华尔街实战
投资者对专业投资管理者的失望
投资者正在从专业人士管理的共同基金蜂拥而出，而将巨额资金转移到低成本的跟踪大盘指数的基金。根据晨星公司的最新数据，至2012年11月份，投资者从积极管理的美国股票基金抽出1193亿美元。与此同时，他们向美国交易所交易基金注入304亿美元。
这一变动是对如下事实的直接反应：众多的基金经理收取高额管理费、追求高回报，但是跑输大盘指数。这样投资者不如简单地投资于成本低、看似风险也低的指数跟踪型基金。
主动管理型基金经理的目标是通过积极交易单个股票或债券来战胜大盘，同时收取高额管理费作为回报。而在交易所交易基金（ETF）（或跟踪指数的基金）中，基金经理仅仅调整组合以使组合表现精确反映跟踪指数，收取的费用也较低。
晨星公司报告指出，当投资者投资股票基金时，他们选择投入低成本的指数型基金或交易所交易基金。一些ETF基金年费低于资产的0.1%，但是众多主动管理的基金收取的管理费超过1%。
这一趋势对主动型管理者施加巨大压力，这搅动着140万亿美元规模基金市场中巨头们的财富份额。
纽约一家“战略前瞻”咨询公司帮《华尔街日报》所做的共同基金资金流研究显示，作为主动型基金巨头之一的富达国际和美国基金出现了赎回或较少新基民进入的情况。
与此相反，世界上最大的指数型基金巨头先锋基金去年一年就有1410亿美元的资金流入。
很多投资者指出，他们正在寻找成本小风险低的投资渠道。
资料来源：Adapted from Kirsten Grind，The Wall Street Journal，January 3，2013.Reprinted with permission.© 2013 Dow Jones & Company，Inc.All Rights Reserved Worldwide.
总结一下，一个被动型投资策略牵涉两个被动组合：接近于无风险的短期国债（或货币市场基金）和一个跟踪大盘指数的股票基金。代表这个策略的资本配置线称为资本市场线。根据1926～2012年的历史数据，该被动型风险组合的平均风险溢价为8.1%，标准差为20.48%，收益-波动性比率等于0.40。
被动投资者根据其风险厌恶程度，将投资预算配置在各种投资工具中，可以利用分析来推导典型投资者的风险厌恶系数。根据统计数据约85%的美国家庭财富净值投资于广义的风险资产[2]。假定这个组合和1926年以来标准普尔500指数展现的风险收益特征相吻合，用式（2-7），我们得到
风险厌恶系数为
当然，这样的计算具有很强的主观性。我们假设一般投资者简单地认为历史平均收益和标准差是未来期望收益和标准差的最佳估计。因为一般投资者会在简单的历史基础上使用当时的有用信息进行投资，所以A=2.94的估计并非准确的推断。即使这样，很多针对各类投资性资产的研究表示，一般投资者的风险厌恶系数在2.0～4.0。
[1] 间接证券分析是指将证券分析的职责交给中介代表，如职业的理财师。
[2] 这里的风险资产中包含房地产、半数养老准备金、公司和非公司权益、半数共同基金。这个组合总值50.05万亿美元，占美国家庭财富的65.6%。
风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论
我们在这里暂时偏离讨论的主题，考察投资者是风险厌恶这一观点背后的基本原理。风险厌恶作为投资决策中心观点的看法至少可以追溯到1738年。丹尼尔·伯努利作为出身于瑞士名门的著名数学家之一，他于1725～1733年在圣彼得堡研究了下面的投币游戏。首先，参加这个游戏要先付门票。其后，抛硬币直到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数用n表示，用来计算参加者的报酬R，对于参与者有：
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率是1/2，相应的报酬为20=1美元。出现一次反面然后正面的概率是1/4，报酬为21=2美元。出现两次反面再出现正面的概率为1/2×1/2×1/2，依此类推。
表2-8列出了各种结果的报酬与概率：
表2-8 投币游戏结果
所以，期望报酬为
对该游戏的平均被称为“圣彼得堡悖论”：尽管期望报酬是无限的，但显然参加者是愿意用有限价格或适当的价格购买入门票来参与这个游戏的。
伯努利解决了悖论问题，他发现投资者对所有报酬的每份美元赋予的价值是不同的。特别是，他们的财富越多，对每额外增加的美元赋予的“评价价值”就越少。可以用数学方法精确地给拥有各种财富水平的投资者一个福利值或效用值，随着财富的增多效用函数数值也相应增大，但是财富每增加1美元所增加的效用逐渐减少（现代经济学家会说投资者每增加1美元的报酬“边际效用递减”）。一个特殊的效用函数ln（R）分配给报酬为R美元的投资者主观价值，报酬越多，每个美元的价值就越小。如果以这个函数衡量财富的效用，那么这个游戏的主观效用值确实是有限的，等于0.693.获得该效用值所必需的财富为2美元，因为ln（2）=0.693。因此风险报酬的确定等价物是2美元，也是投资者愿意为游戏付出的最高价钱。
1964年冯·诺依曼与摩根斯坦以完全公理体系的方式将这种方法应用于投资理论领域。避开不必要的技术细节，在这里只讨论对风险厌恶基本原理的直觉。
设想有一对双胞胎，只是其中一个不如另一个幸运。彼得名下只有1000美元，而鲍尔却拥有200000美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣1美元？似乎彼得（穷兄弟）比鲍尔更需要这1美元。所以彼得愿意付出更多的时间。也就是说，与鲍尔得到第200001美元相比，彼得得到了更多的个人福利或赋予了第1001美元更大的效用值。图2-9用图形描述了财富与财富效用值的关系，它与边际效用递减的概念是一致的。
图2-9 对数效用函数下的财富效用
每个人都拥有不同的财富边际效用递减率，每增加1美元，财富的效用增加值随之减少却是一个固定不变的规律。表示随着财产数量的增加每个单位的价值递减的函数称之为凹函数。一个简单的例子就是中学数学中的对数函数。当然，对数函数并不适于所有的投资者，但与风险厌恶是一致的，前提假定所有的投资者都是风险厌恶型的。
现在考虑下面的简单情景：
这是一个期望收益为零的公平博弈。假定图2A-1代表了投资者的财富效用值，且为对数效用函数。图2-9显示了用数值标出的曲线。
图2-10 公平博弈与期望效用
图2-10表明因损失5万美元造成的效用减少超过了盈利5万美元形成的效用增加。先考虑效用增加的情况，概率p=0.5时，财富从100000美元增加到150000美元。利用对数效用函数，效用从ln（100000）=11.51增加到ln（150000）=11.92，即图上的距离G。增加的部分G=11.92-11.51=0.41。按期望效用计算，增加值=pG=0.5×0.41=0.21。
现在考虑另一端效用减少的情况，在这种情况下，财富从100000美元降到50000美元。图中的距离L是效用的损失，ln（100000）-ln（50000）=11.51-10.82=0.69。因而，期望效用的损失为（1-p）L=0.5×0.69=0.35。它大于期望效用的增加。
我们计算风险投资的期望效用为
而不投资的效用为11.51，所以风险厌恶的投资者将拒绝参加公平博弈。
使用具体的投资者效用函数（如对数效用函数）使人们能够计算给定的风险投资对投资者的确定等额价值。如果该数值能肯定得到，他会认为与风险投资具有相同的吸引力。
如果对数效用描述了投资者对财富的偏好，那么图2-10还告诉我们：对他来说该投资的美元价值是多少。人们要问：效用值为11.37（等于投资的期望效用）所对应的财富水平是多少？在11.37的水平上画出的水平线与效用曲线在WCE点相交。这意味着：
WCE就是投资的确定等价值，图2-10中的距离Y是由于风险对期望收益的惩罚或向下的调整。
投资者认为稳拿的86681.87美元与有风险的100000美元的效用值相等。因此，对他来说二者没有什么区别。
效用函数与保险合同均衡价格
个人投资者的效用函数用来衡量投入财富不同的个人投资者投资的主观价值。本质上说，经济萧条时期（财富值低）的1美元要比经济景气时期（财富值高）的价值更高。
假设所有的投资者都持有标准普尔500指数风险资产组合。那么如果这个组合的价值在出现比预期还要糟的经济状况时下降了，虽然财富的水平不同，但是所有的投资者都处于一个“不宽裕”的境地。因此，在不宽裕时期1美元的均衡价格要比投资组合表现好于预期的时候高。这种观点有助于解释长期投资时投资组合的保险成本更高的现象，也同样有助于解释为什么股票投资组合（和个股）投资的风险溢价更高，而出现猛跌的概率实际却比较小。尽管下跌风险的概率比较小，股票并不会比低收益无风险的债券更优，因为一旦投资下跌的消息泄露，随之所要求的美元收益的价值就会升高。
相关投资者的行为是否也证明了这种风险厌恶呢？回顾金融市场过去的价格和收益率，回答是肯定的。由于很强的连贯性，风险较大的债券比其他安全的具有类似性质的证券价格更低。在较长的一段时期风险更大的股票也能提供比其他风险较低的资产（如国库券）更高的收益。例如，在1926～2012年，标准普尔500投资组合的年平均收益率超过国库券8%左右。
从金融数据清楚地看出，投资者的行为表现出明显的风险厌恶特征。对于将金融资产视为以风险溢价的形式对风险的补偿，并同时强烈渴望博弈的读者来说，我有一个建设性的建议：在金融市场上用你的这种赌博劲头推进你的投资。就像冯·诺依曼曾经说的，“股票市场就是充满机会的赌场”。一个很小的追求风险的投资只要提供一个正的期望收益率就可以给你带来兴奋！
Kelly准则
将圣彼得堡悖论的博弈往前再推一步，考虑一个系列的单期投资计划，每一期只有两种可能的回报（收益率以小数表示）：正的超额收益b，概率为p；负的超额回报-a（a>0），概率为q=1-p。J.L.Kelly[1]考察这个基本的资本配置问题并确定一个拥有对数效用函数的投资者每一期最优投资策略。
投资者在该计划上投资y，剩余资金投资于无风险资产，其总收益是1+r+by，概率为p，或1+r-ay，概率为q。鉴于Kelly用的是对数效用函数，因此期初每一美元的期望效用为
上述效用函数最大化问题便是著名的Kelly准则（或Kelly公式）。该准则即是投资于该投资风险计划的总财富与财富水平无关，即
这是投资者的每一期的资产配置。
根据该准则，当p和b值较大时投资者应该更多地投资于该计划，当q和a值较大时，投资者应该投资更少。因为当回报和损失相等时，即a=b，y=（1+r）（p-q）/a，回报或损失数额较大时（即较大的a和b），投资的比例越低。这就出现风险回避问题了。无风险利率越高，投资比例越高（即收入效应）。
Kelly准则是基于对数效用函数的。人们也可以证明，拥有该效用函数的投资者每一个时期都最大化组合收益的几何平均值。因此，Kelly公式也是一个几何平均值最大化准则，并具有以下特性：①在上式中风险资产中的投资比例永远不会高于1/a，因此不会出现毁灭性风险；②当投资期数无限大时，该投资比例战胜其他任何策略的概率接近于1；③它是短视的，即不管投资期数多少每一时段的最优策略都相同；④如果你有一个具体的财富目标（例如100万美元），该策略实现目标的时间最短。讨论Kelly准则的文献相当多。[2]
[1] J.L.Kelly Jr.，“A New Interpretation of Information Rule.”Bell System Technical Journal 35（1956），917-56.
[2] 例如，L.C.MacLean，E.O.Thorp，W.T.Ziemba，Eds.The Kelly Capital Growth Criterion：Theory and Practice（World Scientific Handbook in Financial Economic Series），Singapore：World Scientific Publishing Co.，2010.
