导读
投资是指投入当前资金或其他资源以期望在未来获得收益的行为。例如，人们购买股票，自然是期望股票带来的未来收益可以超出正常存款的收益。又如，你投入时间来学习一门课程是一项投资；你放弃了当前的休闲时间通过额外工作可以赚得的收入，并期望通过未来职业生涯的发展以补偿你所付出的时间和努力，也是一项投资。尽管这两类投资在很多方面都不相同，但它们具有一个重要的共同点，这也是所有投资的共性，那就是：投资者放弃现在有价值的东西以期望在未来获益。
本书会帮你成为一名视野开阔的投资实干家。作者将向你由浅入深地介绍各类证券市场组织的发展背景，那些适用于债券市场和股票市场的估值技术和风险管理原理，以及构建投资组合的基本原理。尽管书中重点在于证券投资，但我们讨论的大部分内容适用于各种类型的投资分析。随机观测和学术研究都表明，投资风险与投资的期望收益同等重要。虽然关于风险与期望收益之间关系的一些理论在理性资本市场中确实流行，但是专注于市场中风险确切水平的相关理论却仍未面世，以至于目前我们只能通过历史分析来尽可能估算投资者可能面临的风险水平。这也许就是认识投资的意义。
投资环境：实物资产与金融资产
一个社会的物质财富最终取决于这个社会经济的生产能力，即社会成员创造产品和服务的能力。这种生产能力是通过经济体中实物资产（real assets）的函数来体现，如土地、建筑物、机器以及可用于生产产品和提供服务的知识。
与实物资产相对应的是金融资产（financial assets），如股票和债券。这些证券不过是几张纸，或者更普遍的是一些计算机录入的条目，它们并不会直接增加一个经济体的生产能力。但是，在发达经济社会，这些证券代表了持有者对实物资产的索取权（或对政府收益的索取权）。我们即使没有自己的汽车厂（实物资产），仍然可以通过购买福特或丰田汽车的股份来分享汽车生产商获得的收入。
实物资产为经济创造净利润，而金融资产仅仅确定收益或财富在投资者之间的分配。人们可以在即期消费和投资之间进行选择。如果选择投资，他们可以通过购买各种各样的证券来投资金融资产。投资者购买企业发行的证券，企业就可以用筹集到的资金购买实物资产，如厂房、设备、技术和原料。因此，投资者投资证券的收益最终来源于企业通过发行证券所筹集的资金购买实物资产所产生的利润。
通过比较美国家庭资产负债表（见表1-1）和美国国内净资产的构成（见表1-2），我们可以发现，实物资产和金融资产之间存在着明显的区别。可以看到，家庭财富包括银行存款、企业股票和债券等金融资产。它们一方面构成了家庭的金融资产，另一方面又是发行者的负债。例如，一张丰田汽车的债券，对投资者来说是一项资产，因为它代表投资者对债券本金和利息的索取权，但对丰田汽车来说却是一项负债，因为它意味着丰田负有偿还本息的义务。因此，当我们汇总家庭和企业所有的资产负债表时，金融资产和金融负债互相抵消，仅剩下实物资产作为经济的财富净值。同样地，国民财富包括建筑物、设备、存货和土地等。[1]
表1-1 美国家庭资产负债表
注：由于四舍五入，竖列各项之和可能与总额略有差异。
资料来源：Flow of Funds Accounts of the United States，Board of Governors of the Federal Reserve System，June 2012.
表1-2 美国国内净资产的构成
注：由于四舍五入，竖列各项之和可能与总额略有差异。
资料来源：Flow of Funds Accounts of the United States，Board of Governors of the Federal Reserve System，June 2012.
虽然本书将以金融资产为重点，但是我们仍然不能忽略这样一个事实，那就是我们所购买的金融资产的成败最终取决于实物资产的表现。
金融资产
金融资产通常可以分为三类：固定收益型、权益型和衍生金融资产。固定收益型金融资产［fixed-income，或称为债券（debt securities）］承诺支付一系列固定的，或按某一特定公式计算的现金流。例如，公司债券向证券持有者承诺每年固定的利息收入，而浮动利率债券向证券持有者承诺的收益会随当前利率的变化而变化。例如，某种债券可能会向持有者承诺按美国国库券利率上浮2%来支付利息。除非债券发行方宣告破产，否则债券持有者将获得固定收益或按某一特定公式计算的收益。因此，固定收益型金融资产的收益受发行方财务状况的影响最小。
固定收益型金融资产的期限和支付条款多种多样。货币市场（money market）中交易的债券具有期限短、流动性强且风险小等特点，如美国国库券和银行存单。相反，资本市场（capital market）以长期债券交易为主，如长期国债，以及联邦代理机构、州和地方政府、公司发行的债券。这些债券有的违约风险较低相对比较安全（如长期国债），而有的风险相对较高（如高收益债券或“垃圾”债券）。此外，这些长期债券在偿付条款和防范发行者破产条款的设计上有很大差异。
与债券不同，普通股或权益（equity）型金融资产代表了证券持有者对公司的所有权。权益型证券持有者未被承诺任何的特定收益，但他们可以获得公司分配的股利，并按相应的比例拥有对公司实物资产的所有权。如果公司经营成功，权益价值就会上升；如果公司经营失败，权益价值就会下降。因此，权益投资绩效与公司经营成败密切相关，比债券投资的风险要高。
衍生证券（derivative security，如期权和期货合约）的收益取决于其他资产（如债券和股票）的价格。例如，若英特尔公司股价一直低于每股20美元的行权价格，其看涨期权（call option）价值为零，但当股价高于行权价格时，看涨期权就会变得非常有价值。[2]之所以将这类证券称之为衍生证券，是因为其价值取决于其他资产的价格，如英特尔公司看涨期权的价值取决于其股票的价格。其他主要的衍生证券还包括期货和互换合约。
衍生证券已成为投资环境中不可或缺的一部分，规避风险是其最主要的用途之一，或者说通过衍生品的投资可以将风险转移给其他方。利用衍生证券规避风险的现象在金融市场中非常普遍，各种衍生金融资产每日的交易额可达上万亿美元。但衍生证券经常被喻为金融市场的“双刃剑”，围绕其产生了大量高风险的投机活动。一旦投机失利，就会引发巨额损失甚至是市场的剧烈波动。尽管这些损失引起人们越来越多的关注，但这只是一种意外，衍生证券更多还是被普遍作为有效的风险管理工具对冲风险。在投资组合构建乃至整个金融系统中，衍生证券将继续发挥至关重要的作用。
投资者和公司还会参与到其他金融市场。从事国际贸易的公司定期会将美元和其他货币间来回兑换。超过1万亿美元的货币每天在外汇市场上进行交易。大型跨国银行是外汇交易的主要平台。投资者还可直接投资于特定实物资产。数十种商品如玉米、小麦、天然气、黄金、白银等在纽约、芝加哥的商业交易所交易。
商品和衍生品市场给予了企业调整其暴露于各种商业风险敞口的机会。例如，一家建筑公司可以通过购买铜期货合约来锁定铜价，从而消除原材料价格突然上涨的风险。只要社会经济中存在着不确定性，便有投资者会对此产生交易兴趣，或许是投机，或许是平抑风险，相应地就会诞生市场以满足此类投资者的交易需求。
[1] 你或许有此疑问，为何表1-1中家庭持有的实物资产总额是23.774万亿美元，远低于表1-2中美国国内经济实物资产总额48.616万亿美元。其中一个主要原因是企业持有的实物资产（如财产、工厂和设备等）包含在家庭部门的金融资产中，主要以股东权益和其他股票市场投资的形式存在；另一个原因是表1-1中权益和股票投资的价值是以市场价值衡量的，而表1-2中的厂房和设备的价值是以重置成本计量的。
[2] 看涨期权是指在期权到期日或之前按约定行权价格买入股票的权利。若英特尔公司股价低于每股20美元，那么以每股20美元购买该股票的权利会变得无人问津。但若在期权到期之前英特尔公司股价高于每股20美元，期权持有者就会以每股20美元的价格购入股票，这项权利就会被行使。
利率水平的决定因素
利率水平及未来利率的预测是做投资决策时诸多环节中非常重要的一环。例如，假定你的存款账户中有10000美元，银行依据短期利率作为参照（比如30天短期国库券利率）向你支付浮动的利息，而你也可以选择将这部分钱转为以固定利率支付利息的长期存款。
你的决策显然根据你对利率的未来预期而定。如果你认为利率未来会下降，你会希望通过购买期限较长的定期存单把利率锁定在当前较高的水平上。相反，如果预期利率上升，你一定会选择推迟长期储蓄存单的购买计划。
众所周知，预测利率无疑是应用宏观经济学中最为困难的部分之一。然而即使如此，利率水平仍然由一些基本要素决定：
（1）来自存款人（主要是家庭）的资金供给；
（2）来自企业投资工厂车间、设备以及存货的融资需求；
（3）通过美联储运作调整后政府的净资金供给或资金需求。
在我们详尽解释这几个要素及其相互作用决定利率水平之前，我们必须首先区别实际利率与名义利率。
实际利率和名义利率
利率是指在一定期限内（1个月、1年、20年甚或更长）因持有一定量某种计价单位（美元、欧元甚至购买力）而承诺的回报率。因此，当我们说到利率水平是5%时，必须明确说明它的记账单位和期限。
假设不存在违约风险，我们便可以把以上承诺的利率看作该计价单位在此特定期限的无风险利率。无风险利率必须对应一种计价单位和一个时间期限。举例来说，用美元计价时的无风险利率在使用购买力计量时就会因为通货膨胀的不确定性而存在风险。
考虑期限为1年的无风险利率，假设1年前你在银行存了1000美元，期限为1年，利率为10%，那么现在你可以得到1100美元现金。但这笔投资的实际收益取决于现在的1100美元以及1年前的1000美元分别可以买多少东西，而消费者物价指数（CPI）衡量了城镇家庭一篮子商品服务消费的平均价格水平。
假定上一年的通货膨胀率（CPI的变化百分率，计为i）为6%，也就是说你手中货币的购买力在这一年中下降了6%，每一美元能购买的商品下降了6%。利息收益的一部分将用于弥补由于6%的通货膨胀率导致的购买力下降。以10%的利率计，除掉6%的购买力损失，最终你只能得到4%的购买力增加，所以，我们必须区别名义利率（nominal interest rate）——资金量增长率和实际利率（real interest rate）——购买力增长率。设名义利率为rn，实际利率为rr，通货膨胀率为i，则有下式近似成立
或者说，实际利率等于名义利率减去通货膨胀率。
严格上讲，名义利率和实际利率之间有下式成立
购买力增长值1+rr等于货币增长值1+rn除以新的价格水平，即1+i，由式（1-2）推导得到
显然可以看出由式（1-1）得出的近似值高估了实际利率1+i倍。
【例1-1】 近似的实际利率
如果1年期储蓄存单的利率为8%，预期下一年的通货膨胀率为5%，利用近似公式可以得到实际利率为rr=8%-5%=3%，利用精确公式可以计算出实际利率为rr=（0.08-0.05）/（1+0.05）＝0.0286，即2.86%。由此可以看到，近似公式得出的实际利率高估了14个基点（0.14%），通货膨胀率较低并采用连续复利度量时，近似公式较为准确。针对这一问题，后面有更为详细的论述。
注意储蓄存单上所给出的是名义利率，因而投资者应当从中除去预期通货膨胀率才能得到投资项目的实际收益率。
事后计算实际利率总是可行的。已发生的通货膨胀率通常刊登在劳动统计局的报告上。但是将来的实际利率我们往往不知道，人们不得不依赖预期。也就是说，由于未来有通货膨胀的风险，即使当名义利率是无风险时，实际收益率仍是不确定的。
均衡实际利率
3个基本因素：供给、需求和政府行为决定了实际利率，我们通常听到的名义利率是实际利率加上通货膨胀因素后的结果，所以影响名义利率的第4个因素就是预期通货膨胀率。
正如世界上有许多种证券一样，经济界中有许多利率，但是经济学家往往采用一个利率来代表所有这些利率。如果考虑到资金的供给与需求曲线，我们采用一个抽象的利率可以对实际利率的确定这一问题有更深的认识。
图1-1描绘了一条向下倾斜的需求曲线和一条向上倾斜的供给曲线，横轴代表资金的数量，纵轴代表实际利率。
从图中可看到，供给曲线向上倾斜是因为实际利率越高，居民储蓄的需求也就越大。这个假设基于这样的原理：实际利率高，居民会推迟现时消费转为未来消费并进行现时投资。[1]
图1-1 均衡实际利率的决定
需求曲线向下倾斜是因为实际利率低，厂商会加大其资本投资的力度。假定厂商选择投资项目是基于项目本身的投资收益率，那么实际利率越低，厂商会投资越多的项目，从而需要越多的融资。
供给曲线与需求曲线的交点形成图1-1中的均衡点E。
政府和中央银行（美联储）可以通过财政政策或货币政策向左或向右移动供给曲线和需求曲线。例如，假定政府预算赤字增加，政府需要增加借款，推动需求曲线向右平移，均衡点从E点移至E′点。也就是说，预期政府借款的增加将会导致市场对未来利率的增加，导致市场对未来利率上升的预期。美联储也可以用扩张性货币政策来抵消这一预期，这将导致供给曲线发生相应的移动。
所以，尽管实际利率最为基本的决定因素是居民的储蓄倾向和投资项目的预期生产率（或利润率），其同时也受到政府财政政策或货币政策的影响。
均衡名义利率
上文指出资产的名义利率近似等于实际利率加通货膨胀率，因为投资者最为关心的是他们的实际收益率（即购买力的增加值），所以当通货膨胀率增加时，投资者会对其投资提出更高的名义利率要求，这样高的名义利率才能保证一项投资的实际收益率水平。
欧文·费雪（Irving Fisher，1930）认为名义利率应该伴随着预期通货膨胀率E（i）的增加而增加。那么所谓的费雪等式为
式（1-4）表明如果实际利率是稳定的，名义利率的变化将预测通货膨胀率的变化。根据不同的实证检验结果，这一关系是有争议的。尽管支持这一关系的经验数据并不是强有力的，人们仍然认为名义利率是预测通货膨胀率的一个可行的方法，部分原因是我们无法用其他方法来很好地预测通货膨胀率。
实证研究很难证实费雪假设，这是因为实际利率往往也在发生着无法预测的变化。名义利率可以被视为名义上无风险资产的必要收益率加上通胀“噪声”的预测值。
长期利率同长期通货膨胀率的预测并不一致，由于这个原因，到期期限不同的债券利率也有所不同。此外，长期债券价格的波动远比短期债券价格剧烈，这意味着长期债券的期望收益应当包括风险溢价，从而不同期限债券的预期实际收益率也是不同的。
税收与实际利率
税赋是基于名义收入的支出，税率则由投资者的税收累进等级决定。美国国会意识到了不断上涨的税收累进制度与通货膨胀率之间的关系（当名义利率随通货膨胀率上升时，将使纳税人面对更高的税收累进等级），便于1986年税制改革中建立了同价格指数挂钩的税收累进制。
同价格指数联系的税收累进制度并没有将个人收入的纳税完全同通货膨胀率分离开来，假设税率为t，名义利率为rn，则税后名义利率为rn（1-t）。税后实际利率近似等于税后名义利率减去通货膨胀率，即
因此，税后实际利率随着通货膨胀率的上升而下降，投资者承受了相当于税率乘以通货膨胀率的通胀损失。例如，假定你的税负为30%，投资收益为12%，通货膨胀率为8%，那么税前实际利率为4%，在通胀保护税收体系下，税后利率为4×（1-0.3）=2.8%，但是税法并没有认识到收益中的前8%并不足以补偿通胀（而不是实际收入）带来的损失，因此，税后收益减少了8％×0.3＝2.4％。这样，你的税后实际利率就变成了0.4％，几乎全部抵消了。
[1] 家庭储蓄会不会随实际利率上升而增加，这个问题在专家中有着很大的争论。
比较不同持有期的收益率
考虑一个寻求安全投资的投资者，比如投资美国国库券[1]。假设我们观察很多不同期限的零息票国库券。零息票债券简单地说是以票面价值折价出售，收益来自购买价和最终票面价值[2]的差价。假设国库券价格为P（T），面值为100美元，持有期为T年。我们把期限为T年的无风险收益率表示成投资价值增长的百分比。
当T=1时，式（1-6）提供了1年期的无风险收益率。
【例1-2】 年化收益率
假定面值为100美元的零息国库券的价格和不同的年限如下所示。我们运用式（1-6）可以计算出每一种证券的总收益率。
不出意料的是，在例1-2中持有期越长，总收益率越高。我们应该怎样比较不同持有期的投资收益呢？这就需要我们将每一个总收益换算成某一常用期限的收益率。我们通常把所有的投资收益表达为有效年利率（effective annual rate，EAR），即一年期投资价值增长百分比。
对于1年期的投资来说，有效年利率等于总收益率rf（1）。总收入（1+EAR）是每一美元投资的最终价值。对于期限少于1年的投资，我们把每一阶段的收益按复利计算到1年。比如，对例1-2中6个月的投资，我们按2.71%的收益率复利计算得到1年后的投资终值1+EAR=1.02712=1.0549，意味着EAR=5.49%。
【例1-3】 有效年收益率与总收益率
对于例1-2中的6个月的国债来说，T=1/2，1/T=2，因此
对于例1-2中25年的国债来说，T=25，因此
对于投资期长于一年的投资来说，通常把有效年利率作为年收益率。比如，例1-2中，持有期为25年的投资在25年里增长了4.2918（也就是1+3.2918）。所以有效年利率可以表达为：
总的来说，我们可以把有效年利率与总收益率rf（T）联系在一起，运用下面的公式计算持有期为T时的回报。
我们可以用一个例子来说明。
年化百分比利率
短期投资（通常情况下，T＜1）的年化收益率是以简单利率而不是复利来报告的。这被称为年化百分比利率（annual percentage rate，APR）。比如，当涉及月收益率（例如信用卡的利率）时，年化百分比利率即为12乘以月率。通常说来，如果把一年分成n个相等的期间，并且每一期间的利率是rf（T），那么，APR=n×rf（T）。反之，你可以通过年化百分比利率得到每个期间的实际利率rf（T）=T×APR。
通过这个过程，例1-2中6个月债券（6个月的利率为2.71%）的年化百分比利率为2×2.71=5.42%。概括一下，对一个期限为T的短期投资来说，每年有n=1/T个复利计算期。因此，复利计算期、有效年利率和年化百分比利率的关系可以用下面的公式来表示
即
【例1-4】 有效年利率与年化百分比利率
在表1-3中我们运用式（1-8）可以得出有效年利率为5.8%的与不同复利计算期限时相对应的年化百分比利率。相反，我们同样可以得到年化百分比利率为5.8%时有效年利率的值。
表1-3 年化百分比利率和有效年利率
连续复利
从表1-3（和式（1-8））中可以明显地看到年化百分比利率和有效年利率随复利计算频率变化而产生的差异。随之而来的问题是，随着计算利息的频率不断提高，年化百分比利率和有效年利率的差异可以达到多大？换句话说，当T不断变小的时候，（1+T×APR）1/T的极限是多少？当T趋近于零，我们得到连续复利（continuous compounding），并且可以用下面的指数函数得到有效年利率与年化百分比利率（在连续复利时，用rcc表示）的关系：
e大约为2.71828。
为了从有效年利率得出rcc的值，我们将式（1-9）化简，如下所示：
这里ln（·）是一个自然对数函数，是exp（·）的反函数。指数函数和对数函数都可以在Excel中进行计算，分别叫作EXP（·）和LN（·）。
【例1-5】 连续复利利率
当给定有效年利率为5.8%时，连续复利计算的年化百分比利率rcc为5.638%（见表1-3），与按日复利计算的年化百分比利率差不多。但对复利频率较低的利率（比如半年）来说，为了得到相同的有效年利率，年化百分比利率的值竟然高达5.718%。也就是说当计算复利频率较低时，达到相同有效回报所需的年化百分比利率会更高。
尽管连续复利看起来是烦琐的数学，但在很多情况下运用这种利率能够简化预期回报和风险的计算。举例来说，在连续复利情况下，对于任何期限T，总收益rcc（T）就可以简单表示为exp（T×rcc）（注：推导自式（1-9）若1+EAR＝，则（1+EAR）T＝。）。换言之，总收益与时间阶段T之间成正向关系。这比用指数按不同阶段的复利计算要简单得多。另一个例子是，回顾式（1-1），实际利率rr、名义利率rn和通货膨胀率i之间的关系rr≈rn-i，只是一个近似值，式（1-3）已给予证明。但是当我们将所有的利率都看作连续复利，式（1-1）就是完全准确的，也就是rcc（实际利率）＝rcc（名义利率）-icc。
注：
[1] 国库券收益和不同期限债券的收益率可以在网络上找到，比如雅虎财经、MSN财经或者直接从美联储获取。
[2] 美国财政部发行的短期国库券为零息债券，期限最长为1年。而金融机构通过购买一般国库券进行本息分离来构造最长达30年的零息票国库券。
国库券与通货膨胀
金融时间序列通常回溯至1926年7月，因为芝加哥大学证券价格研究中心的精确收益数据库以此为起始日。
表1-4总结了美国短期利率、通货膨胀率和相应的实际利率的历史数据。你可以在www.mhhe.com/bkm网站上找到1926年以来的数据。实际利率是由月度短期国库券利率和CPI变化值计算得来的。
表1-4 1926～2012年短期国库券、通货膨胀率、实际利率的统计数据
资料来源：Annual rates of return from rolling over 1-month T-bills：Kenneth French；annual inflation rates：Bureau of Labor Statistics.
表1-4的前几列展示了不同时间段的平均年利率。可见，后半段（1969～2012年）的平均年利率5.35%明显高于前半段的平均年利率1.79%。其中的原因就在于通货膨胀，从表中也可以看到，后半段的通货膨胀水平也显著高于前半段时期。然而，后半段名义利率相比前半段区区0.10%的水平，其足以使实际利率保持在0.95%的水平。
历史经验告诉我们，即使温和的通货膨胀都会使这些低风险投资的实际回报偏离其名义值，在这个样本中，实际收益大约是名义收益的1/5。
财富指数可以用来表示一定期限内某一特定投资的累积收益。假设在期初投资了1美元，我们按年以复利计算投资的价值，期末的价值指数则表明投资期间每单位美元投资的财富总增长值。图1-2表明1970年年末投资于短期国库券的1美元在2012年9月会增长到惊人的9.2美元。然而，用实际值计算的期末财富值只有1.20美元。类似地，1926～2012年财富的名义值增长到了20.25美元，但是实际值只增长到1.55美元。
图1-2 1970～2012年投资国库券的财富指数名义与实际值（左上小图为1926～2012年）
从表1-4的标准差中可以看到在后半段期间通货膨胀的标准差（2.82％）显著低于前半段（4.66％），这也使得后半段期间实际利率的标准差（2.44％）低于前半段（4.98％）。我们注意到名义利率的标准差后半段（3.02％）高于前半段（1.56％），说明已实现实际收益的波动归因于期间国库券利率和通货膨胀率更紧密的联动性。实际上，图1-3记录了后半段期间通货膨胀率缓和后，通货膨胀率和名义利率之间更紧密的联系。
正如前文所述，投资者关心的是其投资的实际收益率。他们要想获得一定的实际收益，在通货膨胀率走高时，必须获得较高的名义收益率。所以，期初观察到的名义短期国库券收益率应该反映该期的预期通货膨胀率。当预期实际利率稳定时，实际通货膨胀率与预期的相当，通胀率与名义短期国库券利率之间相关系数接近于1，通胀率与实际利率的相关系数接近于0。在另外极端情况下，投资者没有通胀预期或预测通胀能力差，通胀率与名义国库券利率相关性为零，与实际利率的相关性为-1，因为实际利率随通货膨胀率上升而下降。
图1-3 1926～2012年利率和通货膨胀率
我们可以通过比较两个期间通货膨胀率分别和名义利率、实际利率的相关性来测度通货膨胀与短期国库券的联动性。结果表明预期通货膨胀的准确性在得到改善。通货膨胀率和国库券名义利率的相关性显著地从接近于0增加到0.48。通货膨胀与实际利率之间的负相关性显著地从-0.98减少到-0.67（见表1-5）。
表1-5 通货膨胀率与短期国库券
风险与风险溢价
持有期收益率
假设你正在考虑投资于股票指数基金。每一份额的现价为100美元，持有期为1年。实现的投资收益率由每份额年末价格和这一年的现金股利决定。
假定每份额的期末价格为110美元，这一年的现金股利为4美元。实现的收益率，也叫作持有期收益率（HPR，holding-period return，在这种情况下，持有期为1年）可以表示如下：
本例中
持有期收益率的定义假设股利在持有期期末支付。如果股利支付提前，那么持有期收益率便忽略了股利支付点到期末这段时间的再投资收益。来自股利的收益百分比被称为股息收益率（dividend yield），所以股息收益率加上资本利得收益率等于持有期收益率。
期望收益率和标准差
1年以后的每份基金价格和股利收入具有很大的不确定性，所以无法确定最终的持有期收益率。我们将市场状况和股票指数市场进行情境分析，将其分为四种情况，如表1-6A～E栏所示。
表1-6 股票指数基金持有期收益率的情境分析
我们怎样来评价这种概率分布？通过本书，我们将会用期望收益率E（r）和标准差σ来表示收益率的概率分布。期望收益值是在不同情境下收益率以发生概率为权重的加权平均值。假设p（s）是各种情境的概率，r（s）是各种情境的持有期收益率，情境由s来标记，我们可以将期望收益写作
将表1-6中的数据运用到式（1-11）中，我们会得到该股票指数基金的期望收益率为
表1-6表明这个和可以很简单地由Excel得出，运用SUMPRODUCT公式先计算出一系列数字对的乘积，然后将这些乘积相加。在此，数字对是每种情境出现的概率和收益率。
收益率的标准差（σ）是度量风险的一种方法。它是方差的平方根，方差是与期望收益偏差的平方的期望值。结果的波动性越强，这些方差的均值就越大。因此，方差和标准差提供了测量结果不确定性的一种方法，也就是
因此，在本例中
这个值已经运用SUMPRODUCT公式在表1-6的G13格计算出来。在G14格的标准差可以这样计算：
显然，困扰该指数基金潜在投资者的是一个市场崩盘或市场变坏的下跌风险，而不是市场变好带来的上涨潜力。收益率的标准差并没有区分好的市场或是坏的市场。它在两种情况下都仅仅表达的是对平均值的偏离程度。只要概率分布大致是关于平均值对称的，标准差就是一个风险的适当测度。在特殊情况中我们可以假设概率分布为正态分布（即众所周知的钟形曲线），E（r）和σ就可以完美地刻画出分布。
超额收益和风险溢价
你应该投资多少到指数基金中？首先，你必须知道承担股票投资风险可以期望的收益有多高。
我们把收益表示成股票指数基金的预期持有期收益率和无风险收益率（risk-free rate）的差值，无风险收益率是当你将钱投入无风险资产比如说短期国库券、货币市场基金或者银行时所获得的利率。我们将这种差值称为普通股的风险溢价（risk premium）。在我们的例子中无风险年利率为4%，预期指数基金收益率为9.76%，所以风险溢价为每年5.76%。在任何一个特定的阶段，风险资产的实际收益率与实际无风险收益率的差值称为超额收益（excess return）。因此，风险溢价是超额收益的期望值，超额收益的标准差是其风险的测度。
投资者投资股票的意愿取决于其风险厌恶（risk aversion）水平。投资者是风险厌恶的，当风险溢价为零时，人们不愿意对股票市场做任何投资。理论上说，必须有正的风险溢价来促使风险厌恶的投资者继续持有现有的股票而不是将他们的钱转移到其他无风险的资产中去。
虽然情境分析解释了量化的风险和收益背后的概念，你可能仍然想知道对于普通股票和其他证券来说怎样更加准确地估计E（r）和σ。历史给我们提供了敏锐的视角。历史上关于有价证券收益的记载运用了各种各样的概念和统计工具，所以首先让我们来做一个初步讨论。
历史收益率的时间序列分析
时间序列与情境分析
在着眼未来的情境分析中，我们设定一组相关的情境和相应的投资回报，并对每个情境设定其发生的概率，最后计算该投资的风险溢价和标准差。相反，资产和组合的历史收益率只是以时间序列形式存在，并没有明确给出这些收益率发生的概率，因为我们只观察到日期和持有期收益率。所以必须从有限的数据中推断收益率的概率分布，或者至少是分布的一些特征值，比如期望收益和标准差。
期望收益和算术平均值
使用历史数据时，我们认为每一个观测值等概率发生。所以如果有n个观测值，便将式（1-11）中的p（s）替换为1/n，这时期望收益可表示为：
【例1-6】 算术平均值与预期收益
表1-7显示了标准普尔500指数在2001～2005年持有期收益率的时间序列。在样本期间中，将n=5的观察期间每一个持有期收益率看作样本期间的年度收益，并等可能发生，概率为1/5，表中的B列使用0.2作为概率值，C列显示每年持有期收益。运用式（1-13），可以得到持有期收益的算术平均值。
表1-7 标准普尔500持有期收益的时间序列
例1-6举例说明了算术平均值在投资学中广泛应用的逻辑。如果每个历史收益的时间序列都真实代表了可能的概率分布，那么从历史数据中计算得到的算术平均值就是预期持有期收益的恰当估计。
几何（时间加权）平均收益
我们看到算术平均值是期望收益率的无偏估计，那么关于整个样本期间的投资组合的实际表现，这些时间序列是如何体现的呢？我们继续运用例1-6来进行说明。
表1-7中F列显示了2001年年初投资1美元在标准普尔500指数上的财富指数。2005年年末财富指数的数值为1.0275美元。这是1美元的最终价值，意味着5年投资持有期收益率为2.75%。
样本期间的收益表现可以用某一年化持有期收益率来衡量，由时间序列中复利终值反推而得。定义该收益率为g，则有
式中，1+g是时间序列的总收益1+r的几何平均数（可以使用Excel中GEOMEAN命令），g是年化持有期收益率。
投资者称g为时间加权（区别于货币加权）的平均收益，它强调了在平均过程中每个历史收益为等权重的。两种平均方法的差别十分重要，因为投资经理作为投资者常常要经历基金数目显著变化的情况，可能需要购买或者赎回其投资份额，而规模大时比规模小时能获得更多的投资回报（或损失），不能单纯看收益率。
收益率波动越大，两种平均方法的差异就越大。如果收益服从正态分布，预期差异为分布方差的1/2，即
（注意：使用式（1-15）时，需要将收益率换成小数形式，而不是百分数形式。）当收益率服从正态分布时，式（1-15）的拟合效果较好[1]。
【例1-7】 几何平均值与算术平均值
例1-6中的几何平均值0.54%显著小于算术平均值2.1%。这种差异有时使人们困惑，主要是来自投资收益率的正负对组合终值的影响不同。
观察到2002年和2003年的收益分别为-0.221和0.2869，这两年的算术平均值是0.03295。然而，如果你在2002年年初投资100美元，2002年年末你也许只能得到77.90美元。要弥补这个亏损，2003年你需要赚21.1美元，这将得到一个相对巨大的收益率27.09%，为什么只是弥补亏损，这个数值会比2002年你损失的22.1%大这么多呢？这是由于你以2003年的数值为基准，这个基准明显小于100美元。较小的基准就意味着它将产生较大的收益率。即使投资组合在2003年的收益率达到28.69%，即收益为77.90×1.2849=100.25美元，这也只是高于100美元的数值。这揭示了两年的年化收益率（几何平均）只有0.12%，明显小于算术平均值3.295%。
方差和标准差
当人们考虑风险时，关注的是偏离期望收益的可能性。实际中，无法直接预期，所以通过偏离期望收益估计值的平方和来计算方差。改动式（1-12），按每个观测值等概率出现，样本平均值作为E（r）：
使用历史数据，估计方差为：
由式（1-16）估计得到的方差是有偏的，这是由于采用的是对样本算术平均值的偏差，而不是未知的真实期望E（r），故导致了一些估计误差。这又称为自由度偏差，可以通过方差算术平均值与因子n/（n-1）的乘积来消除误差。方差和标准差变为：
【例1-8】 方差和标准差
数据表1-7D列显示了偏离算术平均值的平方，D12单元格给出标准差为0.1774，为偏离平方与概率乘积和的平方根。
D13单元格显示了标准差的无偏估计值为0.1983，这略微大于D12中0.1774。如果样本很大，n/（n-1）接近于1，这时自由度的调整可以忽略不计。
高频数据中的均值与方差估计
观测值的频率越高是否导致估计值越准确呢？这个问题的答案令人惊讶：观测值的频率不会影响均值估计的准确性。样本时段的长度而非样本观测值的数量能改进估计的准确性。
10年总收益率除以10与12乘以120个月平均收益率能提供同样精度的预期年化收益率估计。平均月度收益率与10年的平均收益率具有一致性，额外的月度收益率观测值对平均收益估计提供不了额外的信息。但是，更长的样本期，相比10年的收益率，100年的收益率能提供更准确的收益率估计，这里有个前提条件，即100年间收益分布不发生改变。
这里暗示一个规则：即使使用很长时段的样本，你依然相信收益分布不变。遗憾的是，老数据往往包括较少的信息。19世纪的数据是否可以用来做21世纪的收益率？可能不行，这说明我们在估计平均收益时受到局限。
相反，增加样本值可提高标准差或更高阶矩的估计准确性。所以我们可以用变频观测值来提高标准差和更高阶矩的估计准确性。
标准差估计先从方差估计开始。当日度收益不相关时，月度方差可以简单相加。当月度方差相同时，年化方差等于。[2]总的来说，T个月的方差等T乘以单个月的方差。所以，标准差的增长率为，即σA=σM。均值和方差随时间段成比例增长，而标准差随时间段长度的平方根的增长而增长。
收益波动性（夏普）比率
最后，必须注意到，应该假定投资者关注的是他们购买投资组合相对于国库券获得的预期超额收益和相应的风险。尽管国库券的利率不固定，我们仍然知道购买债券并持有到期的收益。其他投资比安全的国库券收益率更高，也难免带来更多的风险。投资者为风险资产定价使得其风险溢价能够弥补预期超额收益带来的风险。这样利用溢价的标准差代替总收益标准差来衡量风险更好。
【例1-9】 夏普比率
