导读
本章将讨论各种债券资产组合管理策略，并详细说明消极策略与积极策略的区别。消极投资策略是将证券的市场价格当作公平的价格。消极管理者更倾向于在既定的市场机遇条件下保持一种适度的风险-收益平衡，而不试图利用内部信息或者观察力跑赢市场。消极管理者中一个特别的实例是免疫策略，其试图隔离或免除资产组合的利率风险。相比之下，积极投资策略试图获得更多收益，而不考虑相伴而来的风险。在债券管理中，积极管理者可采用两种形式：一是利用利率预测来预计整个债券市场的动向；二是利用某些形式的内部市场分析来识别部分特定市场或者错误估值的特定券种。
因为利率风险对积极策略和消极策略的选择至关重要，所以我们首先讨论债券价格对利率波动的敏感性。敏感性是由债券久期来测度的，我们对债券久期的决定因素将给予特别关注。我们要讨论几种消极投资策略，并介绍久期匹配技术怎样使资产组合的持有期收益率免疫于利率风险。在讨论久期测度的广泛运用后，我们重点围绕债券凸性的概念，具体考虑改进测度利率敏感性的方式。久期对积极投资策略也十分重要，我们在本章最后讨论积极投资策略，这些策略通过利率预测和市场内部分析探寻债券市场中更具吸引力的证券。
利率风险
我们知道债券价格与其收益之间存在反向关系，并且我们也知道利率会有大幅波动。随着利率的涨跌，债券持有人会有资本利得和损失。这些利得和损失使得固定收益投资具有风险性，即便利息和本金支付有保障，例如国债。
为什么债券价格会对利率波动做出反应？需要记住的是，在竞争市场中所有证券给投资者的期望收益率应该是相当的。当债券发行的票面利率是8%，而市场的竞争性收益率也是8%时，债券将以面值出售。但是，如果市场利率升至9%，那么还有谁会以面值来购买利率为8%的债券呢？这时债券价格一定会下跌，直到它的期望收益率上升至具有竞争力水平的9%为止。相反，如果市场利率下跌至7%，相对于其他投资的收益而言，这种票面利率为8%的债券会更具吸引力。于是，渴望得到这种收益的投资者会抬高债券价格，直到高价购买债券的人获得的总收益率不再高于市场利率。
利率敏感性
债券价格对市场利率变化的敏感性对投资者而言显然十分重要。为深入了解利率风险的决定因素，可以参见图5-1。该图表示了票面利率、初始到期收益率和期限互不相同的四种债券，当到期收益率变化时，债券价格相应的百分比变动。所有这四种债券都表明，当收益率增加时，债券价格下降，并且价格曲线是凸的，这意味着收益下降对价格的影响远远大于相同程度收益增加对价格的影响。我们将这些性质归结为以下两点：
（1）债券价格与收益成反比：当收益升高时，债券价格下跌；当收益下降时，债券价格上升。
（2）债券的到期收益率升高导致其价格变化的幅度小于等规模的收益下降导致其价格变化的幅度。
图5-1 作为到期收益率变化的函数的债券价格变化
比较债券A和B的利率敏感性，除到期时间外，其他参数均相同。图5-1表明债券B比A期限更长，对利率更敏感。这体现出另一基本性质。
（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。
这不足为奇。例如，如果利率上涨，由于现金流以更高的利率水平贴现，则债券的价值会有所降低。越是远期的现金流，提高贴现率的影响会越大。
值得注意的是，当债券B的期限是债券A的期限的6倍时，它的利率敏感性却比债券A大不了6倍。尽管利率敏感性随到期时间延长而增加，但却不是按到期日延长的比例增加的。因此，我们有了第四条性质。
（4）当债券期限增加时，债券价格对收益率变化的敏感性增加，但增速递减。换句话说，利率风险变动小于债券期限变动。
债券B和C，除票面利率之外，其他参数均相同，这时表现出另一特征。票面利率较低的债券对市场利率变化更敏感。这体现出债券价格的一个普遍性质。
（5）利率风险与债券票面利率成反比。低票面利率债券的价格比高票面利率债券的价格对利率变化更敏感。
最后，债券C和D，除债券的到期收益率之外，其他参数均相同。债券C具有更高的到期收益，对收益变化的敏感性更低一些。这样，可以得到最后一个性质。
（6）债券价格对其收益变化的敏感性与当期出售债券的到期收益率成反比。
前五条性质曾被马尔基尔[1]所论证，有时被称为马尔基尔债券定价关系。第六个性质被霍默和利伯维茨[2]论证。
期限是利率风险的主要决定因素。但是，期限本身不足以测度利率的敏感性。例如，债券B和C（见图5-1）的期限相同，但是较高票面利率的债券对利率变化有着较低的价格敏感性。显而易见的是，我们不能仅靠债券期限来量化其利率风险。
为理解票面利率或到期收益率等债券特征为什么会影响利率敏感性，我们从一个简单的数字实例开始讨论。表5-1提供了不同到期收益率和期限为T的半年票面利率为8%的债券价格。其中，利率表示为年百分率（APR），即将半年收益率翻倍，以获得约定的年化收益率。当利率从8%上升至9%时，最短期限债券的价值下跌小于1%，10年期债券下跌6.5%，而20年期债券下跌9%以上。
表5-1 票面利率为8%的债券价格（半年付息一次）
①到期收益率为9%的等值债券除以（初始）收益率为8%的债券，再减去1。
让我们现在来看看类似的例子，不过这次不是票面利率为8%的债券，而是零息债券，结果见表5-2。请注意，对于每种期限，零息债券价格的下降比例大于票面利率为8%的债券。因为我们知道长期债券比短期债券对利率变动更为敏感，所以这一观察表明，在某种意义上，零息债券代表一个期限更长的债券，而不是期限相同的息票债券。
表5-2 零息债券价格（半年计一次复利）
①到期收益率为9%的等值债券除以（初始）收益率为8%的债券，再减去1。
实际上，这种对有效期限的洞察力对我们进行数学上的精确计算是十分有用的。首先，注意在此例中两只债券的期限并非债券长期与短期特征的准确度量。票面利率为8%的20年期债券有多次利息支付，其中大部分是在债券到期之前进行的。每次支付都可以认为有它自己的“到期日”。因此，债券的有效期限是所有现金流的某种平均到期时间。相比较而言，零息债券只在到期时进行一次支付。因此，它的到期时间是一个明确的概念。
较高票面利率债券价值的很大部分与息票紧密联系，而不是与最终支付的票面价值相联系。所以，“息票资产组合”倾向在较早、短期支付上赋予更大的权重，它导致息票债券的“有效期限”较短。这解释了马尔基尔提出的第五个性质，即价格敏感性随票面利率而下降。
相似的逻辑可以解释第六个性质，价格敏感性随到期收益率上升而下降。较高的收益降低了所有债券偿付的现值，对较远期偿付而言，情况更是如此。因此，在收益较高的情况下，债券价值的较大部分来自其较早的支付。较早的支付具有较低的有效期限和利率敏感性。于是，债券价格对收益变化的整体敏感性就较低。
久期
为了解决债券多次支付的“期限”含糊不清的问题，我们需要一种测度债券发生现金流的平均期限的方法。我们也可以使用此方法来测量债券对利率变化的敏感性，因为我们知道价格敏感性会随到期期限的增加而增大。
弗雷德里克·麦考利[3]把有效期限概念定义为债券久期。麦考利久期（Macaulay’s duration）等于债券每次息票或债券本金支付时间的加权平均。每次支付时间相关的权重都应当与该次支付对债券价值的“重要性”相联系。实际上，每次支付时间的权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比例正好等于支付的现值除以债券价格。
权重wt与在时间t所发生的现金流（标注为CFt）有关，表示为：
式中，y代表债券到期收益率。公式右边的分子代表在时间t所发生现金流的现值，分母代表债券所有支付的值。这些权重的和为1.0，因为以到期收益率贴现的现金流总额等于债券价格。
用这些值来计算所有债券支付时间的加权平均，就可以得到麦考利久期公式，表示为：
作为公式（5-1）的应用，在表5-3中可以得到票面利率为8%的付息债券和零息债券的久期，两种债券都是2年期。假设到期收益率均为10%，或半年5%。B栏中显示周期（半年）的每次支付的贴现率为5%。每次支付期限（F栏）的权重等于该时点的支付现值（E栏）除以债券价格（E栏中的现值总额）。
表5-3 计算两种债券的久期（栏中的总额遵从化整误差）
G栏的数字是支付期限和支付权重的乘积。每个乘积都是式（5-1）中相应的一项。根据公式，我们可以把G栏的数字相加计算出每一债券的久期。
零息债券的久期正好等于到期时间，即2年。这很好理解，因为仅有一次支付，而支付的平均期限必须是债券的期限。相比较，2年期债券的久期稍短一些，为1.8852年。
表5-4用来说明生成表5-3中所有内容的公式。表的输入（详细说明债券支付的现金流）在B～D栏中给出。在E栏中，我们用假设的到期收益率来计算每次现金流的现值。在F栏中，我们求出式（5-1）中的权重。在G栏中，我们计算支付期限和支付权重的乘积。所有这些数据都对应式（5-1）的计算中所需的数据。在单元格G8和G14中所计算得到的总额就是每个债券的久期。
表5-4 计算久期的电子数据表公式
久期之所以是固定收益投资组合的关键概念至少有三个原因：首先，它是资产组合有效平均期限的简单归纳统计；其次，它已经被证明是资产组合规避利率风险的一种基本工具，这些将在后面探讨；最后，久期是资产组合利率敏感性的一种测度，这是需要在此探讨的内容。
我们已经知道债券价格的利率敏感性通常随着其债券期限的增加而增加。久期的测度能够量化这种关系。具体而言，当利率变化时，债券价格的变化率与其到期收益率的变化是相关的，可用公式表达如下：
债券价格的变化率等于债券久期乘以（1+债券收益率）的变化率。
实践者运用式（5-2）时，在形式上略有不同。他们将修正久期（modified duration）定义为D*=D/（1+y），这里Δ（1+y）=Δy，于是式（5-2）改写为：
债券价格的变化率正好是修正久期和债券到期收益率变化的乘积。因为债券价格的变化率与修正久期成比例，所以修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险敞口。实际上，下面可以看到，式（5-2）或等效的式（5-3），对于债券收益率的大幅度变化仅仅是近似有效的。只在考虑较小或局部的收益率变化时，这种近似才变得准确。
注：对于债券收益变化，学习微积分的人会认识到修正久期和所得的债券价格成比例。对于收益的较小变化，式（5-3）可以重写成：
这样，在现价的相邻位置，它给出了债券价格曲线的斜率测度。实际上，式（5-3）可以根据y演化出以下的债券定价公式：
式中，CFt是在日期t支付给债券持有人的现金流。CFt代表到期日之前的利息支付。
【例5-1】 久期
表5-1中，考虑2年期、票面利率为8%且半年支付一次的债券，其出售价格为964.54美元，到期收益率为10%，该债券的久期是1.8852年。为进行比较，考虑以下零息债券，其期限和久期都是1.8852年。正如在表5-3中看到的，因为债券利息每半年偿付一次，最好把半年定为一个周期。于是，每一债券的久期是1.8852×2＝3.7704个（半年）周期，且每一周期的利率是5%。因此，每一债券的修正久期是3.7704/1.05=3.591个周期。
假定半年利率从5%上涨至5.01%。根据式（5-3），债券价格应该下降：
现在直接计算每一债券的价格变化。息票债券的初始销售价格是964.540美元。当收益涨至5.01%时，价格下降到964.1942美元，下降了0.0359%。零息债券的初始卖价是1000/1.053.7704=831.9704美元。收益率更高时，它的卖价为1000/1.05013.7704=831.6717美元。价格下降了0.0359%。
结论是：相同久期的债券实际上利率敏感性相同，并且价格变化百分比（至少对于收益变化小的债券而言）等于修正久期乘以收益变化。（注：注意例5-1的另一层含义：我们从例子中可以看到当债券采取一年两次付息时，将每次支付周期定为半年是很合适的。这也就说明我们可以将麦考利久期与（1+半年到期收益率）相除来修正久期的计算，这个除数通常又写作（1+债券等值收益率/2），一般来讲，如果一只债券每年n次付息，修正久期与麦考利久期的关系可表示为D*=D/（1+yBEY/n）。）
什么决定修正久期
我们在前面列出的马尔基尔债券价格关系，给出了利率敏感性的决定因素。久期使我们能够量化敏感性，例如，如果我们在利率上投机，久期将告诉我们这个赌注有多大。反之，如果我们想对利率保持“中性”，且仅与所选债券市场指数的利率敏感性相匹配，则通过久期我们可以测量这一敏感性，并在组合中模拟。正因为如此，了解久期的决定性因素至关重要。因此，在这一小节里我们总结出几项有关久期最重要特性的“法则”。债券价格对市场利率变化的敏感性受到三个方面因素的影响：到期时间、票面利率和到期收益率。
我们已经建立了如下法则：
久期法则1：零息债券的久期等于它的到期时间。
我们已经看到息票债券比相同期限零息债券的久期短，因为最后支付前的一切息票利息支付都将减少债券的加权平均时间。这说明了久期的另一个一般性质。
久期法则2：到期时间不变，当息票率较高时，债券久期较短。
这一性质与马尔基尔的第五条关系相对应，它可归因于早期息票支付对债券支付平均期限的影响。票面利率越高，早期支付权重也越高，且加权支付平均期限就越短。换言之，债券总值的较高部分与较早的利息支付密切相关，这种较早的利息支付对于收益率不太敏感。在图5-2中，比较票面利率为3%和15%的债券久期图，它们的收益率相同且都是15%。票面利率为15%的债券久期曲线位于票面利率为3%的债券相对应的久期曲线之下。
图5-2 债券久期与债券期限
久期法则3：如果票面利率不变，债券久期通常会随着期限增加而增加。债券以面值或者超出面值销售，久期总是随期限增加而增加。
久期的这一性质与马尔凯的第三条关系相对应，非常直观。奇怪的是久期不会总是随期限增加而增加。对于贴现率很高的债券（见图5-2中3%票面利率的债券），随着期限增加，久期最终会下降。然而，事实上所有可以交易的债券都可以安全地假定久期随到期时间的增加而增加。
注意在图5-2中，零息债券的期限和久期是相同的。但是对于息票债券，到期时间增加一年时，它的久期增加却少于一年。在图中久期的斜率小于1.0。
虽然到期时间长的债券通常是长久期债券，但是久期可以更好地说明债券长期的性质，因为它还考虑了债券的支付情况。只有在债券不支付利息时，到期时间才是一个准确的数据，这时，期限和久期是相等的。
同时注意在图5-2中，当它们以不同的到期收益率出售时，两种利率为15%的债券有不同的久期。较低收益率的债券，久期更长。这是可以理解的，因为收益越低，债券支付期越远，其现值就越大，而且它在债券总值中占的比例也越大。于是，在加权平均计算久期的过程中，远期支付的权重更大，导致测量出来的久期更高。这就确立了久期法则4。
久期法则4：保持其他因素都不变，当债券到期收益率较低时，息票债券的久期会较长。
我们上面已经提到，这个性质给人的直观感受是，较高的收益率降低所有债券支付的现值，同时会较大幅度地降低远期支付的价值。因此，在收益率较高时，债券总值的更多部分依赖于它的早期支付，这样就降低了有限期限。法则4就是上述债券定价关系中的第六条，适用于息票债券。当然，对于零息债券，久期等于到期时间，与到期收益率无关。
最后，我们给出永久期限债券的久期公式。该公式源于式（5-1）给出的久期公式并与其一致，但是对于无数的现存债券而言，这一公式使用更为便捷。
久期法则5：终身年金的久期是：
例如，当收益率为10%时，每年支付100美元的终身年金的久期为1.10/0.10=11年，但是当收益率为8%时，久期为1.08/0.08=13.5年。
式（5-4）表明，期限和久期的差别可以非常显著。终身年金债券的到期时间是无限的，然而当收益为10%时，它的久期只有11年。年金早期现金流的现值加权对于久期的计算起决定性作用。
注意在图5-2中，当到期时间变长时，收益率为15%的两种息票债券的久期将收敛于有相同收益率的终身年金的久期，即7.67年。
息票债券的久期公式有点乏味，且像表5-3那样的电子数据表用来修正不同期限和票面利率时会很麻烦。此外，它们假定债券处于利息支付周期开始的阶段。幸运的是，电子数据表程序，如Excel，给出了处于利息支付期间的债券公式的概括。表5-5演示如何利用Excel计算久期。
表5-5 运用Excel函数计算久期
利用Excel日期函数DATE（year，month，day），在单元格B2和B3中输入支付日期，例如今天的日期和到期日。在单元格B4和B5中以小数形式输入票面利率和到期收益率。在单元格B6中，输入每年的支付周期。单元格B9和B10中显示麦考利久期和修正久期。该电子数据表表明，在表5-3中的债券久期确实是1.8852年。这只两年期债券并没有确定的支付日期。我们将支付日期任意定为2000年1月1日，到期日正好是两年后。
可交易债券的久期变化范围很大。假定几种债券为半年支付的息票债券且半年收益率为4%，表5-6给出了表5-5计算出的久期。注意久期随着票面利率增加而变短，并一般随到期时间增加而增大。根据表5-6和式（5-2），如果利率从8%上升至8.1%，票面利率为6%的20年期债券的价值会下降约10.922×0.1％/1.04=1.05%，然而票面利率为10%的1年期债券的价值仅仅下降0.976×0.1％/1.04=0.094%。[4]同时注意表5-6中，对于无期限债券而言，久期与票面利率无关。
表5-6 债券久期（到期收益率=8%APR；半年票面利率）
[1] Burton G.Malkiel，“Expectations，Bond Price，and the Term Structure of Interest Rates，”Quarterly Journal of Economics 76（May 1962），pp.197-218.
[2] Sidney Homer and Martin L.Liebowitz，Inside the Yield Book：New Tools for Bond Market Strategy（Englewood Cliff，NJ：Prentice Hall，1972）.
[3] Frederick Macaulay，Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates，Bond Yields，and Stock Prices in the United States since 1856（New York：National Bureau of Economic Research，1938）.
[4] 注意债券每半年付息一次，我们使用的是名义上的半年期到期收益率（即4%）来计算修正久期。
凸性
作为利率敏感性的度量方式，久期显然是固定收益资产组合管理的重要工具。然而关于利率对债券价格的影响，久期法则仅仅是一种近似表达。我们重复一下，式（5-2）和与其等价的式（5-3），说明债券价值变化的百分比近似等于修正久期和债券收益率变化的乘积，表达如下：
该式表明价格变化百分比与债券收益率变化直接成比例。如果确实是这样，债券价格变化百分比作为它的收益变化的函数的图形将是一条直线，其斜率等于-D*。然而，图5-1清楚地表明，债券价格和收益率之间不是线性关系。对于债券收益率发生的较小变化，久期法则可以给出良好近似的值。但是，对于较大的变化，它给出的数值就不太精确了。
图5-3表明了这一点。像图5-1那样，此图表明债券价格变化百分比是对债券到期收益率变化的反应。曲线代表的是30年期、票面利率为8%，最初以8%的到期收益率出售的债券价格变化百分比。直线代表的是根据久期法则预测的债券价格变化百分比。直线的斜率是债券在初始到期收益率时的修正久期。在此收益率时，其修正久期为11.26年，所以直线是-D*Δy=-11.26×Δy的图形。注意这两条线在初始收益率时相切。于是，对于债券到期收益率较小的变化，久期法则的度量相当精准。但是对于较大变化，在两条线之间有一不断扩大的“间隔”，这表明久期法则越来越不准确。
图5-3 债券价格的凸性：30年期、票面利率8%的债券，初始到期收益率为8%
注意图5-3中，久期近似值（直线）总是低于债券的价值：当收益率下降时，它低估了债券价格的上升程度，并且当收益率上升时，它高估了债券价格的下降程度。这是因为真实价格-收益关系的曲率。曲线的形状，比如价格-收益关系的形状是凸的。价格-收益曲线的曲率被称为债券的凸性（convexity）。
我们可以将凸性量化为价格-收益曲线斜率的变化率，并将其表示为债券价格的一部分。作为一个实用法则，大家可以将债券具有较高凸性视为在价格-收益关系中曲率较高。如在图5-3中，不可赎回的债券的凸性是正的：收益率增加时，斜率变大（即这个负数的绝对值变小）。
注：我们在之前的注释中指出，表示修正久期的式（5-3）可以改写为：dP/P=-D*dy。于是，D*=1/P×dP/dy就是价格-收益曲线的斜率，即债券价格的微分。同理，债券凸性等于价格-收益曲线的二阶倒数（斜率的变化率）除以债券价格：凸性=1/P×d2P/dy2。期限为T年且每年付息一次的债券凸性公式为：
式中，CFt是在日期t支付给债券持有人的现金流；CFt代表到期前的利息支付或是在到期日最后利息加上面值。
凸性有助于我们在债券价格变化时提高久期的近似性。考虑凸性时，式（5-3）可以修正为：[1]
等式右边的第一项与久期法则相同，参见式（5-3）。第二项是对凸性的修正。注意，如果债券的凸性是正的，不管收益率是涨还是跌，第二项都是正的。这种观察与前面看到的事实一致，即当收益率变化时，久期法则总是会低估债券的新价值。把凸性考虑进来的式（5-5）更精确，它预测的债券价值总是比式（5-2）预测的值更高。当然，如果收益变化很小，式（5-5）中凸性这一项乘以（Δy）2，得出的乘积极其小，使久期的近似值不会有什么增加。在这种情况下，久期法则给出的线性近似将是足够精确的。因此，凸性在利率有一个很大的潜在变动时才会作为一个更重要的实际因素。
【例5-2】 凸性
在图5-3中，债券是30年期的，票面利率是8%，出售时初始到期收益率为8%。因为票面利率等于到期收益率，债券以面值或1000美元出售。在初始收益时债券修正久期为11.26年，凸性为212.4。（在在线学习中心www.mhhe.com/bkm，可以找到电子数据表来计算30年期债券的凸性。）如果债券收益率从8%上升至10%，债券价格将降至811.46美元，下降18.85%。根据久期法则，即式（5-2），价格会下降：
这比债券价格实际下降的幅度更大。带凸性的久期法则，即式（5-4）更为准确：
这更接近于债券的实际变化。［注意当我们使用式（5-5）时，我们必须把利率表示为小数形式，而不是百分比形式。利率从8%升至10%表示为Δy=0.02。］
如果收益变化很小，比如说0.1%，凸性则无足轻重。债券价格实际下降至988.85美元，降幅为1.115%。如果不考虑凸性，我们将预测价格下降：
考虑凸性，我们可以得到更加精确的答案：
在这种情况下，即使不考虑凸性，久期法则也相当精准。
投资者为什么喜欢凸性
凸性一般被认为是一个备受欢迎的特性。曲率大的债券价格在利率下降时的价格上升大于在利率上涨时的价格下跌。例如，在图5-4中，债券A和B在初始收益率时久期相同。令价格变化率为利率变化的函数，则这两个函数的曲线是相切的，这表示它们对收益率变化的敏感性在切点处相同。但是，债券A比B更凸一些。当利率波动较大时，债券A的价格上涨幅度更大而价格下降幅度更小。如果利率不稳定，这是一种有吸引力的不对称，可以增加债券的期望收益，因为债券A从利率下降中得到更多的好处，而从利率上升中损失较少。当然，如果凸性是我们希望得到的，那它肯定不是免费的午餐：对凸性较大的债券而言，投资者必须付出更高的价格，并接受更低的到期收益。
图5-4 两种债券的凸性
可赎回债券的久期和凸性
图5-5描述了可赎回债券的价格-收益曲线。当利率高时，曲线是凸的，对于不可赎回的债券也是如此。例如，当利率是10%时，价格-收益曲线位于切线之上。但是当利率下降时，可能的价格会有一个上限：债券价格不会超过其赎回价格。所以当利率下降时，我们有时候说，债券受制于价格限制——它的价值被“压”低到赎回价格。在这一区域，例如，当利率为5%时，价格-收益曲线位于切线之下，此时称曲线具有负凸性。[2]
图5-5 可赎回债券的价格-收益率曲线
注意在负凸性区域，价格-收益曲线表现出不具吸引力的非对称性。对于同样的变化幅度，利率上升引起的价格下跌幅度大于利率下降引起的价格上涨幅度。这种非对称性来源于这样一个事实：债券发行人保留赎回债券的选择权。如果利率上升，债券持有人会有损失，这与不可赎回债券是一样的。但是，当利率下降时，投资者不但没有获取资本利得，还会被赎回拥有的债券。这样一来，债券持有人就好像处于抛硬币时“正面输，反面也没赢”的境地。当然，投资者在购买这种债券时已经因为这种局面得到了补偿。可赎回债券在出售时的初始价格低于其他类似的不可赎回债券（也就是初始收益率较高）。
式（5-5）强调了负凸性效用。当凸性为负时，右边的第二项必然为负，这意味着债券价格的实际表现不及久期近似值的预测。但是，可赎回债券，或是更普遍地说，有“嵌入期权”的债券，用麦考利久期是很难分析的。因为这类期权的存在，债券提供的未来现金流变成不可知的。例如，若债券被赎回，它的现金流量终止且它的本金偿还比开始预测的时间要早。因为现金流是任意的，我们无法对未来现金流支付的时间做加权平均，而这对于计算麦考利久期是必要的。
华尔街的惯例是计算有嵌入期权债券的有效久期（effective duration）。有效久期不能用需要现金流的简单公式（5-1）来计算。使用考虑了嵌入期权的更复杂的债券估值方法，而且有效久期被定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比：
这一公式似乎仅仅对表示修正久期的式（5-3）做出了一些修正。但是，它们还是有重要区别的。第一，注意到我们不用债券自身的到期收益率变化来计算有效久期（分母是Δr而不是Δy）。这是因为有嵌入期权的债券可能会被提前赎回，到期收益率通常是无关量。实际上，我们计算了利率期限结构变化引起的价格变化。第二，有效久期公式依赖于一种嵌入期权的定价方法。这意味着有效久期将成为某些变量的函数，而这些变量与传统久期无关，例如利率的波动。相反，修正久期或者麦考利久期可以从确定的债券现金流和到期收益率中直接求出。
【例5-3】 有效久期
假设可赎回债券的赎回价格为1050美元，今天的售价是980美元。如果收益率曲线上移0.5%，债券价格将下降至930美元。如果收益率曲线下移0.5%，债券价格将上升至1010美元。为了计算有效久期，我们计算：
那么，债券有效久期为：
换言之，在现值左右利率波动1%，债券价格变化8.16%。
久期和抵押贷款支持证券凸性
实际上，抵押贷款支持证券市场是赎回规定发挥重要性的最大市场。近年来，公司很少会发行有赎回条款的债券，并且可赎回公司债券的新发行数量已经在稳步减少。相反，抵押贷款支持证券市场在近20年正快速扩大，一直持续到金融危机为止。即使是在2012年，房利美和房地美也联合发行了超过1万亿美元的新抵押贷款支持证券。
发起抵押贷款的贷方通常把贷款卖给联邦代理，如房利美或房地美。原始的借方（房主）继续按月支付给贷方，但是贷方把付款转手给购买贷款的代理。代理可能一次把很多抵押贷款汇合在一起变成抵押贷款支持证券，然后在固定收益市场中销售。这些证券被称为转递证券，因为从借方得到的现金流先流向代理（房地美或房利美），然后又流向抵押贷款支持证券的最终购买者。
例如，假定10个30年期抵押贷款，每一个的本金值为100000美元，组合成100万美元的资金池。如果抵押利率为8%，那么每一贷款的月付为733.76美元。（首付的利息份额是0.08×1/12×100000美元＝666.67美元；剩下的67.09美元分期偿还，或是本金的按期预缴。在后期，本金余额较低，月付较少的部分用于利息，而更多的用于分期偿还。）抵押贷款支持证券的持有人会收到7337.60美元，即资金池中10个抵押的全部支付。[3]
但是，现在记得房主有权随时预缴贷款。例如，如果抵押贷款利率下降，房主可能决定以较低利率重新贷款，用收益来付清原始贷款。当然，预缴贷款的权利恰好与偿还可赎回债券的权利相似。赎回价格就是贷款的剩余本金余额。因此，抵押贷款支持证券最好看作可提前赎回的分期付款贷款的资产组合。
与其他可赎回证券类似，抵押贷款支持证券受负凸性的约束。当利率降低且房主预缴抵押贷款时，本金偿还传递给投资者。投资者得到的不是投资的资本利得，而是贷款未付的本金余额。因此，抵押贷款支持证券的价值作为利率的函数，如图5-6所示，与可赎回债券的图形看起来很像。
图5-6 抵押贷款支持证券的价格-收益曲线
然而，抵押贷款支持证券和可赎回公司债券有一些不同。例如，通常发现抵押贷款支持证券售价高出本金余额。这是因为房主不会在利率降低时马上再融资。一些房主也不想承担再融资的费用和麻烦，除非收益足够大。如果另一些房主计划近期搬家，他们可能决定不进行再融资。也有一些房主再未考虑过再融资的决定。因此，尽管抵押贷款支持证券在低利率时表现出负凸性，但它隐含的赎回价格（贷款本金余额）不是一个在其价值上不可突破的上限。
简单的抵押贷款支持证券引发了大量的抵押担保衍生品。例如，抵押担保债券（CMO）进一步把抵押贷款支持证券的现金流重新转向几种衍生证券，称为MBS的“拆分”。这些拆分可能用来向愿意承担该风险的投资者分配利率风险。[4]
右表是一个简单的抵押担保债券结构的示范。底层的抵押资金池被分为三个部分：每一个都有各自不同的有效期限以及所产生的利率风险敞口。假设原始的资金池为1000万美元的15年期抵押贷款，每一部分的利率均为10.5%，且被分为如右表中的三个部分。
进一步假定资金池中贷款余额的8%会提前预缴。于是，每年整个抵押资金池的现金流就如图5-7a所示。每年总支付缩小8%，因为原始资金池的贷款的这一比例部分被付清。每个条形的浅色部分代表利息支付，深色部分代表本金支付，包括贷款分期付款和预缴。
在每个周期中，每一贷款拆分部分在承诺的利率和支付本金余额的基础上收到应有的利息。但是，刚开始时，所有本金支付、预缴和分期付款都流向贷款拆分部分A（见图5-7b）。从图5-7c和图5-7d中观察到：当贷款部分A结束前，B和C只收到利息。一旦贷款拆分部分A全部付清，所有本金支付流向贷款拆分部分B。最后，当贷款拆分部分B终止时，所有本金支付流向贷款拆分部分C。于是，贷款拆分部分A就成了“短期支付”，其有效久期最短，而贷款拆分部分C成了期限最长的贷款划分部分。因此，这是在贷款拆分部分中一种相对简单的利率风险分配。
图5-7 流入整个抵押集合的现金流和拆分到三个部分的现金流
在实践中，这一主题有可能有多种变化及应用。不同的贷款划分部分可能收到不同的利息。根据抵押贷款预缴速度的不确定性，有些贷款拆分部分有可能被区别对待。复杂的公式可能用来规定每一贷款拆分部分应分配的现金流。实际上，抵押资金池被看作现金流的来源，并根据投资者的偏好重新分配给不同的投资者。
[1] 为使用凸性法则，必须以小数而不是百分比来表达利率。
[2] 上过微积分课程的人会发现这一区域的曲线是凹的。但是，债券交易员不说这些债券显示出凹性，更喜欢用的术语是负凸性。
[3] 实际上，继续为贷款提供服务的原始贷方和担保贷款的转递代理各自保留每月支付的一部分作为服务收费，于是投资者每月收到的支付比借方支付的数量略少。
[4] 机构抵押贷款支持证券的信用风险并不是个问题，因为按揭支付是由机构，现在是由联邦政府保障的。在抵押担保债券市场，部分结构通常用于重置不同部分的利率风险而不是信用风险。
消极债券管理
消极债券管理者认为债券定价是合理的，并且仅试图控制他们持有的固定收益资产组合的风险。在固定收益市场中，投资者经常使用两种消极管理的策略：第一种是指数策略，试图复制既定债券指数的业绩；第二种是我们熟悉的免疫策略，广泛应用于金融机构，例如保险公司和养老基金，它们被机构用来规避金融头寸的利率波动风险。
尽管指数策略和免疫策略在接受市场价格是合理的这一点上是相似的，但是在处理风险敞口方面，它们则非常不同。一个债券指数资产组合的风险-回报将和与之相联系的债券市场指数的风险-回报状况相当。相比较，免疫策略寻求建立一种几乎是零风险的资产组合，其中利率变动对公司的价值没有任何影响。在这一节，我们将讨论这两种策略。
债券指数基金
理论上，债券市场指数与股票市场指数相似。这一想法是创建一个能代表指数结构的资产组合，而该指数能够反映大市。例如，在美国股票市场，标准普尔500指数是股票指数基金最常使用的指数。这些基金完全按标准普尔500指数的成分股名单来选择购买股票，而且每种股票购买的数量与这些公司当前市值在指数中的权重成比例。债券指数基金也使用类似的策略，但是正如我们即将看到的，由于债券市场及其指数的一些技术难题，我们需要做一些修正。
债券市场有三个主要指数：巴克莱资本美国综合债券指数（之前为雷曼综合债券指数）、所罗门大市投资分级指数（现由花旗集团管理）和美林国内标准指数。这三个指数都是总收益的市值加权平均指数。这三种指数包括政府债券、公司债券、抵押支持债券和扬基债券（扬基债券是以美元面值发行的，在美国销售的由国外发行人发行的证券交易委员会注册债券）。
指数债券投资组合中出现的第一个问题源于这样一个事实：这些指数包含了数千只债券，这使得按它们的市值比重购买十分困难。此外，很多债券的交易量很小，这意味着很难找到它们的所有者，也很难以一个公平的市场价格购买它们。
债券指数基金也面临着比股票指数基金更难的再平衡问题。当久期低于1年时，债券不断从指数中被剔除。此外，当新债券发行时，它们被加入到指数中。因此，与股票指数相比，用于计算债券指数的证券不断变化。当它们变化时，管理者必须更新和再平衡资产组合来保证资产组合的构成和指数中所包含的债券相匹配。债券产生的大量利息收入必须进行再投资的事实，使得指数基金管理者的工作更为复杂。
在实践中，完全复制总体债券指数是不可行的。作为替代，分层取样或分格方式常被使用。图5-8表明了分格方式的思想。首先，债券市场被分为若干类别。图5-8展示了一种用期限和发行人划分的简单二分法。但实际上，诸如债券票面利率和发行人的信用风险也会用于形成网格。于是，在每一网格下的债券被认为是同质的。其次，每个网格在全集中所占的百分比会被计算和报告，如在图5-8中的几个网格所示。最后，资产组合管理者建立一种债券资产组合，该资产组合中每一单元债券所占的比例与该单元在全部债券中所占的比例相匹配。通过这种方法，在期限、票面利率、信用风险和债券所属行业等方面，资产组合特征与指数特征相匹配，因而资产组合的业绩将与指数业绩相匹配。
