马克和戈德伯格做了重要的研究，弥补了我和拉曼理论的危险漏洞。他们证明：两膜之间的距离是一个适中的数，而这个距离的指数倒数极其微小。这正是我们的解决方案发挥作用所必需的。
他们的观点非常完美，而且最终证明比人们当时所认识到的更有效。结果是，之后所有的稳定模型都与他们的极为相似。
马克和戈德伯格提出，除了引力子之外，在五维体宇宙里还居住着一个大质量的粒子，他们假设这个粒子的属性就像弹簧一样。通常来说，弹簧有一个自然长度，变长或变短都会让其携带能量，使它运动。对他们引进的这个粒子（以及相应的场）而言，场和膜的平衡结构将包括一个适中的膜间距——这又是我们解决等级问题所要求的。
他们的方法依赖于两个相互竞争的效应，其中一种效应偏爱一个较大的膜间距，而另一种则偏爱较小的膜间距，不过结果是一个稳定的折中位置。两种相互抵制的效果结合起来自然地导致了一个两膜模型，在这个模型里，两个膜之间就有适当的距离。
马克和戈德伯格的论文让人们明确了有着弯曲空间的两膜图像确实是等级问题的解决方案。把两膜之间的距离固定下来之所以重要，还有另外一个原因：如果两膜之间的距离没有确定，随着宇宙演变过程中温度和能量的变化，两个膜可能靠近，也可能远离。如果膜间距会改变，或者说，如果五维宇宙的不同边界会以不同的速度膨胀，那么，宇宙的发展就不会是我们看到的四维世界应有的样子。因为天体物理学家已检验了宇宙发展后期的膨胀，我们最近已知道，宇宙膨胀就表现为它好像是四维的。
使用戈德伯格-怀斯的稳定机制，弯曲的五维宇宙就与宇宙学观察相吻合了。一旦两膜的相对距离固定下来，那么即便宇宙实际是五维的，其发展也会如四维一样。即使有第五维度，但稳定性对于沿着第五维的不同地方有着严格的限制，使它们必须以相同的方式发展演变，这样，宇宙的表现就像它在四维里一样。因为戈德伯格-怀斯的稳定机制可能出现得相对更早些，因此在大部分演变过程中，弯曲宇宙看起来就像是四维一样。
一旦人们领会了稳定性和宇宙学的意义，等级问题的弯曲几何解决方案便开始发挥功效。随后，相继涌现出了其他多种关于弯曲几何的有趣发展，其中一个就是力的统一。在我们探讨的弯曲几何里，所有的力，包括引力，在高能量上都可能统一起来。
弯曲几何与力的统一
在第13章里，我解释了超对称获得青睐的一个重要原因是，它能成功地容纳力的统一，解决等级问题的额外维度理论似乎要摒弃这一有重大潜力的成果了。既然我们没有找到任何结论性的实验证据，例如质子衰变，那这未必就是一个重大损失，因为我们还不肯定统一是正确的。但不管怎么说，三条线交于一点总是神奇的，而且可能预示了某种有意义的东西。即便统一还未被完全确立，我们也不应急于放弃它。
巴塞罗那大学的西班牙物理学家亚历克斯·波马罗尔（Alex Pomarol）发现，在弯曲几何里也会出现力的统一。但他所探讨的情形稍有不同：电磁力、弱力和强力不是被限制在膜上，而是出现在整个五维体空间里，标准模型的规范玻色子——胶子、W子、Z子和光子没有固定在3+1维的膜上。
根据弦理论，规范玻色子可能被困在一个高维的膜上，或者与引力一样，也可能在空间里。引力子肯定是由一个闭合弦形成的，而规范玻色子和带荷的费米子则不同，它们对应的既可能是开弦，也可能是闭弦——这取决于模型。根据它们的形成来源，规范玻色子和费米子要么被困在膜上，要么可以自由地穿行于体空间中。
在大额外维度的图景里，倘若非引力的力出现在体空间里，它们会过于微弱，不符合我们的观察。在体空间中，力会在一个庞大的空间里散播，因此，就与引力一样，它们会被大大地削弱，而这是不可接受的，因为我们已测知力的强度要远远大于这一理论所作出的预言。
但是，如果像在弯曲几何里一样，额外维度并不大，那么非引力的力很可能会出现在五维体空间中，能够削弱它们的只有额外维度的大小，而不是弯曲——在弯曲图景里，额外维度的尺寸很小。这就意味着，描述世界的真正理论很可能会让整个体空间经受所有4种力。这么一来，不仅仅是膜上的粒子，在体空间里的粒子也能够感受到电磁力、弱力和强力，同时还有引力。
如果弯曲图景里的规范玻色子出现在体里，那么它们的能量要远远大于1 TeV，经常来往于体空间的规范玻色子会经受由低到高的各种能量强度。它们不再被锁在弱力膜上，可以在体里四处穿行，它们所拥有的能量可以高达普朗克级能标。只有在弱力膜上，能量才必须小于1 TeV，因为力将会在空间里，因此可以在高能量上运行，力的统一则成为可能。
这是令人振奋的，因为它意味着在高能量上力能够统一起来，即使是在一个有额外维度的理论里。波马罗尔发现了这一有趣的结果，统一真的出现了，就好像理论是真的四维的一样。
但是，事情发展还在向更好的方向前进：统一和弯曲等级机制可以结合起来。波马罗尔证明了力的统一，但他认为超对称解决了等级问题。但等级问题的解决只需要希格斯粒子被束缚在弱力膜上，以使它的质量约等同于弱力级质量——在100 GeV和1 TeV之间，而规范玻色子则不必被困在上面。
在弯曲几何里，等级问题的解决需要保证希格斯粒子保持在较轻的质量水平上，这是因为希格斯场导致了自发对称破缺，而这是所有基本粒子质量的来源，只有弱力对称被打破，规范玻色子和费米子才会拥有质量。只要希格斯粒子具有弱力级质量，弱力规范玻色子的质量最终总会正确。等级问题的弯曲引力解决方案实际上只要求希格斯粒子处在弱力膜上。
所有这些意味着，如果希格斯粒子在弱力膜上，而夸克、轻子和规范玻色子都在体空间里（见图20-6），那么你就既能拥有蛋糕，又可以享用它。这样，弱力标度就会得到保护，大约是1 TeV，但统一仍可以出现在高能量上——在大统一级别上。我以前的一个学生马修·施瓦茨（Matthew Schwartz）和我一起证实了超对称不是唯一能兼容统一的理论——弯曲的额外维度理论也能做到！
图20-6 体空间里的力。非引力的力也可以出现在体里，在这种情况下，力就可以在高能量上统一起来。
实验意义
弱力膜上的自然标度大约是1 TeV，倘若这一弯曲几何图景被证明是我们世界的真实描述，那么瑞士CERN大型强子对撞机的实验结果将是极不平凡的。弯曲的五维时空的印记可能会包括卡鲁扎-克莱因粒子、反德西特空间的五维黑洞以及TeV质量级的弦。
弯曲时空的KK粒子可能是这一空间几何最容易得到的实验先驱，如前所述，KK粒子是有着额外维度动量的粒子，但这一模型的新特点是，因为空间是弯曲而非平坦的，KK粒子的质量将反映弯曲几何的独特秉性。
因为我们唯一确信能够在体里穿行的粒子是四维引力子，现在我们就集中考虑它的KK伙伴。正如在平坦空间里的情况一样，最轻的引力子KK伙伴将是那些在四维世界里根本没有动量的粒子，这个粒子与一个真正源于四维的粒子不可区分：它是能够在看似四维的世界里传递引力的引力子，也是我们在本章仔细研究过其概率函数的引力子。
如果没有额外的KK粒子，引力的表现将与它在真正的四维宇宙里完全一样。在这一图景中，宇宙暗地里是五维的，但表现如四维引力子的粒子不会显露出这一事实。如果没有更重的KK粒子，阿西娜的世界在她看来实际就与四维世界一样。
只有质量更大的KK粒子才能泄露五维理论的秘密，但它们又必须轻得足以生成。在这一理论里，要计算KK粒子的质量却有点棘手。由于几何与众不同，KK粒子将不会像在平坦空间的卷曲额外维度里那样，拥有与维度大小成反比的质量。这一质量将会极为令人惊讶，因为对于我们探讨的小额外维度来说，它将是普朗克级质量。在弱力膜上，任何重于1 TeV的东西都不能存在。因此，我们当然不可能在那里发现有普朗克级质量的东西。既然1 TeV是与弱力膜相关的质量，那么当你将弯曲时空考虑在内，并正确计算出KK粒子拥有大约1 TeV的质量时，就不是什么意外了。像我们假设的那样，当第五维度在弱力膜上终结时，无论是最轻的KK粒子，还是依次加重的KK粒子之间的质量差，最终都会是1 TeV左右。大量KK粒子累积在弱力膜上（因为它们的概率函数在这里达到高峰），它们就拥有了弱力膜粒子的所有属性。
这意味着引力子会有一些重KK伙伴，它们的质量大约为1 TeV、2 TeV、3 TeV等，依据LHC最终能达到的能量，我们极有可能找到其中的一个或多个。与大额外维度图景里的KK伙伴不同，这些KK伙伴相互作用的强度远比引力大得多。
这些KK粒子并不像四维引力子那样只是微弱地相互作用——它们的作用强度要高出16个数量级。在我们的理论里，引力子KK伙伴的作用如此强烈，以至于对撞机产生的任何KK伙伴不仅会立即逃出我们的视线、挟走能量，而且不会留下任何可见信号。相反，它们会在探测仪里衰变成我们能够探测到的粒子，可能是μ子或电子，我们可以用它们来重建派生它们的KK粒子（见图20-7）。
图20-7 KK粒子的生成示意图。两个质子对撞，一个夸克和一个反夸克互相湮灭生成一个引力子的KK伙伴。KK粒子接着衰变成可见粒子，比如一个电子和一个正电子，灰线是质子对撞喷射出的大量粒子。
这是发现新粒子的惯常方法：研究所有的衰变产物，并由此推导出这些产物的来源。如果你发现的东西是你以前不曾知道的，那么它一定是新事物。如果KK粒子在探测仪里发生衰变，那么额外维度存在的迹象将非常明显。在我们的模型里，出现的将不仅是能量流失的征象——它没有任何确定能量流失根源的标志性意义，也不会让我们把这一模型与其他可能区分开来；真正有用的线索是被重建的KK粒子质量和自旋，它们会告诉我们许多关于新粒子身份的信息。
KK粒子的自旋值为2，这将是一个真正的身份证明，它将告诉我们新粒子与引力有关系。一个自旋为2、质量大约为1 TeV的粒子将是额外卷曲维度的有力证据。很少有模型会预言这么重的自旋为2的粒子，即便作出这样的预言，也会有其他明显不同的特点。
如果我们足够幸运，那么除了引力子的KK伙伴之外，实验还可能会生成众多其他的KK粒子，在一个标准模型的大多数粒子处于体空间的理论里，我们还可能看到夸克、轻子和规范玻色子的带荷KK伙伴。这些粒子将带荷且很重，而且它们最终会告诉我们有关高维世界的更多信息。事实上，模型构建者乔鲍·萨基（Csaba Csaki）、克里斯托夫·格罗琴（Christophe Grojean），路易吉·皮罗（Luigi Pilo）及约翰·唐宁（John Terning）都发现，在一个有着标准模型粒子的额外维度弯曲时空里，即使没有希格斯粒子，弱电对称仍可能被打破，届时实验将发现的带荷粒子就会告诉我们，这一替代模型是否与我们生活的真实世界相符。
一个更加离奇的可能性
我已描述了额外维度的许多离奇属性，但还有更加不同寻常的可能。很快，我们就将看到一个卷曲的额外维度实际上可以无限延伸，但与平坦维度不同，它仍旧是不可见的，而平坦维度若要与我们的观察相符，其大小则必定是有限的。
这一结果真令人无比惊讶，在第22章中，当我们讨论无限大的额外维度时，我们将集中探讨空间的几何形状，而非等级问题。但在这里，我要简要介绍一下，在额外维度无限的图景里同样能解决等级问题。
到目前为止，我们已探讨了一个两膜的模型：引力膜和弱力膜，两者各居第五维度的一个边界。但是，弱力膜却并不一定是世界的尽头（即第五维度的边界）。如果希格斯粒子被限制在位于一个无限大额外维度中央的另一个膜上，这样的模型也能够解决等级问题。
引力子的概率函数在弱力膜上将会很小，引力也很微弱，等级问题将与弱力膜是额外维度边界时一样得以解决。在一个有无限大的卷曲维度模型里，引力子的概率函数会在弱力膜之外继续延伸，但这不会影响等级问题的解决，因为它只依赖于弱力膜上引力子概率函数的极小值。
但是，由于维度是无限的，KK粒子会有不同的质量和相互作用，因此这一模型的实验意义就与我刚刚描述的模型不同。在阿斯本物理中心（一个激发灵感的集会地点，也正是这一原因，许多物理学家都愿意去那里徒步旅行），当我和乔·莱肯第一次谈论它的可能性时，我们并不确信这一观点能否发挥实际的作用。
如果第五维度没有在弱力膜上终止，那么并非所有的KK粒子都会很重（拥有大约1 TeV的质量），有些KK粒子的质量会很小。假设这些粒子可以探测，而实验却没有发现它们，那么这个模型将会被排除。
但我们的模型最终将是安全的，坐在公园的长椅上，望着周围美丽的湖光山色，我算出了KK粒子的相互作用（乔也做了同样的计算，不过，我想他一定是在研究中心的办公室算出来的）。这一结果告诉我们，尽管KK粒子的相互作用会很大，在未来的实验里足以让人产生兴趣，但它们还没大到让人们早该发现的地步。
假设这一模型的KK粒子存在，LHC将来极有可能生成它们，这些粒子看起来不会像大小有限的卷曲额外维度模型里的粒子。无限额外维度模型的KK粒子与那些能在探测仪里衰变的KK粒子不同，它们会逃进额外维度（与大维度里KK粒子的表现类似）。因此，如果存在能够解决等级问题的无限大卷曲额外维度和一个弱力膜，实验只能希望发现能量流失的迹象。即便如此，在足够高的能量上，流失的能量也足以向我们暗示有新事物出现。
五维黑洞与五维弦
当LHC投入运行之后，除了KK粒子以外，还有可能发现额外维度的其他一些非凡征象。尽管五维引力作用在常见能量上是微不足道的，但当对撞机生成高维粒子时，五维引力将成为主角。事实上，当能量达到1 TeV时，五维引力的作用将是强大的——它们会淹没四维引力子的微弱相互作用，在我们生活的弱力膜上（也即进行实验的地方），四维引力子存在的概率将很小。
高强度五维引力意味着，除了五维的弦以外，五维黑洞也有生成的可能。一旦能量达到1 TeV左右，位于弱力膜上或靠近弱力膜的所有东西彼此之间将发生强相互作用。这是因为，在TeV级能量上，引力和额外KK粒子的效果将是巨大的，它们将一起来促使所有事物彼此间相互作用。这种发生在所有已知粒子和引力间的强相互作用不会出现在四维图景里，它们绝对是新事物出现的信号，就如大额外维度情形一样，我们还不知道是否能达到足够高的能量，让我们看到这些新物质。如果相互作用在比1 TeV更大一些（不要高出太多）的能量上强烈发生，肯定能得到实验的验证。
尾声
等级问题的解决与TeV级能量上的实验结果有着很强的联系，但我们将看到的细节还要取决于模型。不同模型会产生不同的实验结果，这一点确凿无疑。
22 深远的通道：不为人知的无穷大额外维度
●即便膜本身是完全平坦的，但如果有体空间和膜能量出现，时空将急剧弯曲。
●本章我们探讨的模型有两个膜：引力膜和弱力膜，分别处于有限大小的第五维度的两端。空间和膜上的能量使时空弯曲。
●单一的额外维度引进了等级问题的一个全新的解决方法，在这一模型里的额外维度并不大，却是极度弯曲的。引力的强度强烈依赖于你在第五维度上的位置，引力在引力膜上强而在弱力膜上弱，我们就位于弱力膜上。
●由一个认为自己在四维世界的观察者的角度来看，如果物体来自第五维度的不同地方，它们也应有不同的大小和质量，被局限于引力膜上的物体会很重（大约为普朗克级质量），而被局限于弱力膜上的物体要轻得多，质量大约是1 TeV左右。
●如果希格斯粒子（而不是规范玻色子）被局限在弱力膜上，那么所有的力都可以统一，而等级问题也能得到解决。
●引力子的卡鲁扎-克莱因伙伴会引起非常奇特的粒子碰撞事件，它们会在探测仪里衰变成标准模型粒子。
●在标准模型粒子处于体空间的模型里，还会生成和发现其他KK粒子。
去问爱丽丝吧，那时她有3米高。
杰斐逊飞机乐队
第五维度的旅行A
当阿西娜走出梦幻世界电梯进入弯曲的五维世界时，她吃惊地发现这里居然只有3个空间维度。难道兔子是在捉弄她，假装把她带进了一个有4个空间维度的世界，而实际上却只有三维？到一个看上去与平常没什么两样的世界里旅行，还要靠这种方式，这可真有意思！[73]
一位当地居民极为殷勤地接待了这位满脸疑惑的新访客：“欢迎来到膜城[74]，这是让我们觉得无比荣耀的首都，请允许我带领您参观。”阿西娜非常疲惫，又迷惑不解，她脱口说道：“膜城看上去也没什么特别呀，就连市长也与平常的市长没什么两样嘛。”不过，她不得不承认，她实际上并不十分确定，因为她以前从未见过市长。
阿西娜说的市长早就在首席顾问柴郡肥猫的陪同下来了。肥猫的职责是监管这个城市的一些事务，这对他来说易如反掌，因为他的出现总让人出其不意——鉴于肥猫体型庞大，这尤其令人吃惊。肥猫喜欢这样对人们解释：他具备这一技能是因为他可以消失在空间里，可没有一个人明白他的意思。[75]
肥猫出现在阿西娜身边，问她是否愿意陪他四处转转，并警告阿西娜说，她最好能适应庞大的空间。阿西娜赶忙回答说，她最喜欢的舅舅实际也是非常非常胖的。肥猫看上去有点儿不相信，但仍同意带上她，他给了阿西娜一块抹了黄油的冰激凌蛋糕，阿西娜很高兴地吃掉了。然后，他们出发了。
阿西娜感到奇怪：她刚才吃掉的究竟是什么呢？现在，她感觉自己似乎是在一个五维世界的四维切片上，她一点儿也不比这个薄薄的四维切片厚多少，她惊呼：“我怎么像我的纸片娃娃一样了！只不过多莉是在三维世界里的两维纸片，而我呢，在一个四维空间里，却只有三个空间维度。”
肥猫意味深长地笑了笑，解释道：“现在你已感觉到了我总喜欢称之为‘体’的东西，你仍旧在膜城，但很快就将离开（并长大）。膜城实际是五维宇宙的一部分，但是，第五维度的弯曲如此隐秘，以至于膜城的居民完全没有意识到它的存在。膜城就在五维国的边境上，对此他们一无所知。当你刚刚到达这个城市时，你也得出了一个错误的结论，认为只有三个空间维度。全新的阿西娜，你已脱离了膜的束缚，能自由在第五维度旅行了，现在我可否提议，让我们前往目的地——一个叫作弱力膜的村庄？它就在五维宇宙的另一个边界。”
去往弱力膜村
这是多么奇异的五维之旅啊！离开膜城之后，阿西娜发现自己来到了另一个维度，而且，随着她的移动，她竟在迅速长大（见图21-1）。[76]一旁观察的肥猫注意到阿西娜脸上疑惑的表情，他宽慰道：“弱力膜就在附近，我们转眼就到。[77]那是一个可爱的地方，可是如果弱力膜上的居民因为你说有4个空间维度而嘲笑你，不要像你遇到的膜城居民那样大惊小怪。你呢，因为能看穿整个体空间，所以能看到在膜城有一个庞大的影子，比你开始的时候要大1亿亿倍。而其他几乎所有事情在你和他们看来都完全正常。”
图21-1 弯曲的五维世界。
在穿过体空间由引力膜移向弱力膜的过程中，阿西娜变得越来越大。
但阿西娜一到弱力膜，她就注意到了另一件事：四维引力子悄悄地陪伴了他们一路，现在正轻轻地拍打她的肩膀。他的动作这么轻柔，以至于她差点没有注意到。[78]
但当引力子唠唠叨叨地发出一连串的抱怨时，阿西娜是不能充耳不闻的：“如果没有顽固的等级强权的影响，弱力膜本该是令人振奋的。全副武装的强力、弱力和电磁力在弱力膜上只允许我拥有最微弱的力量。”引力子不住地抱怨，诉说他在其他所有地方是如何被对待的，尤其是在膜城，那是一个有着几个不相上下的强力的寡头社会。[79]而在弱力膜上，引力最受压制，所以这是引力子最不喜欢的地方。[80]引力子转而问阿西娜，希望她加入他的计划，从统治权威手里把权力夺过来。
阿西娜想，她最好还是赶紧离开，于是她四下寻找兔子洞，却没能找到。终于，她看到了一只小白兔，原指望他能成为一个好向导呢，可弱力膜兔子迈着那令人惊讶的慵懒步伐，不断地重复着生活多美好，后面的日子又有多长。阿西娜意识到这只兔子是哪儿也不会去的，因此，她只好又找到一只心急的兔子，跟随他终于找到了回家的路。一旦她领会了其中的物理学含义，阿西娜就非常喜欢她的梦境了——但应该注意的是，她再也没有吃到冰激凌蛋糕。
从另一个维度，怀着偷窥的意图，让我们再做弯曲时间的游戏。
瓦妮莎（Vanessa）《洛基恐怖秀》（The Rocky Horror Picture Show）
重返膜城
阿西娜惊醒过来，她那重复出现的梦境再次把她带进兔子洞。但这次，她请求兔子直接把她送回弯曲的五维世界。
阿西娜重返膜城（或者说，她认为是这样），肥猫很快出现，她急切地求助于他，期望能得到他的梦幻蛋糕，再到弱力膜上进行一次愉快的旅行。可肥猫告诉她，在这一宇宙里，没有弱力膜这样一个地方，这令她感到无比失望。[81]
阿西娜不相信肥猫的话，她认为在远处肯定有另一个膜。她自恃很了解在弯曲几何里远处的膜上引力较弱，因此自作聪明地想，或许它该叫作“微弱膜”吧。她问肥猫她是否可以去那里。
但她再一次失望了。肥猫告诉她：“没有这么一个地方，你就在膜上，再没有别的膜了。”“越来越奇怪了。”阿西娜想，显然这和以前不是同一个地方了，因为这里只有一个膜。但阿西娜不想这么快就放弃。“我可不可以自己去看看，是否还有别的膜？”她请求道，用上了自己最甜美的声音。
肥猫警告她不要这么做，他说：“在膜上的四维引力可并不保证在体里也是同样的四维引力，有一次，我几乎把小命丢在那里，差点就回不来了。”
虽然阿西娜是一个好奇心很强的女孩，有过多次历险，可她还是听从了肥猫的劝告，将它牢记于心。但她常常想，他是什么意思呢？在膜之外，究竟有些什么？她怎么才能知道呢？
弯曲时空有着非凡的属性，我们在第20章已探讨了一些，包括质量、大小及引力强度是怎样依赖于位置的。在本章中，我将给大家展示弯曲时空一个更为非同寻常的特征：即便世界实际是五维的，它也可以表现得只有四维。在进一步仔细研究了弯曲的时空几何之后，我和拉曼惊讶地发现：一个额外维度即使可以无穷大，也仍可以不被我们发现。
本章中我们将探讨的时空几何与第20章中描述的几乎完全一样，只不过正如故事里讲的那样，这一几何有个明显的特征：它只有一个膜。但这是一个异常重要的特点：因为没有另一个膜作边界，这就意味着第五维度是无限延伸的（见图22-1）。
这是一处明显的差别。自1919年西奥多·卡鲁扎提出空间的额外维度后，近100年以来，物理学家相信额外维度是可以接受的，但它们的大小一定是有限的，它们要么卷曲，要么被限制于两膜之间。无限大的额外维度很容易就被排除了，因为如果引力在这样的维度上无限远地扩散，在所有的距离尺度，甚至我们熟悉的尺度，它看上去都会是错的。人们猜想无限大的第五维度会破坏我们周围所有事物的稳定性，包括由牛顿定律束缚在一起的太阳系。
图22-1 只有一个膜的无限弯曲时空。在五维宇宙里，只有一个四维膜，标准模型就居住在这个唯一的膜上。
本章将解释为什么这一推理并不总是成立的。1999年，我和拉曼发现了一个全新的理由来解释额外维度是怎样隐藏的：时空可以极度弯曲，使得引力场高度集中于靠近膜的一个小区域内——因为非常集中，以致一个无限维度的无限延伸也无关紧要。引力并没有迷失在额外维度里，而是聚集于靠近膜的一个微小区域内。
在这一图景里，传递引力的粒子——引力子，就被限制于膜的附近，那就是阿西娜故事里的膜，我称之为引力膜。阿西娜的梦将她带入了这个弯曲的五维空间，其中引力膜彻底改变了时空的性质，从而使时空显得只有四维，虽然它实际上有五维。值得注意的是，一个卷曲的额外维度可以无限延伸，却仍能不被发现，而其他三个无限延伸的平坦维度展示了我们这个世界的物理现实。
改变时空的引力膜
可能你还记得，在第一次讲到膜时，我讲明了不愿意探索遥远的地域与真的被拘禁的区别——真的拘禁是明确禁止你离开被禁锢之地到别的地方旅行。尽管你可能从未去过格陵兰岛，但没有任何法律禁止你到那儿去，只不过我们要去一些地方很麻烦。即使没人禁止我们去这些地方，即使这些地方并不比我们曾去过的其他地方更遥远，但我们仍可能永远也不会去。
再假设一个人的腿受了伤，从理论上讲，只要他想出门，他随时都可以出去，既没有锁也没有栅栏会把他困在家里，可更多的时候，我们还是会看到他待在家里。
同样的道理，局域的引力子可以不受限制地到达无穷大第五维度的任何地方，可它仍高度集中在膜的周围，很少出现在远处。根据广义相对论，所有事物——包括引力子，都服从引力。引力子丝毫没有被削弱，可它的行为像是受膜的引力吸引，因此总是在膜的附近。因为引力子很少活动到一个有限的区域，所以额外维度可以是无限的，而又不会产生任何危险的效应将理论排除在外。
在我和拉曼的研究中，我们关注的是只有一个额外空间维度的五维时空，因此我们可以集中研究我们即将讨论的局域化机制，它使引力集中在五维时空的一个小区域内。我将假定，如果宇宙有10个或更多维度，那么局域化和卷曲的某种组合隐藏了其余的维度。那些额外的隐藏维度不会对我将描述的局域化现象产生影响，因此我将忽略它们，而只集中关注对我们的讨论至关重要的5个维度。
在我们的模型里，只有一个膜静止于第五时空维度的一端。它和我在第20章里描述的那两个膜一样，具有反射作用——撞到膜上的东西都会被弹回。因此，任何东西撞到膜上都不会丢失能量。我们现在讨论的模型只包含这一个膜，我们假设标准模型粒子就被限制在这个膜上。注意这一模型与上一章讨论的模型的差别：在上一章的模型里，标准模型粒子是在弱力膜上，而在这里，弱力膜不复存在。标准模型粒子的位置对于时空几何来说无关紧要，但对于粒子物理学来说，它却具有重要意义。
虽然在本章中我们感兴趣的是只有一个膜的理论，但我和拉曼得到的可能存在无限的第五维度的线索，却是两膜弯曲几何的奇特特征。起初我们假设第二个膜有两个作用：一是束缚标准模型粒子；二是让第五维度有一定限度。与平坦额外维度一样，有限的第五维度保证了引力在足够大的距离上会表现为四维时空的样子。
但是，一个奇怪的事实却让我们想到，第二个膜的后一个作用实际上转移了我们的注意力，要模拟四维宇宙的引力，第二个膜不是必需的。
四维引力子的相互作用与第五维度的大小实际上没有任何关系。计算显示，第二个膜无论是在原位置也好，或者离引力膜两倍甚至是10倍距离也好，引力的强度是不变的。事实上，即使我们的模型把第二个膜推至无穷远——也就是说，干脆让它消失，四维引力也将维持不变。如果第二个膜和一个有限的维度是重现四维引力所必需的，那这将根本不可能发生。
这是我们的第一个线索，我们需要第二个膜的直觉是基于平坦维度的，对于弯曲时空未必正确。在一个平坦额外维度，第二个膜对于四维引力是必须存在的。由第20章里洒水装置的比方我们就可以看清这点，一个平坦额外维度对应的是水沿着一个长长的直管均匀地洒向各处（见图20-4），[82]水管越长，浇到每个花园的水就越少。把这一推理引申出去，假设一个水管无限长，我们会看到，水量被分散得更为稀疏，实际上，在一个面积有限的花园里，根本没有浇到水。同样地，如果引力沿着一个无限延长的不变的维度发散，在这一额外维度上，它将被无限减弱到零。若要引力有四维表现，一个无限额外维度的几何必须要有超越这幅简单的直觉图像的微妙特征。事实上，弯曲时空就给出了这一必要的附加成分。
我们再回到洒水装置的比方上，来看它是怎样运作的，并以此找到上述论点的漏洞。假设你的水管无限长，而你却并非均等地把水浇到所有花园，相反，你可以控制水的分配，保证自己的花园得到充足的水量。要做到这样，你可以把一半的水浇进自己的地里，而剩下的另一半水量分给其他花园，这样，虽然离得较远的花园受到了不公平待遇，但你的花园总能保证得到需求的水量。无论水管延伸到多长，将水洒向无限远的地方，你的花园总能得到一半的水量。有了这种不公平分配，你就能得到你所需要的水量，而水管是无限延伸的，你并不知道它的长度。
同样地，在我们的弯曲几何里，尽管第五维度是无限的，但引力子的概率函数在靠近引力膜的地方总是很大。与上一章里一样，引力子的概率函数在这个膜上达到了高峰（见图22-2），并随着远离引力膜进入第五维度的距离指数式地下降。然而，在这一理论里，引力子的概率函数会无限地延伸下去，但这对靠近膜处引力子概率函数的值不会有任何影响。
像这种陡降的概率函数告诉我们，在远离引力膜的地方找到引力子的可能性是极小的，以至于我们可以忽略第五维度的遥远区域。尽管从理论上讲，引力子可以出现在第五维度的任何地方，但指数级陡降使得引力子概率函数高度集中于引力膜附近，这一情形几乎就像（却又不完全是）有第二个膜把引力子局限在一个有限的区域里。
图22-2 引力子在只有一个膜的无限弯曲时空里的概率函数。
在引力膜的附近发现引力子的概率很高，与此对应的是引力场在那里高度集中。我们可以用池塘边密集的贪嘴野鸭来比喻这一情形：通常野鸭并不会均匀地散布于整个池塘里，而常常是聚集在边上，因为那里有爱鸟人投放的面包屑（见图22-3）。因此，对野鸭的分布来说，池塘大小实际上根本无所谓。同样地，在弯曲时空里，引力把引力子吸引在引力膜周围，因此，第五维度的长度实际上也是无关紧要的。
通过想象在引力膜上一个物体周围的引力场，你也能明白为什么第五维度对引力不会产生很大影响。我们已看到，在平坦维度空间里，由一个物体发出的引力场会向所有方向发散。而如果额外维度有限，引力场线先是向所有方向延伸，然后会有一些到达边界，产生弯曲。出于这一原因，如果离一个物体的距离超过了额外维度大小，引力场线就会只沿着低维世界的三个无限维度发散。
图22-3 聚集在池塘边的野鸭。如果野鸭都集中在岸边，你只要数一数周围的野鸭几乎就等于把所有的野鸭都数全了。
而在弯曲图景里，引力场线不会在所有方向上均等分布，只有在膜上，它们才向所有方向均等延伸。在垂直于膜的方向上，它们几乎没有延伸（见图22-4）。因为引力场线主要沿膜散播，引力场看起来就几乎与一个四维物体发出的场是一样的，它在第五维度的发散非常小（不会比普朗克级长度10-33厘米大很多），我们甚至可以将它忽略。尽管第五维度是无限的，但它对局限在膜上的物体的引力场无关紧要。
图22-4 弯曲图景里引力场线的分布。在弯曲图景里，引力场线在膜上向所有方向均等发散，但离开膜的引力场线会弯向膜的方向。这样，它们基本上与膜平行，就好像第五维度是有限的。即便是维度无限，引力场也只是集中于膜的附近，而引力场线的分布就好像只有4个（时空）维度。
你还可以看到拉曼和我是如何解开这个谜题的：为什么第五维度的大小对引力强度无关紧要？回到上面洒水装置的例子，假设我们使水在整个洒水装置里的分配与陡降的引力子概率函数所产生的引力分布类似：在为你的花园浇了一半的水之后，剩下的水再分一半送到邻近的花园，再把剩下的水分一半给下一个花园，依此类推。这样，每个花园得到的都是上一个邻近花园得到的水量的一半。为了模拟第五维度上的另一个膜，我们假设到达某个地点后就停止供水，就如第2个膜会在第五维度的某个点上截断引力子概率函数；而为了模拟无限的第五维度，我们则假设水会无限远地沿着水管的长度继续浇下去。
为了证明在膜附近引力强度与第五维度大小无关，我们就要证明：不管我们在第5个或第10个花园开始停止供水，抑或我们根本不停止供水，那么最近几个花园得到的水量几乎不会因供水的距离受到影响。因此我们设想，如果供水装置在浇完最近的5个花园后停止供水会是什么情形。因为第6个花园之外得到的水量原本就已非常少，所以浇到最近几个花园的总水量与水管无限延伸浇在这几个花园里的水量只有小量的差别；而如果你在第7个花园之后停止供水，则更是相差无几。用我们这种方式分配水量，几乎所有的水都被浇在了最近的几个花园里，远处的花园，只得到极小比例的水量，这对于近处几个花园得到的水量是无关紧要的。[83]
在下一章，我将再次用到野鸭的比方，因此，我将以数鸭子的方式来解释同一件事情。有人在池塘边投食面包屑，野鸭会被吸引到岸边，如果你先数周围的鸭子，然后再数稍远一点的，很快，你再继续数几乎就没什么意义了。等到你数离岸边稍远一点的鸭子时，已没几只让你来数了。你根本不需要远离岸边继续数下去，因为只集中数岸边的这些鸭子，根本不用你再费劲了（见图22-3）。
引力子的概率函数在第二个膜之外非常小，以至于第二个膜的位置对四维引力子相互作用强度造成的差异几乎是可以忽略的。换句话说，在这一理论里，由于引力场只集中于引力膜附近，即便没有第二个膜，第五维度的长度对四维引力的强度根本没有影响。而第五维度是无限的，引力看起来仍是四维的。
我和拉曼称我们的图景为局域化引力，这是因为引力子的概率函数只集中在膜的附近。尽管严格来说，因为第五维度是无限的，引力可能泄漏进入第五维度，但由于在远处发现引力子的概率非常低，实际上它并没有这样。空间并未被截断，但所有东西仍集中在膜附近的局部区域。既然引力膜上极少有东西会伸向远处，那么一个遥远的膜对引力膜上的物理过程也就不会有任何影响。引力膜及其附近产生的东西将集中在附近一个局部区域之内。
物理学家通常称这一局部引力模型为RS2，“RS”代表的是兰道尔和桑卓姆，但“2”就容易让人产生误解——它实际指的是我们有关弯曲空间的第二篇论文，而不是指有两个膜。针对等级问题的有两个膜的图景，被称作RS1（如果我们写作两篇论文的顺序颠倒过来，这名称就不会让人产生迷惑了）。尽管你也可以如第20章后半部分简要介绍的那样，引进第二个膜解决等级问题，但与RS1不同，本章的图景于等级问题未必重要。但是，无论在空间中是否存在着针对等级问题的第二个膜，局域化引力都是一种非常激进的可能，它对长期以来人们认为额外维度必须是卷曲的假设提出了反驳，这有着重要的理论含义。
引力子的卡鲁扎-克莱因粒子伙伴
在上一节，我们讨论了引力子的概率函数，它高度集中于引力膜上。我讲的粒子发挥的是四维引力子的作用，因为它几乎只沿着膜穿行，极少会泄漏进入第五维度。从引力子的角度来看，第五维度对它好像只有10-33厘米这么大（由弯曲决定的大小，而弯曲又是由空间和膜上的能量决定的），而不是无限延伸。
虽然我和拉曼对我们的发现感到非常兴奋，但是否彻底解决了问题，我们却并不十分确信。局域化的引力子是否足以产生一个四维有效理论，使引力表现得就如在四维一样？潜在的问题是，引力子的卡鲁扎-克莱因伙伴也有可能形成引力，且由此可能大大地改变引力。
这看起来很危险，通常来讲，额外维度越大，最轻KK粒子的质量越小。对一个有着无限维度的理论来讲，这意味着最轻的KK粒子可能会呈现出任意轻的质量。又因为KK粒子的质量差也会随着额外维度的增大而减小，因此在任一有限的能量上有可能生成无限多种很轻的引力子KK伙伴，所有这些KK粒子都有可能影响引力定律并使它发生改变。这个问题看起来尤其糟糕，因为即便每个KK粒子相互作用都很微弱，但如果有太多KK粒子，那么引力作用仍旧会与四维引力看起来大不相同。
最为重要的是，因为KK粒子极轻，所以它们很容易生成。对撞机运行的能量已足以生成它们。即使常见的物理过程，如化学反应，都可能产生足够的能量形成引力子的KK伙伴，如果KK粒子携带过多的能量进入五维体空间，那么这一理论将被排除。
幸运的是，所有这些担忧最终都没有成为问题。当我们计算KK粒子的概率函数时，我们发现引力子KK伙伴在引力膜上及其附近的相互作用极其微弱。尽管有大量的引力子KK伙伴，但是它们的相互作用都非常微弱，因此不会生成太多的危险，也不会在任何地方改变引力定律的形式。如果说有什么问题，那就是由于这一理论极近似地模拟了四维引力，我们还不知道怎样以实验方法将它与真正的四维世界区分开来。引力子KK伙伴对任何可见现象的影响都可以忽略不计，因此我们没有办法区分4个平坦维度与4个平坦维度再加一个弯曲的第五维度的差别。
由引力子KK伙伴概率函数的形状，你就可以看出它们之间的相互作用有多么微弱。与引力子的概率函数一样，它告诉我们在第五维度的任一位置上发现一个粒子的可能性有多大。在我们的弯曲几何里寻找每个引力子KK伙伴的质量和概率函数时，我和拉曼遵循的基本上是标准的程序，这包括要解决一个量子力学问题。
对于一个平坦的第五维度，量子力学问题（如第6章所述）就是要找到适合卷曲维度的波，使得允许的能量量子化。[84]对我们的弯曲而无限的第五维度几何而言，量子力学问题显得大不相同，因为我们需要把使时空产生弯曲的膜上和空间里的能量都计算在内。但我们能够修改通常的程序使其适合我们的结构，结果是引人入胜的。
