导读
构造一个投资组合分为两步：①投资者确定组合中风险资产的构成如股票、债券等；②决定这个风险资产组合和无风险资产的配置比率。显然，在不知道风险资产和无风险资产的期望收益以及风险水平时，投资者是无法做出上述决策的，所以刻画资产组合收益风险的权衡就显得非常重要。
构造最优风险资产组合的技术比较复杂，投资者可以交给专业人士，因为这需要高超的优化技巧。至于多少资金用于投资风险资产，多少用于无风险资产，取决于投资者自己对风险与期望收益的权衡。在本章涉及的部分行为金融内容中，读者会看到大部分投资者在这关键的一步犹豫不决。
本章首先介绍组合理论中以风险为中心的两项主题。一是投资者一般会规避风险，除非风险意味着更高的期望收益。二是关于衡量投资者个人对收益和风险的权衡取舍。所以我们介绍效用函数，它可以根据风险和期望收益把个人的福利量化为效用值，并选择效用最大的资产组合。在附录中我们展示了效用模型的历史数据和实证基础。
有了效用模型之后，我们可以解决投资者面对的最重要的投资决策——多少钱投入到风险资产中以期望更高的收益。在本章中我们假设用众多风险资产构造风险组合已经发生，下一章中讨论如何构建的问题。用效用模型中期望收益和风险参数可以得出风险组合和无风险资产之间的最优资本配置。
风险与风险厌恶
前文我们介绍了持有期收益率和超额收益率，同样也讨论了估计风险溢价（预期超额收益）和作为风险度量的收益率标准差，并用对特定风险组合的情境分析展示了这些概念。为了强调高风险必须以高收益作为回报，我们在这里首先介绍投机和赌博的差异。
风险、投机和赌博
投机是指承担一定的风险并获取相应的报酬，尽管听起来很容易，但要使投机可以利用，首先必须特别定义“一定的风险”和“相应的报酬”。
“一定的风险”是说风险水平足够影响投资决策。一个投资者也许会因为一项投资产品的潜在收益并不足以弥补它的风险而放弃投资。“相应的报酬”是指投资有正的风险溢价，即期望收益率高于无风险收益率。
赌博是“为了一个不确定的结果下注”。如果把赌博的定义和投机相比较，会发现主要差别在于赌博并没有“相应的报酬”。从经济学上讲，赌博是为了享受冒险的乐趣而承担风险，而投机则指为了风险溢价而承担风险。把赌博变成投机需要有足够的风险溢价来补偿风险厌恶投资者。因此，风险厌恶和投机并不矛盾。风险溢价为零的风险投资也叫作公平博弈（fair game），比如一些赌博，风险厌恶的投资者就不会进行这样的博弈。
在某些情况下赌博看起来像是投机。比如两个投资者鲍尔和玛丽对美元与英镑的远期汇率走势进行对赌。如果一年后1英镑价值超过1.6美元，则鲍尔付给玛丽100美元；相反则玛丽付给鲍尔100美元。这个赌局只有两种结果。如果两人对两种结果出现的概率有共同的认识，而两个人认为自己都不会输，则两种结果出现的概率只能为0.5。在这种情况下，双方的期望收益都为零，两人的行为更像是在赌博。
然而，更有可能的是鲍尔和玛丽对事件结果发生概率认识的不同。玛丽认为英镑汇率超过1.6美元的概率大于0.5，鲍尔认为汇率低于1.6美元的概率大于0.5，他们的主观预期并不相同。经济学家称这种现象为“异质预期”。在这种情况下，双方都把自己的行为看作投机，而非赌博。
鲍尔和玛丽都应该有这样的疑问，为什么对方会投资于其认为期望收益分明为负的投资。解决异质预期问题的理想方法是让鲍尔与玛丽充分交换信息，也就是使双方明确自己已经掌握了所有的相关信息并得当地处理了这些信息。当然，为了消除异质预期而获得信息与深入沟通是有成本的，因此一定程度上异质预期的存在并非不理性。然而，当类似协议经常发生时，双方就会认识到信息不对称问题确实存在：他们或是输赢参半，意识到自己不过是在赌博，或是输的一方意识到自己一直是在欠佳的预测基础上打赌。
风险厌恶和效用价值
第1章中展示了不同类型资产的收益率以及大量深入的实证研究，表明风险资产都需要风险溢价作为补偿，这说明大多数投资者都是风险厌恶的。
风险厌恶（risk averse）的投资者会放弃公平赌局和更差的投资。他们更愿意考虑无风险资产和有正风险溢价的投资品。广泛地说，风险厌恶的投资者会“处罚”除去风险组合一定的收益率，以弥补其承担的风险。风险越大，处罚就越大。有人会疑问为什么一定要假设投资者是风险厌恶的，相信多数投资者都会同意这一观点。
为了阐述在众多风险水平不同的投资组合中进行选择将会面临的问题，我们给出一个具体的例子。假设无风险利率是5%，投资者面临表2-1中3种不同的投资组合。表中用风险溢价、风险水平和标准差（SD）来说明低风险债券（L）、高风险债券（M）和股票组合（H）的风险收益特征。投资者会如何选择呢？
表2-1 可供选择的风险资产组合（无风险利率为5%）
我们假设投资者会根据收益风险情况为每个资产组合给出一个效用值分数。分数越高说明这个资产组合越有吸引力。资产期望收益越高分数越高，波动性越大分数越低。业界存在很多的打分方法。金融学和特许金融分析师机构应用最多的一个效用函数是
U是效用值，A是投资者的风险厌恶系数。系数1/2只是一个约定俗成的数值。使用式（2-1）时，收益率必须采用小数形式而不是百分数。
式（2-1）表明效用随期望收益的增加而增加，随风险的增加而降低。注意，无风险资产的效用值就是其自身的收益率，因为其风险补偿为零。风险资产方差降低，资产效用值的程度由风险厌恶系数A决定。投资者对风险厌恶程度越高（A越大），对风险要求的补偿就越高。投资者会在投资产品中选择其效用值最高的组合，后面的华尔街实战专栏会讨论财务顾问度量其客户的投资风险厌恶程度的一些方法。
【例2-1】 通过效用得分评估投资
考虑3个风险厌恶程度不同的投资者：A1=2，A2=3.5，A3=5。他们3人都在评价表2-1中的3个投资组合。因为无风险利率为5%，用式（2-1）得到3个投资者对无风险资产的效用分数都是0.05。表2-2展示了他们对每个风险资产的打分情况。每个投资者最优的选择是用粗体显示的部分。
表2-2 几种投资组合对不同风险厌恶水平投资者的效用值
可以把风险资产的效用值看作投资者的确定等价收益率（certainty equivalent rate），即风险资产为达到与无风险资产相同的效应所需要的收益率。这个比率是比较不同组合效用值，最自然、最直接的方法。
现在可以说，只有当一个投资组合的确定等价收益率超过无风险收益率时，这个投资才是值得的。对于一个极度厌恶风险的投资者，任何风险组合甚至风险溢价为正的投资，其效用都有可能低于无风险资产，使得投资者拒绝风险资产组合。同时，风险厌恶程度较低的投资者可能从同样的风险资产组合中获得的效用高于无风险资产，从而愿意投资。如果风险溢价为零或负数，任何降低效用的调整都会使投资组合看起来更糟糕，所有风险厌恶投资者都会选择无风险资产。
和风险厌恶者相对的，风险中性（risk neutral）投资者（其A=0）只根据风险资产的期望收益率来判断收益预期。风险的高低对风险中性投资者无关紧要，这意味着他们对风险要求的补偿为零。他们的确定等价收益率就是资产的期望收益率。
风险偏好者（risk lover）（其A<0）更加愿意参加公平博弈或其他赌博，这种投资者将风险的乐趣考虑在内后上调了效用水平。风险偏好者总是愿意参加公平博弈，因为公平博弈的确定等价收益率高于无风险收益率。
通过对投资者认为效用相同的投资组合风险收益描点，我们可以得到投资者风险与收益的权衡。纵轴是期望收益，横轴是标准差。图2-1画出了资产组合P的情况。
图2-1 某投资组合P的风险-收益权衡
资产组合P（期望收益为E（rP），标准差为σP），与第Ⅳ象限的所有组合相比期望收益更高，标准差更小，所以更受风险厌恶者的青睐。相反，第Ⅰ象限的所有组合都比P组合受欢迎，因为它们的期望收益大于等于E（rP），标准差小于等于δP。
这就是均值-标准差准则，或称均值-方差准则（mean-variance criterion，M-V）。这可以表示为：投资组合A优于投资组合B，如果E（rA）≥E（rB）与σA≤σB至少有一个条件严格成立。
在图2-1中的期望收益标准差曲线，最受欢迎的方向是左上方向，因为这个方向提高了期望收益同时降低了方差。这意味着所有P点西北方向的任何组合都优于组合P。
那么第Ⅱ象限和第Ⅲ象限的投资组合又如何呢？与组合P相比，这些组合的受青睐程度完全取决于投资者的风险厌恶程度。假设投资者确认了所有和P一样好的投资组合，从P点开始，效用随标准差的增加而减少，这必须以期望收益率的提高作为补偿。因此对于投资者而言，图2-2中的Q点和P具有相同的吸引力。高风险高期望收益的资产和低风险低收益的组合对投资者的吸引力相同。在均值-标准差图表中，用一条曲线将这些效用相同的所有资产组合连在一起，就构成了无差异曲线（indifference curve），如图2-2所示。
图2-2 无差异曲线
为了检验无差异曲线上的点，我们用表2-3中A=4的投资者对曲线上不同投资组合的效用值进行计算。最终得到各资产组合的效用值相同，因为更高风险的资产组合有更高的期望收益。
表2-3 风险厌恶系数A=4的投资者对示例投资组合的效用值
估计风险厌恶系数
如何量化实践中观测到的风险厌恶系数呢？有一些方法可供使用。专栏2-1的调查问卷就可以最终给出简单的区分：高、中、低。其他一些问卷通过提问投资者对不同的假想彩票的选择可以得到其具体的风险厌恶水平。
通过观察活跃投资者的投资账户可以得到其投资组合随时间的变化而变化。结合这些信息和投资者这些头寸的风险收益搭配，可以从原理上计算投资者的风险厌恶系数。
最后，研究者跟踪观察一组对象的行为来获得风险厌恶系数的均值。这些研究的观察内容包括从保险选择到消费习惯，范围很广。下面专栏讲述了风险和风险容忍度。
华尔街实战
学习投资使用的四字母单词
当股市狂跌时哪个词会在你的脑海中出现呢？
是的，当然是风险（R-I-S-K）。
风险是一种当你意识到只能得到很低的回报甚至损失金钱时的潜意识，它可能还会使你要实现的重要目标破灭，比如送子女上他们喜欢的大学或实现你退休后所渴望的生活方式。
许多财务顾问与专家都指出，当股市好的时候投资者对风险并没有予以应有的重视，他们总是对股票过于自信。因此，在股市下滑并持续低迷之前，你必须确定对风险的容忍度并使你的投资组合与之相匹配。
评估你对风险的容忍度并不容易，不仅需要考虑你承担风险的最大限度，还要考虑你愿意承担多大的风险。
要确定你愿意承受多大的风险比确定你对风险的容忍度更加困难，因为它很难被量化。
为此，许多财务顾问、经纪公司以及共同基金都设计了一系列风险测试来帮助投资者确定自己是保守、温和还是激进型的投资者。提供这种测试的公司包括：美林、巴尔的摩普莱斯联合公司、纽约的苏黎世集团公司下属的斯库德-坎贝尔投资公司以及宾夕法尼亚州的先锋集团。
一般地说，风险调查问卷包括7～10个问题，关于个人的投资经验、金融证券以及保守或冒险选择的倾向。
测试的好处在于人们可以通过这些入市资料，大致了解自己的风险容忍度，“一个人不可能独立评估自己的风险容忍度”，伯恩斯坦说，“可以说我不喜欢风险，虽然我比一般人更愿意冒险。”
许多专家警告说，问卷只能作为评估风险容忍度的第一步。“它们并不准确。”一个名叫罗恩·迈耶的注册会计师说。
许多专家认为第2步是询问自己一些有难度的问题，比如，长期来看你能承受多大损失。
“大多数人能够暂时承受很大的损失打击。”一个名叫沙特斯基的纽约财务顾问说，关键在于你能够在几个月甚至几年中所能承受的投资损失。
有几个顾问说，正如前文所示，大多数人都是温和的中等风险承受者。“只有10%～15%的客户是激进的。”罗格先生说。
调查问卷：你的风险容忍度是多少
1.在你将资金投资60天后，其价格下跌了20%。假设其他基本情况都不变，你会怎么做？
a.卖掉，以避免更大的担忧，并再试试其他项目。
b.什么也不做，等待投资收回。
c.继续买入，正是投资的好机会，同时现在它也是便宜的投资。
2.现在换个角度看上面的问题。你的投资价格下跌了20%，但它是投资组合的一部分。用来在3个不同的时间段上达到投资目标。
2A.如果投资目标是5年以后，你怎么做？
a.抛出。
b.什么也不做。
c.继续买入。
2B.如果投资目标是15年后，你怎么做？
a.抛出。
b.什么也不做。
c.继续买入。
2C.如果投资目标是30年后，你怎么做？
a.抛出。
b.什么也不做。
c.继续买入。
3.你的退休基金在买入1个月后，价格上涨25%，而且基本条件没有变化。在你心满意足之后，你会怎么做？
a.抛出，锁定收入。
b.继续持有，期待更多收益。
c.继续买入，可能还会涨。
4.你投资了养老保险，期限在15年以上，你更愿意
a.投资于货币市场基金或保证收益的投资合约，放弃可能得到的资本利得，重点保证资本金安全。
b.一半债券，一半股票基金，希望在有些增长的同时，也能成为自己拥有固定收入的保障。
c.投资于激进型的共同基金，它的价值在年内可能有大幅波动，但在5年或10年后有巨额收益的潜力。
5.你刚刚中了大奖，但具体哪一个由你来定。
a.2000美元现金。
b.50%的机会获得5000美元。
c.20%的机会获得15000美元。
6.一个很好的投资机会来临，但你必须借款，你会贷款吗？
a.绝对不会。
b.也许会。
c.会的。
7.你所在的公司要把股票卖给员工，公司管理层计划在3年后使公司上市，在上市之前，你不能抛售手中的股票，也没有分红，但上市时，你的投资可能会翻10倍，你会投资多少钱？
a.一点也不。
b.2个月工资。
c.4个月工资。
评分标准
a.1分 b.2分 c.3分
9～14分 保守型投资者
15～21分 温和型投资者
22～27分 激进型投资者
资料来源：Reprinted with permission from The Wall Street Journal.© 1998 by Dow Jones & Company.All Rights Reserved Worldwide.
风险资产与无风险资产组合的资本配置
历史一方面告诉我们长期债券是比短期国债投资风险高的投资品种，而股票投资风险就更高了，但从另一方面来看，更高风险的投资也确实能提供更高的收益。投资者在这些各类的资产中当然不会全选或者全不选，更多的是选择部分投资短期国债，部分投资更高风险资产的组合。
最直接的方法是通过分配短期国债及其他安全货币市场证券与风险资产之间的比例控制投资组合的风险。这种资本分配策略就是资产配置决策的一个例子——在大量投资资产种类中选择证券，而不仅仅是在每类资产中选择一些特殊证券。许多投资专家认为资金配置是投资组合构建中最重要的问题。思考下面约翰·博格的观点，这是他担任先锋集团投资公司总裁时发表的言论：
投资决策中最基本的决策在于如何分配你的资金。你愿意投入多少于股票，多少于债券？你应该持有多少现金准备……这一决策可以解释机构管理的养老金收益率差异的94％，这一发现是很惊人的。同时没有理由不相信这种决策与资产配置关系同样适用于个人投资者[1]。
因此，为了讨论风险收益权衡，我们首先检查资产配置决策，决定投资组合中多少投资于无风险货币市场，多少投资于其他风险资产。
把投资者的风险资产组合用P表示，无风险资产组合用F表示。为方便解释，假设投资组合中的风险资产部分由两种共同基金构成：一个投资于股票市场，一个投资于长期债券。现在假设给定风险资产组合，并只讨论风险资产组合和无风险资产之间的资产配置。下一章再讨论风险资产的配置和证券选择。
当我们将资本由风险资产组合向无风险资产组合转移时，并不改变风险组合中各证券的相对比例。我们只是更偏好于无风险资产，从而降低风险组合的整体比例。
比如，假定初始投资组合的总市值为300000美元，其中90000美元投资于即期的货币市场基金，即无风险资产。剩余的210000美元投资于风险证券——其中113400美元投资于股权权益（E），96600美元投资于长期债券（B）。股权权益和长期债券组成了风险投资组合，E和B的份额分别为54%和46%：
风险投资组合在完整资产组合（complete portfolio）的比重为P，包括无风险和风险投资，记为y。
每个风险资产组合占完整资产组合的权重如下：
风险组合占到完整资产组合的70%。
【例2-2】 风险组合
假设该投资组合的所有者为降低总体风险，希望将持有的风险投资组合比重从0.7降为0.56。风险投资组合的总值降低为0.56×300000=168000美元，这需要卖出原来210000美元风险组合中的42000美元，用这个部分来购买即期资产（货币市场资金）。整个无风险资产增加到300000×（1-0.56）=132000（美元）。
关键点在于风险资产组合中的资产比例依旧不变。由于E和B在风险投资组合中的权重分别是0.54和0.46，卖出0.54×42000=22680美元的E和0.46×42000=19320美元的B。在卖出后，每只股票在风险投资组合中的比例实际并无变化：
与其分别考虑风险资产E和B，不如认为持有单一基金，即以固定比例持有E和B。从这个意义上讲，我们可以把风险资产组合看作单一的风险资产。
给定这个简化方法，现在可以通过改变风险资产和无风险资产的组合来降低风险，即降低y。只要风险资产中的资产权重不发生变化，那么风险资产的收益概率分布就不发生变化，改变的只是风险资产与无风险资产构成的完整资产组合收益率的概率分布。
[1] John C.Bogle.Bogle on Mutual Funds（Burr Ridge，IL：Irwin Professional Publishing，1994），p.235.
无风险资产
政府因其有税收和控制货币供给的权力，所以只有政府才可以发行无违约风险的债券。事实上，即使政府担保无违约风险，债券在其持有期间也不是完全没有风险的。现实里唯一的无违约风险资产是一种理想的指数化债券。另外，无违约风险的理想指数化债券也只有在期限等于投资者愿意持有的期限时，才能对投资者的实际收益率进行担保。即使指数化债券因实际利率随时间变化难以预测，所以面临利率风险。未来实际利率不确定时，未来指数化债券的价格就不确定。
尽管如此，在实际中仍把短期国债看作无风险资产。它们的短期性使得其价值对利率变动不敏感。确实，投资者可以通过购买债券并持有到期来锁定短期的名义收益。另外，几个星期内或几个月内通货膨胀率的走势尽管不确定，但与股票市场的不确定性相比基本可以忽略不计。
在实际操作中，大多数投资者应用货币市场工具作为无风险资产。所有货币市场工具实际上属于无利率风险，因为它们的期限短，并且从违约或信用风险来看基本是安全的。
多数货币市场基金大部分持有3种类型的证券：短期国债、银行可转换存单和商业票据，它们在违约风险上有细微不同。例如银行存单和商业票据的到期收益率总是高于同样期限的短期债券。图2-3展示了最近几十年90天银行存单收益率和短期国债的收益率价差。
货币市场基金随着时间推移改变了这些证券的相对持有量，但是，一般来说，短期国债只占到组合的15%左右。尽管如此，这些热门的短期投资工具如银行存单与商业票据的投资风险和大量其他资产如长期债券、股票或房地产相比简直微乎其微。因此，我们把货币市场基金看作大多数投资者最易接触到的无风险资产。
图2-3 3个月银行存单和短期国债收益率差价
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
本节将研究可行的风险收益组合。这是资产配置中的“技术性”部分：它只涉及给定广阔资本市场中投资者可以投资的机会。在2.5节会讨论资产配置中不同投资个性化的部分——风险收益可行集中个体的最优决策。
假设投资者已经确定了风险投资的组合构成，现在所要考虑的是在投资者投资预算中给风险投资组合P的比例y，剩余部分1-y分配给无风险资产F。
定义风险组合P收益率为rP，期望收益为E（rP），标准差为σP。无风险资产收益率定义为rf。在下面的数字例子中，我们假设E（rP）=15%，σP=22%，无风险资产收益率rf=7%。因此，风险资产的风险溢价为E（rP）-rf=8%。
风险投资组合的投资比例为y，无风险投资组合比例为1-y，整个组合C的收益率rC为
取期望值，得
这一结果很容易解释。任何一个投资组合的基本收益率都是无风险资产收益率。另外，投资组合总期望获得风险溢价，希望获取这一溢价的投资者为风险厌恶的，如果没有风险溢价，他们不会愿意持有风险资产。
当把一个风险资产和一个无风险资产放到一个资产组合中，整个组合的标准差就是风险资产的标准差乘以它在投资组合中的比例[1]。由于风险投资组合的标准差为σP=22%，所以
这表明组合的标准差与风险资产的标准差和投资比例都是成比例的。总之，整个投资组合的期望收益率为E（rC）=rf+y［E（rP）-rf］=7+8y，标准差为σC=22y。
下一步是在期望收益-标准差平面坐标中标出给定某个y值投资组合的特征，如图2-4所示。无风险资产F在纵轴上，因为其标准差为零，风险资产P位于标准差为22%、期望收益为15%的坐标点上。如果投资者只选择风险资产，则y=1.0，整个组合就是P。如果选择y=0，则1-y=1.0，整个组合就是无风险资产F。
图2-4 单个无风险资产和单个风险资产的投资可行集
当y落在0与1之间时，更有趣的组合会是什么样子的呢？这些组合坐标点会落在连接F和P之间的直线上。这条直线的斜率为［E（rP）-rf］/σP，本例中为8/22。
结论非常直观。随着风险资产投资比例y的增加，组合期望收益以8%的速率增长，标准差以22%的速率增长。每单位额外风险的额外收益是8/22=0.36。
为了给出点F和P之间直线的方程，我们重新整理式（2-4）得到y=σC/σP，替换到式（2-3）中来描述期望收益和标准差之间的权衡关系：
因此，整个组合关于标准差的期望收益函数是一条直线，截距rf，斜率
图2-4为一系列投资可行集，即一系列不同的y值产生的所有投资组合期望收益与标准差的配对组合。图形是以rf点为起点，穿过P的一条直线。
这条直线被称为资本配置线（capital allocation line，CAL），表示对投资者而言所有可能的风险收益组合。资本配置线的斜率记为S，等于每增加一单位标准差整个投资组合增加的期望收益。因此，斜率也被称为报酬-波动性比率（reward-to-volatility ratio），或者夏普比率。
一个投资组合在风险资产和无风险资产之间等分，即y=0.5，此时的期望收益E（rC）=7+0.5×8=11%，意味着风险溢价为4%，标准差σC为0.5×22=11%，在直线上表示为F和P的中间点。报酬-波动性比率为S=4/11=0.36，与P完全一致。
资本配置线上处于投资组合P右边的点是什么呢？如果投资者能够以无风险利率7%借入钱，就可以构造出P右边的点。
【例2-3】 杠杆
假定投资预算为300000美元，投资者额外借入了120000美元，将所有可用资金投入风险资产中。这是一个通过借款杠杆获得的风险资产头寸。这样的话，
此时1-y=1-1.4=-0.4，反映出无风险资产的空头头寸。投资者不以7%的利率借出，而是借入资金。组合的收益分布仍然呈现相同的报酬-波动性比率：
正如预计的，杠杆风险投资组合比无杠杆投资组合的标准差要高。
当然，非政府投资者并不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险导致贷款者要求更高的贷款利率。因此，非政府投资者的借款成本超过rf=7％，假设借入利率为=9%，在这样的条件下报酬-波动性比率，也就是资本配置线的斜率将是［E（rP）-］/σP＝6/22=0.27。资本配置线在P点被扭曲，如图2-5所示。P点的左边，投资者以7%借出资金；P点的右边，投资者以9%借入资金。
图2-5 借贷利率不相等时的可行集
在实际操作中，如果你在经纪人那里开立了保证金账户，借钱投资风险资产的方式将会非常容易且直接。你只需要告诉经纪人你要以“保证金”额度购买风险资产。保证金方式不能超过购买资产总价值的50%。因此，如果你的账户净值为300000美元，你可以再借入300000美元购买额外的股票[2]。这样你的风险资产头寸就达到600000美元，负债为300000美元，即y=2.0。
[1] 这是一个统计学中基本原理的应用：如果一个随机变量乘以一个常数，那么新变量的标准差也应由原标准差乘以该常数。
[2] 保证金交易要求投资者在经纪人处开立的保证金账户中存放证券。如果证券市值低于保证金维持水平值，追加保证金的指令会被发出，要求存款使账户净值达到合适的水平。如果追加不成，监管要求部分或全部证券由经纪人卖出，收益用于补偿要求的保证金。
风险容忍度与资产配置
前面已经说明如何建立资本配置线，即资产配置决策下所有可行的风险报酬组合构成的图形。投资者必须从可行集中选择最优的组合。这个决策包含了风险和收益的权衡选择。个人投资者风险厌恶程度不同，意味着给定相同的可行集（无风险利率和报酬-波动性比率相同），不同的投资者将选择不同的头寸。特别地，越是风险厌恶的投资者会选择更少的风险资产，更多地选择无风险资产。
一个面临无风险利率rf和期望收益为E（rP）、标准差为σP的风险资产投资者会发现，对于任意y，组合的期望收益由式（2-3）给出
由式（2-4），整个组合的方差为
投资者试图通过选择风险资产的最优配置y使效用最大化。效用函数由式（2-1）给出，即U=E（r）-1/2Aσ2。当风险资产配置增加（y增加），期望收益增加，但是收益波动性也增加，因此效用可能增加也可能减少。表2-4展示了效用水平随y值变化的数据。一开始，效用随y增加而增加，最终随y增加而降低。
表2-4 风险厌恶系数A=4的投资者不同风险资产比例y带来的效用值
图2-6给出了表2-4中效用函数的散点图。效用在y=0.41时是最高的；当y＜0.41时，投资者愿意为更高的期望收益而增加投资风险；而当y>0.41时，风险增加效用则会降低。
图2-6 效用值U关于风险资产比例y的函数
为了解决这一效用最大化的问题，我们把问题写作：
学过微积分的学生知道最大化问题是使一阶导数为零。这样求解出风险厌恶者风险资产的最优头寸y*如下
这个解显示风险资产的最优头寸正如你所预料的那样，与风险厌恶程度和风险水平（由方差表示）有关。
【例2-4】 资产配置
使用前述数字例子的数据（rf=7%，E（rP）=15%，σP=22%），所有收益用小数表示，一个风险厌恶系数为A=4的投资者的最优解为（注：对y的一阶导数等于E（rP）-rf-yA，使该式为0，得到式（2-7）。）
换句话说，该投资者将会把投资预算的41%投资于风险资产，59%投资于无风险资产，如图2-6所示，此时效用达到最高水平。
当41%投资于风险资产，整个组合的期望收益和标准差为
整个组合的风险溢价是E（rC）-rf=3.28%，标准差为9.02%，注意到3.28/9.02=0.36，这正是例子中所假设的报酬-波动性比率。
这个决策的图解法是利用无差异曲线进行分析。为了理解如何构造无差异曲线，考虑风险厌恶系数A=4的一个投资者，他目前全部投资于无风险组合，收益率rf=5％。因为这个组合的方差为零，式（2-1）告诉我们它的效用为U=0.05。当投资者投资于σ=1%的风险组合时，为了获得相同的效用，其期望收益必须上升，以弥补更高的σ值：
这说明必要的期望收益为
对不同的σ重复这样的计算，可以得到保证效用值为0.05所需的E（r）。这个过程将得到效用水平为0.05时所有期望收益和风险的组合。把这些组合描点在图上便得到无差异曲线。
可以使用Excel表格来生成投资者的无差异曲线。表2-5包含了效用值分别为0.05和0.09对于风险厌恶分别为A=2和A=4的两个投资者的风险和收益组合。图2-7描绘了A=2对应的期望收益和标准差组合，截距分别为0.05和0.09，对应曲线的效用水平。
表2-5 无差异曲线的数字计算
注：表中为需要达到相应效用值的期望收益。
假定任何投资者都愿意投资于更高无差异曲线上的组合，获得更高的效用。更高无差异曲线上的资本组合在给定风险水平上能够提供更高的期望收益。例如，A=2的两条无差异曲线形状相同，但是对于任意水平的风险，效用为0.09那条曲线比0.05的那条曲线的期望收益高4%。
图2-7 U=0.05和U=0.09，分别对A=2和A=4的无差异曲线
表2-5中的第4列和第5列对风险厌恶系数更高（A=4）的投资者重复了上述分析。图2-7反映出更高风险厌恶程度投资者的无差异曲线比低厌恶程度投资者的曲线更陡峭。更陡峭的曲线意味着投资者需要更多的期望收益来补偿同样的组合风险。
更高的无差异曲线意味着对应更高的效用水平，因此投资者更愿意在更高的无差异曲线上寻找投资组合。如图2-8所示，在表示可行集的资本配置线上加入无差异曲线，我们就可以得到与资本配置线相切的最高的无差异曲线，切点对应最优投资组合的标准差和期望收益。
图2-8 用无差异曲线寻找最优组合
为了证明这一点，表2-6给出了投资者A=4的4条无差异曲线（效用水平分别为0.07、0.078、0.08653、0.094）的计算。第2～5列利用式（2-8）计算出了各曲线为了得到相应的效用值对不同标准差所必需的期望收益值。列6由式（2-5）计算出E（rC）的资本配置线上各σ值对应的期望收益。
表2-6 四条无差异曲线和资本配置线对不同σ的期望收益，A=4
图2-8画出了4条无差异曲线和资本配置线，图形反映出效用U=0.08653的无差异曲线与资本配置线相切；切点对应了最大效用值的资产组合。切点处E（rC）=10.28%，σC=9.02%。最优投资组合的风险-收益比例是y*=0.41，这个数值和用式（2-7）的算数解相同。
综上所述，y*的决策主要取决于投资者的风险厌恶程度。
非正态收益
在前面的分析中我们假设收益呈正态分布，并以标准差作为风险度量。如第1章所述，正态性的偏离会导致极端损失的可能性远大于正态分布的情况。这些风险敞口，一般由在险价值或预期损失来衡量。
因此，对我们之前分析的一种拓展是给投资者展示在险价值和预期损失的预测值。我们把基于正态假设下的资本配置作为分析的基础，面对肥尾分布的投资者也许会减少风险组合的资金配置，并增加无风险资产的配置。
有迹象表明在处理极端方面有进展，早在20世纪初期，当时最伟大的经济学家之一奈特将风险与不确定性区分开来。其区别是，风险中的概率为已知，但不确定性甚至忽略概率的重要性（如黑天鹅问题）。因此奈特认为对于风险和不确定要用不同的方法。
金融中大部分结果的概率可以通过经验进行评估，这得益于有相对高频的观测值。但极端负值极少发生，因而精确做概率也不可能。后期在决策科学处中心地位的贝叶斯方法排斥奈特的关于客观概率难以估计的观点，无论如何投资者都有主观判断并以这些信念在贝叶斯框架下进行经济决策，即使在处理没有发生过的事件，人们必须要用先念概率。这样，在该框架中，风险和不确定性的区别并不重要。今天的经济学家回到了奈特的理论。但是高级效用函数可以区分风险和不确定性，并且对不确定性给予更大权重。
被动策略：资本市场线
资本配置线由无风险资产和风险投资组合P导出，决定风险资产组合P源于被动策略或积极策略。被动策略指避免任何直接或间接的证券分析的投资决策[1]。乍看之下被动投资策略显得十分天真，然而，在大型资本市场中供给和需求的力量会使这种决策成为众多投资者的理性选择。
在第1章中介绍了历史上不同类型资产收益率的数据汇总。这些数据在肯尼斯·弗伦奇教授的网站上可以获得，mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.我们可以用这些数据来检验被动策略。
一个合适的被动策略投资品是分散化的股票投资，因为被动策略要求我们不特意收集某只股票或某几只股票的信息，坚持分散化策略。一种方法是选择多样化的股票组合，这些股票反映美国经济中公司部门的价值。比如，投资微软的比例应该是微软的市值在上市股票总市值中的比重。
最常用的美国股票价值指数是标准普尔指数，它包含500家美国最大的工业公司。表2-7总结了标准普尔500指数1926～2012年87年间以及4个样本期的表现。该表显示组合的平均收益、同期限1个月期国债复利滚动收益率、相应的超额收益率和标准差。整个84年间的报酬-波动性比率是0.40。换句话说，股票投资者为每1%的标准差获得0.40%的超额收益。超额收益的标准差很大（20.48%），是我们观察到4个较短期间平均超额收益和报酬-波动性比率（夏普比率）变动范围很大的原因之一。用两个组合夏普比率差异的统计分布，我们可以估计观察到某一子样本期的夏普比率相对整个样本期存在偏离的概率，当然前提是假设整个样本期的比率能反映真实值。表2-7最后一列说明4个子样本期中找到差异较大的夏普比率的概率是较为显著的。
表2-7 大盘股和1个月期短期国债的平均年收益率、标准差和报酬-波动性比率
我们称1个月期国债和一般股票指数构成的资本配置线为资本市场线（capital market line，CML）。被动策略产生于由资本市场线代表的一个投资可行集。
那么投资者采取被动策略投资是否合理呢？当然，在没有比较积极投资策略的成本和收益时我们是无法回答这一问题的。相关的观点如下。
首先，积极投资策略不是免费的。无论你是选择自己投入时间、资金来获取所需的信息，以形成最优的风险资产投资决策，还是把这一任务交给职业人士，积极策略的形成都比被动策略更昂贵。被动策略成本只有短期国债所需少量的佣金和支付给共同基金等市场指数基金和证券交易所的管理费用。例如，先锋公司管理着跟踪标准普尔500指数的组合。它购买标准普尔500中每个公司的股票，权重与公司股权在指数中的份额相同，因此便复制了市场指数的表现。这类基金的管理费用很低，因为它的管理成本很小。
投资者采取被动策略的第2个原因是“免费搭车”的好处。如果市场中有很多积极的具有专业知识的投资者，竞买被低估的股票，竞卖被高估的股票，那么我们可以得出结论：大多数时候股价是合理的。因此，充分分散化的股票组合应该是一个非常合理的投资，收益并不比积极投资者差。在下面华尔街实战专栏中我们会指出在过去的几十年，被动指数基金实际上比积极策略的基金表现要好。
