据着人口数量前十五的位置。之后的分析中，尽管一共有195个不同的城镇都曾进入过前100，我们只考察各时间点的前100名的城镇。有的城镇进入又掉出前100，我们只计算在时间点截止时仍处在前100的城镇，因为我们没有足够数据去考察各时间点期间城市人口规模的变化与排名。数据中，有360个城镇从未进入前100，因此从头到尾都只能算是村镇，有的甚至只是微不足道的居民点。需要注意的是，尽管我们希望考察的是人口规模前100的城镇，第二个时间点（1400年）列入的城镇数目只有95个，而其他时间点则因存在人口相等的情况而使得城镇数目超过100个。
考察这一时期的人口相对稳定度，1300年人口规模排名前100的城镇的人口总数为210万，1500年下降到171万（很可能是由于黑死病与战争导致人口减少），1700年人口恢复至222万，1861年增至397万（因为政局统一及工业化开始）。我们也发现人口的相对稳定度与城市位序规模关系的稳定度直接相关。然而，这种稳定仅仅局限于重要城镇，小村镇的位序发生了剧烈的变动，因为意大利城邦中重要城镇的影响使得小村镇的维系日益艰难。
上述案例对于我们使用各种工具分析描绘城市的空间时间动态十分有利。我们先将7个时间点上位序规模关系归纳为Pi~r（Pi）1/1-α，取对数变化，设logPi=Φ-ϑlogr（Pi），斜率ϑ与规模系数1/（1-α）相关。此时，暂不考虑时间系数t或τ，将位序与规模相联系记为r（Pi）。与上述方程4.9相同。我们在图4.5a中更清晰地展示了两者分布模式的相似性。衡量规模系数的方法有很多，最传统的也最受偏爱的办法是利用普通最小二乘法（ordinary least squares，OLS）估算ϑ，可得比例系数为=1+ϑ-1。相对不那么受偏爱的方法是最大可能性法（maximumlikelihood method），纽曼（Newman，2005）曾将其改写为幂函数形式，求解每个分布的可能性的方程为：
其中，是比例系数，N是城市数据集（随时间的点变化而变化）中的观察数，Pmin是界定每个城市规模分布的最低人口界限。传统的观点认为规模分布可能在上尾部分呈现稳定状态，下尾部分则被最小值截断，正如克劳斯特、沙利齐和纽曼（Clauset、Shalizi and Newman，2009）所认为，这可能是实验的一大问题。我们在可用的软件中尝试了这种办法估算，设最小值为Pk，平均值即为：
图4.5 位序变化的时空动态可视化
注：a.七个时间的Zipf图；b.1400年与1861年的位序变化；c.所有城镇在七个时间段的位序变化；d. 位序钟（颜色灰度变化依据1300年以来城镇出现年代及其位序。第一个城镇，1300年位序最高的城镇为红色；最末一个城镇，在最晚年代位序最低的城镇为蓝色，根据红蓝光谱绘制为同等的灰度级别。）
表4.1 大致的排名规模
如表4.1所示，估算值之间非常接近，这也意味着在500年间顶级城市并没有发生显著的变化。
4.4 比例的可视化：位序钟
有两种探讨时空动态分布的方法。其一，我们可以考察两个时期城市的位序变化，假设任意两个时间点，记录城市的位序变化，利用两次时间点的城市分布位序绘制钟盘。在图4.5b中，我们已经绘制了1400年及1861年的城市分布，展示了意大利城市规模的变迁。该图示是目前为止我们所见到的变化性较大的图示之一。在图4.5c中，我们追溯了每个城市变迁中发生的等级及规模变化，并记录了各个时间点的情况。图中颜色安排如下：最大且最古老的城镇为全红，城市规模越小，进入顶级城市越晚，颜色越冷，依次为红橙黄绿紫（均出现在灰底上）。本章之后部分提及的“位序钟”也使用了此种颜色标注的方法。尽管图4.5b暗示了显著的位序变化，图4.5c表现的变化更加温和，色彩间的平衡表示最大最古老的城市一直都保持着它们的地位。我们需要做的是用更显而易见的方法抽象出重大改变，正因如此，我们引入了“位序钟”的概念。
“位序钟”专注于表示位序的变化，通过钟内城市位序的抛物线变化来表现位序的变化。任何时候，最高层的城市总是位于中心，最低层的城市则位于外圈，即便没有到钟盘也是位于离钟盘最远的地方。时间用顺时针的方法表示，用于分析的时间段在钟盘上标记，钟盘为完整的一周。要想比较两个位序钟，我们必须假设例子在钟盘上直接可比，也即假设各个不同的系统行为可以被表示在钟盘范围内，进而进行比较。并且，如果系统具有不同的目标数量，即便各系统可以合理地用钟盘进行表示，各系统间也往往无法直接比较。下述例子展示了不同钟盘配置可以界定不同的规模系统，因而构成对城市时空动态分布进行分析和可视化的新形态。
图4.5d即我们所说的钟盘。钟盘具有两项突出特点：第一，在中世纪末期处于最高等级的城市直至文艺复兴早期仍占据着中心的位置（零散的证据表明在21世纪初期仍然如此），这一趋势被清晰地用红色标记在钟盘中心；第二，大多数起伏变化发生在钟盘外围，颜色的交叉变化也显而易见。在钟盘上我们几乎没有看到中心的大城市缩减成小城市，更没有退出钟盘的情况，也几乎没有城镇快速成长为大城市进入钟盘。与我们之后的样本不同，意大利城市系统中发生上述变化的城市屈指可数。都灵直至1500年才进入钟盘（进入前100），并于1861年列居第四。另一方面，尽管锡耶纳于1300年时排名第7，但到1861年时已降至45。这两座城市都很难在钟盘上清晰呈现，但现有的软件已经使得这种情况很容易被观察到，我们在后续的例子中会进一步阐述（Batty，2006a）。
钟盘也让我们关注了变化的其他方面。因为形态变化以钟盘方式表现，时间点之间的等级变化很容易从轨迹的变化距离中看出。我们可以确定目标城市i在时间t时的等级ri（t）为“第一变化距离”。我们还没有在这里讨论“规模钟”，但距离仍可以被设为：
各个城市每个时间间隔增加的距离可以被设为：
其中N（t）为各时间段的城市数量。如果城市位序中不存在并列的情况，则N（t）=100。意大利的例子中，因为存在并列的情况，数量在各个时间段可能有些许不同。这就使得我们需要衡量那些始终处于列表内的城市所发生的平均变化。事实上，如果需要的话，第二、第三、第四，乃至更大的顺序变化都可以被计算出来，累积变化也可以被衡量（见4.21）。
在本例中，从1300年到1861年间，所有城市（包括曾进入前100位的195座城市）、所有时间点的平均变化可以被表示为：
其中，T是变化发生的总时长，如本例中为561年。计算结果如表4.2所示，平均来看，一个城市在100年间发生位序d变化为15位，这与数据中城市在100年间可能发生的位序变化d（t）为12~17位相一致。
表4.2 距离测度：全部城市在整个时间段的位序变化
测度时空动态分布的最后一项指标是各城市进入或退出前100的速度。计算时间点t时位于钟盘内的城市数量并不困难，计算t之前或之后（如t+τ或t-τ）依然位于钟盘内的城市也不困难。我们设数量L（t，t+τ）为在时间点t与时间点t+τ均排名前100位的城市数量；另设数量L（t-τ，t）为在时间点t与时间点t-τ均排名前100位的城市数量。稍加比较即发现L（t，t+τ）=L（t-τ，t）。我们可以计算给定时间段t内始终位于前100的平均城市数量为：
自始至终均位于前100的平均城市数量为：
上述方程都假设城市数量N为恒定，如果城市数量像意大利案例那样出现了变化则需要修改；如果有要求，比例方法与可能性方法也能够加以计算。
我们需要参照整个时间段T定义半衰期。我们没有具体的函数来描述城市维系排名的过程，鉴于时间间隔往往不能很好地计算半衰期，我们需要通过检查和插值得出。我们可以在整个时间序列中都这么做，也可以在每个发生变化的时间点做。归根结底，对时间点t，我们需要对方程L（t，t）/2=L（，t）=L（t，）求解。因为没有正式的一般化函数可以用来测度维系程度，我们需要考察矩阵L（t，t+τ）。然而，若假设存在指数型衰退，排名最前的城市数量可能减少。如果数量没有减少，则证明该体系非常具有高度的稳定性与规律性，半衰期与排名最大值的接近程度可以用来测度该体系的稳定性。
意大利的案例很好，因为时间点不多，我们可以对矩阵L（t，t+τ）的结构进行因果关系的考证，结果如表4.3所示。尽管最前的城市的最大数量为118，1300年至1861年间共有195所城市曾进入排名。核心城市的等级存在很强的持续性，74座城市自始至终都在前100内。其他城镇位序波动性较大。因此，在这个体系中，尽管核心城市的地位波澜不惊，较小城市间正不断为了位序而进行激烈斗争。表4.3显示，所有案例的半衰期可能都比所考察的城镇分布所跨越的561个时间段要长一些，这意味着空间重构情况很少和较低的增长水平。这意味着其几乎没有发生空间重构，增长率也较低。1300年的118个城镇中大约有55%到65%在1861年中排进前109。可以估算平均半衰期为600年，但这与我们马上要讨论的案例相比要大很多。
表4.3 从时间点ℓ到m存在于排名的城市数量L（ℓ，m）
不同比例的城市体系
我们已经讨论了若干用来分析规模体系时空动态分布的工具，现在有必要做一下小结。第一，衡量规模稳定性的工具是齐普夫图形，特别是规模系数α，或倾斜度ϑ。在纯粹的齐普夫图形中，Pi~r（Pi）-1，ϑ=1且α=2，图形可以比较不同构成主体间的相互竞争。当ϑ<1或α>2时，分布中较大城市的规模与较小城市相对比较接近，互相竞争较少，反之亦然。当然，幂律之于齐普夫图形的适用性测度及其随时间发生的变化，同时也可以测度这些图形之间有多接近。我们讨论的最大可能性法和普通最小二乘法这两种方法尽管也存在各种各样的偏向性，但却是标准的方法（Newman，2005;Clauset、Shalizi and Newman，2009）。第二，最好的图形表达是位序钟，因为每个目标个体都能够通过其轨迹被追踪考察，目标整体又形成了一个完整的形态。钟盘由各种不同的轨迹线构成，我们在图4.6中展示了其中的5条，我们的总体目标是将各种不同案例的形态放在一起，以展现不同比例体系所具备的不同的动态过程。我们现在就开始尝试进行整合，本节的下半部分会讨论城市的不同形态，下一节会讨论公司及高层建筑的形态。
图4.6的钟盘中，每一圈层代表相同排位的对象。一些对象螺旋进入钟盘，另一些对象则系统性衰退并滑出钟盘。理论上，一个对象可以任意次数地进入、滑出钟盘。事实上也确实存在一些极端案例：如果一个对象在t时进入钟盘，在t+1时滑出，在t+2时进入，以此类推，那么该对象的轨迹将是根据其进入钟盘的时间留下的一个个间隔点，因为在进入排名表之前没有在钟盘上留下任何标记。如果我们确实有更细致的等级数据，我们是可以用轨迹线进行表示的，方法之一就是扩大钟盘范围。图4.6也显示存在这样的情况，一些对象进入后退出又再进入，或者退出钟盘后再进入又再退出。钟盘的圆心十分重要，因为对于很多比例体系来说，往往有某个对象始终保持最大，比如在过去的200年中，纽约始终是美国第一大城市，伦敦是英国第一大城市，巴黎是法国第一大城市等。
图4.6 定义位序钟形态的可能轨迹
测量变化的两种方法，一种是基于距离，一种是基于对“半衰期”的估计，都对测量位序的实际变化有重要作用。距离取决于时间间隔跨度以及位序变化的幅度。在意大利城市数据中，时间间隔为100年（第七个时间段被调整为61年）。表4.2表明100年间平均位序变化为15位次，这也意味着500年间平均位序变化为75位次。第二种统计方法是“半衰期”，在600年时间里，大约有50到60座城市会掉出前100。当城市离开或进入排名，简单地假设平均距离d的间隔为5或6将对这种变化造成高估，但这仍然表明，审慎地使用半衰期或距离测量方法能够帮助我们生动地描绘出这些动态变化。实际上，累积变化距离d（）是一个能够更好地反映位序变化的指标，它充分地考虑到了系统演进过程中城市进入以及退出后又重新进入排名的情况。
我们现在需要选择并考察不同比例的不同城市体系。我们已经利用钱德勒（Chandler，1987）的数据库分析了公元前430年至公元2000年间不同时间间隔下排名世界前50位城市的变化，这也是我们考察的时间最长规模最大的一些城市。后来，我们又以10年为间隔探讨1790年至2000年间美国排名前100位的城市（数据来自美国人口统计局；参见Gibson，1998）。我们也以10年为间隔讨论了1901年至2001年间英国前100的城市（ONS，2010）。最后，我们以变化的时间间隔为基础考察了以色列前172位城镇在1950年至2005年间的变化（Benguigui、Blumen-feld-Lieberthal and Batty，2009）。以色列在尺度上更像是个大都市区，但其中的每个城镇都具有独特的地理及文化特征，从而为样本增加了多样性。
在每个体系中（包括意大利案例），我们或者选取了固定的排名作为标准，或者根据数据库总体情况来决定城市数量。比如说，以色列的案例中，在1950至2005年的55年时间内共有172个城镇；1950年共有34个被纳入范围，在2005年则有164个。然而，只有8个城镇在13个时间点中都出现了。这种情况并不普遍，在英国，城镇数量458在100年内未曾发生变化。我们在每个时间点（共10个）只考察其中的50座，一共有70座城镇曾被纳入考察范围。为了更好地比较，我们必须注意到城镇数量及时间点对等级变化数据的影响。
世界城市体系变化更加剧烈。2000年处于前50的城市中，没有一座是公元前430年时前50的城市，只有6座在1453年君士坦丁堡陷落时也位于前50。一个城市衰落的周期原本大约是200年，到了2000年衰落周期降至100年。简单来说，文明的兴衰可以透过数据库中城市的轨迹线来观察，尤其是希腊、罗马的兴衰，黑暗时代（中世纪）的到来，中国的增长—衰落—复兴以及发展中国家爆炸式的城市化发展。意大利例子中的位序钟如图4.7a所示，很显然，并不存在始终占据中心地位的城市。几百年中一致保持在考察列表内（世界前50）时间最长的城市是中国苏州，在2430年的考察期内保持了2158年，即便如此，苏州现在也掉出了前50（尽管苏州增长迅速，但除非被纳入上海，苏州很难再次进入前50）。在世界城市体系考察中，城市衰落周期明显加快，保持每25年减少20年的速度，目前已经降低至75年。与这一衰落期最相近的是美国的城市系统，如图4.7b所示，与图4.6中特征几乎一样。从1970年开始纽约一直处于钟盘中心，芝加哥、洛杉矶及休斯敦等城市则随着人口在近150年迁往中西部、加利福尼亚及西南部而掉出了中心。自美国从19世纪中期工业化以来，前东部的殖民地城市，如查尔斯顿，更是退到了钟盘外。
图4.7 城市体系位序钟
我们所举的两个例子也各不相同。英国（包括英格兰、苏格兰和威尔士）城市的衰落时长是美国及世界城市体系的两倍，约为150年，并且该时长并没有变化的迹象。这是因为核心城市在19世纪就都被建立起来了，20世纪的逆城市化也并没有改变城市的整体模式。如图4.7c所示，核心城市的轨迹如意大利城市体系那样略向外扩散。以色列的位序钟如4.7d所示。以色列的城市体系完全不同，其城市的衰落期很难被确定，因为在过去的半个世纪中随着国家建立并稳定发展，不断有新的定居点建立起来。在增长的情况下，衰落期与增长完成的阶段比是体现吸引力的表现。粗略的估计可能是50到70年，但1950年建立的34个原始定居点到2005年仍处于中心地位，因为掉出钟盘的数量很小，因此很难衡量。除了矩阵L（ℓ，m）的对称，半衰期是一项不错的衡量指标。好的测度法涉及距离，我们下面将要讨论。图4.7d显示了以色列城市体系的位序钟。
将位序规模函数应用于所有城市体系所有时间段的结果如表4.4所示，得以解释的变化占到了85%到95%。比例系数都大于2，这意味着一线城市的统治地位要弱于其在纯粹齐普夫模型（α~2）的情况，若体系最终演变成稳定的状态，这种情况将更加普遍（Gabaix，1999）。平均距离变化必须通过规模轨迹线变化所经过的平均时间段来解读。有趣的是，经过工业化的城市体系（美国、英国及以色列）位序变化为每10年4~8位，而世界城市体系每80年的位序变化才是8位。因为时间段划分太过不同，距离考察不是那么可靠，意大利的城市体系每80年位序变化16位，每10年变化5个位次，与其他国家的城市体系差不多。
最后是关于位序钟之间的比较。美国及以色列的位序钟并不是从前100的城市开始，因为起初它们没有那么多城镇。美国的位序钟至1840年时出现了100个城市，并且在之后保持相对稳定。以色列的位序钟则没有出现数量稳定的情况。两个位序钟都显示了显著的增长，以色列位序钟的特点是核心城市稳定但新兴城市数量庞大，美国则因为人口西迁与南迁的趋势而导致位序钟的核心城市不是特别稳定。英国位序钟是最典型的缓慢增长，很多轨迹线呈完整的圆，等级相近，核心城市也保持稳定。世界体系是最不稳定的，早期文明的城市与中世纪、中国各朝代及现代世界的城市显著不同。
图4.4 五个城市体系的相对位序变化测度
人口分解：公司规模与建筑高度
我们最后要讨论的公司规模和建筑高度所涉及的体系大相径庭。公司规模的数据来自500强统计（CNN，2009），涉及1955年至1994年美国公司规模分布；世界及纽约高层建筑（摩天大楼）的数据则来源于安波利斯建筑数据库（Emporis，2009）。公司规模分布不是空间上的，高层建筑高度分布则是空间上的，尽管高层建筑的空间化程度比城市规模分布的空间化程度要低很多。公司规模的考察中，我们关注的不是所有500强企业而是前100强，因为随着目标越来越多，位序钟轨迹线会越来越密集，考察单个目标的时候就不得不多次放大（O'Brien 2012）。公司像城市一样可以通过等级进行排序，我们以公司的收入与盈利比为指标，因为该指标能反映公司的运作是否良好。我们并不会在此给出后一部分的等级排序（如需要请参看Batty，2007）。从图4.8a所示的收入钟盘中，我们可以得知公司等级的变化巨大但有规律。
