拉尼尔还会吹奏萨克斯，所以当我们第一次在纽约见面时，他就提到了萨克斯，并对我说：“你知道的，斯蒂芬，我朋友奥尼特·科尔曼住在上城区。我们一起去看他，如何？”我惊讶得下巴都快掉下来了。我小时候在布朗克斯就听说过科尔曼，那是我与爵士乐即兴演奏的第一次邂逅。在我还沉浸在思绪中时，斯莫林就回道：“噢，这太棒了。”拉尼尔拿起电话，叫了一辆出租车，然后我们就来到了科尔曼位于市中心的殿堂。
科尔曼在得克萨斯州的蓝调和民间传统音乐中长大，他是自由爵士乐的主要革新者之一。那时，我正在（现在依旧在）学习被某些音乐家称为经典主流爵士乐的音乐。和研究理论物理一样，在演奏主流爵士乐之前必须掌握完整的知识体系。例如，如果你在即兴演奏时，观众指出了一个曲调，譬如“秋叶”（Autumn Leaves），那么你必须知道曲头（开始的旋律），以及余下的形式（和声与节奏的结构）。所以，经典爵士乐的即兴独奏会受到某首歌曲的结构或形式的约束。然而，我和科尔曼之间的讨论，以及我从他身上学到的东西，不仅改变了我对即兴演奏的看法，还改变了我对即兴演奏与理论物理学之间关系的认识。
科尔曼是一个温和而沉着的人，而且语言中总是充满比喻之美。当我第一次见到科尔曼时，他把我带到了自己的工作室，并且向我展示了他最喜爱的白色中音萨克斯。科尔曼把它递给我说：“试一试。”天哪，一位爵士乐传奇人物邀请我演奏他的乐器！我心中狂喜，又惶恐至极。他递给我一副干净的吹口和簧片，我便开始在某个音阶附近吹奏。我吹奏完后，他轻柔地说：“音符虽然只有12个，但你可以用这12个音符组成一篇对话，真是太神奇了。”科尔曼的话极大地鼓舞了我。接着，我们开始谈论他的即兴演奏方法——他因采用一种新的“态度”或是策略来进行即兴演奏而闻名，他称之为“和声旋律混成乐”。在一次访谈1中，他描述了这个过程：
想想那些基本的音符，不要在演奏这些音符的时候束手束脚，并认为“你迈不出这一步”，而要思考它们构成的声音，以及你能用这些声音做什么。这就是我用和声旋律混成乐在做的事情，即从一个全新的角度思考旋律、节奏与和声。这更需要依靠听觉和反应、声音和反馈，而不是任何一种我可以为你们写下来的模式。音乐并不像人们认为的那样与许多事物都有关联。
对我来说，这种观点太激进了，因为我一直认为演奏爵士乐只有一种正确的方法，即熟记所有的音阶，然后用手指弹奏出来。认真练习，提高技艺，这样你才能在和弦变化中演奏出一致而富有想象力的变调。抄录并分析你所擅长的乐器领域中大师的独奏，对我来说就意味着约翰·柯川、桑尼·罗林斯（Sonny Rollins）、德克斯特·戈登（Dexter Gordon）、查理·帕克（Charlie Parker）、韦恩·肖特（Wayne Shorter）和迈尔斯·戴维斯（Miles Davis）。不过，我和科尔曼的第一次谈话，让我想起了我在研究生时代得到的一些意想不到的建议。有一次，我正在普罗维登斯一家音像店阴暗的地下室里翻着旧乐谱，背后突然响起一道刺耳的声音。我转过头去，看到一位穿着花呢夹克的高个子老人，他自称是一位古典作曲家：你这是在浪费时间。如果你想成为一位伟大的音乐家，那么你必须知道三件事情：
• 欲要挑战规则，必先对其了如指掌；
• 音乐是关乎张力与决心之物；
• 练习，练习，再练习。
但是，当你出去玩的时候，就要把这些统统忘掉！从那以后，我再也没有见过他，但他的话一直萦绕在我耳边。我经常和我的学生分享这个故事。
与山地景观具有固定的形状一样，比如拉尼尔所居住的那座山，经典爵士乐的结构提供了由和声、旋律和节奏组成的骨干，即兴演奏在此基础上进行展开。例如，很多爵士乐曲调都来源于早期的叮砰巷（Tin Pan Alley）(11)、百老汇和好莱坞歌曲，爵士乐手将这些歌曲作为基本材料，借以发挥并进行独奏。在即兴演奏歌曲和声方面，“次中音萨克斯之父”科尔曼·霍金斯（Coleman Hawkins）是一位大师。莱斯特·杨（Lester Young）外号“总统”（Pres），他轻柔、欢快又激烈的风格与霍金斯的粗犷风格形成了鲜明的对比，这种差异正是源自两人对即兴演奏旋律的研究。在旋律、和声与节奏层面上，“爵士乐之父”路易斯·阿姆斯特朗（Louis Armstrong）和比博普(12)天才查理·帕克都是即兴演奏大师。
在和声旋律混成乐中，科尔曼有意地在即兴演奏中变换了和弦。一般来说，经典爵士乐是由和声在主调上的移动来引导音乐，而在和声旋律混成乐中，旋律、和声与声音在即兴演奏中的地位是一样的。与对称性原理一样，所有的音乐元素都是对等的。我们很难把“声音”这个词归入一个良定义(13)的概念集合中，它更像是一种隐喻，暗示着不同的爵士乐手有着不同的声音。科尔曼与帕克演奏的都是高中音萨克斯，但他们各自有各自的声音或特征——不同的音质与音响，以及安排音符与形成节奏的不同方式。一个真正的爵士迷能听其声辨其人。
相对论中的6个音符
当科尔曼进行自发的变化时，乐队的反馈将会产生新的音乐结构。标准爵士乐吉他大师马克·里博特（Marc Ribot）2观察发现，科尔曼将这些结构建立在主旨之上的方法是：
表面上，他们正在解放比博普的特定结构，实际上是在发展作曲的新结构……关于科尔曼的和声旋律混成乐的一系列规则……很明显，它是基于抓住主旨，并且解放它，让它变成多调、旋律、节奏的音乐，它与主旋律的主旨紧密相连。
主旨是一段短旋律，在一首歌中，它通常会反复出现。最著名的主旨也许就是贝多芬《第五交响曲》开头的3个音符。在整首交响曲中，主旨在不同的曲调上重现，并且被不同的乐器演奏出来。这种方法让人想起布莱恩·伊诺生成音乐的方法。两者都应用了同一个理念，即复杂的结构可以源自简单的规则或模式。认真地听一首科尔曼的曲子，你就会发现，他的独奏曲目通常是通过调制自己的乐音与音高来完成的。
在短暂的萨克斯课程之后，科尔曼问我目前正在做什么。我回道：“研究涡旋。”虽然涡旋在量子场论中很常见，但我是在弦理论（不久之后甚至超出了弦理论）的背景之下思考它们。涡旋是一些束缚能量的管状区域，在自然界中非常常见。水向水槽中流动的旋涡运动就是一种涡旋，台风和风暴的中心也是一种涡旋。即使在量子领域，磁场也可以在超导体中形成涡旋晶格，这是一个十分重要的理念，甚至足以获得诺贝尔奖。我拿出一张纸，画出涡旋给科尔曼看。他回复说，他在独奏中也采用了类似涡旋的模式。在这次会面之后，每当我倾听科尔曼的音乐时，我的听觉就会变得敏锐起来，我不仅能听到他即兴演奏的音符，还能听到其中的集合模式，就像涡旋一样。
几年之后，这次与科尔曼的会面对我的影响，在我和电子乐乐手埃琳·里乌（Erin Rioux）合作制作我的第一张专辑时体现了出来。这张名为《来了》（Here Comes Now）的专辑（图7-1）是向伊诺和科尔曼致敬的作品。专辑中包含有伊诺精通的调频音乐合成的元素，我还以生成电子节奏演奏了大量的自由爵士乐。以我之拙见，这张专辑中最好的一首歌正是科尔曼的《涡旋》（Vortex）。
图7-1 专辑《来了》的封面
注：这张发行于2014年的专辑广受好评。图片由埃琳·里乌和布兰登·桑切斯（Brandon Sanchez）提供。
拉尼尔和科尔曼向我打开了一个作为科学家与音乐家的全新视角。拉尼尔也是一位音乐家，他可以毫不费力地在音乐与科学之间做出有效的类比。我曾看到他在一次关于计算机科学的很重要的讲座上，以一种被他称为第一台数字计算机的中国古乐器开始了演讲。科尔曼虽然没有接受过科学训练，但他仍可以和我讨论物理学理念，以及如何把这些理念与音乐联系起来。一天，他对我说：“我给你提供一个模式吧。”他在纸上写下了6个音符，然后说：“把它们练熟，这有助于你演奏和弦的变化。”很遗憾，我现在还不能透露这6个音符的秘密。所以，我们来谈谈相对论吧！
作为一位年轻的理论物理学家，我虽然受到了导师的鼓励，但还是承担着一定的压力，这迫使我变得循规蹈矩。能否取得进展、获得晋升很大程度上取决于你是否受到侪辈的尊敬。一旦有迹象表明你缺乏作为一位训练有素的理论物理学家所必需的能力，就有风险被踢出局。我非常清醒地意识到，即便是在那些最富想象力的人群中，我即将提出的理念也是不受欢迎的。虽然我尽我所能地去掌握每位理论物理学家所期望掌握的传统技术，但我还是希望在心中保留对物理学的想象。这和我在音乐上的追求是一样的，即找到即兴演奏的精神表达，把我从我所练习和内化的形式主义中解放出来。与科尔曼的初次会面打开了我探究理论物理的突破口，我体会到了不随大流的自由和自信。
科尔曼冒着巨大的风险，打破了比博普和经典爵士乐的传统。他对新理念的热爱给了他打破传统的力量，一些非常酷的音乐由此诞生。本着同样的精神，我认为我也可以成为一位为了理念之美而创造理念的理论物理学家。和科尔曼改变受西方和声理论限制的旋律路径，只为了追求新的理念并表达他所听到的声音一样，我也可以操纵那些虚拟的理论世界。我意识到，在那些我所提出的推测性的科学命题中，很多（甚至是绝大多数）都有可能是错误的，但或许其中的一两个会成为理论物理领域中的突破。
多年来，科尔曼的话以及我们之间的讨论一直影响着我，促使我不断完善爵士乐和宇宙学之间的类比。正如利昂·库珀告诉我的那样，最好的类比可以让我们对物理学有新的认识，而这是应用其他方法不可能得到的。
08 无处不在的振动
在电子合成器和生成音乐出现之前，在量子宇宙学领域关于宇宙结构形成原理的争论出现之前，牛顿就出现在这个世界上了。他通过一个直观而普遍的机制，把3位数学家前辈（毕达哥拉斯、伽利略和开普勒）的工作整合在了一起。公元前500年，毕达哥拉斯开始重现他在铁匠铺中听到的泛音。通过倾听锤子敲击金属发出的声音，他用不同长度的绷紧的弦重现了锤子的重量之间的数学比例。然而，毕达哥拉斯以及其后几千年里的研究者都没有意识到，即便是最复杂的振动，其背后也隐藏着一个普适的秘密，我们可以用一个实用而优美的数学原理——傅立叶变换来描述它。
牛顿定律：一切孤立物体都有惯性
2 000多年后，即大概1600年，伽利略与开普勒依然对毕达哥拉斯的发现抱有热情。虽然他们无法从物理学上解释弦是如何奏出和谐的音符的，但是他们毕生的工作为实现这一目标打下了坚实的基础。对神圣几何与宇宙和谐的信仰使开普勒发现了行星运动定律。不过，他与开普勒都没有意识到，他们研究的运动只是一种尚未被发现的力作用的结果。接下来，该牛顿登场了。
牛顿于1643年出生在英格兰，是有史以来最有影响力的数学家和物理学家之一。他才华横溢，最痴迷的是物体的运动。在微积分和光学领域，牛顿都做出了重要贡献，而最重要的是，他是经典力学的奠基人。经典力学描述了地球上的物体的运动，比如机械的运动、抛射体的运动，甚至是伽利略从比萨斜塔上扔下的铁球的自由落体运动。牛顿证明了力是物体运动发生变化的原因，但他并没有止步于此。他希望能解释一切物体的运动，无论是地球上的物体，还是天体。他的决心促使他完成了《自然哲学的数学原理》一书，并于1687年出版。他在书中提出了作用于地球，甚至宇宙中的一切运动的力——引力。正是因为有了引力，物体才会落到地球上，行星也才会围绕太阳运动。当他用自己提出的“一般定律”去推导开普勒的行星运动定律时，他获得了巨大的成功。
由弦的振动产生的泛音虽然仍难以捉摸，但牛顿在发现三大运动定律的过程中，不知不觉地就为弦的物理学奠定了基础，后来的研究者最终得以理解了它。随着时间的推移，他的继任者共同探索着这幅拼图的剩余部分，最终得到了弦运动的图像。接着，物理学家又成功描述了波的运动，而这最终会被证明是黏合量子物理学、宇宙学和音乐的“胶水”。
牛顿的发现中隐藏的秘密就存在于支配着自然界中所有物体的一种现象。它是一根把所有运动连在一起的线，牛顿称之为惯性原理。他发现，一切孤立的物体不会旋转、加速或者减速。惯性是物体的一种固有属性，它天然地抵抗物体运动状态的变化。
牛顿第一运动定律：除非受到外力的作用，否则处于静止状态的物体会保持静止，而处于运动状态的物体其运动速度与方向会保持不变。
牛顿第一运动定律促使我们提出一个新问题：“力是什么？”为了解释它，牛顿提出了第二个运动定律。他精确地定义了“力”，把它等同于一个以特定的速率和方向运动的物体速度的变化率。如果一个物体的速度发生变化——速度增大、速度减小或改变方向，我们就说它在加速。这就是牛顿第二运动定律的本质。作用在物体上的力会使该物体加速。相反，通过观察一个物体如何加速，我们可以确定相应的力的特征。牛顿发现，当力作用在物体上时，加速度和物体的质量直接相关，且通常取决于物体的质量。
牛顿第二运动定律：作用在物体上的力F，等于物体的质量m与加速度a的乘积——
F=ma
乍看上去，牛顿所发现的惯性、力与速度变化之间的关系似乎是显而易见的，但其意义十分深远。通过这个简单的方程，我们能确定受力粒子未来的位置。实际上，这个方程的魔力正在于它的预测能力。
我的物理老师丹尼尔·卡普兰在第一天上课时写在黑板上的方程，恰好就是牛顿第二运动定律方程。当他把网球扔向空中时，他的手提供了一个力，网球向上加速运动。引力提供了另一种力，网球又向下加速运动。网球会经历加速——减速——停止，并且速度变换方向，而整个过程只用F=ma就可以表达。
为了更直观地理解加速度，我们设想牛顿正在1958年的一级方程式赛车中驾驶一辆玛莎拉蒂250F。想象一下，这个痴迷于运动的男人坐在史上最棒的赛车里该有多开心。启动引擎的那一刻，牛顿是静止的，而汽车的速度为零，但当他踩下油门时，他会感觉到自己被推向座椅靠背。当牛顿紧张地猛踩刹车时，他又会被力推向方向盘。经过一段时间的练习后，牛顿逐渐掌握了驾驶技术，并以250 km/h的恒定速度沿直线行驶。这时，速度是恒定的，所以不存在加速度，对运动入了迷的牛顿注意到没有任何力在推动他。于是，他断定：只有速度的变化才会使他感受到力，无论是被向后推向靠背，还是向前推向方向盘。相似地，当这辆玛莎拉蒂250F转弯的时候，汽车行驶方向的变化会产生明显的侧向力，有经验的司机能预见到这种力，并向这种力的方向倾斜。
在数学上，“变化”通常用符号Δ来表示。如果我们用X来表示位置，那么ΔX就表示位置的变化。速度正是位置的变化，因此我们可以写成v=ΔX，而加速度a=Δv=ΔΔX=Δ2X。用位置来表示加速度意味着我们可以把牛顿第二运动定律F=ma写成F=mΔ2X。
牛顿方程的预测能力开始显现出来，因为它表明，一个作用在物体上的力决定了物体位置随时间产生的变化。速度正是位置随时间的变化，而加速度是速度随时间的变化。因此，准确地说，速度可以写成时间的函数X（t）。同理，速度和加速度分别是时间的函数v（t）与a（t）。再精确一些说，这个方程应该写成关于时间的变化，所以牛顿方程就变成了：
将牛顿方程写成一个与加速度、速度、位置和时间相关的方程后，我们就可以得到许多信息。
宇宙结构，某种振动模式的结果
我们可以通过4种情形，来理解关于弦的基本物理知识。
情形1：不存在外力。如果不存在外力，那么F=0。假定物体的质量非零，那么，由F=ma可以得出a =Δv=0。这就是牛顿惯性定律——如果没有外力，物体的速度会保持不变。牛顿在驾驶赛车时沿直线行驶就是这种情形。当赛车运动时，它的位置以恒定速度发生变化，我们可以用一张简单的图来描述这种情况。
图像是物理学家拥有的一种精细艺术理念，是一种无价的方程可视化方法，它能揭示出一些函数中隐藏的信息。图像本身就可以被“阅读”。例如，图8-1中的速度图的斜率为零，这立即告诉我们（当然，这需要经过训练），函数不会随时间发生变化——它是恒定不变的。位置图X（t）的斜率在任意一点都等于它的变化率，并由v（t）在那一点的值给出。这是多么有用的可视信息啊！斜率越陡峭，变化率就越大，反之亦然。
图8-1 汽车的速度与位置随时间变化图
情形2：外力恒定。此时，受某个恒定外力作用的物体的牛顿方程为：
如果牛顿能凭借他在精确计算方面的天赋，稳定地踩住玛莎拉蒂250F的油门而不上下摇晃，那么他就在提供一个恒力。方程F=ma告诉我们，汽车将以恒定速度加速。这种恒力产生恒定加速度的现象，正是伽利略从比萨斜塔上扔下铁球时所观察到的景象。在这种情形下，恒力就是重力！
从图像上看，a（t）与之前的v（t）十分相似，因为它也是恒定的，而v（t）与之前的X（t）类似，因为它以恒定速度增加。问题在于，如何找出X（t）的图像。这个问题很有趣，因为它将证实牛顿方程的预测能力，即预测在某个恒力的作用下，汽车在任意时刻t的位置。基于函数在某点的斜率等于它在该点的变化率这个事实，我们可以通过这些图像得到一个理念。例如，在t=1时，我们可以得到v=1，而我们知道X（t）的变化率等于v（t）。因此，在t=1处，变化率或者说X的斜率等于1。同理，在t=2处，我们得到v=2，而X（t）的斜率等于2，余后类推，其数值单调递增。画出这种函数图形，我们就得到了图8-2。
图8-2 X（t）的抛物线图
注：斜度线位于t=1、t=2、t=3处时，X（t）的抛物线会更完美。
接下来的问题就是如何得到函数X（t）的精确形状了。在处理这个问题时，牛顿发现，他所掌握的数学工具远远不够。他需要一种能描述物体在任意特定时刻的运动方式，而不仅仅是在一段时间内的运动方式的工具。莱布尼茨对物理学、语言学和政治学均做出了贡献，此时他也正在德国思考同样的问题。令人难以置信的是，出于想要理解物体在最小可测量变化时的运动的愿望，牛顿与莱布尼茨各自独立地创建了数学的一个分支——微积分，它正是描述变化的数学。
既有的符号被描述瞬时变化率的导数替代，时间间隔t也变成了无穷小的间隔。有了导数，我们就得到了一种新的数学构造，即微分方程。描述一个物体在恒定的外力作用下的牛顿方程就变为：
从图像上看，一个函数的一阶导数是它在某一点的斜率，而二阶导数转变成了函数图像在该点的弯曲程度。我们需要找到满足这个方程的位置函数X（t），以使它的二阶导数在任意时刻都是常数。在这一点上，大多数数学家与物理学家都不吝于根据已有的关于函数及其图像的知识，大胆猜测X（t）的形式。然后，他们会把猜测的结果代入方程，看看是否满足条件，并对其做出相应的调整，直到最终得到一个正确的结果。在这种情况下，最终的结果是一条抛物线，其最基本的形式由X（t）～t2给出。受过一些训练的人都能很直观地看出形式与方程之间的联系。如果已知任意一点X（t）的导数或者斜率，我们就可以得到速度函数，它的斜率以恒定速度增加。再对速度求导，我们将得到恒定的加速度，即a（t）=常数，这与恒力是对应的。
微积分十分重要，因为它表明，一个函数可以由另一个函数根据“描述变化的数学”求导得出，所以这种函数被称为导数。如今，导数已成为物理学、工程学和声学领域最重要的工具之一。从本质上说，通过画出图像，我们不用计算就能得出导数，因为函数的形式——与导数相关的形状、表观斜度（变化率）和弯曲程度，给出了动力学的信息，我们甚至都不用去看那些方程。
情形3：外力不恒定。一个经典的例子是一端系有重物的弹簧。想象一下，我们微微拉动这个重物，然后释放它。重物将会从零开始加速。接下来，想象一下把重物拉得更远一些，重物将会加速得更快。结果证明，这是一种线性关系，加速度与重物被拉离原点的距离X成正比。形式最简单的牛顿定律告诉我们，F与X成正比。牛顿方程变为：
方程中的比例常数包括重物的质量m和弹簧的劲度系数k。这个方程表明，存在函数X（t），它的二阶导数等于自身。
对于系在弹簧一端的重物，无论它是竖直悬挂还是水平置放在光滑的表面上，它的运动都会是简谐振动，或者一种相对于中心平衡位置的振动。如果你能想象出这种运动随时间变化的图像，你就会发现，它的轨迹犹如一条波形曲线。力与物体离开静止位置的距离成正比的所有系统都有着相同的特征，也都满足情形3中的牛顿方程。波形曲线是一个正弦函数，简单地说就是sin，可以写成X（t）=sin（t）1。如果把正弦函数求导两次，我们就又得到了同样的正弦函数（图8-3）。
图8-3 描述一个系在弹簧一端、相对于平衡位置振动的物体的正弦函数
本质上，前面的方程描述了一个单一的振动粒子，这让我们离困扰着毕达哥拉斯、伽利略、开普勒，甚至牛顿的谜题——弦的振动近了一步，也离理解声波和布莱恩·伊诺的电子合成器更近了一步。我们能从图像中直观地看出，正弦函数可以描述纯粹波的运动。为了更透彻地理解这一点，我们试着把这种振动粒子的例子扩展到连续物体上。
情形4：另一种变力。让我们想象一下拨动一根吉他弦，并且只考虑弦上的一小段。一个简化而精确的描述弦的模型，是想象那些构成弦的原子（微观的质点）彼此之间以弹簧相连。在这种统一的原子链条上，每个原子都独立地相对于一个平衡位置来回振动，正如系在弹簧一端的重物的振动一样。我们用u来表示来回振动的距离。
在情形4中，每个独立的质点都会通过弹簧拖动分布在x方向上的相邻质点，于是，有趣的事情就出现了（图8-4）。
图8-4 弦的运动的放大图
当一个质点拖动一个、一个又一个邻居时，某个波就会沿着弹簧传播，导致每个质点都开始振动，于是这种振动就会在质点之间传播——这是一种传播的扰动。当然，与那些分离的质点不同，弦本身是连续的，所以我们用导数来缩小弦与弦之间的距离。从本质上说，我们描述的是一个连续的实体。想象一下足球场边的球迷形成的“人浪”吧。从远处看，我们只看到“人浪”在球场边流动，而无法分辨出单独的个人。我们与这些球迷的距离就像导数一样运作，把一个球迷与另一个球迷之间的距离缩小到几乎为零。在这种情形下，牛顿方程用一个关于时间与位置的函数u（x，t）描述了整条弦的来回运动，这个函数具有如下的奇妙形式：
由于现在有两个变量x和t，所以存在与这两个变量相关的导数。这个方程告诉我们，弦在某点的弯曲程度（对x的二阶导数）会导致弦在那一点加速（对t的二阶导数），也正是这个方程描述了振动弦的运动。毕达哥拉斯若是泉下有知，想必也会和我们一起欣赏这一非凡的洞见吧。
这个方程的解依旧是一个正弦函数，它有高度（振幅）和波长（一个波峰到另一个波峰的距离）。正弦函数有两种纯粹的形式，即正弦波与它的导数余弦波，而余弦波仅仅是正弦波的平移。一个惊人的事实是，任意数量的正弦函数之和依旧是一个正弦函数。这些波的高度与波长以这种方式相叠加，从而使得波的本质保持不变，并且使解依旧是波的方程。纯粹波的这种可叠加性质就是傅立叶理念，它隐藏在伊诺的作曲方式中，并且告诉我们，振动弦的所有形状都可以通过纯粹波的叠加得到。这意味着u（x，t）的方程不仅描述了一个纯粹波，还可以描述波的所有叠加形式。
傅立叶理念：任何随时间变化的复杂波形（比如复杂的声波），都可以分解为不同频率和振幅的纯粹正弦波之和。
在这个意义上，纯粹的谐波正弦波可以用来制造任何复杂波形，这简直就是魔法。将两颗石子扔进池塘，它们各自产生独立的波形，并且最终会彼此接触。这些波可以彼此干涉，使强度增强或者减弱。如果波峰或者说最高点是一致的，那么它们的叠加就会彼此增强，产生的波会具有相同的频率，但振幅增大。然而，当一列波的波峰恰好遇上另一列波的波谷时，两列波则会彼此相消。
因此，傅立叶变换的核心是波的干涉。雨落池塘时，众多雨滴会产生彼此作用的水波，并在水面上形成漂亮（有时是混乱）的图案。现在我们可以用数学语言来表达傅立叶理念了（图8-5）。简而言之，方程是：
一个随时间演化的复杂波形=一系列正弦波的叠加
图8-5 波的干涉与傅立叶理念
注：A图显示了波的干涉中的增强与减弱。B图通过叠加不同频率的纯粹正弦波表达了傅立叶理念，这些正弦波叠加在一起形成了一个复杂的波形2。
由于复杂的波形可以随时间演化，所以我们称非平凡的（复杂的）信号为函数F（t）。强大、美妙且无所不在的傅立叶变换就是一个数学方程，它可以按照振幅A和频率将F（t）分解为不同的子波。于是，方程如下3：
在图8-5（B）中，我们可以看到波函数F（t）是由等号下方的实线曲线表示的。如图8-5（A）所示，我们可以应用波彼此干涉后强度会发生变化这一性质，通过叠加纯粹正弦波得到波函数。正是应用了这一理念，电子元件才从振荡器中产生了电子音，这是现代电子合成器的关键之处。
傅立叶变换是一种数学运算，通过指定当前的频率与振幅，把复杂函数分解为子纯粹波。我们可以从上图非常清楚地看到这些。傅立叶逆变换是一种逆向数学运算，即在知道各个子波的振幅与频率的前提下，我们可以得到原来的关于时间的复杂波函数。傅立叶变换是物理学、工程学和计算机科学中最常用的工具之一（图8-6）。电路中需要它，在地球和人造卫星之间通过电磁波收发信号的理论基础也是它。傅立叶变换还是理解宇宙结构形成机制的关键。
图8-6 伊诺在他的作品中使用的调频音乐合成技术
现在我们有了探究被称为“共振”的普遍现象的工具。声音、音乐以及量子宇宙中的许多奇迹都离不开共振（图8-7）。萨克斯能否奏出特定的音符，粒子加速器能否产生粒子，都取决于共振的物理学。实际上，共振是物理学中最普遍的现象之一。简而言之，共振是振动能量高效地从一个物理实体传递到另一个物理实体的途径。很多物体都有一个固有频率，尤其是乐器（以及我们即将讨论的量子场），所以在受到扰动时会以一个（或一组）特有的频率振动，这些频率由物体材料的属性决定。关于固有频率，最简单的例子就是系在弹簧一端的重物，仅有的两个参数是质量和弹簧的劲度系数。
图8-7 D大调和弦的振幅-时间图与傅立叶变换
注：左边的信号表示D大调和弦的振幅-时间图。右边的曲线是傅立叶变换，显示了振幅与频率的分解。值得注意的是，在右图中，只需要4种频率就可以重构左图中的波形。这4种频率正是D大调和弦中的4个音符。
把牛顿第二运动定律应用到与弹簧相连的重物上，我们就可以得到有关这个系统“固有”频率的方程。这个方程表明，弹簧的劲度系数越大，系统振动得就越快（因为它的波矢k更大）；重物越重（其质量m越大），系统振动得就越慢。如果一个外力以与固有频率不同的随机频率不断推或拉重物，弹簧依旧会振动，不过它的振幅（重物走过的最大距离）将会变小。而如果驱动力的频率与固有频率相当，则会发生一些不同寻常的事情，即振动的振幅会迅速增大。这正是乐器，甚至粒子加速器的工作机制。
由于弦可以被看作一系列用弹簧连接的质点，所以它具有许多较高的共振频率。实际上，我们是用傅立叶理念推导出这些频率的。乐器被设计成在一组与音阶的各个音符相对应的离散频率上共振，其中的关键之处在于得到一系列驱动频率（比如振动的簧片或者从笛孔流出的气流），并控制乐器中的哪个频率发生共振。例如，在木管乐器中，这是通过关闭乐器上的一个音孔来实现的。
通过傅立叶理念，牛顿运动定律揭开了振动与共振的秘密，我们也因此得以理解复杂的波形是如何产生于简单的波形，并能用简单的波形构造复杂的波形。我们很快就会讲到，傅立叶理念可以应用于4种基本作用力，而且这是理解宇宙结构的关键。在此给读者一点提示：如果宇宙结构是某种振动模式的结果，那么是什么引发了振动呢？宇宙本身是否表现得就像一件乐器呢？
第三部分 宇宙本身是否就是一件乐器
09 野心勃勃的物理学家们
理论物理学家吉姆·盖茨（Jim Gates）是与我关系最亲密的导师之一，也是超引力理论方面的先驱，而我在帝国理工学院研究的正是这一理论。盖茨曾告诉我，研究理论物理就像在没有声音的行星上长大的作曲家试图创作音乐一样。在试图追寻140亿年前宇宙中到底发生了什么时，我们确实有这种感受。有些时候，唯一能帮助我评估自己的进展、让我再次脚踏实地地开展研究的，就是我从我的博士生导师罗伯特·布兰登伯格身上学到的叛逆精神和冒险精神，它们能造就有益的成果。我忽然顿悟，偶尔转身拥抱新事物正是振兴旧事物的秘诀。
有趣的是，在我离开物理系研究生院的那一天，量子场论引起了我的兴趣。盖茨曾这样描述量子场论：探究大爆炸的原因就像试图在没有声音的行星上作曲，而我在其中迷失了。我想寻找一些更基础、与现实联系更紧密的事物。埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于1946年完成了著作《生命是什么》（What Is Life?），他在书中把量子力学应用于生物学领域。而薛定谔也提出了量子力学中的基础方程薛定谔方程。读完后，我对生物物理学产生了浓厚的兴趣。毕竟，生物与非生物都由分子组成，而支配它的是量子力学。
周期性重复的自组织原子可以形成非生命物质，就像伊辛模型中周期性的电子自旋产生了不同形式的磁力。薛定谔睿智地推断出，生命中隐含的基因编码应该是一种准周期结构，就像一条螺旋线。顺着螺旋线的垂直轴向下看，你会看到一个圆像波一样周期性地运动。然而，从侧面看，周期性却消失了。詹姆斯·沃森（James Watson）、弗朗西斯·克里克（Francis Crick）与莫里斯·威尔金斯（Maurice Wilkins）受到启发，致力于寻找DNA的双螺旋结构（图9-1），最终他们成功了，并因这项发现共同获得了诺贝尔奖。结构与组成物之间存在着一种有趣的联系——螺旋结构保证了生命体在存活期间储存基因物质所必需的力学稳定性。
图9-1 DNA双螺旋的准周期结构
退出物理学界，成为生物学新人
因此，我打算退出物理学界。我必须和他人交流一下我的想法。杰拉德·古拉尔尼克（Gerald Guralnik）是希格斯玻色子的发现者之一，他也因此而为人们所知。他操着一口美国中西部口音，行为举止酷似泰迪熊。作为一位有着极高威望的物理学家，他非常平易近人，并且很关心学生的前程。和他的导师朱利安·施温格（Julian Schwinger）一样，古拉尔尼克也喜欢开快车，还喜欢在喝完一杯啤酒之后闲聊一会儿。他授课技艺精湛，课堂总是座无虚席。
“斯蒂芬，退出物理学界并没有什么……但是，不要退出科学界，”古拉尔尼克一脸关切地说，“你的新兴趣是什么？”
我告诉古拉尔尼克，我想了解生命的量子起源。沉思了片刻后，他说：“我有个想法。我有没有和你说过，我曾经错过了诺贝尔化学奖？”但是，他是理论粒子物理学家，所以我以为他是在开玩笑。原来，他以前的博士生导师沃利·吉尔伯特（Wally Gilbert）曾与沃森合作，共同研究一个分子生物学方面的问题，并希望他加入团队。吉尔伯特离开了粒子物理学界，进入了生物学界，并且希望古拉尔尼克也跟随他的脚步。“我才不要去呢！”古拉尔尼克说，“然而，谁会想到他会因为在DNA基因测序方面的工作而获得诺贝尔奖呢？我现在就给吉尔伯特打个电话。”
古拉尔尼克拿起电话拨号，电话很快就接通了。“嘿，吉尔伯特，我是古拉尔尼克。我这儿有个学生想见一见你，他正在考虑进入生物物理学领域。上次听到关于你的消息时，你还是哈佛一个项目的负责人。”电话的那端传来了一阵杂音。古拉尔尼克接着说：“好的，我会让他下星期去见你。”
我和吉尔伯特见面后，他慷慨地用3个小时的时间向我讲述了自己作为一位科学家的历程。他非常理解我目前的处境，并在哈佛医学院为我找到了一份有关X射线晶体学的工作。X射线晶体学可以应用于确定病毒的三维原子结构。我收拾好自己的书，离开了布朗大学物理系研究生院。
我已经准备好进入哈佛医学院的“广阔天地”了。布朗大学物理系的研究生总是挤在狭小的空间里，里面充斥着浓咖啡的味道，以及不洗澡的学生身上散发出来的怪味。狭小的窗户、彻夜不眠、大量的习题都是常态。几年之后，当我们听到一则传闻说布朗大学物理系的大楼是由一位监狱建筑师设计的时候，我们一点儿也不惊讶。
当我抱着一个装满书的箱子走出巴拉斯与华立楼（Barus and Holley Building）的122号房间时，我看到有位同学的桌子上放着一本教材，封面上写着“量子场论……”，但自那之后我再没有见过它。那位同学当时不在，所以我偷看了一眼，犹记得前言的开头部分是：“量子场论结合了狭义相对论与量子力学，它指出，所有的物质及其相互作用都是由场的共振构成的。它提供了一个新的视角，认为整个宇宙就是由这些场构成的交响乐团。”
我竟在退出物理学界那一天发现了这样的瑰宝，幸何如之！当我的大脑兴奋地转动时，我几乎能感觉到新的神经连接正在形成。手中的箱子十分沉重，而我终究还是离开了，但是这幅场景铭刻在了脑海里。我被量子场论深深地吸引了。
所有生命都是量子现象
我在霍格尔实验室（Hogle lab）度过了一个充满挑战的暑假，每天都竭力避免接触致命的化学物质。我的导师是吉姆·霍格尔（Jim Hogle），他运用在威斯康星大学的群论课上学到的对称性原理，发现了动物病毒（脊髓灰质炎病毒）的三维结构（图9-2）。他天资聪颖、成就无数，总是对我提出的推测性理念表示肯定，因此对我的影响尤深。有一天，霍格尔随意又严肃地对我说：“你知道吗，斯蒂芬，我很敬佩那些为生物学做出贡献的物理学家，但物理学家必须尊重生物系统中的复杂性。世界不是由球形母牛构成的。”(14)他开了一个小玩笑，讽刺那些试图理解复杂事物的物理学家所做的一切简化。从方程中找出对称性是一种非常重要的方法，但实际上，在纸上画出一头球形母牛比画出现实中的不规则事物要容易得多。毕竟，无论你站在那头球形母牛表面上的什么地方，它看起来都是一样的。
图9-2 脊髓灰质炎病毒的二十面体对称
注：用字母A、B、C标示的亚基是构成三角形衣壳的蛋白质。20个三角形衣壳在12个顶点上相遇，赋予了这个三维二十面体对称性。
在进入生物学领域之前，我以为对称性的力量仅仅体现在物理学上，然而我错了。我了解到，病毒天生便具有不同程度的对称性。与乐高积木一样，单一的蛋白质会自组装为病毒的二十面体结构。布兰登·奥格博努（Brandon Ogbunu）是我的朋友，也是麻省理工学院的生物物理学家。他认为，在生物系统中，小到分子，大到生物体本身，都存在对称性，因为这能最大化其进化的适应性。我们双腿的两侧对称就是一个简单的例子，我们若想在丛林中奔跑和捕猎，两条腿的长度就必须相同。多种对称性赋予病毒多样的功能，例如，提供机械稳定性以及高效地依附在宿主细胞上的能力。更重要的是，病毒是由成千上万个原子构成的，知道它们在三维空间中的精确位置反而增加了确定其结构的难度。它们的结构表明，病毒以及构成它们的分子都是一种量子现象。
对称性看起来似乎是粒子物理学与生命功能之间的关键连接点，然而科学界关于还原主义的争论一直潜藏在我的思维中。我在霍格尔实验室工作时曾读过一篇题为《多即不同》（More Is Different）1的短文，作者是诺贝尔奖获得者菲尔·安德森（Phil Anderson），他在文中简洁有力地讨论了这场争论，争论的焦点是对称性与基础物理学。粒子物理学家在探索更小的距离与更高的能量时发现了新的对称性，这简化了基本粒子的相互作用。这种对称性的基本框架是由量子场论来描述的。对此，安德森持有不同观点，他认为：“基本粒子物理学家给出的基本法则的性质越多，它们看起来与其他科学领域中的实际问题就越不相关，更不用说社会问题了。”他指出了一个关键点，即在复杂现象发生的尺度上，基本粒子物理学中发现的高度对称性不再起作用：
事实证明，大而复杂的基本粒子集合的行为并不是少量粒子的性质的简单外延。相反，不同程度的复杂性都会产生全新的性质，而若想理解这些新的性质，就需要开展新的研究，我认为这种研究在本质上与其他研究一样重要。
换言之，像霍格尔发现的病毒这样的生物系统，正是由量子场论所描述的基本粒子构成的。不过，整体并不等于局部的简单相加，比如，固有的对称性会随着原子与分子数量（也即复杂度）的增加而减少。复杂病毒的对称性虽然很小，但并不是不存在。从基本粒子到生命，再到宇宙本身，甚至音乐，这些现象虽然看上去毫不相关，但似乎都存在着对称性与对称性破缺的博弈。
霍格尔明确地告诉我，生物学的发展需要以物理学为基础，因为总有一天，生物学将发展到足以解决诸如量子力学在病毒功能中的作用等问题。“我们还没有走到那一步。”他承认。霍格尔这是在委婉地告诉我，我天生就不是做实验生物化学家的料。事后想来，他是对的，我非常感激他。
