但应该记住，尽管在毫米距离上排除了引力偏差是很难得的，但却并不能验证最近提出的多数额外维度模型。记住，只有具有两个大额外维度的模型才会在1毫米的尺度上产生可观察的效应，如果一个理论有不止两个大的额外维度，且能解决等级问题（或者，如果我们下一章探讨的模型适用于真实世界），牛顿定律的偏离则只有在更小的距离才会出现。
在相距不到1/10毫米的两个物体之间，引力作用会是什么样子？对此，我们并不确信，这从没有人检验过。因此，我们无从知道额外维度在1/10毫米是否会有可能，而这一尺度（如果你曾想过）根本没那么小。相对较大的额外维度，尽管并不一定大至1毫米，但仍是一种可行的选择。要测试这些模型，我们必须等待对撞机实验，这也是下节的主题。
高能粒子对撞机的维度探寻之旅
即便大额外维度超过两个，高能粒子对撞机也非常适合于发现来自大额外维度的KK粒子。在ADD模型里，引力子的KK伙伴总是轻得令人难以置信。如果大维度假说适用于真实世界，那么无论有多少额外维度，引力子的KK伙伴都足以在加速器里生成。这告诉我们，即使维度小于1毫米，当今和将来的加速器探索实验都应该能发现它们。现在的对撞机所产生的能量已足以生成这些低质量粒子。事实上，如果能量是唯一相关的量，KK粒子早就被大量生成了。
但是，有一个潜在的困难是：引力子KK伙伴之间的相互作用超乎想象地微弱——事实上，它如引力子本身一样微弱。因为引力子相互作用很容易被忽略，以至于对撞机从未在可测速率的水平上生成或发现引力子，因此单个的引力子KK伙伴也没有被发现。
虽然这种推想让人很受挫，甚至我们还以为没有希望了，可实际上，探测到高维KK粒子的前景远比我们想象的更为光明。这是因为，如果ADD假说正确，就会有许多很轻的引力子的KK伙伴，这样就有可能留下它们存在的可探测证据。
如果大额外维度图景正确，那么，即使生成单个KK粒子的概率很小，但生成大量轻KK粒子中的一个，可能性还是很大的。例如，假设有两个额外维度，大约有1 000万亿亿个KK模式轻得足以在运行能量大约为1 TeV的对撞机里生成，那么即使生成其中某个特定粒子的机会极少，但至少生成其中一个粒子的机会总是有的。
这就好像是，有人以非常含蓄的方式向你暗示什么，第一次你听到后没往心里去，可后来有50个人向你重复了同一件事，即便第一次听到这信息时没有在意，可到第50次的时候，这个信息在你脑海里便根深蒂固了。同样，尽管轻KK粒子轻得足以在现今的加速器里生成，但它们的相互作用非常微弱，我们无法探测到单个粒子。可是，当加速器达到足够的能量，能大量生成它们时，KK粒子就会留下可观察的信号。
大型强子对撞机研究的将是TeV能标，如果ADD观点正确，它将极有可能生成KK粒子。这听起来像是一个太过幸运的巧合——无论是KK质量，还是决定KK粒子相互作用强度的质量（MPL）都不是1 TeV，那么大约1 TeV的能量为什么会与生成KK粒子的机会相关？答案是，大约1 TeV的能量决定了高维引力的强度，而高维引力最终决定了对撞机会生成什么。因为许多引力子KK伙伴的相互作用就等于一个高维引力子的相互作用，而高维引力子在大约1 TeV能量上的相互作用非常强烈，因此，所有KK粒子作用的总和在这一标度上也一定是非常显著的。
实验者已准备用费米实验室的Tevatron寻找KK粒子了。尽管Tevatron达不到LHC那么高的能量，但也达到了实验所需要的能量。而LHC会做得更好，假设ADD的KK粒子存在，LHC找到它们的机会要大得多。
这些KK粒子会是什么样子呢？生成引力子KK伙伴的对撞很像寻常的对撞过程，只不过它看上去会有能量流失。在LHC里，当两个质子对撞时，会生成一个标准模型粒子和一个引力子的KK伙伴。举例来说，标准模型粒子可以是胶子——质子对撞产生一个虚胶子，这个虚胶子可以转化成一个真实的物理胶子和一个引力子KK伙伴。
但是，单个的KK粒子作用非常微弱，不能被探测到。但如果KK粒子有很多，就可能被发现。探测仪会捕捉胶子，或者更准确地说是围绕胶子的喷射流（见第7章），所以即便记录不到引力子的KK伙伴，产生引力子KK伙伴的过程仍将被记录下来。判别事件额外维度来源的关键就在于这些看不见的KK伙伴，它们带走能量进入额外维度，因而能量看起来就像流失了。实验者们将研究喷射流事件，如果其中被放射胶子的能量少于进入碰撞的能量，他们就能推知一个引力子的KK伙伴生成了（见图19-3）。这与泡利推测中微子的存在有点类似（如我们在第7章里所见）。
图19-3 ADD模型KK粒子的生成。质子产生对撞，一个夸克和一个反夸克互相消融生成一个虚胶子，虚胶子转化成一个看不见的KK粒子和一个可见的喷射流。灰线是质子对撞时总会大量喷射的一些额外粒子。
因为我们对新粒子唯一所知的就是它带走了能量，所以实际上我们并不能确定加速器生成的就是一个KK粒子，而不是相互作用微弱得探测不到的其他什么粒子。但是，通过对能量流失事件的仔细研究——例如，生成速率与能量的依赖关系，实验者们就有望确定KK粒子的阐释是否正确。
KK粒子将是在我们四维世界里最容易得到的来自额外维度的访客，因为它们可能是代表额外维度的最轻物体。如果我们幸运，ADD模型的其他印记将与它们一同出现，甚至包括更为奇特的物体。如果ADD正确，高维引力将在大约1 TeV上变得强大，这就是说，这一能量远低于我们原以为在惯常四维世界里的能量。如果这样，在大约1 TeV的能量附近就有可能生成黑洞，这种高维黑洞将是我们深入理解经典引力、量子引力以及宇宙形状的敲门砖。如果与ADD观点相关的能量足够低，黑洞的生成将近在咫尺，它们在LHC里就可能形成。
对撞机生成的高维黑洞要远小于宇宙的黑洞，它们的大小与非常微小的额外维度差不多。你大可放心，这种微小的、转瞬即逝的黑洞对我们或我们的星球根本构不成任何危险：在造成任何可能的危害之前，它们就已经销声匿迹。黑洞不会永远存在，它们会通过释放霍金辐射，瞬间蒸发。但是，正如一滴咖啡远比一整杯咖啡蒸发得快一样，小黑洞也要比大黑洞蒸发得快。因此，对撞机能生成的微小黑洞，在瞬间就会蒸发。但是，如果这些高维黑洞生成了，它们就能持续足够长的时间，在探测仪里留下可见的存在迹象：它们会有与众不同的表现，因为它们会产生许多粒子，这是你在通常的粒子衰变里看不到的，而且这些粒子会向所有方向喷射。
再者，如果ADD模型正确，奇异的新发现将不止会有黑洞和引力子的KK伙伴。如果ADD和弦理论都正确，对撞机就能在几乎低至1 TeV的能量上生成弦。这仍然是因为基本引力标度在ADD模型里非常低：高维引力将在大约1 TeV的能量上变强，而量子引力会产生可测量的效应。
ADD理论的弦质量不会大到令人根本无法探测的普朗克级质量。如果你把弦当作音符，那么ADD观点里的弦远没有那么高的音调。ADD模型的低音弦所拥有的质量不会比1 TeV大很多，如果我们幸运，它们足以轻得在LHC里生成。那么，能量足够高的对撞就能大量生成这种模型里的轻弦以及一些新的物质：由许多长弦构成的弦球。
虽然这些潜在发现非常吸引人，但不要忘记，LHC的能量很可能接近于（但不会达到）产生弦和黑洞所需的能量。ADD的弦和黑洞是否可见将取决于高维引力的正确能量（当然，也取决于他们的设想是否正确）。
后续影响
ADD的建议是迷人的。谁会想到额外维度会有这么大？谁又会想到它们关系着诸如等级问题那样有着直接意义（至少对粒子物理学家是这样）的问题？但是，这个方案并不能实际解决等级问题，它只是把等级问题换成了另一个问题：额外维度会有这么大吗？对ADD图景来讲，这仍是一个突出的问题。如果没有新的、有待确认的物理原理，维度不应该大得这么超乎寻常。最起码，根据已知理论，要维持ADD假说所需要的大的平坦空间，我们仍需要超对称。在根本上，超对称能够稳定和加固大维度，不然它们将坍缩。而ADD的一个良好特征似乎就是它不再需要超对称，这就有点令人失望。
该理论的另一缺陷在于它的宇宙学意义，若要理论与宇宙演变的已知事实相符，其中的某些数字必须经过谨慎选择。体空间必须含有很少的能量，否则，宇宙学演变就会与观察现象不一致。要解决等级问题，其关键就是要消除对庞大参数的依赖。
然而，许多物理学家乐于严肃地对待额外维度理论，并努力设计方法来寻找它们。实验者们尤其激动，乔·莱肯，费米实验室的一位粒子物理学家，在描述实验者们对于大额外维度的反应时说：“对他们来说，所有‘超越标准模型’的研究都是癫狂古怪的，是超对称？还是大额外维度？谁在乎呢，额外维度不见得会更古怪。”实验者们迫切想找到一些新的东西，而除了超对称之外，额外维度又提供了另一个有趣的可能。
理论家的反应也各不相同：一方面，大额外维度似乎是古怪的，以前从未有人想到过，因为人们想不出额外维度为什么要这么大的理由；另一方面，又没人能找到理由排除它们。事实上，在写第一篇有关大额外维度的论文之前，作者之一的吉亚·德瓦利曾在斯坦福大学谈到过它们。作者们知道他们的提议有多么激进，因此等着他们的发言遭到抨击。
反对并没有那么激烈，这让他们松了一口气，可同时，也让他们感到沮丧——人们怎么可能如此平静地接受一个如此激进的观点？尼玛告诉我，当他们第一次在网上贴出论文时，他们经历了相似的感受：他们原以为会有大量的回复，不料只收到了两个。显然，只有我和里卡多·拉塔兹，一位意大利物理学家，对一些潜在的问题作出了评论。而即便是这两条信息也不是独立发出的：因为同在CERN参观，我们两人刚刚讨论过这篇论文。
后来，当物理学家领会了ADD模型的含义时，他们更加深入地研究了它于真实世界的作用，考虑了引力检验、加速器探索、天体物理结果及宇宙学含义。研究兴趣和风格不同的人，对此反应也不同。
探索标准模型细节的那些物理学家乐于接受一个可能的新观点，无论怎么说，它都是有趣的。令人惊讶的是，更多的抵触来自模型构建者，他们不愿意放弃超对称的观点。多年来，它已深入人心。我们必须承认，这么剧烈地改变标准模型将面临艰巨的挑战。
所有的新模型都必须重现标准模型已经验证的那些特点，而对标准模型作出巨大改变的理论都需经历一段艰难的时日来面对这些挑战。而且，超对称的闪光点——耦合的统一，即在高能量上所有的力都将有同样的强度，将不得不被放弃。但是，并未完全投入超对称的年轻物理学家更兴奋：额外维度还是一个新兴的、未被冷落的题目，而且提出了新的挑战和开放的问题。
来自弦理论学家的反应同样是复杂的。萨瓦斯·迪莫普洛斯开始他的项目时，他料到额外维度的研究会将弦理论和粒子物理学的距离拉近。弦理论学家确实给予了关注，但大多数人只是把大额外维度当作一个有趣的观点，认为它永远都不会对弦理论产生影响。对弦理论家学来说，问题主要是理论性的：很难理解维度怎么会像ADD设想的那么大。
就我个人的观点，即便额外维度存在，我也不相信它们有这么大。[63]这既有理论原因（我们很难得出这么大的额外维度），也有现实依据（这很难让宇宙学有所结果），这一观点似乎有点瞎猜。即使是作为主角之一的尼玛，在这一点上也持怀疑态度，但这是一个非常重要的理论观点。这个新的、以前从未被探索过的提议让我们进一步意识到我们对引力和宇宙的形状是多么无知。ADD的论文激发了大量的新思想，无论这一观点最终能否被证明是正确的，它都对物理学家的思想产生了重要的影响。大维度图景引出了有关额外维度的许多新见解，以及有关实验测试的许多新观点。
21 漫游弯曲空间王国的“爱丽丝”
●如果标准模型粒子被限制在一个膜上，那么额外维度将比物理学家原来以为的大得多：它们可能大至1/10毫米。
●额外维度这么大，它们甚至能够解释为什么引力远弱于电磁力、弱力和强力。
●如果大额外维度能够解决等级问题，那么高维引力将在大约1 TeV的能量上变得强大起来。
●如果高维引力在大约1 TeV的能量上变得强大起来，那么LHC将有机会生成KK粒子。KK粒子将从对撞中带走能量，因此，它们的印记将是有能量流失的事件。
对我很大的东西，对你很小。
如果这是我做的最后一件事，我就要让你知道。
苏珊·薇格（Suzanne Vega）
一个有关五维世界的梦
阿西娜突然惊醒了。最近她总是重复做着同一个梦，这次的梦又是从她进入兔子洞开始的。在她的梦境里，当兔子宣布“下一站，二维世界”时，阿西娜根本不想理会，就等她念到自己中意的站点。
在3个空间维度的那一站，兔子宣布：“如果你住在这里，现在就到家了。”可无论阿西娜怎么恳求，说自己真的住在这里，而且非常想回家，他就是不肯打开门。
在下一站，穿统一制服的六维居民想要进来，可一看到他们一个个庞大的腰身，兔子立即关上了电梯门，说电梯里装不下他们，要上来只能给他们强行瘦身。[64]听到兔子的恫吓，他们赶忙转身离开了。
电梯继续着它的奇异旅程。当它再次停下的时候，兔子宣布：“弯曲几何——一个五维世界。”[65]他温和地将阿西娜推向门边，告诉她：“进入哈哈镜里，它会把你带回家的。”因为兔子曾提到过第五维度，阿西娜觉得这极有可能。而她也别无选择，只能硬着头皮进入，但愿兔子没有捉弄她，说的都是真话。
当你学习一种语言时，会记住哪些词汇要看你最感兴趣和最需要的是什么。例如，我在意大利骑自行车旅行时，学到了各种各样水的表述方法——自来水、瓶装水、汽水、纯净水，等等。同样地，当一位物理学家看到一些新的物理景象时，每个人都有他自己的视点和想法，他可能注意到一个系统的某些特定方面，或发现某些已知现象的不同含义，即便面对的是同样的语言或情景，每个人听到的都是不同的东西。仔细倾听，异常重要。
我和拉曼都对等级问题思考了很多年，但开始合作时，我们并没有想到寻找解决等级问题的更新、更好的办法。如我在第17章里所说，我们在致力于一个隔离的超对称破缺模型的研究。在这一研究过程中，我们不期然地发现：在两个膜之间束缚着一个神奇的弯曲时空几何。
因为我和拉曼的焦点都聚集在粒子物理和引力的微弱上，所以我们很快认识到弯曲几何的潜在意义：如果把粒子物理学的标准模型置于这样的时空中，等级问题便迎刃而解。我不知道我们是否是第一个研究爱因斯坦的这组特殊方程的人，但我们肯定是最先认识到这一惊人含义的。
后面的几章我就将解释弯曲时空以及其他几种引人注目的可能，并说明其结果为什么有时会违背我们的预期。本章集中探讨一个弯曲的五维世界，它将帮助解释粒子物理学里极其重要的质量差异。尽管在四维量子场论里，人们预期粒子的质量大致相同，但在弯曲的高维几何里，情况并不如此。弯曲几何给出了一个框架，其中悬殊巨大的质量会自然而然地出现，量子效应也在掌控之内。在本章描述的这一特定几何里，我们会看到以下现象。
两个平坦的边界膜之间时空严重弯曲，粒子物理学的等级问题被自然而然地消除——根本不需要大的维度，也不需要任何一个庞大的参数。在这一图景里，一个膜经受强大的引力，而另一个膜不经受。时空在第五维度的方向上急剧变化，从而成功地将与两膜间隔相关联的小数转化为与引力的相对强度相关联的大数（约1亿亿）。
首先，我们将以引力子的概率函数来解释在第二个膜上引力的微弱，这一函数决定了引力子在第五维度上任一位置的相互作用。但我们也会以另一种不同的方式来解释引力的微弱，其基础是弯曲几何本身，而不是引力子相互作用的强度。我们会看到，弯曲几何的一个神奇结果就是，在第五维度上大小、质量甚至是时间都要取决于位置。在这个有两个膜的结构里，时间和空间的弯曲就像是在黑洞视界附近的时间弯曲，但在这一情境里，空间是膨胀的，时间被拉长，在其中一个膜上粒子有很小的质量——这样等级问题就自动消除了。
在讨论过弯曲几何及其对等级问题的意义后，本章最后，我们将探讨这一理论对未来实验的特殊意义，它最令人兴奋的一个方面是：与上一章的大额外维度一样，如果该理论正确，不久它就将在粒子加速器里留下可观察的结果。事实上，我们会看到，它们的印记甚至比我们曾探讨过的能量流失的印记还要显著。引力子的KK伙伴虽然来自高维空间，却是很容易辨认的可见粒子，它将衰变成我们四维空间膜的熟悉粒子。
令人惊讶的弯曲几何
在本章中，我们将探讨的空间几何包含两个膜（见图20-1），它们是第五维度的边界，这一构成与我们在第17章中探讨过的构成类似：都有两个膜，而两个膜之间延伸着第五维度。然而，这是一个全新的理论，粒子和能量的分布都不相同，而且理论中也没有超对称。可是，与那个理论一样，我们都认为标准模型的所有粒子以及引起弱电对称破缺的希格斯粒子，都被限制于其中一个膜上。
图20-1 有两个膜的五维弯曲几何。宇宙有5个时空维度，而标准模型只居住于四维的膜上（弱力膜）。在这一构成中，时空维度的总数也是5个，而空间维度是4个，其中三维在膜上延伸，而另一维延伸于两膜之间。
如前所述，在这一情景里，我们假设引力是存在于第五维度中唯一的力，这就意味着，如果不是引力，每个膜都将与传统的四维宇宙一样。
被限制于膜上的规范玻色子和粒子会传递力并互相作用，就像第五维度根本不存在一样；标准模型粒子只在有三个平坦维度的膜上穿行，力也只沿着膜的三维平坦表面发散。
然而，引力却不同，因为它没有被限制在膜上，而是存在于整个体空间里。所以在第五维度上，我们处处都能感受到引力，但这并不意味着我们感受到的引力处处都相同。在膜上和在整个五维体空间里的能量会使时空产生弯曲，这就使得引力场产生了巨大的差异。
上一章的大额外维度利用了膜能束缚粒子和力的事实，却忽略了膜本身所承载的能量。我和拉曼并不确信这个假设一定就好，因为爱因斯坦广义相对论的一个核心要素是：能量导致了引力场。这就意味着当膜承载能量时，它们能弯曲空间和时间。我们意图探讨的是只有一个额外维度的宇宙，在这样一个宇宙里，没有任何证据显示膜和体能量可以忽略不计：膜的引力效应不会那么快就消散，因此即使在远离膜的地方，我们仍可以想象时空会有弯曲。
我们想知道，当两个高能量的膜束缚着额外维度空间时，时空将产生怎样的弯曲。我和拉曼解开了这一两膜结构的爱因斯坦引力方程，并假设在空间和膜上都存在能量，我们发现这种能量真的非常重要——它们导致时空产生了极大的弯曲。
在有些情况下，弯曲空间很容易描画，例如一个球体的表面是两维的——你只需知道经度和维度就可以确定你的位置，但它显然是弯曲的。但是，许多弯曲空间因为在三维空间不容易表现，所以很难勾画。现在我们要探讨的这一弯曲时空就是这样，它是叫作反德西特空间（anti de Sitter space的一个时空组成部分，反德西特空间有负曲率，不像球而更像品客薯片。其名称源于荷兰数学家、宇宙学家威廉·德·西特尔（Willem de Sitter），他研究的是一种正曲率空间，叫作德西特空间（de Sitter space）。尽管现在我们不需要这一名称，但后面当我们将这一理论与弦理论学家一直研究的反德西特空间理论联系起来时，将会涉及它。
在探讨五维时空弯曲的有趣方式之前，我们先看看第五维度两端的两个膜，这两个边界膜是完全平坦的。如果你在其中一个膜上，那么你会困在一个三维加一维的世界里（三维空间，一维时间），[66]这一世界在三个空间维度里无限延伸，俨然是平坦的时空，没有任何特别的引力效应。
而且，弯曲时空有一个奇异的特点：如果你把自己限制在沿着第五维度的任一薄片上，而不仅仅是两端的膜上，你都会发现这个薄片是完全平坦的。也就是说，尽管在第五维度上，除了两个边界外并非处处都有膜，但如果把自己限于五维空间的任一点上，你由此得到的三维加一维的几何表面看上去都是平的，它与边界的两个大的平坦膜有着相同的形状。如果你把边界膜看作一个长面包两头的外壳，那么在时空第五维度任一点上平坦、平行的四维区域就像从面包里取出的任一平坦的切片。
但不管怎么说，我们探讨的五维时空是弯曲的，四维平坦时空的切片沿着第五维度粘连在一起的方式就可以反映出这一弯曲。我第一次谈起这种几何是在圣塔芭芭拉的卡夫里理论物理研究所。在那里，弦理论学家汤姆·班克斯（Tom Banks）告诉我，从专业角度来看，我和拉曼发现的五维几何是弯曲的。尽管有许多弯曲时空在日常口语中都被说成是弯曲的，但专业术语所指的几何是其中的每一切片都是平坦的，[67]它们会被一个整体弯曲系数连在一起。弯曲系数是改变整体标度的函数，它随着在第五维度上不同点的位置、时间、质量和能量而不同。弯曲几何的这一神奇特征非常微妙，下一节里我将进一步解释。弯曲系数还反映在引力子的概率函数和相互作用上，我们也将很快进行探讨。
图20-2画的是一个有着平坦切片的弯曲空间。这是一个实心漏斗，我们可以用刀将漏斗切成平整的薄片，但漏斗表面明显是弯曲的。在某些方面，这就像是我们正探讨的五维时空，但这种比喻并不十分恰当，因为在漏斗里，唯一弯曲的地方是漏斗的边界，即它的表面，而在弯曲时空里，处处都存在着弯曲。这种弯曲可以通过在整体上重新标度空间标尺和时钟速度来刻画，它们在第五维度的每一点都是不同的。
图20-2 一个实心漏斗是由许多平坦切片粘连在一起形成的。
说明弯曲时空曲率的一个更为简单的方法是通过引力子概率函数的形状。引力子是传递引力的粒子，它的概率函数说明在空间某个特定位置找到引力子的概率。引力强度也反映在函数中：它的值越大，引力子在那一点的相互作用越强，引力强度就越大。
对平坦时空而言，引力子出现在各处的概率都一样，因此，平坦时空的引力子概率函数是恒定的；但对弯曲时空，正如在我们所考虑的弯曲几何中一样，情况不再如此，弯曲给我们揭示了引力的形状，当时空产生弯曲时，在时空的不同位置上，引力子概率函数的值是不一样的。
因为在我们的弯曲几何中，时空的每个切片都是完全平坦的，在沿着三个常见的空间维度上，引力子的概率函数没有变化——它只在第五维度上发生改变。[68]换句话说，即使引力子在第五维度上每个点的概率函数值不同，但只要两点到第五维度的距离相同，它们的值就是相同的。这告诉我们，引力子的概率函数只取决于在第五维度上的位置，但它能完全代表时空弯曲的特征。因为这个函数只随一个坐标的改变而改变，即第五维度坐标，因此很容易描绘。
沿着第五维度，引力子的概率函数如图20-3所示，我们称第一个膜为引力膜，第二个膜为弱力膜。离开第一个膜向第二个膜靠近时，概率函数陡然下降。引力膜与弱力膜不同，前者携带正能量，而后者携带负能量，这种能量分布使得引力子在引力膜附近的概率函数要大许多。
图20-3 引力子概率函数。在远离引力膜靠近弱力膜的过程中，引力子的概率函数呈指数级陡然下降。
概率函数陡降的结果是，在弱力膜附近很难发现引力子，而引力作用正是通过这种粒子的交换才产生的。因此，引力子的相互作用在弱力膜上受到了高度抑制。
引力的强度如此强烈地依赖于第五维度上的位置，以至于在界定弯曲的五维世界两个端点的膜上所经受的引力强度有着异常大的差距。引力在它定域的第一个膜上强，而在标准模型所在的第二个膜上弱。因为引力子的概率函数在第二个膜上小得可以忽略，因此引力子与被困于这个膜上的标准模型粒子的相互作用也极其微弱。
这告诉我们，有希望在这一弯曲时空中发现可观测质量与普朗克级质量之间的等级差异。虽然引力子无处不在，但它与引力膜上粒子的相互作用远强于与弱力膜上粒子的相互作用。引力子并不总是在那里逗留。引力子在弱力膜上的概率函数极其微小，如果这一图景与真实世界相符，那么这个微小的值就决定了我们所处世界中引力的微弱。
在这个模型里，弱力膜上微弱的引力并不要求两膜之间有巨大的距离。一旦离开引力子概率函数高度集中的引力膜，引力就会呈指数级衰减，从而使弱力膜上的引力变得微弱。因为引力子概率函数陡然下降，引力在弱力膜上（我们居住的地方）被高度抑制。即便两个膜相隔非常近，它也会比没有弯曲时的强度弱1亿亿倍。
理论的这一方面，即两个膜并不需要相隔很远，使得这一模型远比大额外维度要更为现实。尽管大额外维度是对等级问题的诱人诠释，但直到最后，它还留有一个没有解释的庞大数字——额外维度的大小。在我们现在讲述的理论里，即便弱力膜与第一个膜（引力膜）只相隔很短的距离，弱力膜上的引力仍比其他的力要弱多个数量级。
在这一弯曲几何里，两膜之间的距离只需比普朗克长度稍大一点。大维度图景需要引进一个庞大的数字，即维度的大小，而在弯曲几何中，无须一个特别设计的庞大数字来解释等级。这是因为指数会自动地把一个适中的数转化成一个极为庞大的数（指数）或一个极小的数（指数倒数）。
在弱力膜上，引力强度非常微小，它的强度随两膜之间的距离而呈指数级衰减。[69]不同质量间的比值约为1016（1亿亿），如果弱力膜在引力膜外16个单位距离处，[70]就可以预见普朗克级质量（这一庞大的质量告诉我们引力很微弱）与希格斯粒子（弱力规范玻色子）质量的庞大比值。这意味着两个膜之间的距离只要比最直观的猜想再大16倍，就足以解释等级问题。16个数量级听起来很大，但比起我们试图解释的1亿亿，已经小多了。
多年来，粒子物理学家一直希望为等级问题找到一个指数级的解释，也就是说，我们希望把以前不能解释的庞大数字解释为一个自然发生的指数级函数的结果。现在，通过引入额外维度，我和拉曼发现了一种使粒子物理学能自动兼容一个指数级质量等级的方法。在我们的膜上，即弱力膜上，引力的相互作用比其在引力子概率函数的高峰值上要低许多。因为在我们的膜上引力被弯曲几何所削弱，如果标准模型被局限在弱力膜上，等级问题便解决了。这就是等级问题的解决方案，这一结果正符合我们的期望。
还有一种方法可以用来理解弯曲几何这一令人瞩目的新特征，我们来看看引力是怎样被削弱的。在第19章中，我们以引力线的方式解释了ADD图景里引力的微弱问题：从一个有质量物体放射出的引力线，由于在整个大的维度里发散而被削弱。根据我和拉曼的观点，这种削弱还可以解释为引力子概率函数的结果。
这一概率函数告诉我们引力在空间中是如何发散的。在大额外维度的图景中，引力在额外维度里的每个地方都同样强大，在这种情况下，引力子概率函数就是平坦的。这一平坦的概率函数告诉我们，引力子——传递引力的粒子，遍布于由额外维度包围的庞大区域中，而这个在整个额外维度空间均衡分布的平坦概率函数表明，引力的作用在四维里被大大削弱了。
在我们现在考虑的弯曲的五维时空里，有一种有趣的弯曲：引力子在引力膜和弱力膜两个边界之间的五维空间出现的概率不再处处相同。作为膜所承载的能量和空间能量的自然结果，引力子的分布事实上根本不均等。引力子的概率函数会有所变化：它在一个区域很大，而在其他所有区域都很小。正是这种变化提供了一个分散系数，使得引力在我们的世界里这么微弱。引力在弱力膜上非常微弱是因为引力子在那里的概率函数极小。
现在，我们再回到早先用来解释引力强度随距离减弱的洒水装置的例子。洒水装置喷洒的区域越大（见图20-4中上图所示），水分散得越广。当额外维度很大时，引力在一个大区域里也会被削弱。因此，在一个低质量的四维有效理论里，引力看起来就很微弱。
而弯曲几何与第三个洒水装置类似，它并不是将水均演示地洒向所有方向，而是偏向某个特定区域，即靠近引力膜的区域（见图20-4）。有了这样一个不公正的洒水装置，很显然，除了受偏袒的区域外，其他各处得到的水会更少。如果由受偏袒地方到其他地方所得到的水量呈指数级地下降，那么其他地方的水的比例就很小了，即使它们离水源并不远。显然，由“弯曲的”洒水装置提供的水量，比起向所有区域均衡分布的水量要减少得更快。
结果就是，如果所有标准模型粒子都局限在弱力膜上，那么引力就比其他3种力微弱很多，这也就解决了粒子物理学中的等级问题——即引力为什么比其他力微弱。微弱的引力是引力子概率函数在弱力膜上振幅很小的自然结果，即使弱力膜离引力膜只有相对较小的距离（大约比弦理论偏爱的普朗克长度大10倍）。
图20-4 三个不同的洒水装置。第一个与第二个相比，我们看到的水管越长，浇在一个特定区域内的水就越少。第三根水管显示，水的分布可以是不均衡的，这样，第一个花园总能得到一半的水量，而第二个花园得到1/4的水量，依此类推。在这种情况下，浇给第一个花园的水量与水管的长度无关，它总能得到一半的水量。
卷曲宇宙的伸缩
用概率函数的指数级陡降来解释等级问题，已足以让我们理解弯曲的时空。对微弱引力的直观解释是：在弱力膜上不太可能找到引力子。是否接受这个解释要由你自己决定，你也可以跳过这一节，但或许你愿意读下面这一更严格的解释，它进一步探讨了弯曲时空的神奇属性。
我们会在这一节看到：弱力膜上引力的微弱还可以解释为物体随我们从引力膜靠近弱力膜时逐渐变大、变轻的结果。如果阿西娜从引力膜向弱力膜移动（下一章的故事里，她会这么做），她会看到自己在引力膜上的影子越变越大。这个影子会长到非常大——它将增大16个数量级！
我们还会看到，在这个几何空间里，轻、重粒子可以和谐共存：如果在其中一个膜上有普朗克级质量的粒子，那么另一个膜上就只能有弱力级质量的粒子。因此，等级问题不复存在。
我们可以这样来理解它的运作机制：假设你与大多数人一样（至少是那些没读过此书的人），对第五维度一无所知——毕竟，它是看不见的，你泰然地相信自己居住于一个四维世界里，只知道四维引力，并且认为它是由一个寻常的四维引力子传递的。在描述我们所见现象的四维有效理论里只有一个引力，因此也就只有一种类型的四维引力子。所有粒子都会与这同一种引力子相互作用，但那个引力子并不包含粒子在原来的高维理论中位置的任何信息。
这种推理使它看起来就好像是，所有引力子的相互作用都应该是一样的，而不管一个物体来自第五维度的什么地方。毕竟，你并不知道这个物体来自第五维度，甚至根本不知道还有个第五维度。决定引力子作用强度的牛顿引力常数，也将是决定所有四维引力作用强度的唯一的量。但我们在上一节里看到，当你从引力膜向弱力膜移动时，引力作用会越来越弱，这就引出了一个问题：引力强度是怎么容纳物体在第五维度的位置信息的？
这一矛盾的解决方案取决于一个事实：引力与质量成正比。而在沿着第五维度的不同点上，质量可以且一定是不同的。要重现引力子作用在第五维度的切片上渐次减弱，唯一的办法是以不同的方式测量每个四维切片上的质量。
弯曲时空有许多引人瞩目的属性，其中一个是：当你从引力膜向弱力膜移动时，能量和动量会减小。减小的能量和动量（与量子力学和狭义相对论一致）告诉我们，距离和时间一定会膨胀（见图20-5）。在我所描述的这一几何里，大小、时间、质量和能量都依赖于位置。四维世界的大小和质量所承继的值要依赖于它们在五维世界的起始位置。物理现实看起来是四维的，但测量长度的标尺或测量质量的标度，都取决于五维的起始位置。引力膜或弱力膜上的居民看到的都是四维世界，但他们会测得不同的大小，并预期不同的质量。
在原来的五维理论里，远离引力膜的粒子的引力作用在四维有效理论里较小，因为其质量本身很小——在第五维度的每一位置上，质量和能量都会被重新标度，这取决于与引力子概率函数在那一点的振幅成比例的量。而用以重新标度能量的量，即弯曲系数，随距引力膜变远而减小。事实上，它的图形与引力子概率函数的形状完全一样。因此，在沿着第五维度的每个点上，质量和能量会以不同的系数缩减——弯曲系数决定其将缩减多少。
图20-5 随着从引力膜向弱力膜的移动，尺度会增大（而质量和能量则会减小）。
这种重新标度看似随意，实际并非如此，让我们来看一个类似的情景。假设我们要以火车行驶160公里需耗时多久来计量时间，我将这种时间单位称作TT（火车时间）。这是一种很好的时间计量方式，只是时间的确定要看你是在哪里乘火车旅行：火车行驶速度是快还是慢？例如，假设一部电影要放映两个小时，如果在美国一列火车行驶160公里要花费1个小时，那么一个美国观众看完整部电影，火车就要行驶320公里，我们就可说这部电影持续的时间长度是2TT；而在法国乘TGV旅行的观众则认为这部电影长度是6TT，因为法国的高速列车比美国火车要快3倍，法国观众要看完整部电影需列车行驶600公里的路程。
法国的列车20分钟能行驶100公里，而美国的列车要行驶同样的路程则需1个小时，因此，如果你想使美国和法国观众的时间单位相同，对电影的TT长度取得一致，那么你就需要按比例重新标度火车时间。要将法国时间换算成美国时间，你就需要将法国火车时间乘以系数3。
同样地，在弱力膜上（其引力子相互作用远小于引力膜），为了考虑引力的微弱，用以测度能量的标准单位必须重新标度。这种重新标度是通过一个巨大的量：1016，即1亿亿。它的含义是，虽然在引力膜上所有的基本质量都应是MPI（普朗克级质量），但在弱力膜上，它们大约只能是1 000 GeV，是其1/1016。处于弱力膜上的新粒子的质量可能会大一些，兴许是3 000或5 000 GeV，但它们不可能大太多，因为所有的质量都被极大程度上重新标度了。
当所有的质量都被提高至最大质量左右时，就出现了等级问题。如果那个质量是普朗克级质量，那么所有质量都应和这一质量一样大。由于这种重新标度，如果引力膜上所有东西的期望质量是普朗克级质量，那么在弱力膜上的预期质量则是小16个数量级的1 TeV。[71]这就意味着，希格斯粒子的质量根本不是问题：即便引力非常微弱，我们仍可以期待它的质量约为1 TeV——比普朗克级质量小1亿亿倍。这一解释的根本是重新标度解决了等级问题。
依此类推，在弱力膜上所有的新物质，包括弦在内，其质量大约都应该是1 TeV左右。这告诉我们，这一模型会产生戏剧化的实验结果。在弱力膜上，与弦相关的额外维度粒子要比它在引力膜上轻许多。从发现额外维度的角度来看，弱力膜呈现出了一个绝妙的图景，如果这一观点正确，那么来自额外维度的低质量粒子将触手可及——在弱力膜上会有大量的TeV质量的粒子。
弱力膜上的所有东西都应该比普朗克级质量轻1016倍。根据量子力学，质量越小意味着尺寸越大，在从引力膜走向弱力膜时，阿西娜的影子也会变大。这告诉我们，在弱力膜上，弦的大小也不会是10-33厘米，而是要大1016倍，即10-17厘米。
尽管我集中探讨的是一个有着特定弯曲系数的两个膜的情景，但我们考虑的特点很可能比这一特例更具一般性。通过额外维度，我们有很好的理由预期差异很大的质量。粒子物理学中关于质量都应相差无几的直觉意识被打破了，可以预想范围很大的质量。不同位置的粒子自然会有不同的质量，它们的影子会随你的四处游移而变化。在我们的四维世界里，其结果就是跨度很大的尺度和质量，这正是我们观察到的。
进一步发展
当我们以弯曲几何解释等级问题的论文在1999年发表时，大多数同行并没有意识到：这是一个与大维度观点完全不同的全新理论。乔·莱肯对我说：“反应是慢慢建立起来的。起初没有反应，但渐渐地，所有人都明白了这篇论文（还有另外一篇，我在第22章中会讲到）意义重大，包含全新的、原创的观点，且开辟了一个全新的观念领域。”
在我的论文发表后的几个月里，人们总是要我谈谈自己关于“大额外维度”的研究，我不得不一遍遍地纠正，说我们理论的精要恰恰在于维度不是大的！事实上，粒子物理学家马克·怀斯（Mark B.Wise）就曾嘲笑过我在2001年轻子光子会议闭幕式上的发言题目。那是一次重要的粒子物理学会议，会上，实验者们报告了他们重要的实验结果，大会组织者指派给我的题目涵盖了有关额外维度的所有研究，可就是不包括我自己的！
马克和他当时的学生沃尔特·戈德伯格（Walter Goldberger）是最早领会弯曲图景意义的两个人，但他们也发现，我和拉曼的研究结果中还留下了一个潜在的漏洞，需要得到补充。我们原以为膜动力学会自然地隔绝两个膜，但我们并没明确说明两个膜之间的距离是怎样被确定的。这不仅仅是一个细节问题，我们的理论要解决等级问题，就必须能够很容易地将两膜固定在一个小而有限的间隔上。结果，距离的反指数函数（我们希望它极度微小）而非距离自身很可能会成为一个适中的数。如果这样，弱力级质量与普朗克级质量之间预言的等级差别将会是一个适中的数，而不是（小得多的）这个数的指数倒数——这样我们的解决方案就失效了。
