当我们走进讨论班的教室时，马古悠正坐在教室前面，他头发黑亮、五官俊朗，脸上挂着顽皮的笑容，穿着普通的黑色T恤和黑色牛仔裤。有一些人似乎是专程赶过来的，就为了看这个物理学“拉丁坏男孩”与穿着粗花呢衣服的年长者辩论。大多数教授都坐在教室前方，准备与他较量一番，看他是否敢于直面“光速是常数”这一宝贵的思想。然而，出乎所有人意料的是，也很可能让他自己也感到好笑的是，他并没有谈论自己向爱因斯坦的理论发起的挑战。
宇宙是音乐的
在量子宇宙学领域，马古悠的演讲被称为“拍摄宇宙的波函数”。等等，什么的波函数？量子力学一般是描述亚原子物质的。然而，我们已经知道，宏观世界的经典定律可以从量子力学中产生——宇宙中的压力波来自量子涨落，而后者是我们今日看到的所有结构的源头。因此，量子宇宙学的哲学就是将量子力学应用于整个宇宙。这意味着，在暴胀时期，我们不仅要量子化暴胀场，还要量子化时空本身。量子宇宙学贯穿了量子引力理论的所有领域，而这是它独有的特征。
演讲结束后，我与马古悠花了几个小时的时间讨论一些新的想法，这些想法关乎在弦理论的背景下实现他的光速可变理论。他让我想起了爵士音乐家桑尼·罗林斯、约翰·柯川、迈尔斯·戴维斯和奥尼特·科尔曼，他们都熟练掌握了传统爵士乐，并在此基础上将其推上一个新高度。他们都不在意权威人士的看法，或者专业人士的反应。他们做出的变化有时是刻意为之，有时源自即兴演奏。本着这种精神，我接受了光速可变理论。在咖啡馆里，我和马古悠共同即兴演奏了物理学。此后，我与马古悠一直保持着联系。回到伦敦帝国理工学院后，马古悠与弦理论学家凯洛格·斯特里组建了一个团队，并雇我做他的博士后，让我和他一起把他的光速可变理论扩展到量子引力领域。
这种兼收并蓄与即兴演奏的方法让我找到了自己在物理学中的位置。我从物理学和音乐两个领域中的大师身上学到了两种价值观，这些大师包括丹尼尔·卡普兰、利昂·库珀、罗伯特·布兰登伯格、杰伦·拉尼尔和科尔曼。通过把物理学与音乐编织到一条思想的大道上，我学会了将音乐中的概念作为了解现代物理学与宇宙学的切入点。对我来说，类比法让物理学变得更容易理解、更令我兴奋。
探究我们祖先留下的足迹是很有趣的：伟大的古代思想家试图通过声音来理解物理学，并通过物理学来理解声音。毕达哥拉斯研究锤子与弦，试图探究悦耳的音乐从何而来，而开普勒则利用他“宇宙是音乐的”的直觉，在天文学、物理学和数学领域做出了巨大的贡献。
音乐与声音恒久存在，无论我们是否聚精会神地倾听，它们都是宇宙中不可或缺的一部分。音乐作品的对称性反映了量子场中存在的对称性，在这两种情况下，对称性的破缺造就了美丽的复杂性。在物理学中，我们可以通过对称性破缺得到自然中多种不同的作用力；在音乐中，我们则可以得到张力与决心。
同时知道粒子的位置和目的地的不确定性完美地反映了爵士乐即兴演奏。被暴胀放大的振动谱也即那些产生了今日的宇宙结构的谱，其与噪声的谱是相同的，这是多么不可思议呀！两者的基础都是波的傅立叶叠加。宇宙微波背景的和声结构源自量子噪声，正如不同的节拍与节奏产生自基本波形、振动、均匀的重复与循环。斯特拉瓦迪里（Stradivarius）小提琴之所以让琴师们梦寐以求，是因为它与众不同。每件乐器都有着自己的声音和特征，宇宙也不例外。这正是物理学家把宇宙微波背景辐射的振动视为暗物质或暗能量的特征痕迹的原因。在我们今日所见的由星团和星系构成的超星系团中，振动继续以这些模式存在。
告诉一个孩子，宇宙刚刚诞生时，原始等离子体中的声音就创造了第一批恒星和星系，随后又产生了有着复杂模式的星系，以及以特定的共振频率“唱歌”的恒星。接着告诉他，宇宙中的事物远不止于此。所有的类比法都不再有效。然而，库珀曾告诉我，一个强大的类比可以让你发现一些新的事物，这是你通过理论本身无法获得的。将这些类比传授给孩子，他们长大后就会突破现有理论的边界。
如果我们把音乐与物理学之间的类比往前推进一步，会发生什么呢？马克·特纳对即兴演奏的认识让我理解了量子力学，音乐还能告诉我们什么呢？如果我们把宇宙与音乐之间的类比变成一种同构（一一对应），并推测宇宙是音乐的，且看一看这能带给我们什么，结果又会如何呢？这能催生新的物理学领域，或者在宇宙学的争论中指向一个更优的选择吗？接下来，让我们一起探索这些新的理念。
宇宙之声正是这件乐器，而这件乐器正是宇宙之声
围绕“宇宙是音乐的”这一概念的争论焦点，正是“音乐”这个词在宇宙领域中的应用。音乐被认为是一种人类的创造，它基于我们对声音的感知，并根据和声、节奏和旋律来组织声音。事实上，音乐也关乎用噪声和不协调的声音来创造节奏和张力，或是改变原所期待的乐段中的和声方向。当我提到一个音乐的宇宙时，我实际上是指这些元素，它们可以延拓到支持波现象的所有介质，也就是物理学和宇宙。如果宇宙是音乐的，那么从本质上说它就类似于波，可以表述为声波随时间的演化。现代作曲家斯潘塞·托佩尔（Spencer Topel）曾在一次私人谈话中对我说：
一千个人眼中有一千个哈姆雷特，所以我们几乎不可能定义音乐，但可以用一个复杂而混乱的波形来表示，其中也包含着美丽的结构。同样，当我们仰望天空时，我们既看到美丽，也看到混乱。宇宙与音乐都是由波的结构及其之间的关系所驱动，并都包含着我们几乎无法理解的复杂性，不过结构是可以分辨的，它赋予了我们所见与所闻的意义。
请记住：如果不存在宇宙的外部，而宇宙就像一件乐器一样运作，且拥有所有的音乐元素，那么宇宙这件乐器是可以自己演奏的。换言之，宇宙之声正是这件乐器，而这件乐器正是宇宙之声。构成宇宙的所有事物（包括时空）都必须振动。
只需将宇宙的膨胀速率作为一个参数，我们就可以把这个观点转换为物理理念。如果膨胀速率以一个纯音的频率振动，我们就可以得到一个我称为“节奏宇宙”（rhythmic universe）的宇宙，即循环宇宙（cyclic universe，如图17-2所示）。事实上，循环宇宙也是爱因斯坦的相对论的一个精确解。这种类型的宇宙绕开了一个令人费解的问题：“在大爆炸之前发生了什么？”答案是：宇宙经历了一个收缩和膨胀不断重复的过程，但并没有“开始”。不存在大爆炸的奇点，时间总是存在着。这是宇宙能演奏的最纯粹的音，这个声音本身就是宇宙尺度的振动。
图17-2 节奏（循环）宇宙示意图
循环解法其实有着悠久的历史。循环宇宙学最早的一个版本来自古印度哲学。古印度人认为，宇宙在时间长河中永存，并以86.4亿年为一个周期，宇宙在一个周期内会经历从诞生到毁灭的全过程。
柯川对中国和印度的古代哲学与音乐的研究把他带向了现代宇宙学，而且走得比他想象的还要远。这很容易让人联想到柯川在《巨人的步伐》中的即兴演奏，这首曲子是一个循环结构，体现了循环宇宙不断膨胀与收缩的宇宙之舞。爱因斯坦的广义相对论允许振荡宇宙（oscillating universe）的存在，宇宙的时空在过去经历了无穷多的一系列膨胀与收缩。宇宙大爆炸正是无数次爆炸中的一次。与暴胀相似，循环宇宙有着自己的优势与不足，因此它依旧是宇宙学研究的前沿方向。循环宇宙理论面临的一大挑战关乎一种不祥的场的存在，这种场被称为“鬼场”（ghost field）。
为了得到一个循环宇宙，过去的收缩宇宙必须突变为一个膨胀宇宙，宇宙学家把这种现象称为“宇宙反弹”（cosmic bounce）。想象一下扔出一个球，它若想改变方向，就必须撞击地板，然后减速，直至速度为零，并且改变向下的速度。由于动量守恒，而且球具有弹性，所以这会自然地发生。相似地，减速宇宙的“速度”会有一个暂停，并在达到零速度之后又反弹回加速的状态。为了让这一切发生，我们需要一个能让时空表现得像一个“弹力”球的场，这个场就是鬼场，它是一个具有无穷多的负能量的“仓库”。物理学家不喜欢鬼场，因为它可以出于量子力学机制自发地转换为无穷多的光能量。而鬼场之所以能转换为光能量，是因为根据交换费曼图，光子（自然界中最轻的粒子）可以从鬼场中“窃取”负能量，以创造大量光子。我们从来没有见到过鬼场的这些迹象，所以如果循环宇宙是真实存在的，而且确实依赖于鬼场，那么鬼场应该已经找到了避免自身衰变为光子的方法。高等研究院（Institute for Advanced Studies）的尼玛·阿尔坎尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）及其同事提出了一种可能的机制：鬼场缩小，把负能量限制在一个有限的值域上，以防止自身进一步衰变为光子。2
无论鬼场是不是让宇宙像凤凰一样从死亡中浴火重生的“幕后推手”，或许我们都还需要一些新的陌生事物。令人难以置信的是，无论在哪种情况下，爱因斯坦的理论都包含了一个像纯音一样振动的宇宙，这个宇宙的运行机制表面上看起来很简单，实则为其中可能具有的复杂性留下了空间。宇宙学家花了大约70年的时间才找到这种循环的可能性。早在20世纪20年代，爱因斯坦就考虑用振动的宇宙替代他的理论所预言的永远膨胀的宇宙。1934年，理查德·托尔曼指出了循环模型与热力学第二定律的相悖之处，即熵（entropy）(21)将永远随着时间的推移而增加。随着宇宙经历一个又一个周期，熵会不断增加，周期也会慢慢变长。3如果往回推，周期就会越来越短，最终回到了大爆炸的奇点——没有永恒的周期，一切又回到了起点。不过，暴胀理论的微调问题给了一些聪明的宇宙学家勇气，他们开始重新研究循环宇宙。
尽管许多宇宙学家不愿意接触像循环宇宙理论这样的奇怪理论，但几年前，约翰·巴罗（John Barrow）、达格妮·金伯利（Dagny Kimberly）和马古悠开始重新考虑循环宇宙的概念，以及由保罗·斯泰恩哈特（Paul Steinhardt）和尼尔·图罗克（Neil Turok）提出的托尔曼理论的解。巴罗、金伯利和马古悠研究的是当宇宙收缩到“大爆炸”区域时，两个电子之间的耦合强度是否会发生变化。答案是确实会。
多元宇宙猜想的问题在于理论物理学家很难进行可靠的数学计算，以描述泡沫宇宙（bubble universe）的真实产生过程。在节奏宇宙的情形下，由于存在正弦膨胀和收缩的精确解，所以我们得以绕开涉及产生婴儿宇宙的数学问题和概念问题，后者似乎需要一个成熟的量子引力理论，但目前还没有这样的理论。音乐类比展现了巨大的潜力，为解决微调问题开辟了新路径。这种建立在振动和循环基础上的类比十分精妙。
在撰写本书时，我正在努力寻找爵士乐与宇宙学之间的同构。我找到了一种新的宇宙学机制，解决了微调问题，并摆脱了多元宇宙猜想。这始于用柯川的《巨人的步伐》作类比，并把这个类比转换为一种同构。让我们回到柯川的独奏上来。众所周知，柯川的独奏通常会持续很长时间，有时甚至长达几个小时。像《巨人的步伐》这样的曲子有两个内蕴的周期。第一个周期是和声周期，第二个周期是节奏周期。在大多数情况下，移动的调性中心有三个，就像一个绕着五度圈旋转的三角形。和声旋转随时间不断重复自身。这就是柯川即兴演奏《巨人的步伐》等曲目时所遵循的框架。所以我想象着，每次歌曲重复循环的时候，即兴演奏者就开始演奏新的独奏，或者是基于他们演奏过的独奏曲目的偶排列。如果我们把这些音符映射到耦合常数上，把节奏周期映射到周期性的收缩与膨胀上，结果又会如何呢？
为了使耦合常数能在循环宇宙的情境下发生变化，耦合必须像场一样运动，而这些场必须与引力本身相互作用。结果是，弦理论自然地具有与引力相互作用的耦合场，而这些场会在反弹时期发生变化。当我发现耦合常数在收缩-膨胀时期的变化时，我便告诉了同事马塞洛·格雷斯（Marcelo Gleiser），他十分吃惊。“我们把这个想法写成一篇文章吧。”格雷斯说。最后他写成了那篇名叫《用循环宇宙解决微调问题》（A Cyclic Universe Approach to Fine Tuning）的论文（图17-3）。
图17-3 论文《用循环宇宙解决微调问题》
在演算了存在变化常数的循环宇宙的广义相对论方程之后，我们得到了一幅漂亮的图景，进而得以深入探索微调问题的解决之法。当宇宙膨胀时，耦合场并不会变化；能量潜藏起来，变成所谓的势能——它做好了随时上场的准备，但并没有被应用。由于宇宙经历了收缩-膨胀振动，耦合场获得了大量的动能。在这种情况下，耦合场就像山脚下的一个球，踢一下它，它就可以越过势阱（potential well），并改变自身的值。然而，踢的这一下会使它随机取一个与原来的周期有点关系的值。当宇宙再度膨胀的时候，耦合场会失去能量，重新落回到阱中。物理学家能证明耦合场的动量在每次反弹中都是随机的。想象在遥远的过去，宇宙经历了几万亿次连续的反弹。在反弹中，耦合会随机地变化。因此，我们恰好生活在某个耦合正好适合演化出生命的时代。根据这个理论，数十亿年后，宇宙会再度收缩，而耦合也会随之变化，未来的定律可能不再适用于我们已知的生命形式（图17-4）。
图17-4 耦合场的演化
注：一个关于耦合场如何在宇宙每一个周期的反弹中演化的数值解。Y轴表示耦合常数的数值，X轴表示宇宙时间。
我们的生命和赋予我们生命的事物——特殊的量子涨落、时空、行星与恒星，有可能是一个更大的整体的一个周期内的一部分，在某种程度上这是一个非常动人的故事，而且足够令人满意。我们的宇宙可能只是简单地沿着某个循环运动，等待着下一次的即兴演奏。
正是这些知识……在永恒的真理中，把我们与单纯的动物区别开来，并在科学中给予我们理性，提高我们对自身的认识……这些必要的、永恒的真理是所有理性认识的首要原则。它们是我们与生俱来的。自宇宙诞生开始，它们就是自然中的特定原则，因为它们体现了整个宇宙的本质。
——莱布尼茨
从构成核物质的夸克的对称模式到DNA的双螺旋结构，再到超星系团中的星系模式，宇宙中充满了各种各样的结构，甚至创造这些结构的物理定律本身也具有结构，这个结构由对称性原理和对称性破缺之间的连续作用所主导。在本书中，我们进行了一场声音之旅，讨论了宇宙中这些结构的展开有着音乐特征。和谐、对称性、不稳定性和即兴演奏的缺口共舞，共同协作以维持宇宙结构，这就像折叠的宇宙如柯川的独奏一样展开。宇宙结构的催化剂是量子场，它们在时空的收缩与膨胀之间趋于和谐。在整个时空背景中，这些场的原始振动就像一件乐器的振动体，创造了宇宙中的第一个结构。通过振动、共振和相互作用，微观世界与宏观世界联系在了一起。
爱因斯坦说得好：“宇宙的最不可理解之处，就在于它是可理解的。”物理定律、恒星、行星，乃至最终总结出这些定律的生命形式是如何形成的呢？当我们思索声音、即兴演奏和结构形成之间的联系，以及与最有趣的结构（即生命本身）之间的因果联系时，我们会不由自主地问：“宇宙是有目的地创造了这些结构吗？”当物理学家开始谈论目的时，我们就陷入了黑暗的泥沼。我撰写了这一章，而你们正在阅读我写下的这些文字。我们生而为人的意义之一，不就是为了寻找目的吗？毕竟，我们是数十亿年来结构形成的产物。在体现人类所付出的努力方面，音乐可能是最佳范例，一方面，它既有数学的根源，也有物理的根源；另一方面，它具有唤起强烈的情感和目的感的能力。探究音乐能深深地打动我们的原因是一件乐事，这是对我们与宇宙之间的基本联系的一种听觉暗示。如果宇宙起源建立在声音模式的基础上，那么认为音乐本能地帮助我们探索宇宙的起源是否有些牵强呢？
18 星际空间
我们已经知道，在大爆炸之后，声音模式的谱取决于自然界中的微调“常数”，就像试图让铅笔尖端向下以求得平衡，这些常数必须由未知的定律来微调，以形成有生命存在的宇宙结构。回想一下我们之前做的类比，宇宙就像一件乐器一样运作，它可以通过自我调节来演奏出恒星、星系乃至生命的宇宙之声，它必须掌握能实现这种自我调节的方法。通过这种音乐宇宙类比，我提出了一种和声（或称循环）宇宙理论作为微调问题的潜在解。如果宇宙像一个纯音一样经历了无限多的一系列收缩和膨胀，那么通过在收缩-膨胀的反弹之间即兴演奏新的数值，自然界中的常数就可以自我调节。当宇宙进入膨胀期（比如我们现在所处的时期）时，耦合场就被固定在反弹时期的数值。如果我们的宇宙在过去经历了很多个周期，那么这些耦合就会即兴演奏新的数值，最终将适合碳基生命的存在。不过，我们的疑惑依旧存在：在生命的形成和宇宙结构的演化背后到底隐藏着什么目的呢？在本章的剩余部分，我会通过一个思想实验来回答这个问题。约翰·柯川和他的曼荼罗将成为这个思想实验的主题。
把复杂简单化
柯川的勤奋是出了名的，有时他练着练着含着送气口就睡着了。他勤奋的动力源自他对宇宙意义孜孜不倦的探索。在晚年时，柯川将自己的乐器作为寻找音乐和宇宙之间的联系的工具，物理学家则利用实验仪器来做相同的事情。例如，柯川探索了无数种以II-V-I进行和弦演奏的方法，这在他的专辑《巨人的步伐》中体现得淋漓尽致。和布莱恩·伊诺一样，柯川也借助声音和音乐来揭示关于宇宙的永恒真理。他把音调-时间的二维空间扩展到多维空间，后者包括声音处理，比如多音（同时演奏泛音）和纸片声。
爱因斯坦是柯川最崇拜的人之一。通过开展多学科研究，柯川努力寻找着现代物理学、东方哲学中的轮回、西方的和声与非洲多旋律之间的联系。爱因斯坦在物理学上的发现不仅受到物理学家的影响，也受到其他学科的影响。和爱因斯坦一样，柯川意识到，他必须超越西方经典爵士乐的典型风格，进而构造自己的音乐宇宙，并用音乐来表现宇宙。柯川应该成为科学家的灵感来源。通过自学，柯川从爱因斯坦的相对性原理中受益匪浅，并将其融入了自己的音乐。我们能从柯川的曼荼罗中看到物理学爵士乐的核心：爵士乐音乐家将理论物理学家的方法当作思想实验和战略工具，以进行即兴演奏。
在生命的最后阶段，柯川创作了三张专辑，分别为《恒星区域》《星际空间》《宇宙之声》。他研究了爱因斯坦的广义相对论和宇宙膨胀假说，并从中受到启发，创作了《星际空间》。他敏锐地意识到膨胀是一种反引力。在爵士乐队中，“引力”来自贝斯和鼓。柯川的独奏从《星际空间》中奔腾而出，并不断向远处扩张，最终挣脱了节奏乐器组的引力。柯川认为，宇宙的复杂性会渗入人类的行为，他练习了无数个小时，就为了成为这种宇宙之力与人类之间的纽带。在歌曲《木星》（Jupiter）中，柯川在自己的即兴演奏中从字面意义上沟通着木星卫星的轨道。
我还记得几年前在韦恩·肖特（Wayne Shorter）的75岁生日宴会上，我和柯川的儿子拉维·柯川（Ravi Coltrane）的谈话。我对拉维说，我正在探索他父亲的音乐和爱因斯坦的相对论之间的联系。拉维严肃地看了我一眼，然后说：“我父亲痴迷于数学与物理。”是什么让柯川对宇宙有着敏锐的直觉，并沉迷于其中无法自拔呢？
我有幸采访了声名卓著的作曲家、多乐器演奏家大卫·阿姆兰（David Amran），他曾与柯川讨论过后者对爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论的兴趣。1956年，他们在纽约西村（West Village）巴罗街上的波希米亚咖啡馆相遇。阿姆兰刚和迪齐·吉莱斯皮（Dizzy Gillespie）谈完，就来到坐在外面吃派的柯川身边。
阿姆兰问：“过得如何？”我说：“一切都好。”接着，他又问我：“你对爱因斯坦的相对论怎么看？”我并不认为他对我了解的知识多么感兴趣，我觉得他只是想与我分享他所掌握的知识而已。我脑中一片空白，而他则谈起了太阳系的对称性，后来又谈到空间中的黑洞、星座，乃至太阳系的整体结构，以及爱因斯坦如何把这些复杂性归结为一种非常简单的事物。然后他告诉我，他正试图在音乐方面做一些类似的事情，寻找一些来源于自然的东西，而这些东西关乎蓝调和爵士乐的传统。然而，对于音乐中什么是自然的，他有一种截然不同的看法。1
即使是那些理解了数学的纷杂之处的人，也会很容易就忽视了爱因斯坦的理论的核心：它是一个优美的物理理论，源自一个简单的原理，包含并联系着更复杂的定律。在狭义相对论中，“简单的原理”意味着光速不变性。我们所说的不变性是指一种有着不变量的变换。例如，我可以将自行车轮胎上的一个点旋转或变换到另一个点，而辐条的长度不会改变。对称性和不变量之间有着很深的联系。轮子是旋转对称的，因此，轮子的旋转变换不会改变轮子的形状。相似地，光速的不变性也反映了时空的基本对称性。无论一个观察者在时空中相对于另一个观察者的运动有多么复杂，光速始终被限制为不变量（常数）。
当这个原则体现在数学上时，它很自然地把电场与磁场统一起来。在这些彼此无关的方程中，所有表面上的复杂性都统一到了一组简单的方程中，这组方程反映了光速的不变性。在此展示这组方程是很有必要的。我们来看看麦克斯韦方程组（图18-1）。
图18-1 关于磁场和电场的4个麦克斯韦方程
当我们考虑光速的不变性时，这4个方程都可以写成同一个：
在此有必要简单地讨论一下麦克斯韦方程组。正是因为时间与空间在四维时空连续体中的统一，爱因斯坦才得以构造出四维中的一种场。这种场又叫规范势（gauge potential），它描述了光子，以Aμ表示。在这种四维势场中，我们可以通过求导来定义电场与磁场，也可以定义规范场的四维导数dvaμ - dμAv=Fμv。
下标μ和ν表示四维时空的方向，也就是μ=（t，x，y，z），由此我们可以定义四维导数。
方程的左边包含了电场与磁场的信息，但它们都被分组到了一个单一的事物Fμν里，Fμv即场强张量（field strength tensor）。右边的Jν又叫4-电流，它与普通麦克斯韦方程组里的三维电流类似。因此，这个方程表示，四维场强张量是以四维电流为源的。这些四维事物的三维投影产生了不同的三维麦克斯韦方程。在三维中，光速的不变性并不是显而易见的，麦克斯韦方程只是光速不变性非常明显的四维事物的片段（影子）。这就像一个直立的自行车轮胎投在地面上的影子，它看上去像一条线——圆周对称性不再明显。柯川意识到了这一点！从他与阿姆兰的对话来看，我相信他把这一点应用到了自己的音乐中。接下来，我会为此提供一些证据。
爱因斯坦对对称性的应用约束了时空中的场的相互作用。例如，在电磁场中，只有约束在四维光锥上运动的四维场才能相互作用，详见图18-2。为了更直观地理解这一点，我们可以想象自己被约束在一个半径为r的球体的表面。如果我们用坐标（x，y，z）表示球面上的一个点，那么只有满足x2+y2+z2=r2的值是被允许的，而不是x、y和z取任意值都可以。我们可以假设场的相互作用满足类似的四维方程，它们将场约束在四维光锥上。其他不在光锥上的相互作用都不被允许。
图18-2 闵可夫斯基空间中四维超曲面的时空几何
注：点在锥面上的变换使得光速恒定，或者说不变。
爱因斯坦对时空对称的应用还有一个作用，即规定曾经被认为彼此不相关的现象之间的联系。在此之前，相对性、时间和空间被太过简单地联系在一起，电场和磁场的情形与此类似。粒子可以随时间改变位置，但相对性把特定的空间长度和时间长度联系在一起，它们由观测者本身的运动决定。对静止的观测者来说看上去像电场的场，对运动中的观测者而言也许像磁场。
我认为柯川把这些相对性的理念应用到了音乐上。我和尤瑟夫·拉蒂夫讨论过柯川的曼荼罗中暗藏的启示，这些启示给了我们线索。和爱因斯坦的光锥一样，柯川的曼荼罗是一种几何结构，统一了他在演奏曲目中使用的一些关键音阶与和声装置之间的关系。鉴于音乐练习是柯川音乐才能的核心，他的曼荼罗就相当于一种几何装置，揭示了音乐宇宙中的多种模式。当我意识到这一点时，我便开始以曼荼罗为工具，在曼荼罗模式的指导下构建音阶之间的联系。
在狭义相对论中，光速不变的事实会使其他的量发生“扭曲”，以保证在不同的参考系下光速的不变性。例如，对一列静止的火车来说，相对于静止的观测者，它在运动中的观测者眼中的长度会缩短。
类似地，如果我们在两个调上演奏相同的音符，那么这些音符听起来就会不同。它们不仅听起来不同，实际上在新的音阶中也占据了不同的位置。在C调上演奏A-B-C听起来像六度音阶、七度音阶和八度音阶，终止于分解的主音。如果在B调上演奏一组相同的音符，那么它们就会从七度音阶开始，经过主音，终止于高于主音小二度的音。它们与自己被演奏的调上的固定点（八度和五度）之间的联系完全不同。这些音符就像一列火车的长度，是单一固定的事物（音符A或者音符B），但在给定的调上被演奏时，它们就会根据主音的固定值以及调之间的间隔发生变化、扭曲。柯川的曼荼罗就体现了这种观点，但它更优美，其中的五度音阶、三全音和四度音阶之间的联系是固定的结构，这些结构像一个基点，把相对音阶彼此之间联系起来。
乍看上去，柯川的曼荼罗令人望而却步。为了找出它的基础结构，我们将它简化为一个描述不变性的框架。与狭义相对论类似，当我们得到了这个不变结构之后，我们就可以从被不变性决定的相互作用中生成动力学中的复杂性。我们首先要确定不变性，或者说让我们忽略了音符本身的几何图形。我们立刻就会看到一块表，每个小时由一组3个音符表示。例如，在12点，我们看到一组3个音符（B、C、升C）作为1号。如果我们将每一个组标记为一个点，那么这一组3个音符可以进一步简化。由此我们得到只显示12个小时的表盘，它简化为了西方音阶中的十二音循环。柯川的曼荼罗中还有一个古怪的地方，即柯川把5个重复的音符C与一颗五角星连了起来。我们得到的是以下意义上的循环几何图形：如果你数数这些音符，会发现60个周期性重复的音符。在这个周期中，12个音符会在60音循环中生成5个音符C——这正是曼荼罗中的星星。因此，柯川的曼荼罗是一种循环中的循环（图18-3）。
图18-3 柯川的曼荼罗
注：它揭示了60音循环中的五音循环的几何图形。图片提供者：拉蒂夫。
当确定了五角星上所有的音符C后，我们就得到了西方音乐中的十二音体系。然而，当我们把曼荼罗中的5个音符C看成1个时，信息就丢失了。此处的“信息”指的是几何图形，或者是60音循环中的五边形。如果试着在十二音体系中保留这栋“五角大楼”，我们就会得到一个非常有趣的音阶——五声音阶。基于柯川和阿姆兰的对话，有人也许会猜测，他“正试图在音乐方面做一些类似的事情，寻找一些来自自然的东西，而这些东西关乎蓝调和爵士乐的传统”。实际上，世界各地的文化中都存在着五声音阶，甚至可以追溯到2 500年前的中国和希腊。在格列高利圣咏(22)、黑人灵歌（如《无人知道我的忧愁》［Nobody Knows the Trouble I've Seen］）、苏格兰音乐（如《友谊地久天长》［Auld Lang Syne］）、印度音乐、爵士乐标准曲（如《我找到了节奏》［I Got Rhythm］、《可爱的乔治亚·布朗》［Sweet Georgia Brown］）和摇滚乐（如《天国的阶梯》［Stairway to Heaven］）中，这种音阶广泛存在。柯川一直寻找的正是音乐中普遍存在的东西，而他的初衷是确定音乐的哪个方面在人类文明中是普遍存在的。他还说，他想要找到来自自然的音乐。五声音阶可以由5个纯五度构成。纯五度是傅立叶级数的二次谐波，它是自然生成的，所以满足了柯川所说的“寻找一些来自自然的东西”。
创造一个结构，它终将理解宇宙自身
然而，最具说服力的证据来自柯川最著名的两首曲子——《至高无上的爱》和《星际空间》，二者都是基于五声音阶（图18-4）。我的朋友斯泰西·迪拉德（Stacy Dillard）是纽约著名的次中音萨克斯手，他认为五声音阶是爵士乐即兴演奏的纲要。换句话说，与爱因斯坦的不变性理念一样，五声音阶是爵士乐即兴演奏的复杂性得以展现的基石。这并不意味着五声音阶是唯一的基石，不过它引出了一个问题：这种相对简单的音阶为何具有如此巨大的音乐潜力？
图18-4 C大调五声音阶的五边形对称性
柯川的曼荼罗还包含其他由循环几何得来的美丽关系，并与阿诺尔德·勋伯格（Arnold Schoenberg）和奥利维埃·梅西安（Olivier Messiaen）形成共鸣，他们也把集合论的理念应用于作曲中。在爵士乐即兴演奏中，三全音替代是一种非常重要的方法。这实际上意味着，在和弦与和弦之间的旅程中，我们可以用一个更简单的和弦来替代后面的和弦。我们已经知道，II-V-I进行是爵士乐与西方古典音乐中最普遍的进行之一。三全音只不过是12-调周期中的反射对称（图18-5）。所以在C调中，V是G-属和弦，其对G的镜像／三全音是D-降属音。因此，当我们从G属音转到C时，我们可以用D-降属音来代替G属音。这非常好，因为D-降属音离II（也就是D）只有半步。柯川的60音循环曼荼罗也包含这种具有三全音的反射对称性。
图18-5 某个音符关于其三全音的镜像反射
注：例如，C的三全音是F#，F#的三全音是C。
圆上的三音符组出乎意料地产生了神秘的全间隔四度音阶。例如，就数字1所在的位置，我们从音符C开始，并且追循圆上接下来的4个音符，我们会得到C、C#、E、F和F#，这就是一个全间隔四度音阶。澳大利亚钢琴家肖恩·韦兰（Sean Wayland）认为，全间隔四度音阶可以作为一种演奏《巨人的步伐》中和弦变换的手段。不止如此。注意，柯川勾勒出了一个正方形，其中包含三音符组。这些音符正好是五音循环，后者生成了五声音阶。最终，柯川概括出了一个最常用的对称音阶——全音音阶，它的音符占据了内环与外环。因此，曼荼罗是柯川创造的一幅令人惊叹的几何作品，它将这些普遍存在的重要音阶联系在了一起，就像时空变换把长度收缩与时间膨胀、电场与磁场联系在一起一样。
《宇宙的结构》这本书不仅涉及音乐与宇宙学之间的类比，也讨论了音乐和即兴思维在物理学研究中的重要性。理论物理学家举例证明了柯川的音乐之道。我们使用各种数学工具与概念工具，并通过大师（如爱因斯坦和理查德·费曼）提出的实例来进行练习。类似地，像柯川这样的爵士音乐家则通过无数个小时的练习来掌握经典。然而，无论是对爵士音乐家还是理论物理学家来说，仅仅掌握已有的知识是远远不够的，还要进行创新。
人类是唯一能发现高等数学的生物，是唯一能创造并规范音乐的生物。如果宇宙中的美和物理学与音乐中的美和物理学是相互联系的，那么这种联系只存在于人类的大脑中。里克·格兰杰（Rick Granger）、捷尔吉·布扎基（György Buzsáki）和安妮·帕特尔（Ani Patel）等神经科学家仍在努力研究大脑是如何感知、学习、记忆、计划和预言的。然而，老鼠、狗和熊也能做这些事情。那么，是什么让人类的大脑与众不同呢？是什么让我们的大脑能完成非人类的大脑所不能做的事情，比如欣赏音乐、理解数学，以及创造新的事物——作曲、即兴演奏、发现关于宇宙的新的数学事实？
少数像柯川这样的音乐家具有与生俱来的即兴演奏能力，能发现和声里隐藏的模式和规律，并利用这些发现来创造全新的旋律序列。而少数像爱因斯坦这样的科学家则能发现一些新的规律，这些规律逃过了其他伟大科学家的法眼，比如把麦克斯韦方程组简化为一个统一的方程。
也许我们天生就有着和爱因斯坦一样的数学能力，以及和柯川一样的即兴演奏天赋，也许他们的独特之处就在于能把这些天赋推进到远超常人的地步。当神经科学家找到了感知与思维的基础，也许下一步就是去研究大脑的共性和差异，以及柯川和爱因斯坦的洞见与发现来自他们大脑中的哪一部分——也许这需要新的物理学。现在，一些关于大脑的研究正在破解这些难题：当我们感知到音乐的复杂时，我们的大脑中发生了什么？人类的大脑如何以不同于其他动物的方式来处理我们周围的环境，并给我们带来了数学、音乐即兴演奏和语言？
套用《动物农场》（Animal Farm）中那头声名狼藉的猪的说法，显然有些人的大脑比其他人的更独特。爱因斯坦和柯川向我们展示了一些其他人没能发现的事物。无论在狭义层面还是在广义层面，当我们开始了解我们的大脑时，也许神经科学就将向我们展示音乐与物理之间的联系，以及我们人类这种独一无二的物理存在是如何寻获并理解这些联系的。
要想找到这些问题的答案，也许我们需要在物理学、艺术和神经科学的连接点上取得根本性进展。通过探究物理学和音乐是如何在人类的大脑中同时出现的，我们或许能揭示出音乐形式与物理形式之间的深层联系。毕竟，无论人类的大脑有多神秘，它都是宇宙中最复杂的结构。
莱布尼茨是微积分的发现者之一，他认为宇宙中的可约元素（单子）或许包含着宇宙的本质。源自并遵循物理定律的人类大脑是如何反过来理解物理定律的？至今这仍是一个谜。如果如我所说，宇宙的基本功能之一是即兴创作它的结构，那么当柯川即兴演奏时，他所做的事情和宇宙所做的事情就是相同的，即创造一个结构，它终将理解宇宙本身。
后记
在任何科学发现的背后都有着形形色色的人，与他们精彩纷呈的故事。于我而言，我即兴发挥、不拘一格的道路是由我的物理学和音乐导师们带领的。在过去的30年里，我很荣幸能在吉姆·盖茨的教导下，学习理论物理的秘密。在1969年时还是一个又高又瘦的年轻人的他，穿着喇叭裤、留着一头非洲式的发型走进了麻省理工学院那条“恶名在外”的无限长廊，开始了他成为一位物理学家和宇航员的梦想。那时，年轻的吉姆·盖茨还没有与殁于“挑战者号”航天飞机事故的宇航员罗纳德·麦克奈尔（Ronald McNair）成为朋友。在那个开创性的时代里，麻省理工学院物理系招收了一批黑人学生，包括雪莉·杰克逊（Shirley Jackson）与罗纳德·麦克奈尔，而这仅在约翰·肯尼迪总统要求立法“赋予所有美国人使用一切向公众开放场所的权利——包括酒店、饭店、剧院、零售店，以及其他类似的场所”，以及“对投票权更大力度的保护”。这些物理学家中的先驱为我们这一代科学家的蓬勃发展铺平了道路。
此后，吉姆继续他在麻省理工学院的学习生涯，并最终拿到了物理学博士的学位。他的学位论文是麻省理工学院第一篇关于超对称性的学位论文，之后这篇论文成了一本大部头的教科书，即《超对称的一千零一课》（A Thousand and One Lessons in Supersymmetry）。之后，他拿到了哈佛大学的教职，与迈克尔·佩斯金（正好是我的博士后导师）、爱德华·威腾和沃伦·西格尔（Warren Siegel）共享一间办公室。他们是这个领域中最优秀的代表人物。在那些年中，吉姆与我主要谈论物理学。当我在写这本书的时候，我与吉姆聊到他在哈佛大学度过的那段时光。他说，他与那时的办公室室友成了朋友，并且一直保持同事关系直到今天。然而，那时他被同事们的光芒所掩盖。
图19-1 左图：吉姆的学生时代。右图：吉姆与霍金合影
1977年，吉姆在哈佛大学工作期间收到了一封意料之外的来自阿卜杜勒·萨拉姆的信，后者彼时由于发现弱力与电磁力之间的统一而刚获得诺贝尔奖不久。萨拉姆是吉姆一代理论物理学家眼中的传奇人物，所以想想大家听到萨拉姆邀请吉姆访问自己团队时的反应吧！当时，萨拉姆正在从事超引力方向的研究，而吉姆是该领域的年轻先行者之一，所以他邀请吉姆加入自己的研讨会。在获得诺贝尔奖之后，萨拉姆建立了国际理论物理中心（ICTP），其任务旨在“发展高水平的科学项目，牢记发展中国家的需求，为各国科学家提供一个用于学术交流的国际论坛”。在这个论坛上，吉姆在自己的职业生涯中首次遇到了来自非洲、欧洲和中东各国以及中国等世界各地的物理学家。他意识到，物理学确实是一桩全球性的事业，而不仅限于欧美——这是主流媒体中常见的误导。
在研讨会结束后，萨拉姆与吉姆共进午餐时，吉姆的脑海中满是点子与问题想要与这位行业领袖分享。这时，萨拉姆蓦然对吉姆说：“总会有一天，人们会像做爵士乐一样来进行物理学研究。”
这是对这种即兴发挥、包容、文化与智力贡献的称为“爵士乐”的音乐多么高的称赞与认可啊！萨拉姆的言论体现出，一位创造了一种像爵士乐一样动感十足、隐喻丰富的音乐文化的天才是如何促进物理学的发展的！学习如何演奏我们称为爵士乐的音乐是一个终生过程。在其有据可查存在的近百年中，这种音乐已发展成一个同时具有智力和艺术要求的系统。例如，比波普爵士乐99.9%是由诸如查理·帕克、迪齐·吉莱斯皮、巴德·鲍威尔、马克斯·罗奇（Max Roach）和瑟隆尼斯·孟克（Thelonious Monk）等伟大之人（仅举此几例）在音乐学院之外发展起来的。在这些艺术家生活的年代，种族歧视还是“事实上的法律”，私刑还在不时被动用。所以，这些音乐为什么可以如此伟大，以至于它后来被称为“美国古典音乐”，很可能是美国产生的最有代表性的艺术形式之一？在经典的《英雄与蓝调》（The Hero and the Blues）中，温顿·马萨利斯的导师之一艾伯特·默里（Albert Murray）指出，爵士传统的伟大背后是“对抗性合作”。在当时明尼苏达大学即将出版的《默里谈音乐》一书中，默里在与马萨利斯的对话中如此说：
