导读
投资的决策可以看作自上而下的过程：①风险资产和无风险资产之间的资本配置；②各类资产（如美国股票、各国股票、长期债券）间的配置；③每类资产内部的证券选择。
正如我们所知，资产配置决定了投资者的风险敞口，而最优的资产配置取决于投资者的风险厌恶程度和风险资产收益的预期。从原理上讲，资产种类配置和具体证券选择技术上基本相同：均着眼于寻找最优的风险资产，即寻找提供最优风险收益权衡的风险资产组合。而在实际操作中，这却是分开的两步，投资者先确定各类资产的分配，再从各类中选择具体的资产。后面我们会讨论两步法的优点和缺点。
首先我们讨论简单资产分类的潜在好处，然后检验有效分散化的过程：先讨论两个风险资产的情况，再讨论加入一个无风险资产，最后讨论合并很多风险资产的情况。我们先学习分散化如何在不影响期望收益的条件下降低风险，然后重新检验资本配置、资产类别配置、证券选择的层次。最后通过类比分散化与保险行业的运作来深入探讨分散化的威力。
在本章和第4章我们讨论的组合基于一个短期的视野：即使整个投资期限很长，组合也可以通过调整各部分资产来重新平衡整个资产组合，这样持续下去。在短期中，描述长期复利收益的偏度并不存在，因此正态假设可以足够精确地描述持有期收益，我们只考虑均值和方差。
分散化与组合风险
假设你的组合只有一只股票——戴尔电脑公司的股票，那么你的风险来自哪里呢？你可能会想到两种不确定性。第一种来自经济状况，比如商业周期、通货膨胀、利率、汇率等，这些因素都无法准确地预测，并且都影响着戴尔股票的收益率。除了这些宏观的因素，第二种不确定性来自公司的影响，比如研发有重大突破或者重大人员变动，这些因素会影响戴尔，但基本不会影响经济体中的其他企业。
现在考虑一个简单的分散化策略，你在组合中加入了更多的证券。例如，将你资金的一半投入埃克森-美孚，一半投入戴尔。这时组合的风险会怎样呢？因为戴尔公司层面的因素对两个公司的影响不同，分散化便会降低组合风险。比如，当石油价格下降时，冲击了埃克森-美孚的价格，但是电脑价格可能在上涨，有利于戴尔公司。这两股力量相互弥补并稳定了组合的收益。
分散化何必止于两家公司呢？如果加入更多证券，我们便会进一步分散掉公司因素，组合的波动也会继续下降。直到最终增加证券数量也无法再降低风险，因为实际上所有股票都受商业周期的影响，不管我们持有多少种证券都无法避免商业周期的风险敞口。
当所有风险都是公司层面上的（如同图3-1a），分散化可以将风险降至低水平。这是因为风险来源是相互独立的，那么组合对任何一种风险的敞口降至可以忽视的水平。这有时被称为保险原则（insurance principle），因为保险公司对很多独立的风险源做保险业务从而分散降低风险。（其中的每个保单实际上构成了公司的整个组合。）
然而，当普遍性的风险影响所有公司时，即使分散化也无法消除风险。在图3-1b中，组合的标准差随着证券数量的增多而下降，但无法下降到零。这个无法消除的风险叫作市场风险（market risk）、系统性风险（systematic risk）或不可分散风险（nondiversifiable risk）。相反，可以消除的风险叫作独特风险（unique risk）、公司特有风险（firm-specific risk）或可分散风险（diversifiable risk）。
图3-1 组合风险关于股票数量的函数
这一分析来自实证研究。应用纽约证券交易所股票数据[1]，图3-2显示了组合分散化的影响。该图显示随机抽取股票等权重构成组合的平均标准差关于股票数量的函数。总体来说，组合风险确实随着分散化而下降，但是分散化降低风险的能力受到系统性风险的限制。
图3-2 组合分散化
注：组合收益平均标准差随着证券数量增多由49.2%最终降到19.2%。
资料来源：From Meir Statman“How Many Stocks Make a Diversified Portfolio？”Journal of Financial and Quantitative Analysis 22（September 1987）.Reprinted by permission.
[1] Meir Statman，“How Many Stocks Make a Diversified Portfolio？”Journal of Financial and Quantitative Analysis 22（September 1987）.
两个风险资产的组合
在上一部分我们考查了多个证券等权重构造组合的分散化问题，现在是研究有效分散化的时候了，给定任何期望收益我们可以构造最低风险的风险资产组合。
两个风险资产构成的组合相对容易分析，其原理也可应用于多个资产组合。所以我们讨论两个资产（一个专门投资长期债券的基金D，一个专门投资股票的基金E）构成的资产配置。表3-1列出了这两个基金的收益分布。
表3-1 两个共同基金的描述性统计
投资于债券基金的比例定义为wD，剩余的1-wD，定义为wE，投资于股票基金。这个组合的收益率rp是
rD和rE分别是债券基金和股票基金的收益率。
组合的期望收益是两种证券期望收益的加权平均值，权重分别为其投资的比例
方差是
可以看出组合的方差并不像期望收益率，并不是两个基金方差的加权平均。为了更好地理解组合方差，回想一个变量和它自己的协方差就是这个变量的方差
因此，组合方差的另一种表达方式为
组合方差就是协方差的加权值，权重为协方差内一对资产在组合中权重的乘积。
表3-2展示如何用数据表计算组合的方差。表3-2a分别给出了两只基金收益的协方差矩阵。
表3-2 组合方差的计算
根据基金占投资组合权重形成的协方差矩阵，不同权重比例标注在矩阵的外沿，即第一行和列。投资组合方差等于协方差矩阵中的每个元素与不同行列对应的权重交乘，再将各项相加，便得到了公式3.5给出的投资组合方差。
表3-2b展示了这一计算过程，即交乘协方差矩阵：每个协方差同时乘以行和列中的外围权重。表3-2b最后一栏将所有协方差项进行加总，得到了与投资组合方差式（3-5）一样的计算结果。
计算过程中，由于协方差矩阵是关于对角线对称的，即Cov（rD，rE）=Cov（rE，rD），因此，每个协方差项出现两次。
交乘协方差矩阵可应用于多项资产组合方差的计算。表格方式以简单的实现这一计算过程。
式（3-3）揭示了如果协方差为负，那么组合的方差会降低。但即使协方差为正，组合标准差仍然低于两个证券标准差的加权平均，除非两个证券是完全正相关的。
为了证明这一点，注意到协方差可由相关系数ρDE计算得到
因此
其他不变，当ρDE高时组合方差就高。当两个资产完全正相关，即ρDE=1时，等号右边可化简为
或
因此，组合标准差就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。在其他情况下，相关系数小于1，使得组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。
一个对冲资产和组合中的其他资产相关性为负。由式（3-7）可知这类资产在减少组合总风险上特别有效，而且，式（3-2）显示期望收益并不受相关性影响。因此，其他条件不变，我们总是愿意在组合中增加与组合相关性小甚至负相关的资产。
因为组合期望收益率是各个资产期望收益的加权值，而标准差小于各个资产标准差的加权平均，所以非完全正相关的资产组合在一起总是比单个资产提供更好的风险-收益机会。资产相关性越小，有效收益越大。
组合的标准差最低是多少呢？最低的相关系数是-1，代表完全负相关。在这种情况下，式（3-7）简化为
组合标准差为
当ρ=-1时，通过解下式可以得到完全对冲的头寸
解为
这一权重使得组合标准差变为零。
【例3-1】 组合的风险和收益
让我们把这一分析方法应用于表3-1中的债券和股票基金中。用这些数据，组合期望收益、方差和标准差的方程为：
我们可以变化组合的成分比例来看整个组合期望收益和方差的变化。假设改变债券的比例，组合期望收益如表3-3和图3-3所示，当债券比例从0变到1时，组合期望收益从13%降到8%。
表3-3 不同相关系数下的期望收益和标准差
当wD>1，wE<0时情况如何呢？这种情况的组合策略是卖空股票基金并将资金投于债券基金。这将会继续降低组合的期望收益率。例如，当wD=2，wE=-1时，预期组合收益降到2×8+（-1）×13=3%，此时的债券基金规模是组合净值的两倍。
相反的情况是wD<0，wE>1时，这种策略需要卖空债券基金来筹资购买股权基金。
图3-3 组合期望收益关于投资比例的函数
当然，不同的投资比例对组合的标准差也有影响。表3-3展示了假设不同的相关系数根据式（3-7）计算的不同组合权重时的组合标准差。图3-4显示了组合标准差和两个基金权重的关系。先看ρDE=0.3，图像显示当股票投资比例从0到1，组合的标准差先降后升。只要在相关性不是很高（注：只要ρ<σD/σE，全部是债券的投资组合随着股票持仓比例的提高，组合波动率将先下降。）的情况下都是如此。当两个基金的正相关性非常高时，组合的标准差随着组合由低风险向高风险资产转移而上升。
图3-4 组合标准差关于投资比例的函数
那么组合标准差最低是多少呢？对于表3-1中的数据来说，这一最小化问题的解是
注：这一解法利用了微积分中求极小值的方法。运用式（3-3）写出资产组合方差的表达式，用1-wD代替wE，并对wD求微分，利用导数为零来求解wD可以得到
同样，利用Excel软件中的表单程序Solver来求解方差极小化问题，你可以获得一个精确的解。
组合标准差是
即表3-3中ρ=0.30一列的最后一行σp值。
图3-4中ρ=0.3的线经过两个未经分散化的点，wD=1和wE=1。注意到最小方差组合（minimum-variance portfolio）的标准差小于这两个点的标准差。这显示了分散化的效果。
图3-4中另外3条曲线表示：保持每个资产方差不变时，组合的风险因两个资产收益相关系数变化而变化，这3条曲线对应着表3-3中的3列内容。
连接了WD=1全债券组合和WE=1全股票组合的黑色实线给出了ρ=1完全正相关资产构成组合的标准差，这种情况下分散化是没有意义的，组合标准差不过是两个标准差的加权平均。
浅色虚线给出了彼此不相关的资产（ρ=0）构成的组合风险情况。资产相关性越小，分散化则更加有效，组合风险也越低（至少当两资产都是多头头寸时）。ρ=0的最小组合标准差是10.29%，低于任意一个资产的标准差。
最后，折线说明了当两资产完全负相关（ρ=-1）时可以完全对冲的情况。这时最小方差组合的解由式（3-12）给出
组合方差为0。
我们可以组合图3-3和图3-4来展示组合风险与期望收益的关系。对于任意一对投资比例wD，wE，我们从图3-3中得到期望收益，从图3-4中得到标准差。表3-3中每对期望收益率和标准差的结果如图3-5所示。
图3-5 组合期望收益关于标准差的函数
图3-5中的浅色实线说明ρ=0.3的投资组合可行集（portfolio opportunity set）。我们之所以称其为投资组合可行集，是因为它表示了两个资产构造的所有期望收益和标准差的组合。其他的曲线表示了不同相关系数下的情况。黑色实线说明完全正相关的资产分散化并没有意义。曲线说明分散化是有意义的。当ρ=-1时，投资组合可行集是线性的，但是它提供了完全对冲的机会最大化了分散化的好处。
总之，尽管任何组合的期望收益是几个资产期望收益的加权平均，但标准差并不是这样。当资产相关系数小于1时分散化可以带来好处，且相关性越低，好处越大。在完全负相关的情况下，存在完美的对冲机会来构造零方差组合。
假设一个投资者想要从可行集中选择最优组合，他需要考虑风险厌恶。图3-5右上方的组合期望收益较高但是风险敞口也高。最优点取决于个人偏好。风险厌恶程度更高的投资者偏好于左下角期望收益低但是风险也相对较低的组合。
注：给定风险厌恶水平，个人可以决定提供最高效用值的组合。在第2章我们可以用关于期望收益和标准差的效用公式来描述效用值。组合的期望收益和标准差由两个资产在组合中的权重决定。根据式（3-2）和式（3-3），得
同样，可以利用Excel的Solver程序，以式（3-2）、式（3-3）以及WD+WE=1（即所有权重之和为1）为约束条件来最大化效用函数。
股票、长期债券、短期债券的资产配置
优化资产配置实际上是想找出斜率最大或夏普比率值最大的资本配置线（CAL）。斜率越大的CAL，任何给定波动性时相应的预期收益最大。现在我们步入资产配置问题：构造包含主要资产类的风险资产组合以实现尽可能高的夏普比率。
资产配置决策要求我们同时考虑短期国库券或者另外的无风险资产和风险类资产。其原因是，我们试图优化的夏普比率定义为超过无风险利率的风险溢价除以标准差。我们以短期国库券收益率作为评价各种可能组合夏普比率的无风险利率。夏普比率达到最大的组合即是资产配置问题的解。即便只包括3类主要资产，采用股票、债券和短期国库券进行讨论的拘束性也不是特别大。大多数专业人士认为“真正关键性的决策是，如何在股票、债券和短期国库券之间分配资金”。
两类风险资产的资产配置
我们的风险资产还包括债券和股票基金，但是我们现在也可以投资无风险短期国库券，收益率为5%，这时情况会怎样呢？我们先看图解，图3-6显示了表3-1中债券和股票基金构成的可行集，数据来自表3-1，且假设ρ=0.3。
两条资本配置线分别连接5%的无风险利率点和两个可行风险资产组合。第一条通过最小方差组合A，82%风险资金投资于债券，18%投资于股票（见表3-3）。组合A的期望收益为8.9%，标准差为11.45%。当短期国库券利率为5%时，其报酬-波动性（夏普）比率，即资产配置线的斜率，为
现在考虑第二条通过B点的资本配置线。组合B投资70%于债券基金，投资30%于股票基金，期望收益为9.5%，标准差为11.7%，其报酬-波动性比率为
比用最小方差组合和短期国库券得到的CAL的夏普比率要高，因此组合B比组合A好。
但是何必止于B呢？我们可以把资本配置线继续向上旋转直到最后和投资组合可行集相切，可得到最高报酬-波动性比率的资本配置线。因此，图3-7中那个切点组合P是最优风险组合。从图3-7中我们可以得到期望收益和标准差为E（rP）=11%，σP=14.2%。
图3-6 债券和股权基金的投资可行集和两条资本配置线
图3-7 债券和股权基金的投资可行集，最优资本配置线和最优风险组合
在实践中，当我们试图从更多的风险资产中构造最优风险组合时，我们需要依靠电子数据表或其他电脑程序。开始我们还是使用两个风险资产和一个无风险资产来构造，在这种更简单的情形下，我们可以推导出各资产最优组合中的权重公式，并且更利于展示组合最优化的一些问题。
目标是确定使资本配置线斜率最高的权重wD和wE值。因此，我们的目标函数就是夏普比率，
对于两个风险资产的组合p，期望收益和标准差为
当我们最大化目标函数Sp时，需要满足组合权重和为1的约束条件，即wD+wE=1，因此，我们需解以下问题
约束条件∑wi=1，此问题标准微积分计算即可求解。
在两个风险资产的情况下，最优风险组合（optimal risky portfolio）的解由式（3-13）给出，注意式中使用的是超额收益率（R），而非总收益率（r）（注：两风险资产的求解过程如下：用式（3-2）替换E（rP），用式（3-7）替换σP，用1-wD替换wE，对变换后的式子SP求wD的导数，令其为零，然后求出wD。）。
【例3-2】 最优风险组合
使用我们的数据，解为
计算得最优风险组合的期望收益和标准差为
最优组合资本配置线的斜率为
这正是P的夏普比率。注意到这个斜率超过所有其他可行的组合。
第2章中在给定最优风险组合和这个组合与短期国库券勾画出的CAL情况下得到了最优的完美组合。现在我们构造出最优风险组合P，这样就可以利用单个投资者的风险回避系数A计算出完全组合中多少比例投资于风险资产。下面专栏描述了成功投资的秘诀。
华尔街实战
成功投资的秘诀：首先做好分散化投资
如果你想要一个辉煌的投资结果，不要将时间花费在热门股票和明星基金上。相反，对于投资顾问来说，真正重要的问题是如何将资金在股票、债券以及国债等无风险投资产品之间进行分配。
用华尔街的术语来说，这样一个分配投资的过程叫资产配置。乔治城大学金融学教授William Droms认为，“资产配置是首先要做的，也是最重要的决策。你在股市投资的多少决定了你最终的投资结果”。
金融产品开发经理，同时也是洛杉矶的一位投资顾问William Mikus认为：“不管你的债券经理人选择证券的水平有多高，你都不可能从一个债券投资组合中获取股票市场的收益。”
Mikus先生引用了Gary Brison、Brian Singer和Gilbert Beebower于1991年做的分析研究来证明这一观点。他们研究了82只大型养老金计划10年的收益率，发现资产组合的配置情况解释了其中91.5%的收益率。
设计一个投资组合
正因为资产组合的选择如此重要，一些基金公司现在提供免费的服务来帮助投资者构造他们自己的投资组合。
芝加哥的一个通信栏目Mutual Fund Letter的编辑Gerald Perrit说道：“你应该根据你的投资期限调整你的资产配置。你的投资期限越长，你就应该更多地进行股票投资。当你越接近你的投资期限时，你应该买入更多的债券和货币市场金融工具，比如中期国债。”债券和货币市场金融工具的收益可能低于股票，但对于近期需要用钱的投资者而言，保守的投资策略更有意义，因为这样可以避免在短期内承受巨大的损失。
汇总你的资产
“人们可以做的最重要的一件事情是将他们所有的资产汇总在一张纸上并计算出他们的资产配置状况。”Pond先生说。
Pond先生还说道，一旦人们开始进行资产配置，那么他就要盯住其目标百分比水平。为了实现这一目标，他建议每6个月就计算一次资产配置水平。因为若股票市场跳水，你会发现股票市场在资产组合中的比例下降了。在这一时刻，你需要抛售债券，买入股票。
当设计投资组合时，一些投资顾问在考虑传统的股票、债券和货币市场金融工具之外，还将考虑黄金和不动产投资。Droms先生认为，黄金和不动产“给了你对冲恶性通货膨胀的能力”。
资料来源：Jonathan Clements，“Recipe for Successful Investing：First，Mix Assets Well，”The Wall Street Journal，October 6，1993.Reprinted by permission of The Wall Street Journal，© 1993 Dow Jones & Company，Inc.All rights reserved worldwide.
我们发现给定最优风险组合和其资本配置线（即给定无风险短期国库券利率），可以得到整个最优投资组合。现在我们构造了最优风险组合P，可以通过投资者的风险厌恶系数A来计算整个投资组合投资风险资产的最适比例。
【例3-3】 最优投资组合
风险厌恶系数A=4的一个投资者，其投资风险组合P的头寸为[1]
因此投资者会投资74.39%的资金于风险组合P，25.61%的资金投于短期国库券。P中债券投资40%，股票投资60%.如图3-8和图3-9所示。
图3-8 决定最优组合
图3-9 最优组合的成分
现在，总结投资很多风险资产的情况就会较为便于理解。我们首先简要总结一下构造整个组合的步骤。
（1）确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差）。
（2）建立风险资产组合。
a.计算最优风险组合P[式（3-13）]。
b.由a.计算组合P的期望收益和标准差[式（3-2），式（3-3）]。
（3）在风险资产和无风险资产之间配置资金。
a.计算投资风险资产组合P的比例。
b.计算整个组合中各资产的比例。
回忆我们两个风险资产——债券基金和股票基金都已经是分散化的组合。这个组合内部的分散化相比单只证券降低了风险。比如，一般股票收益率的标准差大约50%（见图3-2）。而股票指数基金只有20%左右，接近标准普尔500指数的历史水平。这是同类资产内部分散化好处的一个证明。股票基金和债券基金之间的最优化配置又促进了整个组合报酬-波动性比率的提升。最优资本配置线（见图3-8）显示投资者可以在标准差18%的风险水平下获得13%的期望收益率。
[1] 注意到式（3-14）将收益用小数表示，这在使用风险厌恶系数A求解资产配置时是必要的。
马科维茨资产组合选择模型
证券选择
组合构造问题可以归纳为多个风险资产和一个无风险资产的情况。在两风险资产的例子中，该问题有三步。首先，确认可行集的风险收益权衡；然后，通过计算使资本配置线斜率最大的各资产权重确认最优风险组合。最后，确认最合适的投资组合，由无风险资产和最优风险组合构成。
第一步是决定投资者面临的风险收益机会，由风险资产的最小方差边界（minimum-variance frontier）给出。这条边界线是在给定组合期望收益下方差最低的组合点描成的曲线。给定期望收益、方差和协方差数据，所描成的曲线如图3-10所示。
注意到所有单个资产都在该边界的右方，至少当存在卖空机制时是这样的[1]。这说明由单个资产构成的风险组合不是最有效的。分散化投资可以提升期望收益降低风险。
所有最小方差边界上最小方差组合上方的点提供最优的风险和收益，因此可以作为最优组合，这一部分称为风险资产有效边界（efficient frontier of risky assets）。对于最小方差点下方的组合，其正上方就存在具有相同标准差但期望收益更高的组合。因此最小方差组合下部的点是非有效的。
第二步是包含无风险资产的最优化。与之前一样，我们寻找报酬-波动性比率最高的资本配置线，如图3-11所示。
图3-10 风险资产的最小方差边界
图3-11 风险资产有效边界和最优资本配置线
这条资本配置线优于其他资本配置线，与有效边界相切，切点是最优风险组合P。
最后一步是投资者在最优风险资产P和短期国库券之间选择合适的比例构成最终组合，如图3-8所示。
现在我们考虑构造组合每一步的细节。在第一步中，风险收益分析，投资经理需要每个证券的期望收益率和标准差、证券间协方差矩阵的估计值。投资经理现在有E（ri）和n×n的协方差矩阵，矩阵对角线上是n个，其余是n2-n=n（n-1）个协方差值，且关于对角线对称，所以有n（n-1）/2个数值需要估计。如果我们在50只证券中进行组合管理，则需要估计50个期望收益值，50个标准差，50×（49/2）=1225个协方差。这一任务很艰巨。
一旦这些估计完成，任意风险组合（各资产权重为wi）的期望收益和方差都可以通过协方差矩阵或通过下列式（3-2）、式（3-3）的延伸公式计算得到：
之前我们提到分散化的理念有很长的历史了。“不要把鸡蛋放在一个篮子里”这句话早在现代金融理论出现之前就已存在。直到1952年，哈里·马科维茨[2]正式发表了包含分散化原理的资产组合选择模型，为他赢得了1990年的诺贝尔经济学奖。他的模型就是组合管理的第一步：确认有效的组合集，即风险资产有效边界。
风险资产组合边界背后的核心原理是，对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合，或者说，边界是给定期望收益风险最小的组合集。
确实，计算风险组合有效集的两种方法是等价的。可以考虑表示这一过程的图解，图3-12显示了最小方差边界。
图3-12 有效投资组合集
图3-12所示是一个最小方差程序的算法，横向为每一个期望收益水平，我们寻找方差最小的组合，用方形标记该点，或者竖向每一个方差水平，我们寻找期望收益率最高的组合，用圆形标记该点，都可以得到图3-12所示的最小方差边界的基本形状，然后去掉下面虚线部分，因为它是非有效的。
这一步完成之后，我们就得到了一系列有效组合，因为最优程序的解包含组合的内部权重wi，期望收益率E（rP）和标准差σP。这些数据随后进入最优化程序中。
现在我们回过头来看一下，到目前为止投资经理都做了什么。证券分析师分析得到的估计值转化为一列期望收益值和一个协方差矩阵，这些估计值被称为数据输入表，进入最优化程序中。
在进行第二步选择最优风险资产之前，先考虑一个实际问题。一些客户可能会受到约束，比如卖空限制。对于这类客户，投资经理需要在寻找有效组合的程序中排除资产头寸为负的情形。此时有效组合可能是单个证券，比如拥有最高期望收益率的证券也会是前沿边界组合之一，因为无法通过卖空机制用多个证券构造期望收益率相同风险却较低的组合。
约束条件不仅仅包含卖空的限制，客户还会要求最低的股利收益率，此时就需要各证券的股利收益率数据，并加一个约束语句来保证所有证券的预期股利收益率高于设想的某个值。
投资经理可以调整有效边界来满足客户不同的要求。当然，附加额外要求后的报酬-波动性比率只会次于无额外要求的情形。所以，客户在附加投资的额外要求时应该考虑到这些非法律要求的限制所带来的成本。
另一种约束条件是从政治或道德上排除在某一特定产业或特定国家的投资。这种投资称为社会责任投资，必须承担降低报酬-波动性比率的成本，这一成本可以看作对隐含理由做的贡献了。
资本配置和分离特性
已经有了有效边界，可以进行第二步引入无风险资产。图3-13显示了有效边界和三条资本配置线。和之前一样，把资本配置线向上旋转直到与有效边界相切，切点为最优风险组合P，且该资本配置线的报酬-波动性比率最大。这时投资经理的任务已经完成，组合P是投资经理为客户找到的最优风险组合。
图3-13 有效集组合和资本配置线
最令人惊叹的结论是投资经理会向所有客户提供风险组合P，无论客户的风险厌恶程度如何[3]。客户不同的风险厌恶程度通过在资本配置线上选择不同的点来实现。相比之下更加厌恶风险的客户会在无风险资产和最优风险组合P之间更多投资于无风险资产。
另外一种寻找最优风险组合的方法是通过一开始就引入无风险利率。这种方法下，我们编写计算表的程序来优化组合P的夏普比率。这里值得一提的原因是可以免去画有效边界而直接找出CAL斜率最大的组合。计算表程序最大化夏普比率完全不受预期收益或方差限制（仅需要受制于组合的权重之和为1）。图3-13显示的问题解决方案是找出使CAL斜率（夏普比率）最大的组合，不需要考虑预期收益或标准差。预期收益和标准差可以通过计算组合权重和式（3-15）、式（3-16）很容易得到。
这个方法不能直接给出整个最小方差边界，不过这个缺点可以通过寻找以下两个组合来弥补：第一个我们熟悉的最小方差组合，即图3-12中的G。组合G是通过不管预期收益如何的情况下最小化方差得到，参见图3-13。组合G的预期收益较无风险利率大（即风险溢价为正）。
另外一个组合，我们在后文中将详细介绍，最小方差边界上的非有效组合，它与最优风险组合的协方差（相关系数）为零。我们称该组合Z。一旦确定了组合P，我们通过数据表程序解出与P的协方差为零的最小化标准差组合。
边界组合的一个重要特性是，最小方差边界上的任何两个组合构造出的组合依然在边界上，它处在边界上的位置取决于组合的权重。因此组合P加组合G或Z可以得到整个效率边界。
这一结果称为分离特性（separation property），阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤[4]。第一步是决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。给定投资经理所有证券的数据，最优风险组合对所有客户就是一样的。然而，第二步整个投资组合在无风险短期国库券和最优风险组合间的配置，取决于个人的偏好。在这里客户是决策者。
这里关键的问题是：投资经理为所有客户提供的最优风险组合都是组合P，换句话说，不同风险厌恶程度的投资者会满足于由两个共同基金构成的市场：一个基金在货币市场进行无风险投资，一个持有资本配置线与有效边界切点上的最优风险组合P，这一结果使得职业投资管理更有效率且成本也更低。一家投资管理公司服务于更多的客户而管理成本增加得很少。
但是在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因此会得到不同的有效边界，提供不同的“最优”组合。这种偏差来自证券分析的差异。值得一提的是通俗的GIGO（garbage in-garbage out）原则也可以应用于证券分析。如果证券分析质量很差，那么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于由低质量证券分析生成的资本配置线。
当一个数据输入表采用证券最近的收益率来表示其真实的期望收益率时，将会使得到的有效边界失去意义。
考虑一个年均标准差为50%的股票，如果用它10年平均来估计收益，估计的标准差将达到=15.8%，这一平均基本无法代表来年的期望收益[5]。
正如我们看到的，不同客户的最优风险组合也因其各自的约束条件而不同，比如股利收益约束、税收因素和其他客户偏好。即使如此，这部分分析说明一定数量的组合就可以满足大量的投资者，这是共同基金行业的理论基础。
最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正的竞争在于证券分析精确性上的角逐。这种分析和合理的解释是组合构造的艺术。[6]
分散化的威力
前面介绍了分散化的理念，但是由于系统风险的存在，分散化带来的益处存在限制。有了前面的工具，我们可以重新考虑这一问题，同时深入窥探分散化的威力。
回忆式（3-16），组合的方差为
考虑最简单的分散化策略，组合中每一资产都是等权重的，即wi=1/n，这时式（3-16）可写作［将i=j的情况从连加符号中移出，Cov（ri，ri）=］
定义平均方差和平均协方差为
得出组合的方差为
现在检验分散化的效果。当证券之间的平均协方差为零时，即所有风险都是公司特有的，由式（3-20）可知组合方差在n变大时趋近于零。因此，当证券间收益不相关时，分散化降低组合风险的威力是无穷的。
然而，更重要的是，经济层面的风险因素使股票收益存在正相关性。在这种情况下，当组合高度分散化后，组合方差为正。当n变大时，尽管公司特有的风险最终被消除了，但是等号右边第二部分趋于。因此分散化组合不可消除的风险取决于不同证券间收益率的协方差，这反过来就是经济中系统性因素的显现。
为了进一步考察系统风险和各证券间相关性的关系，简单假设所有证券的标准差都为σ，证券间相关系数都为ρ，协方差为ρσ2，此时式（3-20）化为
证券间相关性的影响这时就很明显了。当ρ=0时，我们得到保险原理，组合方差在n变大时趋于零。然而，当ρ>0时，组合方差为正。实际上，当ρ=1时，不论n如何，组合方差等于σ2，说明分散化没有意义。在完全相关的情况下，所有风险都是系统的。更一般的情况，当n增大，系统性风险保持为ρσ2。
表3-4给出了证券数量扩大时ρ＝0，ρ＝0.4两种情况下的组合标准差。其中令σ＝50%。正如我们预想的，组合风险在ρ＝0.4时更大。更令人吃惊的是，相关系数为正时，组合风险随着证券数量上升而下降的速度相对慢很多，因为证券间的相关性限制了分散化的空间。
表3-4 相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少
注意到对100个证券构成的组合，彼此不相关的情况下标准差为5%，和零标准差还有一段距离。当ρ=0.40，标准差很高，达到31.86%，非常接近于不可分散的系统性风险，为==31.62%，说明进一步分散化也没什么意义了。
上面计算中最重要的一点是：当我们持有分散化组合时，某一证券对于整个组合风险的贡献取决于该证券和其他证券之间的协方差，并非该证券的方差，这意味着风险溢价也取决于协方差而非收益的变动。
资产配置和证券选择
如同之前看到的，证券选择和资产配置理论是一样的。这两步都需要构造有效边界，并在有效边界上选择一个最优组合。既然这样，是否还有必要区分资产配置和证券选择呢？
有三个因素需要考虑。首先，出于储蓄的天性和对利益的追求，社会对专业投资管理的需求呈迅速上升态势。其次，金融市场和各类金融工具的繁荣使得专业投资管理的收益超过一般的业余投资者。最后，投资分析有巨大的规模效益。最终的结果是有竞争力的投资公司随着行业的发展扩大其规模，组织管理的效率也变得非常关键。
一个大型的投资公司很可能既投资于国内也投资于国际市场，其资产范围更广，每种资产都需要相应的专家。因此，每一资产类组合的管理不再集中，一步最优化所有证券也显得不太可能，即使理论上可以实现。
实践中总是独立地最优化每类资产中的证券选择，同时，高一级的管理会更新各资产类的最优情况并调整完善资产组合的投资权重。
最优组合和非正态收益
此前使用的组合最优化技术是建立在收益正态分布的假设下的。然而，收益率可能的非正态性要求我们关注诸如在险价值、预期损失这类强调最坏情况损失的风险度量方法。
我们知道，在肥尾分布下需要重新考虑资本配置，因为此时在险价值和预期损失值会很高。特别地，当预测到较高的在险价值和预期损失值时，我们应当适当减少风险组合的配置。当我们选择最优风险组合时，分散化对在险价值和预期损失也是有影响的，只不过，这种情况下分散化的效果很难用正态分布情形的方法来展现。
目前，估计在险价值和预期损失一个实用的方法是自举法（拔靴法）。我们从一个组合的资产收益历史数据开始，计算组合收益看成从组合中资产历史收益中抽取一次，可以计算无穷多的随机组合的收益。这种方法计算的5万个收益就足够估计出在险价值和预期损失。此时我们可以比较最优风险组合和其他组合的在险价值与预期损失，如果某个组合的值比最优组合低的话，我们可能会倾向于这一组合。
[1] 当不存在卖空机制时，同等风险下，最高期望收益的证券一定在有效边界上，有效边界上的证券，在同等收益时，方差是最小的。当卖空机制存在时，可以通过卖空低收益、买进高收益证券的方式构建出更高收益或更低波动性的更优组合。
[2] Harry Markowitz，“Portfolio Selection，”Journal of Finance，March 1952.
[3] 附加额外约束条件的客户，会得到另一个的最优组合，会次于无附加约束条件时得到的组合。
[4] 由James Tobin首次发现，“Liquidity Preference as Behavior toward Risk”，Review of Economic Statistics 25（Feb 1958 pp.65-86）
[5] 而且无法通过观察更高频的收益率来避免这一问题，在第1章中我们指出用样本平均估计期望收益的精确性取决于样本时期，而非样本期内观察频率。
