导读
本章阐述了实践中积极型投资组合管理人为客户构建最优组合的过程。标题中的“理论”二字看上去可能与我们的实践目标不一致，其实不是这样的。由于先前的章节已经讲述了几乎所有关于证券投资组合管理的理论，因此剩下的部分将更加注重应用与实践。
我们将看到即使在日常交易中，理论也显示出了惊人的作用。本章首先从特雷纳和布莱克提出的单指数模型进行投资组合最优化入手，根据实践中遇到的问题来讨论如何可以有效地应用该理论。然后讨论如何解决在执行特雷纳-布莱克模型时α预测精度的问题。进行了这些基本了解之后，接下来我们将介绍原型组织图表，并说明如何将其用于有效的投资组合管理。
我们将介绍特雷纳-布莱克模型，该模型允许灵活地改进资产配置。最后，我们将考察证券分析的盈利潜力。
最优投资组合与α值
在第4章中，我们展示了如何用单指数模型构建最优的风险投资组合。表9-1描述了优化过程的步骤，这就是著名的特雷纳-布莱克模型。[1]该过程所采用的指数模型忽略了残差的非零协方差。该模型有时被称为对角模型（diagonal model），因为它假设残差的协方差矩阵只有对角元素才是非零元素，而且从第4章投资组合构建的例子中我们看到，尽管一些残差之间存在明显的相关关系，比如壳牌和英国石油公司之间，但是由指数模型和马科维茨模型得到的有效边界几乎是一样的（见图4-5）。
表9-1 最优风险投资组合的构建和特性
为了便于说明，本章沿用第4章的例子。表9-2翻新了该例的数据和实验的结果。表9-2d显示了把消极市场指数投资组合（passive market-index portfolio）与积极型投资组合（active portfolio）相混合所带来的夏普比率的改善。为了更好地表现这一改进，我们利用M2这一业绩度量指标来度量。M2是在积极型投资组合与短期国债混合以提供与指数投资组合相同的总体波动时，最优化投资组合相对于消极型投资组合所带来的期望收益率的增加（回顾第6章）。
对α的预测和极端组合权重
表9-2给人最深刻的印象就是可怜的业绩改善：表9-2d显示M2仅仅提升了19个基点（相当于夏普比率提升0.0136）。我们可以看到，积极型投资组合的夏普比率劣于消极型投资组合的夏普比率（因为积极型投资组合的标准差较大），所以它的M2实际上是负的。但是切记，积极型投资组合已与消极型投资组合混合，所以总波动性并非对其风险的合适度量。当与消极型投资组合混合时，业绩确实得到了改善，尽管这种改善非常有限。这是在给定α值（alpha values）时证券分析师所发现的最好结果（见表9-2c）。我们可以看到，积极型投资组合的头寸占了17%，部分资金来源于约10%的戴尔和沃尔玛的股票头寸。由于表9-2中的数据是按年计算的，所以这一结果与一年持有期收益率相等。
表9-2中所用到的α值与典型分析师的预测相比实在太小了。在本例中，我们下载了6月1日6只股票的实时价格以及分析师认为的1年后的目标价格。这些数据及隐含的α值如表9-3所示。所有的α值都为正，可见分析师对这些股票非常乐观。图9-1显示了此前一年股票价格和标准普尔500指数（ticker=GSPC）的走势。该图说明表9-3所显示出的乐观并不是根据历史数据推断出来的。
表9-2 包含6只股票的积极型投资组合管理
表9-3 6月1日的股票价格及分析师的目标价格
图9-1 标准普尔500指数（GSPC）与6只股票的收益率
表9-4展示了利用分析师的预测而不是表9-2d中的原始α值得到的最优投资组合，业绩之间的差异是非常显著的。新的最优投资组合的夏普比率从基准0.44提升至2.32，产生了巨大的风险调整收益优势。这说明M2达到了25％～53%！但是这些结果也暴露了特雷纳-布莱克模型潜在的主要问题。最优投资组合要求极端的多头/空头头寸，这对现实中的投资组合管理者而言是完全不可行的。例如，该模型要求5.79（579%）的积极型投资组合头寸，而资金主要来源于标准普尔500指数-4.79的空头头寸。更关键的是，该最优投资组合的标准差达到了52.24%，这一风险水平恐怕只有进取心极强的对冲基金才敢冒险一试。此外，我们可以发现，该风险主要为非系统风险，因为积极型投资组合的β值0.95小于1，而且由于消极型投资组合中的空头头寸，整个风险投资组合的β值甚至更低，只有0.73。恐怕只有对冲基金才会对这种投资组合感兴趣。
针对这一问题的一种解决途径是限制极端头寸，首先是限制卖空。当消除掉标准普尔500指数的空头头寸后，就会迫使我们把积极型投资组合的头寸控制在1.0之内，把消极型投资组合（标准普尔500指数）的头寸控制在0，积极型投资组合便构成了整个风险头寸。表9-5显示最优投资组合标准差目前为15.68%，比消极型投资组合的标准差（13.58%）高不了多少。整个风险投资组合的β值就是积极型投资组合的β值（0.95），从系统性风险看仍是一个偏防守型的投资组合。虽然存在严格限制，但优化过程仍然是相当有力的，最优风险投资组合（现在是积极型投资组合）的M2达到了16.42%。
表9-4 使用分析师新预测之后的最优风险投资组合
表9-5 对积极型投资组合加以限制的最优投资组合（WA≤1）
上述解决方案令人满意吗？这可能取决于投资主体的类型。对于对冲基金而言，这可能是最理想的投资组合。而对于大多数共同基金而言，由于这种投资组合缺乏多样性，因此可能会将其排除在外。我们可以发现6只股票的头寸，仅沃尔玛、塔吉特、英国石油公司的头寸就占了整个投资组合的76%。
诚然，我们要意识到我们例子的局限性。当然，分散化可以通过涵盖更多股票来实现。但是即使涵盖再多股票，极端多头/空头头寸的问题依然会存在，这使得该模型在实践中有待商榷。我们来看布莱克和利特曼（Litterman）[2]在一篇重要论文中的结论：
标准资产配置模型中使用的均值-方差优化对于投资者的期望收益相当敏感……在如此敏感度下，最优投资组合往往与投资者的观点很少甚至没有联系。因此，在实践中国际投资经理很少使用定量化模型来决策资产配置问题，尽管定量化方法在概念上非常有吸引力。
这段评述非常值得回味，此处引用是为了指出“国际投资经理很少使用定量化模型来决策资产配置问题”。事实上，这段描述也适用于出于其他原因而避免使用均值-方差优化过程的投资组合经理。
基准风险的限制
布莱克和利特曼指出了一个重要的实践问题。在实践中，许多投资经理的业绩是依照基准（benchmark）业绩来评估的，基准指数往往写入共同基金的募股说明书中。在我们的例子中，消极型投资组合标准普尔500指数便可作为基准，但这种方法引起了对追踪误差（tracking error）的重视。追踪误差是指整个风险投资组合收益率与基准收益率时间序列的差，即TE=RP-RM。投资组合经理必须关注基准风险，也就是追踪误差的标准差。
最优风险投资组合的追踪误差可以用投资组合的β值来表示，因此追踪误差为
式（9-1）告诉我们如何计算追踪误差的波动，以及如何设定积极型投资组合的头寸，以把追踪风险控制在一定水平。对于一单位积极型投资组合的投资，也就是=1，基准风险为
对于理想的基准风险σ0（TE），我们可以把积极型投资组合的权重限制为
显然，控制追踪风险需要付出成本。我们必须把权重从积极型投资组合转向消极型投资组合。图9-2说明了该成本。通过优化过程，我们可以得到投资组合T，即与资本配置线（CAL）的切点，它是从无风险利率到有效边界的射线。通过从T向M转移权重来降低风险，我们是沿着有效市场边界而非资本配置线来得到低风险头寸的，降低了限制投资组合的夏普比率和M2。
图9-2 当基准风险降低时，有效性也在降低
我们注意到，在表9-2中，由于积极型投资组合仅占17%，使用“微小”α预测所得的追踪误差的标准差只有3.46%。对投资组合权重没有约束并使用较高的α值（根据分析师的预测）时，追踪误差的标准差高达51.46%（见表9-4），远远超出了现实中管理者所愿意承受的范围。但是当积极型投资组合的权重为1.0时，基准风险便降至8.87%（见表9-5）。
最后，假设某投资经理希望把基准风险限制在与最初预测时所使用风险的同一水平上，即3.46%。式（9-2）和式（9-3）告诉我们积极型投资组合的权重应为WA=0.43，可从表9-6得出这一结论。这一投资组合是温和的，却表现不俗：①标准差（13.85%）仅略高于消极型投资组合的标准差；②β值为0.98；③追踪误差的标准差非常低，只有3.85%；④我们仅有6只股票，但最高头寸仅占了12%（塔吉特），当包含更多股票时，还会更低；⑤夏普比率高达1.06，M2也有8.35%。因此，在控制了基准风险后，我们可以在取得高业绩的同时克服无约束投资组合的缺陷。
表9-6 使用分析师新预测后的最优风险投资组合（基准风险被控制在3.85%）
[1] 法玛和弗伦奇的多指数模型能够更好地刻画收益，这个模型在被动的指数投资组合将被加入考虑了其他因素的组合（例如，FF模型中的公司规模和价值组合）。但是，特雷纳-布莱克模型的其他部分并没有改变。
[2] Fischer Black and Robert Litterman，“Global Portfolio Optimization，”Financial Analysts Journal，September/October 1992.© 1992，CFA Institute.Reprinted with permission from the CFA Institute.
特雷纳-布莱克模型与预测精度
假设你所管理的401（k）退休基金现正在投资标准普尔500指数基金，而你正在权衡要不要承担一些额外风险把部分资金投入塔吉特股票中。你知道在缺乏分析人员研究的情况下，所有股票的α都应假设为零，所以塔吉特的α等于零是你的先验分布（prior distribution）。下载的塔吉特和标准普尔500指数的收益率数据显示残差标准差为19.8%。给定这一波动率和等于零的先验均值，再假设为正态分布，你便可以得到塔吉特α的先验分布。
我们可以根据先验分布进行决策，也可以通过努力获得更多数据来完善分布。在术语上，这种努力被称为试验。试验作为一种独立的投机，可以得到可能结果的概率分布。统计上最好的方法就是把α的先验分布与实验所得到的数据相结合得到后验分布（posterior distribution），然后用后验分布来做决策。
标准差很小的“紧缩型”先验分布，意味着在观察数据之前，对于α值的可能区间也有相当高的置信度。这样一来，试验难以影响你的判断，从而使得后验分布与先验分布无异。[1]对α的积极预测及其精准度提供了试验，从而会使你改变对α值的先验感知。投资组合经理的任务就是形成α的后验分布，从而为组合构建服务。
对于α精度的调整预测
你从雅虎财经上下载了本书在前一节中所用到的分析师的预测数据，得知塔吉特的α为28.1%。在调整β之前，你可以直接得出塔吉特的最优头寸为α/σ2（e）=0.281/0.1982=7.17（717%）的结论吗？自然地，任何理性投资经理在构建这种极端头寸前都会问：“这个预测准确吗？”“若预测不准确，我应该如何调整头寸？”
特雷纳和布莱克[2]提出了这些问题，而且给出了自己的答案。答案的逻辑非常易懂。你必须对预测的不确定性进行量化，就像你必须量化标的资产或投资组合的风险一样。从网上你可能查不到你所下载预测数据的精度，但发布这些预测数据的分析师的雇主有这些资料。那么，他们是如何获得这些数据的？答案是通过检查同一个预测者以往的预测记录（forecasting records）。
假设证券分析师定期（例如每月月初）向投资组合经理提供预测的α。投资经理根据投资预测更新投资组合，并持有该投资组合至下个月更新预测时。在每个月末T时，塔吉特股票实现的异常收益等于α和残差之和
此处的β值根据T时刻之前塔吉特的证券特征线（SCL）求得。
分析师在T月初发布的预测αf（T），目标是求式（9-4）中的超额收益率u（T）。投资组合经理根据分析师的预测记录确定如何使用T月的预测。分析师的记录是所有历史预测αf（t）和实际实现u（t）的配对时间序列。为了评估预测精度，也就是预测α与已实现α的关系，投资组合经理可以根据记录估计回归
我们的目标是通过调整α以合理解释不精确性。根据最初预测的αf（T）和回归方程式（9-6）的估计值，我们便可以得到未来一个月的调整的α（adjusted alpha）预测值α（T）：
回归估计的特性可以保证，调整后的预测是对塔吉特未来一个月的异常收益的“最优线性无偏估计”。“最优”的意思是在所有无偏估计中方差最小。在附录A中，我们说明了式（9-7）中a1的值应用式（9-6）中R2的值。由于R2小于1，这意味着我们把预测值“压缩”至零。最初预测的精度越低（即R2越小），我们就会把调整α压缩得越多。若预测者一贯持悲观态度，则系数a0向上调整预测，若预测者一贯持乐观态度，则应向下调整。
α值的分布
式（9-7）说明，证券分析师预测的质量（用已实现异常收益率与分析师的预测值进行回归的R2来测度）对构建最优投资组合以及业绩表现至关重要。不幸的是，这些数据难以获取。
卡恩（Kane）、金（Kim）和怀特（White）[3]从一家专门从事大型股票投资的、以标准普尔500指数为基准投资组合的投资公司得到了一个关于分析师预测数据的数据库。该数据库包含1992年12月～1995年12月37个月646～771只股票的α及β预测值的配对数据。该公司把α预测值控制在+14%到-12%之间。[4]预测的直方图如图9-3所示。大型股票的收益率多在均值附近，如下表所示，该表包括了一个平均年份（1993）、一个糟糕年份（1994）和一个优良年份（1995）的收益率：
图9-3 α预测的直方图
直方图显示α预测值呈正偏分布，有大量的悲观预测。预测α与实际α回归所得的调整R2为0.001134，说明相关系数只有0.0337。正如结果所示，乐观预测的质量优于悲观预测。当允许把系数分为正负两种情况进行预测时，R2增加到了0.001536，相关系数也达到了0.0392。
这一结果既包含“好消息”，也包含“坏消息”。“好消息”是在调整后，即使是最疯狂的预测（即预测下个月的α值为12%），当R2等于0.001时，预测者所采用的α也只有0.012%，每个月只有1.2个基点。这等于每年0.14%，约等于表9-2中对α的预测。在这种微小的预测下，极端投资组合权重的情况永远不会发生。“坏消息”产生于同样的数据：积极型投资组合的业绩比我们的例子好不到哪里去——M2只有19个基点。
这种业绩的投资公司一定会亏损。但是，这种业绩是根据仅包含6只股票的积极型投资组合得出的。在第9.5节中，我们将谈到，即使单只股票很小的信息比率也可以被加起来（见表9-1中第11行）。因此，根据低精确度的预测来构建一个足够大的投资组合，也可以获得大量利润。
到目前为止，我们假设各只股票的预测误差是独立的，但这一假设很可能不成立。当对各只股票的预测相关时，我们可以用预测误差的协方差矩阵来测度精准度。尽管这种情况下的预测调整非常烦琐，但这只是一些技术细节。我们可以预料到，预测误差之间的相关性将迫使我们进一步把调整的预测值压缩至零。
组织结构与业绩
最优风险投资组合的数学特性显示了投资公司的核心特点，即规模经济。根据表9-1中最优投资组合的夏普测度可以清楚看出，由夏普比率和M2测度的业绩随积极型投资组合信息比率的平方单调递增（回顾第4章式（4-22）），反过来，这又是所包含证券的信息比率的平方和（见式（4-24））。因此，增加证券分析师的数量注定会提高业绩，至少在扣除成本之前会提高业绩。不仅如此，更广的投资范围会提高积极型投资组合的分散程度，缓和持有中性消极型投资组合头寸的需求，甚至可能产生有利可图的空头头寸。此外，可选证券种类的增加使得可以在不进行单一证券大宗交易的情况下扩大基金规模。最后，增加证券种类还创造了另一种分散化效应，即分析师预测误差的分散化效应。
为了追求好业绩而增加积极型投资组合的多样性必然会增加成本，因为高质量的分析师非常昂贵。而其他组织部门则可以在不增加成本的情况下处理更多业务。这些都说明大型投资公司的规模经济提供的组织结构是有效的。
风险投资组合的优化过程需要一系列专业化、独立化的任务。因此，投资组合管理机构的组织结构需要适当的分散化，并且受到恰当的控制。图9-4的组织结构图就是基于这一目标而设计的。该图非常清晰，且其结构与前面几章的理论分析是一致的，它可以为投资组合的日常管理提供有力的支持。图中结构印证了前些章节的结论。但是，提出几点建议还是有必要的。
图9-4 投资组合管理的组织结构图
资料来源：Adapted from Robert C.Merton，Finance Theory，Chapter 12，Harvard Business School.
负责预测记录和确定预测调整的控制部门直接影响了分析师的奖励和升迁，因此该部门必须与其他部门隔离，不能受到组织压力的影响。
证券分析师观点的独立性与他们之间必要的合作、资源使用的协调及与公司、政府工作人员的联系之间相互矛盾，尤其是考虑到庞大的分析人员数量。相比之下，宏观经济分析部门往往与分析师太隔绝，在这些单位之间努力构建一种有效的沟通渠道是非常必要的。
最后，计量技术对组织而言是非常重要的，近年来已取得了巨大突破，且仍在加速发展。使负责估计的各部门跟上技术发展的前沿是非常重要的。
[1] 在社会事务的讨论中，你可以把偏执狂定义为先验分布相当紧缩的人，以至于任何事情都无法影响他的后验分布。
[2] Jack Treynor and Fischer Black，“How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection，”Journal of Business，January 1973.
[3] Alex Kane，Tae-Hwan Kim，ans Halbert White，“Active Portfolio Management：The Power of the Treynor-Black Model，”in Progress in Financial Market Research，ed.C.Kyrtsou（New York：Nova，2004）.
[4] 这是个合理的限制，因为它们意味着到年末股票价值会达到年初的380%或者降至22%。
布莱克-利特曼模型
因特雷纳-布莱克模型和布莱克-斯科尔斯期权定价公式闻名的费雪·布莱克与罗伯特·利特曼提出了另一个重要的投资组合构建模型——布莱克-利特曼资模型（BL）。它允许投资组合经理对复杂的预测（他们称之为观点（views））进行量化并应用于投资组合的构建。[1]在介绍该模型之前，我们将简要介绍一下关于资产配置的问题。在后面，我们将比较两个模型，了解模型之间的共性可以帮助我们更好地理解布莱克-利特曼（BL）模型。
布莱克-利特曼资产配置决策
假设某投资组合经理正在努力为下个月进行资产配置（asset allocation），投资范围包括票据、债券和股票。为使夏普比率达到最大，投资组合应只包括债券和股票。最优化风险投资组合是与资本配置线（CAL）相切的投资组合。基金投资者根据自己的风险偏好沿资本配置线构建想要的头寸，也就是将票据与最优风险投资组合进行组合。在第3章中，我们是用一系列给定数据来优化投资组合的。但在实践中，如果知道数据，优化问题将迎刃而解，困扰投资组合经理的难题是如何获得数据。布莱克和利特曼提出了一种均衡考虑历史数据和投资组合经理未来短期观点的方法。
BL模型中的数据来自两个方面：一个是过去的历史数据，另一个是对未来的预测数据，叫作观点。过去的历史样本用来预测资产配置中所需资产的协方差矩阵。预测所得的协方差矩阵与均衡模型（例如CAPM）一起将产生一个基准预测，这将是被动策略的基础。接下来，观点将被引入并进行量化。观点代表的是相对于基准预测的偏离，这一偏离导致了对预期收益率的一系列修复。通过这些新的输入值（类似于TB模型中的α预测），一个最优的风险投资组合将代替（不再有效的）被动投资组合。
第一步：根据历史数据计算协方差矩阵
这项简单的任务就是BL模型的第一步。假设利用短期历史超额收益率得到的协方差矩阵如下。注意，这一步对于BL模型和特雷纳-布莱克（TB）模型是一样的。这一步也体现在图9-4所示的组织结构图中。
第二步：确定基线预测
由于历史数据在预测下月期望收益率方面作用有限，BL提出了一个替代方案。他们假设当前市场是均衡的，股票和债券的价格包含了所有可获得的信息，因此权重与市值成比例的理论市场组合是有效的，进而导出了基线预测（baseline forecast）。假设根据当前市场中发行在外的债券和股票的市值，债券的权重wB=0.25，股票的权重wS=0.75。将这一权重用于第一步的协方差矩阵，得到基准投资组合的方差为
CAPM公式给出了市场投资组合风险（方差）与风险溢价（期望超额收益率）之间的关系
式中，表示风险厌恶的平均系数。假设=3，那么基准投资组合的均衡风险溢价为：E（RM）=3×0.018186=0.0546=5.46%。债券和股票的均衡风险溢价可根据它们在基准投资组合中的β值求出
因此，第二步得到债券风险溢价的基准预测为1.40%，股票为6.81%。
第二步的最后工作是计算基线预测的协方差矩阵，不同于债券和股票投资组合已实现超额收益率的协方差矩阵，这是关于预测精准度的报告。我们想知道的是期望收益率估计的精确性，而不是关注实际收益率的波动。约定俗成的做法是将标准差设为收益率标准差的10%（即为收益率方差的1%）。比如说，在某种特定情况下，预测下个月的经济形势与过去100个月相近，也就是说过去100个月的平均收益率是下个月期望收益率的无偏估计，那么平均收益率的方差就是实际收益率方差的1%。因此，在这种情况下，用收益率的协方差矩阵乘以0.01便可以得到期望收益率的协方差矩阵，那么第二步将得到下列预测和协方差矩阵。
现在我们已经处理完了市场预期，接下来我们将把投资经理的个人观点引入我们的分析中。
第三步：融合投资经理的个人观点
BL模型允许投资组合经理在优化过程中引入任何关于基准预测的观点，他们还会在这些观点后加上自己的置信度。在BL模型中，这些观点都被表示为各种超额收益率的不同线性组合的值，而置信度则作为这些值的误差的协方差矩阵。
【例9-1】 BL模型的观点
假设某投资经理对基线预测持约束的观点，具体来说，他相信债券的业绩将超过股票0.5个百分点。用公式表示为
更一般地，任何观点（即相关超额收益率的线性组合）都可以表示为一个数组（在Excel中，数组是一列数字）与超额收益率数组（另一列数字）的乘积。在本例中，权重数组为P=（1，-1），超额收益数组为（RB，RS）（在Excel中，这个乘法可由函数SUMPRODUCT完成）。线性组合的值，用字母Q表示，就是投资组合经理的观点。在本例中，Q=0.5%将在优化过程中用到。[2]
每个观点都有其置信水平，即衡量Q精确度的标准差。换句话说，投资组合经理的观点为Q+ε，其中ε表示均值为零时的观点（观点的标准差反映了投资组合经理的置信度）周围的“噪声”。我们可以发现，股票和债券期望收益率之差的标准差为1.65%[3]（计算见式（9-13）），如果投资组合经理认为σ（ε）=1.73%，用R=（RB，RS）来表示收益率数组，那么经理的观点P便可以表示为[4]
第四步：修正（后验）期望
从市值及其协方差矩阵得来的基线预测构成了债券和股票收益率的先验分布。而投资组合经理的观点与其置信水平一起，提供了根据“试验”得来的概率分布，也就是说，附加信息必须与先验分布最佳结合。所得上述组合的结果就是在投资组合经理观点下的一系列新的期望收益。
为了更直观地理解，需要思考基准期望收益率暗含了什么观点。从市场数据得出的预期是债券的期望收益率为1.40%，股票的为6.81%。因此，基线观点为E（RB）-E（RS）=-5.41%。相比之下，投资组合经理认为这个差值应为Q=RB-RS=0.5%。下面我们用BL线性方程组来表示市场期望
因此，基线“观点”为-5.41%（即股票的业绩会超过债券），这与投资组合经理的观点大相径庭，其差值D为
在基线预期与投资组合经理观点相差悬殊的情况下，我们可以预计，条件期望将与基准大不相同，进而最优投资组合也会发生巨大的变化。
期望收益率的变化是以下4个因素的函数：基线期望E（R）、投资组合经理观点与基线观点之差D（见式（9-13））、资产对D方差的贡献和D的方差。利用BL模型可得到
我们可以看到，投资组合经理将债券的期望收益率调高了0.24%，达到了1.64%，将股票的期望收益率下调了2.57%，变成了4.24%。股票和债券的期望收益率之差从5.41%降到了2.60%。这是一个非常大的变化，可见投资组合经理最后的观点几乎是其先前观点和基线观点折中的结果。更一般地，折中的程度与各观点的精确度有关。
在这个例子中，我们只涉及了两类资产和一个观点，可以很容易推广到多种资产和关于未来收益率的多种观点，这比简单的两种收益率之差要复杂得多。这些观点可以为资产的任何线性组合赋值，且置信水平（各观点ε值的协方差矩阵）可以允许各观点之间存在依存性，这种量化投资组合经理独有信息的灵活性赋予了模型巨大的潜力。
第五步：投资组合优化
从现在开始，投资组合优化采用第3章所述的马科维茨过程，输入量由基线期望替换为产生于投资组合经理观点的条件期望。
表9-7列示了BL模型的计算过程。其中表9-7a列示了基准预测的计算过程；为了得到修正（条件）期望，表9-7b引入了投资组合经理的观点。图9-5显示了假设观点正确和错误时，不同置信水平下以M2衡量的业绩表现情况。当观点的可信度下降时（观点的SD上升），债券的比重下降，当观点没有可信度（SD非常大），债券的比重下降到0.3，这个比重由基线预测决定。在这一点，这一组合是消极的，其M2为0。
在图中，我们还注意到，M2的形状是不对称的。当对观点的可信度很高导致债券配置比重较高时，当观点正确时，M2的增加值少于当观点错误时M2的减少值。当对观点的可信度较低导致债券配置比重较低时，这个“游戏”在M2的得失上将变得更加对称。由于决定观点的标准差的大小非常抽象，这张图告诉我们在质疑的部分犯错相对来讲是更谨慎的选择。
表9-7 布莱克-利特曼组合对于信心水平的敏感性
图9-5 布莱克-利特曼投资组合业绩对置信水平的敏感性分析
[1] Black and Litterman，“Global Portfolio Optimization”.
[2] 一个更简单的观点，认为债券的收益是3％也是合理的，这样的话，P=（1，0），这就和特雷纳-布莱克（TB）模型中α的预测很相似了。如果所有的观点都和这个一样这么简单，TB模型和BL模型就没有什么区别。
[3] 由于缺少能够阐明观点标准差的部分信息，如观点来源的记录，基准预测的协方差矩阵的标准差常用来代替此处收益率差的标准差。
[4] 这里观点被表述成一个行向量，有多少种风险资产就有相应多少收益率，这个行向量就有同样多的元素（这里是7个）。投资经理的观点Q就等于P（记录他们观点中资产的数量）乘以他们的实际收益，其中实际收益需要加T（转置符号，将行向量变成列向量），这样才能求出这两个的乘积。
特雷纳-布莱克模型与布莱克-利特曼模型：互补而非替代
特雷纳、布莱克、利特曼成为投资领域的重要革新者，他们的模型被广泛使用，推动了投资行业的发展。这里将两个模型比较分析并非为了说明孰优孰劣（事实上，我们发现它们是互补的），而是为了在比较中发现其各自的价值。
首先要明确的是，在优化这一步骤中，两个模型都是一致的。也就是说，不论分析师使用哪个模型，只要他们的输入列表相同，就会得到相同的投资组合与相同的业绩指标。在后面内容中我们将看到用这两种模型构造的投资组合的业绩远远优于消极策略，也优于没有使用定量技术的积极策略。这两种模型的区别主要在于获得输入列表的方法，下面的分析告诉我们，它们是相互补充的，最好一起使用。
BL模型是TB模型蛋糕上的奶油
特雷纳-布莱克（TB）模型针对单一证券进行分析，这可以从积极型投资组合的构建过程中看出。对证券的α赋值是相对于消极型投资组合得出的。如果所有α值全为零，那么该组合就是所要持有的组合。假设某投资公司的募股说明书说明将其投资组合的70%投资于美国大型股票，如标准普尔500指数，30%投资于欧洲大型股票。在这种情况下，宏观经济分析必须针对两地分别进行，而TB模型也要分别应用。在每个地区，证券分析师编制出相对于其本身的消极型投资组合的α值。因此，该公司的产品将包括四种投资组合，两个消极型组合和两个积极型组合。只有将投资组合分别优化时，这套体系才会有效。也就是说，美国证券的参数（α值、β值、残差方差）是根据美国基准估计得出的，欧洲股票的参数是根据欧洲基准估计得出的。那么，投资组合构建问题就变成了标准的资产配置问题。
所得的投资组合可以用BL方法改进。首先，关于美国和欧洲市场相对表现的观点可以增加对两大经济实体进行宏观经济预测的信息。为了更加专业化，美国和欧洲的宏观经济分析师必须专注于各自的经济体。显然，随着更多国家和地区的投资组合进入该公司的投资范围，分散化会变得越来越重要，将BL模型运用到TB产品中的可能性就越大。此外，国外股票投资组合将导致投资者持有不同头寸的当地货币，这明显是国际金融的范畴，从这一分析中得到预测数据的唯一方法就是BL技术。[1]
为什么不用BL模型替代TB模型
如果整体投资组合包含根据比较经济和国际金融分析得出的预测值，那么就需要用到BL技术，正是这种需求让我们提出了这一问题。用BL模型构建有效投资组合的确可行，因为TB模型中的α可以用BL模型的观点来代替。举个简单的例子，如果积极型投资组合只包含一只股票。若采用TB模型构建积极型投资组合，需要宏观经济预测E（RM）和σM，以及α值、β值和残差标准差。若按BL模型的框架，上述输入列表也可以表示为以下形式
式中，e表示式（9-5）中证券特征线回归的残差。如式（9-13）一样，利用式（9-15）计算的条件期望可以得出与TB模型式（9-7）一样的调整的α值。
这样看来，BL模型可视为TB模型的推广。与TB模型一样，BL模型允许你根据关于α的观点来调整期望收益，同时它也允许你对相对业绩发表观点，这一点是TB模型所不能企及的。
但是，这个结论可能误导投资管理行为。为了理解这一点，我们先讨论置信水平，它是全面描述BL模型中的观点所必需的。表9-7和图9-5说明最优组合的权重与业绩对BL观点的置信度非常敏感。因此，模型的有效性很大程度上依赖于BL观点的置信水平。
当用BL观点来替代TB框架下的直接α估计时，我们必须把式（9-7）中预测误差的方差用于式（9-15）。这便是BL模型对“置信度”的量化方法。在TB框架中，通过计算分析师的预测α值与相应的已实现α值之间的相关性，我们便可以测度预测的精确性，但将这一过程运用到BL关于相对业绩的观点中并没有那么简单。投资组合经理的观点在不同时期有不同的量化值，因此，我们无法用某一变量的长期历史预测数据来评估精确度。从目前来看，无论是学界还是业界，都没能优化BL模型中“信心水平”量化的方法。
这就引出了在TB模型中调整预测的问题。我们并不知道分析师的追踪记录经过系统编纂并用来调整α预测的真实结果，虽然我们不能断言这种努力是行不通的，但是间接证据说明在TB模型中，α值往往没有经过调整。我们常常可以听到关于TB模型导致“极端”调整组合权重的抱怨。但我们在前面已看到，这些极端权重的产生原因是没有调整α值以反映预测精度。任何卓越的预测者得到的实际R2都会带来适度的投资组合权重。就算极端权重偶然出现，也会由于追踪误差方差的限制而消除。
因此，保持这两个模型的独立性和独特性非常必要；TB模型可用于证券分析管理（预测值已经进行适当的调整），而BL模型可用于资产配置，尽管在资产配置实践中置信水平无法精确估计，但相对业绩的观点仍然非常有用。
[1] BL模型中也可以用来引入关于美国与国外公司业绩的观点。
积极型管理的价值
在第6章中，我们已看到，成功把握市场时机的价值是巨大的。即使是一个预测能力有限的预测者也能创造显著的价值。但是，有证券分析支持的积极型投资组合管理具有更大的潜力。即使每一个证券分析师的预测能力十分有限，但他们组合起来的效果是无可限量的。
潜在费用估计模型
市场择时的价值可由等数量看涨期权的价值得到，该看涨期权模仿择时者投资组合的收益。因此，我们可以对择时能力给出一个明确的市场价值，也就是说，我们可以对择时者的服务中所隐含的看涨期权进行定价。虽然我们不能获得积极型投资组合管理的估价，但我们退而求其次，计算一个典型投资者会为该项服务付出的费用。
Kane、Marcus和Trippi[1]得出了投资组合业绩的年度价值，以所管理资金的一定百分比来衡量。百分比费用f，即投资者愿意为这项服务支付的费用，与积极型投资组合、消极型投资组合夏普比率的平方差有关
式中，A是投资者的风险厌恶系数。
积极型投资组合的威力来自信息比率（information ratios）平方的附加值（信息比率=）和各个分析师的精确度。回顾最优风险投资组合夏普比率平方的表达式
因此，
因此，费用f取决于3个因素：①风险厌恶系数；②在可选择证券中信息比率平方的分布；③证券分析人员的精确度。注意，此费用是超出指数基金收取的费用。如果指数基金收取30个基点的费用，积极型投资组合经理所收取额外的费用由式（9-17）算出。
实际信息比率分布的结论
Kane、Marcus和Trippi研究了所有标准普尔500指数成分股在两个5年期内IR2的分布，发现其期望值E（IR2）在0.845～1.122之间。风险厌恶系数为3的投资组合经理管理了100只股票，其证券分析师对实际α预测值的R2仅为0.001，对于这类投资经理每年可以比指数基金多收取4.88%的费用。此费用是各种IR2的置信区间的最低值。
此研究的一大缺陷在于它假设投资组合经理知悉预测的质量，不论预测质量有多低。我们看到，投资组合权重对于预测质量很敏感，而如果质量有偏误，业绩将大打折扣。
实际预测分布的结果
Kane、Kim和White对实际预测值的研究发现了600只股票在37个月内超过11000个α预测值的分布（见图9-3）。用最小二乘法进行回归时，这些预测数据的R2的平均精准度为0.00108，而区分乐观预测和悲观预测时，R2为0.00151。这只比用来解释Kane、Marcus和Trippi对已实现信息价值分布情况的精度高一点。Kane、Kim和White使用这些R2来调整其预测，并从投资公司持有的646只股票中随机选取了105只形成了最优投资组合。
Kane、Kim和White假设每月对105只股票所有α值的预测质量一样，但又按照不知道预测质量的情况来预测。因此，每个月的调整过程是根据历史预测进行的。这就引出了另一种估计误差源，使得原本可怜的预测质量雪上加霜。为了缓解该问题，在评估预测质量时采用了改良的计量经济学方法。他们发现最小绝对离差法（LAD）的回归效果优于OLS法。优化模型同时使用了对角指数模型（如同在TB模型中一样）和完整协方差矩阵模型（马科维茨算法）。
表9-8列示了业绩的年度M2，其值从2.67%～6.31%，给人印象深刻。表9-8也显示，当股票数目增多时，使用完整的协方差矩阵可以显著地改良业绩，相反，第4章表4-4表明，当只包含6只股票时，业绩只有很小的改善。
