导读
马科维茨模型有两个缺陷：第一，模型需要大量的估计数据来计算协方差矩阵。第二，模型无法提供证券风险溢价的预测方法，而这又是构造有效边界所必需的。因为预测未来收益率不能完全依赖历史收益率，所以这一缺陷是非常严重的。
本章我们引入指数模型，简化协方差矩阵的估计，强化证券风险溢价的估计。指数模型通过分解风险为系统性风险和公司特有风险，使读者了解分散化的威力和局限性，并且度量特定证券和组合的这些风险成分也可以实现。
本章首先描述单因素证券市场，提出证券收益的单指数模型。然后对单指数模型进行拓展，回顾这些估计值的统计数据，给出它们和投资经理面临的实际问题之间的联系。
除了简化，指数模型与有效边界和组合最优化的概念也保持一致。实证中，指数模型与收益正态分布假设一样有效。因为短期收益率用正态分布很好地近似，指数模型可以用来选择最优组合，并且和马科维茨算法几乎一样精确。最后，我们用指数模型估计最优风险组合。虽然原理相同，但组合的收益率、协方差等特性的推导和解释更容易。我们通过用各公司的一个小样本建立最优风险组合来展示如何使用指数模型，并与马科维茨理论建立的最优风险组合进行对比，最后讨论指数模型遇到的实际问题。
单因素证券市场
马科维茨模型的输入数据
组合选择的成功依赖于输入数据的质量，即证券期望收益率和协方差矩阵的估计。长期来看，有效组合会超过输入劣质数据得到的组合。
假设你的证券分析师要全面分析50只股票，这意味着输入数据如下：
这一任务令人生畏，更别说50只证券构成的组合依然相对较小。n=100时，估计值增加到5150。若n=3000，约为纽约证券交易所股票的数量，我们需要估计450万个以上的值。
应用马科维茨模型进行组合最优化的另一难题在于相关系数的估计误差会导致无意义的结果，这是因为部分相关系数相互冲突，如表4-1所示[1]。
表 4-1
假设你构造的组合资产A、B、C的权重分别为-1、1、1，经过计算你会得到组合方差为-200%。而方差值必须是非负的，因此我们确信相关系数的估计值相互冲突。当然，真实的相关系数矩阵一定是相互一致的[2]，但是我们并不知道相关系数真实值，而估计值总是不准确的。不幸的是，相关系数矩阵的相互冲突与否并非一眼就能看出，所以亟待寻找更简单的模型。
引用一个简化描述证券风险来源方式的模型让我们可以使用更少且具有一致性的风险参数和风险溢价的估计值。因为受共同经济因素影响，证券间协方差为正，这种简化才得以面世。一些常见的经济因素包括商业周期、利率、自然资源成本等。这些变量未预期的变化会导致整个股票市场收益率未预期的变化。通过将这种不确定性分解为系统性和公司层面的来源，我们大大简化了协方差和相关系数的估计。
收益的正态分布和系统性风险
我们总是可以将任何证券i的收益率分解为期望收益率和非期望部分之和：
ei的均值为0，标准差为σi，它描述了证券收益的不确定性。
当相关的证券收益率可以用正态分布来很好地近似时，我们称其服从联合正态分布。这一假设意味着，任何时间证券收益受一个或多个变量共同决定，如果一个以上的变量导致证券服从正态分布，那么这种收益被称为服从多元正态分布。我们先从简单的单因素证券市场开始，扩展在后续章节会具体介绍。
假设引起所有公司的证券收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量m，那么可以将不确定性分解为经济整体的不确定性（用m表示）和特定公司的不确定性（用ei表示）此时，我们将式（4-1）改写为：
用宏观经济因素m度量未预期的宏观突发事件。因此，它的均值为0，标准差为σm。相反，ei只衡量特定公司的突发事件。注意到m没有下标是因为m影响所有公司。最重要的是，m和ei是不相关的，因为ei是公司层面的，和影响整个经济的宏观因素独立。于是ri的方差来自两个独立的部分——系统的和公司的。因此：
经济因素m产生证券间的相关性，因为所有证券都会对同一宏观经济新闻有所反应，但是公司层面的事件，假设中认为在公司之间是无相关性的。因为m与ei不相关，所以两只证券i和j的协方差为：
此外，一些证券对经济冲击比其他证券更为敏感。例如，汽车公司对经济条件的反应比制药公司要剧烈得多。所以可以加一个对宏观经济条件的敏感性系数。因此，如果定义希腊字母βi为公司i的敏感性系数，那么改变式（4-2）得到单因素模型（single-factor model）：
式（4-5）表明证券i的系统性风险由其βi系数决定。周期性公司对市场的敏感性更高，所以系统性风险就更大。证券i的系统性风险为，总风险为：
任意两证券间协方差为
就系统性风险和市场暴露而言，这一公式表示公司间存在近似替代关系，β值相等的公司，其市场风险也相同。
到目前为止，我们只使用了证券收益联合正态分布的统计意义。仅证券收益的正态性就保证了组合收益也是正态的，且证券收益和共同宏观因素之间存在线性关系。这大大简化了组合分析。然而，统计分析并未识别共同宏观因素，也未能确定该因素在长期投资中如何作用。尽管如此，共同因素、单个证券的方差以及证券间的协方差在长期中变化非常缓慢（通过实证可以证明）。现在我们需要寻找一个变量来代表共同因素，这一变量必须可以观察，易于估计其波动性和单个证券对其的敏感度。
[1] 感谢西北大学凯洛格管理学院的Andrew Kaplin、Ravi Jagannathan提供本例。
[2] 数学上，一个相关矩阵不能产生负的投资组合方差的性质，被称为正定性。
单指数模型
使单因素模型具备可操作性的一个方法是将标准普尔500这类股票指数的收益率视为共同宏观经济因素的有效代理指标。这一方法推导出和单因素模型相似的等式，称为单指数模型（single-index model），因为它使用市场指数来代表共同经济因素。
单指数模型的回归方程
标准普尔500指数是一个股票组合，其价格和收益率易于观察。我们有足够的历史数据来估计系统性风险。用M表示市场指数，其超额收益率为RM=rM-rf，标准差为σM。因为指数模型是线性的，我们可以用单变量线性回归来估计一个证券对市场指数的敏感性系数。我们让证券超额收益率Ri=ri-rf对RM回归，数据采用历史样本Ri（t）和RM（t）配对，t表示观察样本的日期（比如特定月的超额收益）。[1]回归方程（regression equation）是：
这一方程的截距α是当市场指数超额收益为0时该证券的期望超额收益率，斜率βi是证券对指数的敏感性，即每当市场指数上涨或下跌1%时证券i收益的涨跌幅。ei均值为0，是t时刻公司层面收益率的冲击，也称为残值（residual）。
期望收益与β的关系
因为E（ei）=0，将式（4-8）中的收益率取期望值，得到单指数模型的收益-β关系：
式（4-9）中的第二项说明证券的风险溢价来自指数风险溢价，市场风险溢价成了证券的敏感系数。我们之所以称其为系统性风险溢价，是因为它源自整个市场的风险溢价，代表整个经济系统的状况。
风险溢价的剩余部分是α，为非市场溢价。比如，如果你认为证券被低估，期望收益更高，则α更高。接着，我们会看到当证券价格处于均衡时，这类机会将在竞争中消失，α也会趋于0。但是现在先假设每个证券分析师对α的估计都不同。如果投资经理认为可以比其他分析师做得更好，那么他们会自信能找到α非零的证券。
用指数模型分解单个证券风险溢价为市场和非市场两部分，极大地简化了投资公司宏观经济和证券分析工作。
单指数模型的风险和协方差
马科维茨模型的一个问题是所需估计参数的庞大数量，但是指数模型大大减少了需要估计的参数。式（4-8）分别得到每个证券系统和公司层面的风险，以及任意一对证券间的协方差。方差和协方差都由证券的β和市场指数决定。
式（4-9）和式（4-10）意味着单指数模型估计所需的参数只包含单个证券的α、β和σ（e）、市场指数的风险溢价和方差。
单因素模型的估计值
单因素模型的结果如表4-2所示。
表 4-2
该模型需要的变量包括：
·n个超额收益估计值，αi
·n个敏感系数估计值，βi
·n个公司特有方差的估计值，σ2（ei）
·1个市场溢价估计值，E（RM）
·1个宏观经济因素方差的估计值，
这（3n+2）个估计值便是单指数模型所需的数据。对于一个50只证券的组合，我们需要152个估计值而非马科维茨模型要求的1325个估计值。对于纽约股票交易所的所有上市股票，约3000只，我们需要9002个估计值而不是450万个。
显而易见，指数模型为什么进行了如此有用的简化。在一个有成千上万证券的市场上，马科维茨模型需要天文数字的估计值，而指数模型只需要马科维茨模型估计值的一小部分。
指数模型的另一个常被忽略但同样重要的优势是，指数模型的简化对证券分析专业化非常重要。如果每对证券间的协方差需要直接计算，那么分析师就无法实现专业化。比如，如果一组分析师专业分析电脑产业而另一组分析汽车制造业，那么谁拥有足够的专业背景来估计IBM和GM的协方差呢？然而，指数模型给出了计算协方差更容易的方法。证券间的协方差都来自一个共同因素的影响，即市场指数收益，而且可以应用式（4-8）回归估计得到。
但是从指数模型假设条件得出的简化方法并不是没有成本的。指数模型的成本来自其对资产不确定性结构上的限制。将风险简单地二分为宏观和微观两个部分，过于简化了真实世界的不确定性并忽略了股票收益依赖性的重要来源。比如，二分法忽略了行业的事件，这些事件影响该行业中很多公司，但是不对宏观经济造成影响。
最后也很重要的一点是，设想单指数模型是完全准确的，唯独两只股票——英国石油和壳牌的残差项是相关的。指数模型会忽略这一相关关系（假设它为零），但马科维茨算法会在组合方差最小化时自动考虑到该相关性（实际上包括每一对证券的相关性）。如果我们的证券总量较小，两种模型得到的最优组合会显著不同。马科维茨得到的组合，英国石油和壳牌的权重会较小，得到的组合方差更低，因为两只股票相关性降低了分散化的价值。相反，当相关性为负时，指数模型会低估分散化潜在的价值。
因此，当残差项相关的股票有较大的α值，而且占整个投资组合较大的比例时，单指数模型推导出的最优组合可能会明显次于马科维茨模型。如果很多股票残差项都有相关性，那么额外包含了捕捉证券间风险因素的多指数模型可能更适用于组合的分析和构造。
指数模型和分散化
由夏普首次提出的指数模型[2]同样为投资组合分散化提供了新的视角。假设我们选择等权重n个证券构成的组合，每个证券的超额收益率为：
类似地，组合的超额收益为：
当组合中股票的数量增加时，非市场因素带来的组合风险越来越小，这部分风险通过分散化逐渐被消除。然而，无论公司数量如何上升，市场风险仍然存在。
为了理解这一结果，注意这一等权重组合的超额收益为：
比较式（4-11）和式（4-12），我们看到组合对市场敏感度为：
为βi的平均值。组合的非市场收益为：
为α的平均值，加上零均值变量：
为公司部分的平均值。因此组合方差为：
组合方差的系统性风险部分为，取决于每个证券的敏感系数。这部分风险取决于组合β和，无论组合如何分散化，都保持不变。不论持有多少股票，它们对市场的风险敞口都会反映在组合的系统风险中。[3]
相对地，组合方差的非系统性风险为σ2（eP），来自公司层面的ei。因为这些ei是独立的，期望值为0，所以可以说当更多的股票被加到投资组合中，公司层面风险会被消除，降低了非市场风险。这类风险因此称为可分散的。为了更清晰地看这一问题，检验等权重组合的方差，其公司部分为：
其中（e）为公司的平均方差。因为该平均值独立于n，当n变大时，σ2（eP）趋于0。
总之，随着分散化程度增加，投资组合的总方差就会接近系统风险，定义为市场因素的方差乘以投资组合敏感性系数的平方，图4-1说明了这一现象。
图4-1 单因素经济中β系数为βP等权重组合方差
图4-1显示当组合中包含越来越多的证券时，组合方差因为公司风险的分散化而下降。然而，分散化的效果是有限的，即使n很大，由于共同或市场因素引起的风险仍然存在，无法被分散化。
实证分析验证了这一分析。图3-2说明了组合分散化对投资组合标准差的影响，这些实证结果类似于图4-1现实的理论图形。
[1] 实际操作中经常使用和式（4-8）相似的“修正”指数模型，使用总收益而非超额收益，尤其使用日数据时，因为短期国库券的日收益率为0.01%，所以超额收益和总收益几乎相等。
[2] William F.Sharpe，“A Simplified Model of Portfolio Analysis，”Management Science，January 1963.
[3] 当然，我们也可以构造零系统风险的组合。通过将-β和+β的资产混合。我们讨论的意义是，大部分证券β值为正，意味着由很多这些证券构成完全分散化的组合，其系统性风险也会为正。
估计单指数模型
以单因素模型理论为基础，我们这里提供一个综合性例子，首先估计回归方程式（4-8），然后估计证券收益的协方差矩阵。
为了叙述方便，下面分析六大美国公司：标准普尔500指数中信息技术板块的惠普（HP）和戴尔（Dell），零售板块的塔吉特（Target）和沃尔玛（Walmart），能源板块的英国石油（BP）和皇家荷兰壳牌公司。
我们观察这6只股票、标准普尔500指数和短期国库券在5年中的月收益率（即60个观察值）。首先计算7个风险资产的超额收益，然后通过惠普的准备过程示范整个输入数据表。本章后面讲述如何建立最优风险组合。
惠普的证券特征线
将指数模型回归方程式（4-8）运用于惠普公司即为：
上式描述了惠普公司的超额收益率与用标准普尔500指数收益率来代表的经济状况变化之间的线性关系。回归估计结果描述的是一条截距为αHP、斜率为βHP的直线，称作惠普的证券特征线（security characteristic line，SCL）。
图4-2显示了惠普和标准普尔500指数60个月的超额收益率，图中显示惠普的收益与指数的收益一般是同向变动的，但其波动幅度更大。事实上，标准普尔500指数年化超额收益的标准差为13.58%，而惠普为38.17%。惠普公司收益的波动幅度比指数大，这意味着其敏感度大于市场平均值，即β大于1.0。
图4-2 S&P 500和HP的超额收益
图4-3的散点图更清楚地描述了惠普和标准普尔500指数收益率之间的关系。如图所示，回归线穿过散点，每个散点和回归线的垂直距离就是对应每个t值惠普收益率的残差eHP（t）。图4-2和图4-3中的收益率不是年化的，散点图显示，惠普的月收益率波动幅度超过±30％，而标准普尔500指数的收益只在-11%～8.5%波动。回归分析的结果如表4-3所示。
图4-3 S&P 500和HP的超额收益
惠普证券特征线的解释力
先考虑表4-3，我们看到惠普和标准普尔500指数的相关性很高，达到0.7238，说明惠普经常随着标准普尔500指数的波动而同向变动。R2为0.5239，说明标准普尔500指数的方差可以解释惠普方差的52%左右。调整后的R2稍小于原来的R2，修正了因使用α和β估计值而非真实值所产生的偏差。（注：一般来说，调整后的R2通过=1-（1-R2）推导，其中k为自变量的个数（此处为1），因为截距项导致额外一个自由度的缺失。）当有60个观测样本时，这一偏差很小，为残差的平方，对这一点我们要做更深入的讨论。这是一个衡量由公司特有因素引起的股票与指数平均关系变动的指标，且该指标基于样本内数据。另一个更严格的检验是分析样本各期限的收益率，并检验自变量（标准普尔500指数的收益）的预测能力。样本外数据的回归预测值与实际值之间的关系通常会大大低于样本内数据的相关性。
表4-3 Excel输出，惠普证券特征线的回归统计
方差分析
表4-3的第二栏显示了证券特征线的方差分析结果。其中，回归平方和（SS）0.3752表示因变量（惠普收益率）方差中能够被自变量（标准普尔500收益率）解释的那一部分，该值等于。MS这一列为残差项（0.0059），表示惠普收益率中无法被自变量解释的部分，即独立于市场指数的那一部分，该值的平方根就是第一栏中报告的回归方程的标准误差（SE）0.0767。如果将总的回归平方和（SS）0.7162除以59，就可以得出因变量方差的估计值，即每月0.012，相当于11%的月标准差，如果换算成年度值，（注：当月度数据转化成年化度量时，平均收益和方差均被乘以12。如果方差是乘以12，则标准差要乘以。）就可得年标准差38.17%。注意到，R2等于被解释的SS除以总SS。
注：
等价地，R2等于1减方差中不能被市场收益解释的部分，即1减公司特定风险和总风险的比率，对于惠普公司而言，即
α估计
下面移到表4-3最下方一栏，截距（0.0086）是对惠普公司样本期α的估计。尽管从经济意义上来看这个值已经足够大（年化后达10.32%），但在统计上是不显著的。后面几个统计量可以验证这一点，第一个统计量是估计的标准误差（0.0099），这一统计量衡量了估计的误差，如果标准误差大，那么可能的估计误差也相应大。
注：残差的标准误差和α估计值的标准误差关系为：
该栏中的t统计量是回归系数与其标准误差之比，等于估计值大于0的标准误差值，因此可以用来评估真实值等于0而非估计值的概率。[1]直觉告诉我们，如果真实值为0，那么估计值就不会偏离太远，因此t值越大，真实值等于0的概率越低。
就α而言，我们感兴趣的是对除去市场变化影响的惠普平均净收益。假如惠普收益的非市场成分被定义为特定时期内实际收益减去市场变化引起的收益，这也被称为公司特有收益，缩写为Rfs，即
如果Rfs服从均值为0的正态分布，其估计值与其标准误差之比服从t分布。从t分布表中可以查到在估计值和估计误差为正的条件下真实α值为0甚至更低的概率。这一概率被称为显著性水平，或如表4-3所示的概率p值。传统的统计显著性阈值为5%，一般要求t值高于2.0。回归结果显示惠普α的t值为0.8719，意味着该估值并不显著。也就是说，在某一置信水平下，不能拒绝真实α值等于0的原假设。p值（0.3868）表示如果真实α值为0，那么得到0.0086的可能性为0.3868，即存在一定的可能性。综上分析可以得到以下结论：Rfs的样本平均值太低以至于不能拒绝真实值为0的原假设。
但是，即使α值在样本内的经济意义和统计意义上均显著，我们仍不确定将α值作为未来的预测值。大量的经验数据显示5年内α值不会维持不变，即某一样本期间的估计值与下一期间的估计值之间没有实质的联系。换句话说，当市场处于稳定期时回归方程估计得到的α值所代表的证券平均收益率不能用来预测未来公司的业绩，即证券分析很难的原因。过去不一定预测未来。
β估计
表4-3的回归输出结果表明惠普的β估计为2.0348，是标准普尔500指数的两倍多。这么高的敏感性对科技股票而言是正常的。估计的标准差为0.2547。（注：SE（β）=。）
该β值和标准差产生一个很大的t值（7.9888），p值几乎为0。我们可以大胆地拒绝惠普真实β值为0的原假设。更有趣的是，t统计量也可以检验惠普的β值比市场的平均β值大的原假设。这一t值会度量β的估计值偏离假设值1的误差，且足够大到产生统计显著性。
然而，有一点需要牢记，精确并不是我们所追求的目标。例如，如果要在95%的显著水平下构建一个包括真实β值的置信区间，就应该以估计值为中心，加减约2倍标准差，这样就形成了一个范围较大的区间（1.43～2.53）。
公司特有风险
惠普残差的月度标准差为7.67%，年化后为26.6%。这个数字很大，考虑到惠普本来就很高的系统性风险。系统性风险的标准差为β×σ（S&P 500）=2.03×13.58=27.57%，注意到惠普的公司特有风险和系统性风险一样大，而这对于单只股票来说非常常见。
相关性和协方差矩阵
图4-4描绘了选自标准普尔500指数各板块中一对规模相同的股票的超额收益率。我们看到IT行业是波动性最大的，其次是零售板块，最后是能源板块。
图4-4 组合资产的超额收益
图4-4 （续）
表4-4的子表a显示了标准普尔500指数和六种证券风险参数的估计值，从残差的高标准差这一项就可以看出分散化的重要性。这些证券均具有很高的公司特有风险。集中于这些证券的投资组合具有过分高的波动性和较低的夏普比率。
子表b显示证券对标准普尔500指数的回归超额收益残差的相关性矩阵。阴影部分显示同一板块股票的相关性。两只石油股票之间相关性高达0.7，这和指数模型所有残差不相关的假设相矛盾。当然，这么高的相关系数是因为所选的配对公司来自同一行业。跨行业的相关性一般会小很多。对行业指数残差相关性的实证估计值更符合指数模型。实际上，这一样本中部分股票残差间的相关性为负。当然，相关性也受统计样本误差的影响。
子表c给出了单指数模型由式（4-10）所得的协方差，标准普尔500指数和单个股票的方差位于矩阵对角线上。单个股票的方差估计为+σ2（ei），非对角线上为协方差，值为βiβj。
表 4-4
[1] t统计量建立在收益正态分布的假设上。总的来说，如果我们通过计算偏离假设值与标准误差比值来估计一个正态分布变量，得到的结果服从t分布。观测值很大时，t分布近似正态分布。
组合构造与单指数模型
在这一部分，我们考察指数模型在组合构造中的意义。我们会看到这一模型有很多优点，不仅在参数估计方面，而且能运用在简化分析和组织分散上。[1]
α和证券分析
单指数模型最重要的优点或许是它为宏观和证券分析提供了框架，这对最优组合的效率至关重要。马科维茨模型要求估计每个证券的风险溢价。期望收益的估计取决于对宏观和公司的预测。但是如果不同的分析师对一个大型的机构（比如共同基金）证券进行分析，一个可能的结果是宏观预测上出现矛盾，而宏观预测影响证券的收益预期。此外，在证券分析中关于市场指数的收益和风险基本假设并不明显。
单指数模型的分析框架分离这两种收益波动的来源，减少不同分析师分析的差异。我们可以写出单指数模型框架输入数据的准备步骤。
（1）宏观经济分析，用于估计市场指数的风险和溢价。
（2）统计分析，用于估计β系数和残差的方差σ2（ei）。
（3）投资经理用市场指数风险溢价和证券β系数的估计值来建立证券的期望收益，这不需要相关的证券分析。市场驱动的期望收益以证券都受影响的信息为条件，而不基于证券分析获取单个公司的信息。市场驱动的期望收益可以作为一个基准。
（4）准确的证券特有收益的预测（证券α）从各种证券估值模型得到，因此，α值反映了证券分析中发现的私人信息带来的增量风险溢价。
在式（4-9）中，单个证券的风险溢价中与证券分析无关的部分为βiE（RM）。也就是说，风险溢价仅来自证券追随市场指数的趋势。任何超过这一基准的期望收益（证券α）都产生自非市场因素。
证券分析的最终结果为一列α值。估计β系数的统计方法是标准化的。因此，我们不希望不同分析师的输入数据有太大差别。相反，宏观和证券分析有更大的发挥空间，分析师在这方面彼此角逐。运用指数模型解决由市场因素导致的溢价，组合管理者便能确信宏观分析师针对市场指数风险溢价的估计值，证券分析师应用一致的市场分析来获得α值。
在组合构造中，α并不只是期望收益的一部分这么简单。它是告知我们某一个证券是高估还是低估的核心变量。考虑一只股票，已经获得α值和β值，我们可以轻易地找到拥有相同β的其他证券。因此，真正决定一个证券是否有投资吸引力的是它的α值。事实上，一个由+α值的证券获得一个溢价，若该溢价高于跟踪市场指数波动趋势，则该证券是被低估的，一个被动投资者会在其投资组合中提高该证券的权重。相反，在其他条件一定时，-α的证券则被高估，其投资权重要相应下调，如果允许的话，较理想的策略是卖空该证券。
指数组合作为投资资产
单指数模型的有效边界图与第3章马科维茨模型的程序非常相似。在这里，指数模型能够使输入列表更加简化，而且，组合最优化显示出单指数模型的另一优势，即简单、直观地显现出最优风险投资组合。在这种情形下，讨论最优化的机制之前，首先考虑指数组合在最优组合中的角色。
假设一个投资公司的章程限制其仅能投资标准普尔500指数中的股票。在这种情况下，标准普尔500指数涵盖了宏观经济对该投资公司持有的大公司股票的影响。假设公司的投资范围只涵盖可投资空间的一部分子集，如果组合仅限于这些可投资产品，投资经理可能要担心其投资的分散化程度有限了。
应对分散化不足的简单方法是直接把标准普尔500指数作为一个投资资产。从式（4-8）和式（4-9）来看，如果我们把标准普尔500指数看作市场指数，那么它的β值为1，没有公司特有风险，α值为0，即其期望收益中不包括非市场风险溢价部分。式（4-10）显示任一证券i和指数的协方差为。为了区别标准普尔500指数与公司投资的n只股票，把标准普尔500指数命名为第n+1种资产。我们可以将标准普尔500指数看作当投资经理不进行证券分析时投资的一种消极资产组合。如果投资经理愿意进行证券研究，那么他可能会构造包含该指数的积极组合，得到更好的收益风险权衡。
单指数模型的输入数据
如果投资经理打算构造一个组合，包括n家积极研究的公司和一个消极的指数组合，则输入数据为：
（1）标准普尔500指数的风险溢价。
（2）标准普尔500指数的标准差估计值。
（3）n套如下估计值：①β系数估计值；②个股残差的方差；③证券的α值（个股的α值估计值，连同标准普尔500指数的风险溢价，以及个股的β决定了个股的期望收益）。
单指数模型的最优风险组合
单指数模型让人们可以直接求解最优风险组合并看出该解的属性。首先，我们可以肯定，沿着马科维茨模型的思路，很容易构建最优化过程并画出在这一框架下的有效边界。
运用估计的α和β系数，加上指数组合的风险溢价，应用式（4-9）能得到n+1个期望收益值。运用β系数的估计值和残差方差以及指数组合的方差，应用式（4-10）则可以建立协方差矩阵。给定风险溢价和协方差矩阵，可以像第3章描述的一样实施最优程序。
我们可以在第4.2节的基础上进一步描述分散化是如何在单指数框架下发挥作用的。等权重组合的α、β和残差方差都是单个证券相应参数的简单平均值，而且，这个结论并不局限于等权重组合中，只需把简单平均方法改为加权平均方法即可。具体地：
目标是通过组合权重的选择来最大化组合的夏普比率。得到组合的夏普比率为：
这时，和标准的马科维茨程序一样，我们可以采用Excel的最优化程序来最大化夏普比率。然而，这并不是必须的，因为最优组合能用指数模型得到。同时，最优组合的解让人们了解证券分析组合构建中证券分析的用处。我们并不会给出每个代数步骤，而是给出我们的结论以及优化步骤的解释。
在深入研究结果之前，首先解释该模型表达的基本风险收益权衡。如果只对分散化感兴趣，将只持有市场指数。证券分析给我们去寻找非零α值证券的机会并选择不同的持有头寸。这种不同头寸的成本是对分散化的背离，换句话说，承担了不必要的公司特有风险。这个模型显示最优化风险投资组合是在寻找α和偏离有效分散化之间的权衡。
最优风险组合被证明是由两个组合构成的：①积极组合，称之为A，由n个分析过的证券组成（之所以称为积极组合，是因为通过积极的证券分析后构建的组合）；②市场指数组合，这是第n+1种资产，目的是为了分散化，称之为消极组合并标记为组合M。
首先假定积极组合的β值为1，在这种情况下，在积极组合中的最优权重相当于比率。这个比率平衡了积极组合的贡献（α值）以及它对组合方差（残差方差）的贡献。类似地，指数组合的权重相当于。因此，积极组合的初始头寸（如果β等于1）为：
接着，考虑积极组合真实β值情况对该头寸进行修正。对于任何水平的，积极组合的β值越高，积极组合与消极组合之间的相关性越大。这意味着积极组合带来较少的分散化好处，在投资组合中的头寸也应该更小。相应地，积极组合的头寸应增加。积极组合头寸的准确调整如下：（注：经过代数计算，可以看出β等于指数模型和积极组合的相关系数与SD（指数）/SD（积极组合）的乘积。如果βA=1，相关系数大于式（4-20）隐含的相关系数，所以指数的分散化价值更小，这就要求如式（4-21）的调整。）
注意，当βA=1时，。
信息比率
式（4-20）和式（4-21）得到积极组合的最优头寸，投资于积极组合的权重为，投资于指数组合的权重为1-。我们可以计算其期望收益、标准差和夏普比率。最优化组合的夏普比率会超过指数组合。它们之间的精确关系为：
式（4-22）表明积极组合（当持有最优权重时）对整个风险投资组合夏普比率的贡献取决于它的α值和残差标准差的比率。这个重要的比率称为信息比率（information ratio）。该比率度量当积极组合权重过高或过低时，通过证券分析可以获得的额外收益与公司特有风险的比值。因此式（4-22）表明要最大化夏普比率，必须最大化积极组合的信息比率。
如果投资于每个证券的相对比例为αi/σ2（ei），此时积极组合的信息比率将实现最大化。调整这个比率，使得所有积极组合中证券的头寸相加等于，即每个证券权重为：
运用这组权重，可以得到每个证券对积极组合信息比率的贡献依赖于它们各自的信息比率，即
这个模型揭示了在有效利用证券分析中信息比率的核心角色作用。某一证券的加入对组合的正面贡献是增加了非市场风险溢价，证券加入对组合的负面影响则是公司特有风险带来组合方差的增加。
与α不同，市场部分（系统性）的风险溢价为βiE（RM），被单个证券不可分散的（市场）风险拖累。两者都受相同的β值的影响。这对任何证券来说都一样，因为任何具有相同β值的证券对风险和收益两者都有相同的平衡贡献。换句话说，证券的β既不是罪臣也不是功臣。它是一个同时影响证券风险和风险溢价的因素。因此我们关注积极组合的整体β值，而不是关注单个证券的β值。
从式（4-23）可以看出，如果一个证券的α为负，则该证券在最优风险投资组合中应为空头头寸。如果禁止卖空，一个具有负α值的证券将从最优化程序中剔除掉，权重为零。随着α非零的证券数量的增加，积极组合本身更好地分散化，在整个风险组合中积极组合的权重也会增加，相应地，消极指数组合权重将降低。
最后注意，当且仅当所有α值为零时，指数组合是一个有效的投资组合，这一点很直观。除非证券分析找到一个α值非零的证券，否则包含这个证券的积极组合将使得这个组合投资吸引力降低。除了其系统风险之外，虽然会获得市场风险溢价，但这个证券会通过公司特定风险增加组合的方差。然而，α值为零时，公司特有风险无法通过非市场风险溢价得到补偿。因此，如果所有证券有零α值，那么积极组合的最优权重为零，指数组合的权重为1。然而，当证券分析找到证券具有非市场风险溢价即α非零时，指数组合就不再有效了。
最优化过程总结
一旦证券分析完成，证券和市场指数参数的指数模型估计值确定，可以总结最优风险组合的构造程序如下。
（1）计算积极组合中每个证券的原始头寸：。
（2）调整这些原始权重，使组合权重和为1，即wi=。
（3）计算积极组合的α值：αA=。
（4）计算积极组合的残差：σ2（eA）=。
（5）计算积极组合的原始头寸：。
（6）计算积极组合的β值：βA=。
（7）调整积极组合的原始头寸：。
（8）此时最优风险组合的权重：；。
（9）计算最优风险组合的风险溢价。根据指数组合的风险溢价和积极组合的α值，得出最优风险组合的风险溢价E（RP）=+。注意由于指数投资组合的β值为1，则风险组合的β值为。
（10）运用指数组合的方差和积极组合的残差计算最优风险组合的方差：。
实例
可以通过用标准普尔500指数讨论风险参数的6只股票构建最优投资组合来演示指数模型的应用。
这个例子只包含了6只股票，从三个行业中选择三对公司的目的是能够产生相对高的残差相关性。这对该指数模型是个严格的检验，因为当进行协方差矩阵估计时，该模型忽略残差之间的相关性。因此，比较从指数模型得到的结果和具有所有特征的马科维茨模型得到结果之间的差异，有一定的研究意义。
风险溢价预测 表4-4中子表4包含每只股票的α和风险溢价的估计值。在实际投资过程中，这些α值本来是投资公司最重要的产品。但统计量在这里只扮演一个小角色，在这个领域，宏观分析和证券分析最重要。在这个例子中，只是用示范数值来演示组合构建的过程和可能产生的结果。你可能会奇怪为什么选择这么小的示范α估计值，理由是即使证券分析揭示定价明显错误的股票，即大的α值，这些预测在相当大程度上也受到估计误差的影响。
最优风险组合 表4-4中子表5展示了最优风险投资组合的计算。在这个例子中允许卖空。注意到积极组合中（第52行）每个证券都有和α值相同的标记。在允许卖空的情况下，积极组合中的头寸都相当大（如英国石油的头寸是0.7349）。这是一个激进型组合，组合的α值2.22%比其组合中任何单个证券的α估计值要大得多。然而这种激进型组合也会导致一个较大的残差平方和（0.0404，相应的残差标准差为20%）。因此，积极组合的配置权重降低了，最终到一个适度值（0.1718，C57单元格）。再次强调了在最优化投资组合时分散化观点是优先考虑的。
最优风险投资组合的风险溢价是6.48%，标准差是14.22%，夏普比率是0.46（见J58～J61单元格）。通过比较，指数组合的夏普比率是0.44（见B61单元格），这个比率与最优风险投资组合的夏普比率非常接近。这一小的改善是运用适度的预测值的结果。当然，一些投资组合管理者能够也确实构建了业绩更好的投资组合。
在这里一个有趣的问题延伸是用指数模型得到的结论是否劣于用全协方差模型（马科维茨模型）得到的结论？图4-5展示了用样本数据采取两个模型得到的有效边界，发现它们之间的差别非常小。表4-5比较了整体最小方差组合G与用这两个模型得出的最优风险投资组合构成的组合的期望业绩。这两个组合明显不同的地方仅在于只考虑方差的最小方差组合。沿有效边界向上移动，要求的期望收益排除了协方差不同带来的影响，投资组合在业绩上变得越来越相似。
图4-5 指数模型与全协方差模型的有效边界
表4-5 指数模型和全协方差模型对比
[1] 用指数模型来建立最优风险组合由Jack Treynor和Fischer Black提出，“How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection，”Journal of Business，January 1973。
指数模型在组合管理中的实际应用
本节讨论的基调表明在投资组合管理实际运用中指数模型是受欢迎的。从马科维茨模型转到指数模型是一个重要的决定，因而第一个问题就是指数模型比马科维茨全协方差模型差吗？
