参见表1-6，投资股指基金的情境分析得到5.76%的风险溢价，超额收益的标准差为19.49%。这表明夏普比率等于0.3，与历史股指基金的业绩一致。夏普比率在度量分散化投资组合风险-收益的权衡时是一种合适的方法，但是将其运用在单个资产比如投资组合中的单个股票时是不合适的。
收益（风险溢价）和风险（通过标准差来衡量）之间的权衡意味着人们需要利用投资的风险溢价与标准差的比率来度量投资组合的吸引力。
注意，夏普比率将风险溢价（与时段长度等比例变化）除以标准差（与时段长度为平方根关系）。因此，用高频收益计算年化收益时夏普比率增大。例如，用月度收益计算年化夏普比率，分子乘以12，分母乘以；这样年化的夏普比率为SRA=SRM。总体来说，一项长期投资为T年的夏普比率以比率增加。
这一比率被广泛用于评估投资经理的业绩。
[1] 我们被告知，度量某时段的历史收益时采用几何平均值，而估计未来收益表现时用算术平均。问题是，如果同样的样本出现在未来，收益采用几何平均，那么这是不是预期收益的最佳估计呢？令人惊讶的是，答案是否定的。未来的结果总是包括正的或负的意外（与预期相比）。一连串的正的意外相对一连串负的意外对期末财富影响较大。正因为这种非对称性，几何平均是对未来平均收益的低估。这个低估等于方差的一半，所以采用算术平均来纠正这个误差。
[2] 当月度收益不相关时，我们可以不关心它们之间的协方差。12个月度收益之和的方差等于12个月方差之和。如果月度收益相关，年化方差时需要调整收益之间的序列相关性。
正态分布
正态分布在日常生活中频繁出现。例如，一个国家或地区全部人口的身高、体重情况都很好地符合正态分布。实际上，很多由一连串随机事件构成的变量都会呈现出正态分布的形态，例如在连续生产中用于向标准容器中灌1加仑（1加仑＝3.78立方米）液体的机器每次的灌装误差。同样的逻辑，如果投资者对收益的期望是理性预期，那么实际收益率应该是服从以此期望为均值的正态分布。
正态分布为什么是“正态”的呢？假设一个报社在生意好的一天赚100美元，生意不好则不赚不赔，且两种情况发生的概率各为50%。因此，它平均每天的收益是50美元。我们可以据此画一个二叉树来描述所有可能发生的状况，下面的事件树（event tree）展示了两天生意可能发生的情况。
注意到，两天会产生3种不同的结果，而总的来说，n天会产生n+1种情况。在上图情况下，最有可能发生的是生意一天好、一天坏，概率为0.5，两种极端情况发生的概率各为0.25。
那么在很多天生意之后利润情况会是怎样呢？比如200天之后，可能性达到201种，但是最可能发生的还是位于正中间的结果，而且抵达这种结果的路径多了很多。比如，只有一条路径能形成连续200天惨淡生意的结果，然而100天生意兴隆、100天生意惨淡的结果却有很多种排列的可能性。随着天数的增多，这样的概率分布最终会形成大家熟悉的钟形形状。[1]
图1-4展示的是一个均值为10%、标准差为20%的正态分布。这个图形展示了在给定这些参数下各种收益水平发生的理论概率。较小的标准差意味着可能的收益表现更多地聚集在均值附近，较大的标准差则意味着可能实现的收益水平更加分散。任何一个特定收益率实现的概率都由均值和标准差来决定，换句话说，一个正态分布的形态完全由其均值和标准差这两个参数来决定。
图1-4 正态分布（均值10%，标准差20%）
如果收益率的分布可以用正态分布来近似拟合的话，投资管理将变得更加有理有据。第一，正态分布是左右对称的，也就是说，均值左右程度一样的偏离其发生的概率也一样。没有对称性的话，用收益的标准差来衡量风险显然是不合适的。第二，正态分布具有稳定性，意味着对于具有正态性的不同资产，其构成组合的收益同样服从正态分布。第三，当资产或资产组合收益分布只有两个变量时，对其未来的情境分析因为需要考虑的变量很少而会变得简单许多。第四，当构造证券组合时，我们必须考虑证券收益的相关性。总体来说，这种相关性是多层面的。但是如果收益是正态分布，收益之间统计相关性可以以相关系数来表达。这样我们在描述任何两个证券的相关性时只需估计一个参数。
实际的收益分布需要与正态分布相似到什么程度时我们才可以使用正态分布代替收益的实际分布呢？显而易见，收益的分布是无法用正态分布完美代替的。比如，与正态分布不同的是，实际收益率并不会低于-100%，但这并不是说正态分布就一无是处。在其他环境中类似的问题同样存在。比如，一个新生儿的体重会去跟所有新生儿体重的分布做对比，而显然新生儿的体重并不存在零或负值。但是在这种情况下，仍然使用正态分布来表示新生儿群体的体重分布情况，因为体重的标准差和体重的均值相比起来较小，问题中出现负值的概率基本可以忽略不计（注：实际上，均值为3958克，标准差为511克。一个负的体重的概率要在离均值7.74个标准差以外，在正态分布的假设下，这一情况发生的概率为4.97×10-15，于是负的出生体重在实际研究中可以不用考虑。）。所以，类似地，我们必须给出一定的标准来决定收益率的正态假设的合理性。
【例1-10】 Excel中的正态分布函数
假定标准普尔500的月收益率近似符合均值为1%、标准差为6%的正态分布。那么在任何一个月指数收益为负的概率是多少？使用Excel建立一个函数能很快解决这个问题。在正态分布函数中观察的结果小于临界值的概率用NORMDIST（临界值，均值，标准差，TRUE）得到。在这个例子中想得到小于零的概率，即计算NORMDIST（0，1，6，TRUE）=0.4338，也可以在Excel中建立标准的正态函数来求均值低于1/6个标准差的概率：NORMDIST（-1/6）=0.4338。
[1] 历史上，早期18世纪对正态分布的描述基于很多期“二叉树”的结果，如同我们之前分析的一样。这一表达在实际中多用于期权定价。
偏离正态分布和风险度量
前面可以看出超额收益的正态分布大大简化了组合选择的过程。正态分布保证标准差是衡量风险的完美度量，因此夏普比率是证券表现的完美度量。然而，很多投资者通过观察相信资产收益对正态分布的偏离已经很显著，不可忽视。
正态偏离可以通过计算收益分布的高阶矩来看到。超额收益R的n阶中心矩为（R-）n，一阶矩为0，二阶矩为方差的估计值。（注：对于一个关于均值对称的分布，比如正态分布而言，所有的奇数矩量（n=1，3，5，…）的期望都为零，而所有的偶数矩量都仅仅是标准差的一个函数。比如，四阶矩为3σ4，六阶矩为15σ6。因此，对于服从正态分布的收益率而言，标准差σ提供了风险的全部信息，而资产组合的投资绩效可以通过夏普比率R/σ来计算。然而对于其他非对称分布而言，奇数阶矩可能非零。一个比正态分布更大的偶数阶矩，加上一个负的奇数阶矩，意味着发生极端恶劣状况概率的增加。）
一个关于不对称性的度量，称为偏度（skew），计算公式如下：
偏差的立方有正有负。因此，如果分布是右偏，则如图1-5a中黑色的曲线，偏度为正。左偏如浅色曲线所示，偏度为负。当偏度为正时，标准差高估风险；当偏度为负时，标准差低估风险。
另一个正态偏离的度量考虑分布两端极端值出现的可能性，即从图像上来看有肥尾特征的情况，分布的尾部发生的概率较正态分布预测的要高，分布中部发生的概率则较正态分布的低，如图1-5b所示。这种度量称为峰度（kurtosis），计算公式如下：
之所以减去3是因为正态分布的上述比率为3，所以正态分布的峰度为零，峰度为正则说明存在肥尾现象。图1-5b中的肥尾曲线峰度为0.35。
图1-5a 正态和偏度分布（均值6%，SD=17%）
图1-5b 正态和肥尾分布（均值0.1，SD=0.2）
极端负收益更常见于负偏度或正峰度（肥尾）分布。因此，我们需要一个风险度量来衡量极端负收益率的发生情况。注意偏度和峰度都为纯数值。它们不会随着高频观测值的年化而变化。极端负收益的频繁发生会导致出现负偏和肥尾。因此，我们需要揭示极端负收益发生的风险测度。我们将讨论业界最普遍使用的该种测度：在险价值、预期尾部损失、下偏标准差和极端3δ收益的相对频率。
在险价值
在险价值（value at risk，VaR）是度量一定概率下发生极端负收益所造成的损失。在险价值一般会写入银行的管理条例并由风险管理人员监控。在险价值的另一个名称是分位数。一个概率分布的q分位数是指小于这一分位数的样本点占总体的比例为q%。因此，当q=50时的分位数就是中位数。从业者通常估计5%的VaR，它表示有95%的收益率都将大于该值。因此，这一VaR实际上是5%的最坏的情况下最好的收益率。
当投资组合的收益率为正态分布时，VaR可以从分布的均值和标准差中直接推导出来。标准正态分布（均值为0，标准差为1）的5%分位数为-1.65，因此相应的VaR为
我们可以将观测值从高到低排列以获取VaR的估计值，VaR就是样本分布的5%分位数。通常，受样本数量的影响，我们必须对分位数做插值处理。假设样本由84个年收益率组成（1926～2009年），则5%的观测的序号为4.2。我们必须在从下往上数的第4个观测和第5个观测之间进行插值运算。假设最低的5个收益率为
则相应的VaR在-25.03％和-25.69％之间，并被计算如下
预期尾部损失
当我们通过观测最坏的5%的情况来评估尾部风险时，VaR是所有这些情况中收益率最高（损失最小）的。一个对损失敞口头寸更加现实的观点是：关注最坏情况发生条件下的预期损失。这样的一个值有两个名称：预期损失（expected shortfall，ES）或条件尾部期望（conditional tail expectation，CTE），后者强调了其与左尾分布之间的密切关系。在本书中，我们使用预期损失这一名称。
假设每一个样本点发生的概率相同，因此，我们需要求最底部的5%的观测的平均值。和前面的插值过程一样，我们给最底部的4个值的权重为4/4.2，而给第5个值的权重为0.2/4.2，这样可以求得ES=-35.94%，显著小于VaR的值-25.56%。
注：Jonathan Treussard给出了正态分布下ES的一个公式（见“The Nonmonotonicity of Value-at-Risk and the Validity of Risk Measures over Different Horizons”，IFCAI Journal of Financial Risk Management，March 2007）。其公式为
其中μ为连续复利计算的收益率的均值，σ是其标准差，N（·）为标准正态分布的累计分布函数，F是其逆函数。在上面的例子中，μ和σ的估计值分别为5.47%和19.54%。正态分布假设下，我们有ES=-30.57%，这表明这一分布相比于正态分布有更大的左尾值。需要注意的是，虽然VaR和ES都是利用历史样本估计的无偏估计值，但是仍然可能包含很大的估计误差。
下偏标准差与索提诺比率
正态分布情况下用标准差作为风险的度量存在以下几个问题：①分布的非对称性要求我们独立地考察收益率为负的结果；②因为无风险投资工具是风险投资组合的替代投资，因此我们应该考察收益对无风险投资收益的偏离而不是对平均投资收益的偏离。
下偏标准差（lower partial standard deviation，LPSD）可以解决这两个问题。其计算方法和普通标准差的计算相似，但只使用造成损失的那些样本，即它只使用相对于无风险收益率负偏（而非相对于样本均值负偏）的那些收益率，类似求方差一样求这些偏离的平方和的平均值，然后再求其平方根就得到了“左尾标准差”。因此下偏标准差实际代表的是给定损失发生情况下的均方偏离。注意到这样一个值忽略了负超额收益的频率，不同的负的超额收益的分布可能产生相同的下偏标准差值。
从业人员用下偏标准差来替代标准差，同样也用超额收益率对下偏标准差的比率来替代夏普比率（平均超额收益率对标准差的比率）。夏普比率的这一变形被称为索提诺比率（Sortino ratio）。
-3σ收益的相对频率
这里我们关注大幅度负收益与相同均值和标准差正态分布相比的相对发生频率。当股票价格发生大幅度变动时，我们称这种极端收益为跳跃（jumps）。我们比较低于均值的3倍标准差或以上的收益发生的样本数与正态分布下-3σ收益发生的相对频率。
这一程度对于股票价格下行风险有信息价值，实践中它在高频大样本中更有用。观察图1-4，-3σ跳跃的相对频率为0.13%，即每1000个观察值中有1.3次。因此，在小样本中很难得到具有代表性的结果，或者很难反映真实的关于极端变化的统计预期。
在下文分析一些常见投资工具收益的历史数据时，我们再说明为什么从业人员需要这么多统计和绩效测度来给风险投资做分析。下面专栏介绍了这些测度日益受欢迎的程度，特别是对肥尾和极端值的关注。
华尔街实战
基金不再靠正态曲线度量风险
2008年，一个包含60%的股票和40%的债券的典型投资组合约损失1/5的价值。标准的投资组合理论认为这种情况111年才会发生一次。经典的投资组合理论认为收益率服从一个钟形分布，但数学家和投资者都知道市场运行并不像理论假设的一样完美。如果收益率真的是钟形分布，那么2008年那种下跌发生的概率只可能在概率极小的左尾附近发生，这意味着这种事件几乎是不可能发生的。
近期的历史数据表明，发生这种情况的可能性并非如预测的那么低。在过去20多年里，投资者们经受了1987年股市崩盘、长期资本管理公司的破产、高科技股泡沫的破裂等事件。
华尔街许多新的金融工具都假设市场收益服从肥尾分布，在这一假定下，2008年将近40%的股票下跌这种事情发生的概率就比之前要大多了。这些假设给出了对风险的另一种认识。考虑之前提到的60%的股票和40%的债券这样一种投资组合。在肥尾分布的假设下，投资组合下跌20%的事件每40年就可能发生一次，而不是之前钟形分布假设下的111年。（最近一次像2008年一样严重的危机发生于1931年。）
一个潜在的缺陷是：我们关于稀有事件的历史样本太少，以至于很难构建相应的模型。MSCI Barra的首席分析师Lisa Goldberg说：“数据稀缺是个内在的问题。”
新金融工具的发展同样限制了传统风险测度的作用。正如诺贝尔经济学奖得主哈里·马科维茨于20世纪50年代所指出的，标准差作为一种风险度量可以测量一个投资组合收益率在一段时间内的变化幅度。但是它受收益率向上变化和向下变化的影响相同，而许多投资者相比于获取利润而言更害怕遭受损失。同时，标准差也没有考虑分布肥尾性的影响。
最近几十年，一个考虑了下行风险的新风险指标受到越来越多的关注。这一指标就是在险价值VaR，它可以告诉你在一个特定交易日你有5%的概率损失3%以上的投资之类的事情，但它并没有考虑极端恶劣情况的影响。
为了考虑极端风险，许多公司开始使用预期损失或条件在险价值（conditional VaR）指标，它们代表了当损失超过在险价值时，投资组合的预期损失。条件在险价值估计了不利情况下的预期损失，如J.P.摩根和MSCI Barra等公司都在使用这一指标。
资料来源：Eleanor Laise，The Wall Street Journal，September 8，2009，p.C1.Reprinted with permission.© 2009 Dow Jones & Company，Inc.All Rights Reserved Worldwide.
风险组合的历史收益
我们现在将前文中介绍的分析工具应用于6种风险投资组合，以便后续分析。基础组合是尽可能广泛的美国股票组合，包括在NYSE、AMEX和NASDAQ上市的股票，并将此标注为“全美股票”。逻辑上说，无人管理（被动）的证券组合应该更多投资于大型公司股票，因此这个基础组合是价值加权的组合。公司市值（market cap）一般向右高度倾斜，存在众多小规模公司，少了巨无霸公司。因为采用价值加权，因此“全美股票”组合以大公司为主导。
这里的数据包括1926年7月至2012年9月间的全部美国上市公司的月度超额收益，样本覆盖86年。我们将样本按照样本长度和经济状况一分为三，以分析这些组合在不同子样本中如何表现。
最早的子样本期大约是20世纪的第2个25年，即1926年7月至1949年12月，总共包括282个月，覆盖大萧条和“第二次世界大战”时期。
第二个子样本期是20世纪的下半期（1950年1月至1999年12月），总共600个月，尽管其间有3次战争（朝鲜战争、越南战争和波斯湾战争），8次相对小幅度经济萧条和复苏期，但总体上属于比较平稳的时期。该子样本期结束于20世纪90年代后期的网络泡沫。
第三个子样本期涵盖21世纪的前153个月，属于困难时期，包括两次不同类型的深度衰退，一次是网络泡沫的破灭，另一次是2007年开始的房地产泡沫的破灭，每次泡沫破灭导致股票价格大约下跌40%。其间马拉松式的伊拉克战争和阿富汗冲突使美国经济雪上加霜。
我们以构造的4个组合与“全美股票”组合进行比较。这些供比较分析的组合主要依据具有实证证据支持与股票收益相关的两个变量来构造的，即公司规模（股票市值）和市净率。
在其他条件相同时，小规模公司股票收益总体上高于大规模公司股票收益。这里的其他条件指所有能够度量的风险。4个组合中包含两个市值规模较高的股票组合，两个市值规模较小的股票组合。
资产负债表中的会计数据反映公司过去资产投资的历史成本，属于回溯型价值度量。公司净资产（账面价值）等于公司市值减去负债余额。然而，公司市值反映现有公司业务的所有现金流现值，也包含公司业务的预期成长以及尚未投产项目的现金流，可以称之为成长机会。账面价值与公司市值的比例优劣取决于现有资产和成长机会的相对比例。低市净率公司一般是那些公司市值依赖于成长机会的公司，而高市净率公司一般称之为价值型公司，其公司市值主要源于现有公司资产。其他条件相同时，价值型公司的平均收益一般高于成长型公司的收益。
法玛和弗伦奇广泛证明了公司规模和市净率效应，这些效应同样存在于全世界的上市公司。[1]法玛和弗伦奇的数据按照规模大小和市净率高中低划分的美国股票组合的收益，并且每年年中进行组合调整。
我们放弃中等市净率公司，并将高市净率公司称为“价值型”公司。低市净率公司称为“成长型”公司，这样得到4个比照组组合，即大型/价值、大型/成长、小型/价值、小型/成长组合。一般采用价值加权方法构造组合，为了更强调小型公司并与含有更多大型公司的“全美股票”组合形成鲜明对照，这里采用等权重法。
表1-8给出了期初期末各组合的公司数量、平均规模、平均B/M值。除21世纪因不景气导致大量小规模公司消失外，组合的公司数量呈增加态势。小规模公司从样本中消失导致余下公司的平均市值增加。所有公司的平均市值从0.57亿美元增加到44.7亿美元，在86年期间平均年增长5.2%，较GDP平均增速（6.7%）略慢，但较平均CPI（3.2％）高出2%。
表1-8 各组合公司数量、平均市值和平均B/M值
①价值加权，因此大型公司占主导。
②B/M值以年中数计。
资料来源：弗伦奇教授网址：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.
图1-6展示了总计1035个月的短期国库券和5个风险资产组合收益的直方图。记住，尽管月平均收益差别不大，但对很长一段样本期的期末财富会产生很大影响。图1-6a显示短期国库券收益在-0.05%至1.5%之间[2]，图1-6b给出全美股票组合的月均超额收益在-20%至20%之间，相当于年化收益-93%至891%！纵轴表示各组别的收益（柱状图中黑色柱表示样本收益，有色柱表示正态分布中的收益）。国库券收益的组别宽度为2.5个基点（0.025%），股票组合的组别宽为50个基点。左侧和右侧的极端组合的组别包括了报告范围以外（小于-20%或高于20%）的所有收益频率。图1-6c和图1-6d给出两个大公司或大市值股票组合超额收益的直方图，图1-6e和图1-6f给出两个小公司组合超额收益的直方图。
从股票的超额收益上第一眼可以看出相对于正态分布而言表现出肥尾特征，意味着极端收益发生的频率高。由于极端收益可能产生的巨大影响，一般采用剔除极端收益外的超额收益来拟合正态分布，而将极端收益单独进行估计。所以，图1-6b～图1-6f中的浅色柱子表示的是与±10%实际收益的均值和标准差相当的正态分布下的预期频率，各图中左上方方格标注的是实际分布的均值和标准差，右上方的方格中是以下分组别收益统计量：中间区域（收益在±10%之间），负向跳跃（极端收益小于-10%）和正向跳跃（极端收益高于10%）。
图1-6 1926～2012年化收益分布
资料来源：同表1-3。
直方图使我们有了关于持有股票风险的直观描述。这里的风险主要是负向跳跃的频率和幅度引起的。我们需要些规范分析来认识这些与状态分布的偏离是否具有经济含义。
表1-9列示了全部86年期间以及3个子样本期的5个股票组合的各类统计量。1035个月度样本的平均超额收益显著大于0，表明存在正的溢价。观察价值加权的全美国股票组合，并比较各子样本平均值可以看出，迄今为止的21世纪对于大公司而言相当困难。也不奇怪，20世纪下半期的政治和经济相对稳定，股票组合的平均收益最高，对于等权重组合尤为如此。表1-9A对表1-9进行了补充报告，显示了这些平均收益情况。
表1-9 1926年7月至2012年9月股票月超额收益（年度统计）
①NYSE，AMEX，and NASDAQ，上市股票为价值加权。
②大型股票和最高1/3B/M股票，等权重。
③大型股票与最低1/3B/M股票，等权重。
④小型股票与最高1/3B/M股票，等权重。
⑤小型股票与最低1/3B/M股票，等权重。
⑥根据月度连续复利计算。
资料来源：Author’s calculations，using data from Professor Kenneth French’s Web site，http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.
与预期相符，20世纪的第2个25年由于经历大萧条和股票价格翻江倒海的变化，这25年表现出最高的标准差（见表1-9B）。
所有股票组合的夏普比率在20世纪的后半期达到最好值（见表1-9C）。21世纪大型公司占主导的全美公司组合表现最差，等权重组合表现则相对适中。令人奇怪的是，尽管经历大萧条时期，20世纪第2个25年的平均收益并不特别低。然而，由于这些估计值很不准确（标准差在0.2或20%之间），我们不能肯定夏普比率在各子样本期和各组合之间有如此的差异。
表1-9A 平均超额收益
表1-9B 标准差
表1-9C 夏普比率
组合收益
本节主要目的是比较5个组合的收益。从价值加权的“全美股票”组合是被动投资者的自然选择这个前提出发，我们选择其他4个组合是因为有证据证明规模（大公司vs.小公司）和B/M（价值vs成长）是组合表现的主要推动力。表1-9A表明小公司/价值型组合事实上在所有时期的平均收益都比较高，与其他组合的平均收益差距都在统计意义上显著。[3]另外，等权重对比组合的平均收益（表1-9A的最右侧一栏）较“全美股票”组合的高。但是在判断这种组合更好或更坏之前，必须要证明组合收益之间的差别不能被风险所解释。这里，我们必须质疑标准差作为特定资产或组合风险度量的正确性。标准差度量整体波动性，因此作为一个投资者整个在险财富的证券组合风险测度是合理的，即作为广义资产配置。作为添加与投资者财富组合上的单个资产或组合的风险应该考虑其增加的风险。这一差别需要标准差之外的其他风险测度。
表1-9B显示的是这些股票组合的高标准差。年化标准差在15%～63%。就以最小的标准差计算，组合价值在1年期间也算很正常。很明显规模与波动性相关，两个小规模股票组合的波动性较高，而两个大公司组合的波动性较低。而且价值型股票组合的波动性比成长型股票的高，但两者之间的差异并不很显著。
无论怎样考虑这些组合的收益问题，我们必须首先决定标准差是不是风险的一个合适的测度。表1-9表明部分组合在部分时期表现出负偏，但是所有组合在所有时期都表现出正的峰度。这表明必须谨慎地评估这些偏离对于在险价值（VaR）、预期损失（ES）以及-3σ频率的影响。最后，因为图1-6分离出±10%范围内和±10%收益之外的月度超额收益分布，我们可以量化这些极端收益产生的影响。
我们从实际收益分布的VaR与相应正态分布（相同均值和标准差）的差异分析开始。记住5%VaR是指对应于第5个百分位的收益分布的损失。它是一个极端结果的风险测度，因为它关注极左侧尾部分布，因此一般称为尾部风险。我们对比实际VaR与对应的正态分布VaR来比较历史尾部风险和正态分布尾部风险的差异。超额VaR指历史实际分布VaR与正态分布VaR的差异，负数代表更大的损失。
表1-9D显示整个样本期VaR值并不比相应正态分布的尾部风险大。最差的超额VaR（21世纪的大型/价值组合的VaR为-1.71%）比该组合月度收益标准差（6.01%）的1/3还小。
然而另外的风险测度则表明尾部风险较相应正态分布的大。表1-9中的实际超额收益的预期损失（ES）比相应正态分布的负值更小（与正峰度为标志的肥尾一致）。为评价偏离正态分布的经济影响，我们在表1-9E中给出各种组合的预期损失与月度收益标准差的分数。负号表明多数-5%的实际观察值较对应的正态分布更糟，但是这种差异并不显著。其量差与月度收益标准差之比从未超过0.77。从整个样本期看，预期损失没有超过月度收益标准差的0.44倍。这说明，我们没有证据表明正态分布的假设不合适。
表1-9F列示了大于3个标准差的负月度收益或跳跃的实际数量以及正态分布假设下的数量。在每1000个月实际数为2.9～9.7，而正态分布下的只有0.6～1.0。这是什么含义呢？-3σ收益确实是巨大的负面冲击。为便于理解，我们计算超额跳跃之间的预期时长（以年表示），这里的超额跳跃是指超出正态分布的跳跃时长。我们还计算了该段时期的预期收益（以标准差的倍数表示，见表1-9F）。数据表明每9～36年观察到一次超额跳跃，其间组合的超额收益约为16～104倍标准差。因此跳跃风险似乎对长期股票收益的均值和风险影响不大。
最后，我们剖析±10%收益以外的跳跃幅度，在图1-6中有预示。为量化风险，我们提出如下问题：当我们观察1035个月中低于-10%月度收益时，它们的标准差是多少？与这些样本均值标准差相同的正态分布下的尾部标准差是多少？表1-9G给出了上述问题的答案。很明显，正如图1-6所示，实际的标准差比正态分布下的标准差要大。在最差的时期实际标准差比正态分布下的标准差高出近43%。在所有分析过的统计指标中，这也是直接以正态分布近似实际分布得出的最可怕的结果。
表1-9D VaR（除以月度标准差）
表1-9E 预期损失（除以月度标准差）
表1-9F -3σ收益
表1-9G 低于-10％月度收益标准差
总结一下，以正态分布近似组合收益总体上不坏，但是在特殊时期这可能低估投资风险。不过我们可以通过细致估计极端收益标准差来弥补其缺陷。无论如何，我们在应用正态分布条件下的理论和推理时应该更加谨慎。总体上，应该确保资产或证券组合的标准差反映尾部风险。
下一章我们将继续讨论这些组合并分析其中的“全美股票”组合是不是风险-收益权衡下的最有效组合。我们也将考虑规模-B/M组合表现的相应调整。不过，对于资产收益近似正态分布的假设令人欣慰，这使我们的分析更顺畅同时也更准确。
全球视野下的历史数据
随着全球金融市场的发展，金融市场变得越来越透明化，美国投资者正在谋求通过国际化投资使投资组合更加多元化。一些国外投资者为了降低风险，还投资于可以看作避风港的美国市场作为其本国市场投资的额外补充。这就相应提出了美国股市和全球股市相比表现到底怎样的问题。
图1-7列出了16个发达国家股票市场1900～2000年这100年间的平均名义收益率和实际收益率。我们发现从平均实际收益率来看美国排在第4位，处于瑞典、澳大利亚和南非之后。图1-8列出了这16个国家股票和债券实际收益的标准差，发现股票标准差按照从低到高排列，美国与其他3个国家并列排在第3位。可见，美国的表现还不错，但是与这些国家相比并不突出。
这些数据一个有趣的特点在于按照平均实际收益率与标准差的比值来计算，表现最差的是意大利、比利时、德国和日本——第二次世界大战中受创最严重的国家；表现最好的国家有澳大利亚、加拿大和美国，而这些国家恰恰是20世纪受战争影响最小的国家。此外16个国家的实际收益率差距非常小。平均实际收益率最高的国家（瑞典7.6%）和16个国家的平均值（5.1%）差距只有2.5%。同样，最低的国家（比利时2.5%）和均值的差距只有2.6%。取平均标准差23%，观测样本100个，差距2.6%的t统计量为：
图1-7 1900～2000年各国股票的名义和实际收益率
资料来源：Elroy Dimson，Paul Marsh，and Mike Staunton，Triumph of the Optimists：101 Years of Global Investment Returns（Princeton：Princeton University Press，2002），p.50.Reprinted by permission of the Princeton University Press.
图1-8 1900～2000年各国股票和债券实际收益率的标准差
资料来源：Elroy Dimson，Paul Marsh，and Mike Staunton，Triumph of the Optimists：101 Years of Global Investment Returns（Princeton：Princeton University Press，2002），p.61.Reprinted by permission of the Princeton University Press.
这个数值远小于常见的t统计量显著性水平，所以结论是美国的表现不应该作为特例而被排除，美国股票市场作为收益特征的评判标准是合理的。
最近，业内人士和学者正在争论：美国大盘股超过短期国库券7.92%的历史平均风险溢价是否可以作为长期合理的预测值。这个争议的焦点落在两个问题上：第一，历史上主导的经济因素是否充分代表了预测假设中主导的经济因素？第二，历史所得的算术平均值是否可以作为长期预测的有效基准？
[1] 这类文献最早开始于他们的1992年文章，“股票的预期截面收益”，Journal of Finance，第47期，427-465.
[2] 这是连续复利计算的超额收益，最接近于正态分布。
[3] 平均收益差的t值为平均收益除以收益差的标准差。
长期投资
考虑一名投资者为其25年后的退休于今天储蓄了1美元，把这1美元投资于一个风险股票投资组合（获得的股利也进行再投资），这个股票组合的月收益率为1%，那么退休后他的这笔退休“基金”会增长近20倍，其终值为（1+0.01）300=19.79（美元）（增长了1879％）。同时比较投资于一个25年无风险月平均收益率为0.5%的国债时，投资的终值只有1.005300＝4.46（美元）。可以看出0.5%的月风险溢价会使投资的总收益比无风险国债多3倍多，这就是复利的作用。你可能会问既然如此为什么还会有人投资于国债，很明显这是一个风险的超额收益问题。那么风险与收益这种权衡关系的本质是什么呢？一个长期收益率波动的投资风险较难理解，因此对它的刻画十分重要。
仿照之前的例子，我们继续用二叉树来构造一个股票基金终值的概率分布。与之前不同的是，这次不采用月利润简单相加，而是根据分布确定一个收益率并以之按复利计算终值。例如，假设某个股票组合的月收益率可以近似看成如下分布：月收益率50%的可能性是5.54%，50%的可能性是-3.54%。这种构造的月期望收益是1%，其风险用月收益标准差来衡量是=4.54%。2个月后的事件树如下所示：
300个月后二叉树会产生301种不同的可能结果，而每种结果的概率可以通过Excel中的BINOMDIST函数来获得。由此我们计算得到期末终值的均值为19.79，标准差为18.09。我们可以用这个标准差来度量19.79-4.29=15.5（1550%）的风险溢价吗？回想前文里讲的收益分布的非对称性会使标准差衡量的风险水平出现偏差的情况，所以我们必须先看看这个事件树最终的分布情况。
图1-9画出了期末可能价值的发生概率，可以看出分布的非对称性是很明显的。很高的正偏度表明标准差对风险的度量并不适用。实际上，以复利计算多期二项分布的终值时，其收敛于对数正态分布（lognormal distribution）。对数正态分布描述的变量在取对数后服从正态分布。
图1-9 25年后的概率分布服从对数正态分布
正态分布与对数正态分布
我们前文指出过，正态分布的一个重要特性是它的稳定性，即服从正态分布的收益加总后的结果依然服从正态分布。但是这一特性不适用于正态分布收益的乘积，这样我们依然寻找较长时段收益的分布。例如，两个时段的实际收益率r1和r2均为正态分布，这两个时段总收益率（1+r1）（1+r2）-1不是正态分布。正态分布不能用来做我们想象的简化分布，但是对数正态分布可以。什么是对数正态分布？
一个随机变量X，如果其对数形式ln（X）服从正态分布，则X服从对数正态分布。这样如果瞬间股票价格服从正态分布（即在一个极短时段收益呈正态分布），那么一个较长时段的复利收益以及未来的股票价格服从对数正态分布。[1]反过来，如果股票价格服从对数正态分布，其连续复利收益（CC）服从正态分布。既然不管时段多长，连续复利收益服从正态分布，如果采用连续复利收益率而非实际收益率，我们依然可以利用正态分布带来的种种简化。
回顾一下连续复利收益公式rCC=ln（1+r），如果有实际收益率，我们即可计算连续复利收益率。如果rCC服从正态分布，则可以用它进行各种分析和计算。如果有需要，也可以从rCC反推实际收益率，即r=-1。
我们看看当股票价格服从对数正态分布时能得出些什么样的规律。假设对数股票价格服从预期年化增长率为g、标准差为σ的正态分布。收益受到随机冲击时，这些波动对价格的影响并非对称。一个正向的向上冲击提高了股价，则下一个冲击较上一个大。反过来也一样，一个负向冲击降低了股价，下一个冲击则较小。这样，一连串的正向冲击将有一个较大的上行影响，一连串的负向冲击将产生较大的下行影响。因此，即便g为0波动性推动股价上行。这种额外移动有多大？这取决于最小价格变动的大小，事实上，它恰好等于其方差的一半。这样连续复利收益率m将大于g。预期的年化连续复利收益率（CC）等于
有了正态分布的CC，我们预期期初财富W0复利到年末为=Wem。因此预期实际利率等于
如果将年化CC用到期限为T的一项投资，不管T是大于或小于1年，该投资将按照r（T）=-1速度增长。预期累计收益率rCCT与T成比例，即E（rCCT）=mT=gT+（1/2）σ2T，预期的期末财富为
