从长远来看，有效市场假说或类似的假说是合理的。但是从短期来看，押注价格修正却可能存在不小的风险。在这方面，长期资本管理公司（LTCM）的成败经历很有启发性。这是一家对冲基金，其董事会成员中包括了两位诺贝尔经济学奖得主。在1996年和1997年，长期资本管理公司公布的年回报率都超过了40%，原因是它发现了市场上的效率低下问题，并预测市场会做出修正。1998年，他们（正确地）注意到了俄罗斯债券价格与美国国债价格之间的不一致性，于是他们下了一个很大的赌注。然而，俄罗斯的违约（自1917年以来的首次违约）在短期内进一步增大了这种不一致性。长期资本管理公司一下子亏损了46亿美元，几乎导致整个金融市场崩溃。在长期资本管理公司得到救助后不久，债券价格确实恢复了一致性，但是这个修正来得太慢了。长期资本管理公司给我们的教训是深刻的，也是显而易见的，那就是不要过分相信一个模型。
小结
在本章中，我们讨论了伯努利瓮模型和随机游走模型，然后将这些模型应用到了很多领域。我们看到，这些模型能够从连续得分现象中解析出随机性，还可以用来制订博彩策略、评估股票价格变化的时间序列，以及理解篮球比赛的结果。我们还懂得了如何应用随机游走返回时间的幂律分布来增进对企业生命周期和生物分类单元的理解。
从这些应用中，我们看到随机游走模型为评估时间序列提供了一个很有用的框架。我们不能被一两年的成功所愚弄，因为那并不意味着持续的卓越。在《从优秀到卓越》（Good to Great ）这本有史以来最畅销的商业书籍之一中，吉姆·柯林斯（Jim Collins）描述了那些能够持续取得成功的公司的特点，例如拥有谦逊的领导者、选择合适的人进入团队、保持严格的纪律。柯林斯以6次铁人三项世界冠军戴夫·斯科特（Dave Scott）的习惯为例，将之称为“冲洗你的奶酪”。戴维·斯科特会清洗奶酪以减少身体的脂肪含量。柯林斯在这本书中特意列出了11家坚持了他所说的那些原则的“伟大公司”。但是，在他的书出版后的10年中，只有一家公司实现了强劲增长。另外10家公司中，一家被其他企业收购了，一家由政府接管了，另外8家则只带来了零回报。
伟大的企业确实会拥有一些共同特征，但这个事实并不意味着这些特征就必定有助于成功。也许，很多表现糟糕的公司也拥有这些特征。挑选一些看上去很好的公司出来，列出它们的特征，这并不是模型思维。模型思维的要求是，推导出能够导致成功的那些特征，例如才华横溢的工人，然后再根据数据来检验相关结论。如果可能的话，最好寻找一些自然实验，也就是相关特征随机变化的实例。
其他模型，例如我们在第28章中将会介绍的舞动景观模型和崎岖景观模型，更是对吉姆·柯林斯的全部理论提出了根本性的质疑。如果经济是复杂的，那么今天证明成功的特征在未来并不一定同样有效。按“大石头优先”原则，当前的“伟大”在10年后甚至有可能连“不错”都算不上。在得出一般性的结论之前，必须应用多个模型，以避免“犯大错”的风险。也应该注意避免被某些“模式”所惑，看上去似乎是一个趋势，其实可能是随机。
14 路径依赖模型
人不能两次踏进同一条河流，因为无论是这个人，还是这条河，都已经不同了。
赫拉克利特（Heraclitus）
本章将讨论路径依赖模型。在任何领域，人们的行为都建立在他人行为的基础上，无论是国际事务、艺术、音乐、体育、商业、宗教、技术还是政治，我们都应该会看到某种程度上的路径依赖。大学生选修的课程，导致他未来会倾向于选择某些职业而不会选择其他职业；对某个候选人的认可，可能会使他开启政治生涯；友谊可能会导致其他社会关系；我们穿的衣服、读的书、看的电影，以及任何需要我们付出时间的活动，都会表现出一定程度的路径依赖性。
路径依赖也存在于更大的尺度上。普通法裁决会确立并强化先例，从而影响未来的裁决。 1 早期的制度形式会影响后来的制度选择。美国政府制定的由私营公司提供健康保险的政策，导致了一个宏大的私营医疗保险行业以及一系列保健机构，还导致了公立医院和私立医院并存的结果。 2 特定的制度还会引发特定的行为模式，如自私或合作的倾向；而这种倾向反过来又会影响未来制度的效力。 3
在本章中，我们构建了一系列动态瓮模型（dynamic urn model），该模型将生成表现出路径依赖性的结果序列。这种模型扩展了伯努利瓮模型，允许瓮内球的分布随过去的结果而变化。利用这些模型构建我们的思维，给出路径依赖的正式定义，并将路径依赖的结果与均衡区分开来。这些正式的定义还可以将路径依赖与临界点区分开来，而临界点是结果中更加突然的变化。
本章由四个部分组成。前两个部分分别讨论了波利亚过程（Polya process）和均衡过程（balancing process）。波利亚过程假设正反馈并产生路径依赖的结果和均衡。关于路径依赖的许多典型例子，包括“QWERTY”打字机的发展，都是基于正反馈的，这种情况也被称为收益递增。均衡过程则假设负反馈并产生路径依赖的结果，但不会产生路径依赖的均衡。第三部分定义了一个基于熵的路径依赖度量，最后一个部分则讨论了模型的进一步应用。
波利亚过程
波利亚过程利用伯努利瓮模型的扩展来刻画正反馈效应。在波利亚过程中，我们会往瓮中加入与抽取出来的球相匹配的球，这个过程会产生结果路径依赖（outcome path dependence）。结果路径依赖是指每一周期的结果都取决于先前的结果。说结果的长期分布，也就是均衡路径依赖（equilibrium path dependence）也取决于结果，也是对的。 4 这两种类型的路径依赖之间的区别，是本章要讨论的一个核心内容。一个均衡路径依赖的过程，必定是结果路径依赖的。如果长期的结果取决于路径，那么这个路径“沿途”的结果也必定如此。不过，一个过程是结果路径依赖的，并不意味着它一定是均衡路径依赖的。现在发生的事情可能取决于过去，但是长期均衡却可能在一开始就确定下来了。
波利亚过程
一只瓮里面装着一个白球和一个灰球。每一周期，都随机抽取出一个球并将这个球与和它颜色相同的另一个球一起放回到瓮中。抽取出来的球的颜色表示结果。
波利亚过程可以用来刻画多种多样的社会和经济现象。一个人选择学习打网球，还是打壁球，可能取决于其他人的选择。如果更多的朋友选择学习打网球，那么这个人就更有可能也选择学习打网球，因为这会增加他找到伙伴打比赛的机会。与此类似，一个人决定购买什么类型的软件、学习哪种语言或购买哪款智能手机，也可能取决于他的朋友以前做出的选择。类似的逻辑同样适用于企业对技术标准的选择，它们可能会根据其他企业的选择来做出选择。
这个模型通过改变球的分布来刻画这些社会影响。如果灰球代表选择学习打网球的人，白球代表选择学习打壁球的人，那么，当更多的人选择学习打网球时，瓮里面就包含了更多的灰球，从而导致后来的人更加有可能选择学习打网球。对更多人所选择的结果的这种不断增长的牵引力创造了路径依赖。
我们可以从波利亚过程中推导出两个令人意想不到的性质。首先，具有相同数量的白色结果的任何序列都会以相同的概率发生。其次，白球和灰球的每个分布都以相同的概率发生。第二个性质意味着极端的路径依赖。任何事情都可能发生，一切皆有可能。在1 000个周期之后，瓮中包含了40%的白球的概率等于包含了2%的白球的概率。
要理解为什么会这样，不妨考虑前三个周期内所有可能的结果序列。第一个周期的结果是灰色的概率为1/2。如果这个结果发生了，那就要加入一个灰球，从而使第二个周期的结果为灰色的概率增加到2/3。如果第二个周期的结果也是灰色，那就要加入第三个灰球，从而使第三个周期的结果为灰色的概率增加到3/4。由此可以得出，三个灰球（或三个白球）的总概率等于1/2乘以2/3乘以3/4，其乘积等于1/4。
前三个结果由两个白球和一个灰球组成的结果序列如图14-1所示。在最上面一行中，结果的顺序是先灰色、再白色、然后又是白色。这个序列的概率是1/12，其他两个序列的概率也是一样。因此，获得这三个序列之一的概率等于1/4。根据对称性，选择两个灰球和一个白球的概率也必定等于1/4。因此，每个可能的结果集——三个白色、三个灰色、两个白色以及一个灰色、两个灰色、一个白色，出现的概率都是1/4。而且，产生两个白色和一个灰色的每一个序列都以相同的概率出现。对任意周期数，都可以得到类似的结果。 5
图14-1 由两个白球和一个灰球组成的各种结果
如果我们将波利亚过程加以扩展，也就是进一步加入其他颜色的球，这两个性质仍然成立。各种颜色的任何比例都会出现而且概率相同。这些结果为消费品生产商带来了一个难题：消费者对产品某些性质的长期偏好可能是随机的。无法预测结果的知识仍然可以用来指导行动。例如，福特公司不会希望出现这样的情况：生产出了4万辆黄色皮卡车，后来却发现在一个路径依赖的过程中，红色成了消费者最喜欢的颜色。不受欢迎的颜色的产品会大量积压在库存中，这种可能性指向两种可能的行动。生产企业可以考虑建立这样的供应链：把颜色的决定放在最后一个环节。例如，服装公司可以先不给毛衣染色，直到看清楚流行的颜色是什么为止。或者，生产企业也可以不给消费者选择的机会。亨利·福特只提供一种颜色的T型车，即黑色T型车。苹果公司在推出第一款iPhone时也做了同样的事情：你可以买一部黑色的iPone，或者以同样的价格买另一部黑色的iPone。
均衡过程
第二个模型是均衡过程，它的假设与波利亚过程恰恰相反。在抽取出某种颜色的球后，要加入一个相反颜色的球。如果在前两个周期都抽取出了白球，那么瓮中将包含三个灰球和一个白球，从而导致下一周期抽取出灰球的概率增大为3/4。这个过程也会产生路径依赖的结果，因为任何一个周期结果的可能性取决于过去的结果的历史。但是，它不会产生依赖于路径的均衡。从长远来看，瓮收敛为每种颜色的球的比例都相同。 6
均衡过程
一个瓮包含一个白球和一个灰球。每一周期都随机抽取出一个球，并将与抽取出来的球颜色相反的球与抽取出来的那个球一起放回到瓮中。球的颜色表示结果。
均衡过程可以用来刻画有趋向平等分配压力的决策或行动序列。有两个孩子的父母可能会尝试给每个孩子分配相同的时间。与一个孩子共度了一个下午之后，父母会产生与另一个孩子共度更多时光的愿望。
平衡过程甚至可以用来对努力实现公平的组织行为建模。国际奥委会希望世界各地都能举办奥运会。2013年，国际奥委会宣布东京成为2020年夏季奥运会和残奥会的主办城市，与东京竞争的两个欧洲城市伊斯坦布尔和马德里败北。四年后，国际奥委会决定把2024年和2028年奥运会主办权分别授予欧洲城市巴黎和北美城市洛杉矶。东京之所以能够赢得2020年奥运会的主办权，部分原因当然是因为它很有竞争力，但是还有一部分原因则是因为自1964年以来夏季奥运会从未在日本举行过，在地域上保证公平这种考量似乎发挥了作用。欧洲、亚洲和大洋洲以及美洲在第二次世界大战后举办奥运会的次数大体上相同：欧洲8次、美洲6次、亚洲和大洋洲7次。
路径依赖还是临界点
路径依赖是对结果的逐渐影响，临界点则意味着结果的突然变化。微软公司的发展为路径依赖提供了一个很好的例子。微软公司于1975年成立后，为BASIC计算机语言开发了解释器。1979年，微软与国际商用机器公司（IBM）达成协议，为IBM的个人电脑提供操作系统。这笔交易使微软走上了将一个只拥有40名员工的公司转变为世界上最有价值公司之一的道路。
IBM的合同促进了微软的发展，但是并不能保证微软长期的成功。当时，个人电脑的市场还很小，互联网并不存在，也没有复杂的文字处理程序、商业软件或视频游戏。此外，个人计算机的成功还部分取决于微软开发的DOS操作系统。在个人计算机市场发展起来后，其他公司也开发出了很多与DOS兼容的软件，从而提供了更多的正反馈。DOS的成功、个人计算机市场的发展以及与DOS兼容的软件的开发，都可以被视为从瓮中抽取出来的始终是同一种颜色的球。每个结果都使下一个结果更有可能。计算机时代的到来也许是不可避免的，但是微软的核心作用和个人计算机的发展则只代表了许多种可能的发展路径之一。
我们可以将微软公司成长的路径依赖与1914年6月28日弗朗茨·斐迪南大公（Archduke Franz Ferdinand）遇刺事件对比一下，许多人都认为，这个暗杀事件是导致第一次世界大战爆发的临界点。在暗杀发生6年前，奥匈帝国吞并了波斯尼亚和黑塞哥维那。很多塞尔维亚人都对这种情况心怀不满，于是加夫里洛·普林斯（Gavrilo Princip）枪杀了弗朗茨·斐迪南大公夫妇。奥匈帝国将这个事件归咎于塞尔维亚政府，这是一个几乎不可避免的反应。奥匈帝国准备向塞尔维亚宣战时，决定向德国靠拢，寻求德国皇帝威廉二世的支持。紧张局势迅速升级。塞尔维亚随后与俄罗斯结盟，而俄罗斯又与法国和英国结盟。到了1914年8月2日，德国就向法国宣战了。8月3日，比利时拒绝让德国借道进入法国，世界大战全面爆发。这个过于简化的事件版本表明，考虑到世界各国的结盟状况，斐迪南大公的遇刺是世界开始向战争倾斜的临界点。
我们可以利用可能结果的概率变化来度量路径依赖和临界点。 7 对于波利亚过程，初始概率在瓮中的所有分布上都是均匀的，这是一个最大熵分布。随着事件的展开，分布逐渐变窄，标志着路径依赖的形成：当结果出现后，可能发生的事情也会变化。这种熵的减少是渐进的。而对于临界点，概率分布是突然改变的，熵可能会迅速下降。图14-2显示了这两个过程的差异，每个过程都有两个可能的结果。事件发生后，也就是微软获得了IBM的合同或斐迪南大公遇刺后，每次的概率就变了，后续事件也会改变概率。具有临界点的过程出现大幅度的转折，而路径依赖的过程则变化缓慢。
图14-2 临界点与路径依赖
路径依赖模型的应用
在现实世界中，路径依赖可能不会像波利亚过程那样极端。然而，我们还是可以从模型中推断出当行为具有很大的社会性成分时，几乎任何事情都有可能发生。在一个大学里，大多数学生在冬季都可能穿黑色大衣，而在另一个大学里，学生们则可能穿孔雀蓝大衣。模型思维告诉我们，行为差异既可能是社会影响的结果，也可能是不同的内在偏好所致。在任何时候，只要人们在一组固定的备选项中进行选择，而且他们的选择依赖于其他人先前做出的选择时，就会出现这种情况。这样的例子包括在选举中投谁的票、要看哪一部电影，以及购买哪一种技术等。
模型还可以扩展到允许社会影响因所选方案的不同而变化。香草冰激凌可能会有一定程度的反馈。而具有异国情调的绿茶冰激凌则可能得到更具多样性的反馈：一个朋友可能不喜欢它并且劝你不要尝试，另一个朋友可能很喜欢它并鼓励你一定要试一试。这可以证明，反馈的变化越少，选择这种结果的可能性就越大。 8 模型也可以改变，使人们对社会影响的敏感性不同，也就是说，人们对加入瓮中的球赋予不同的权度。
在模型的任何变体中，我们都可以测量（或估计）路径依赖的程度并将之与其他模型的变体进行比较。如果我们在构建一个关于新产品的引入模型时所做的假设表明结果取决于路径的早期部分，那么尽早进入、进行干预或补贴可能是一个不错的策略。这个模型为企业尽早将产品推向市场或提供大幅度的折扣以便尽可能多地吸引早期用户提供了逻辑支持。当然，其他假设则可能表明，拥有更好的产品可能比更早进入市场还重要，也就是说，更好的策略是关注质量。利用各种模型，我们可以识别出与特定情况相关的不同特征，比如个人偏好与社会影响的相对重要性及反馈的变化以及质量的相对差异，并利用这方面的知识去制订策略和指导数据收集。
最后，波利亚过程表明，正反馈是怎样生成结果路径依赖和均衡路径依赖。路径依赖现象会出现在各种各样的情况下。只要一个行动会与未来行动“相遇”或与未来行动相互作用，就会出现某种程度的路径依赖（如果不是均衡路径依赖，也会是结果路径依赖）。在做出关于大型公共项目的决策时也是如此。 9 建造公园或高速公路的决定会对未来的规划决策构成约束。路径依赖程度通常取决于项目的规模。例如，纽约中央公园对纽约市的发展就产生了深远的影响。虽然波利亚过程揭示了交互导致路径依赖的这个核心思想，但是要利用这个洞见来指导行动，还需要更加真实的模型。
风险价值与波动性
我们可以将时间序列数据中的标准差解释为波动性。对股票、房地产和私人股权的投资都会表现出波动性。风险价值（value at risk，VaR）衡量的是在某个特定时间段内损失特定金额的概率。一项风险价值为一年5%的总额为1万美元的投资，在一年结束时损失超过1万美元的可能性为5%。 10 银行使用风险价值法来确定为了避免破产手头必须持有的资产数量。例如，为了保证一项风险价值为两周40%的1万美元投资的安全，投资者可能被要求必须持有10万美元的现金。
如果投资遵循简单随机游走，且每一周期投资规模的增大量或减少量为M，那么它的风险价值为N期2.5%的 。 11 因此，每天随机上涨或下跌1 000美元投资的风险价值为9天2.5%的6 000美元，或者，一年2.5%的38 000美元。考虑到风险价值在步骤大小上是线性增长的，但它会像周期数的平方根一样增长，我们可以使用风险价值来解释为什么美国联邦存款保险公司（Federal Deposit Insurance Corporation）只要求银行保留相当于资产总额的2%隔夜现金，而银行则要求消费者支付房子总价的20%。这种差异是由于贷款期限不同所致。隔夜贷款的期限是一天，住房贷款可能持续数十年。3 065天的平方根约为60。
这里，我们假设了一个正态随机游走，计算风险价值的分析师通常考虑过去的经验收益分布。如果经验分布有一个较长的尾部，也就是说，如果它包含更多的大事件，那么风险价值会随着大事件的发生而增加。
虽然风险价值起源于金融领域，但是它所包含的思想却是可以广泛应用的。一个由非营利组织运营并由志愿者提供服务的施粥处通常需要25名志愿者，该组织可能想了解缺乏足够志愿者的可能性。如果志愿者的数量是一个每个星期增加或减少一个人的简单随机游走，那么就可以利用上面的风险价值公式，并且将参数设定为M=1和N=52，从而可以确定，风险价值为一年2.5%的15（在一年、2.5%的概率下，风险价值为15），这意味着该非营利组织有2.5%的概率会缺少一名志愿者。
15 局部互动模型
每一代人都嘲笑旧时尚，同时又虔诚地追随新时尚。
亨利·戴维·梭罗（Henry David Thoreau）
在本章中，我们要研究两个局部互动模型（local interaction model），即局部多数模型（local majority model）和生命游戏。这两个模型都是建立在一个由单元格组成的棋盘上，棋盘由处于两种状态之一的元胞组成。表面上看，这两个模型似乎没有太大的不同，其实不然。在局部多数模型中，元胞通过与它的大多数邻居的状态相匹配来更新。而在生命游戏中，元胞的更新规则要更加复杂，它依赖于多个阈值。这两个模型的结果也不同。局部多数模型总是收敛到均衡，生命游戏则取决于其初始条件，可能会产生任何类型的结果：均衡、周期性、复杂性或随机性。
局部多数模型可以用于解释和预测社会系统和物理系统中的实际结果。它可以通过符合个体或者刻画像自旋玻璃这样的磁性粒子与自己的“邻居”对齐的物理系统来表示离散选择。相比之下，生命游戏则完全是探索性的。开发生命游戏的目的就在于探索简单的规则如何集结并产生各种复杂的现象。在生命游戏中，周期性模式、复杂序列和随机性都可能从相互作用中涌现出来。生命游戏突显了整体与部分的不同。这里，我们可以给出一个粗略的类比：在人类的大脑中，诸如情绪、认知和意识等涌现现象也会从更简单的部分涌现出来。
首先分析局部多数模型。我们将阐明，一个标准的协调博弈如何为模型所假设的行为规则提供微观基础。因此，我们既可以将模型中的参与者解释为遵循规则的行为者，也可以解释为应用某个最优反应策略的理性行为者。然后，我们分析了生命游戏，并说明它如何从简单的规则中产生复杂性。本章末尾的讨论强调了利用多个局部互动模型探索的价值。
局部多数模型
局部多数模型假设元胞是排列在棋盘上的。 1 每个元胞处于两种状态中的一种：开或关。初始时，我们随机地给元胞分配状态，此后，元胞的状态取决于它“邻居”的状态。邻居可以通过多种方式加以定义。我们将元胞C的邻居定义为位于它东、南、西、北的4个元胞以及4个对角上的相邻元胞，因此它的领域大小为8。
局部多数模型
二维方格上的每个单元都处于两种状态之一：开或关。每个单元有8个邻居。 2 在每个周期中，随机选择一个元胞。 3 当且仅当其中它的5个或更多邻居处于另一个状态时，这个元胞才会改变自己的状态。
局部多数模型中的局部互动包括正反馈：元胞要与其他元胞的状态相匹配。图15-1显示了局部多数模型的典型均衡配置。
图15-1 局部多数模型中的典型均衡配置
在均衡状态下，每个元胞的状态都与它的大多数邻居的状态相匹配。均衡配置类似于荷尔斯坦奶牛身上的黑白斑块。虽然均衡配置取决于各元胞的初始配置，但是该模型对初始条件没有表现出极高的敏感性。改变一个元胞的状态最多只会导致最终配置出现很小的变化。最终的模式还取决于元胞被激活的顺序。因此，这个模型也表现出了路径依赖。它的均衡数量非常巨大。模型产生的两个均衡之间的相似度，不会比同一块地里的两头荷尔斯坦奶牛身上的黑白斑块更高。
局部多数模型最初是为了用来刻画一类物理系统而开发的。在这类物理系统中，每个元胞的状态代表一个原子的自旋态，我们不妨将每个元胞想象为一个具有负电荷或正电荷的磁体。每个磁体都位于一个局部磁场中，物理力量会驱使这个磁体与它的邻居的自旋相匹配。同样的模型也可以用来表征玻璃体和水晶体。
在这里，我们利用这个模型来刻画人与人之间的局部协调或一致性。假设每一个元胞都代表一个人的行动。这里的行动可以是任何行为惯例，例如握手或鞠躬，打断或举手。任何一个人都想选择一个与邻居相匹配的行动。棋盘代表社交网络，在很多情况下，棋盘确实是代表社交网络的适当模型。例如，当房主决定维护自家的院子、植树造林或创建生态景观的时候，又或者礼堂内的人决定是否为表演者起立鼓掌时。 4 虽然棋盘最多只能作为一个粗略的近似，但是我们利用它可以得出核心直觉结论。
如果在计算机上对这个模型进行模拟，就会发现它总是能实现斑块状的均衡配置。在第16章中，我们将给出这种均衡出现的原因。在局部多数模型的物理解释中，斑块状均衡模式对应于受挫状态（frustrated state）。许多元胞在开的状态下有一些邻居，在关的状态下也有一些邻居。
如果我们通过社会视角解释模型，就可以把这种受挫状态理解为次优均衡（suboptimal equilibrium）。如果开对应于以握手的方式表示欢迎、关对应于以鞠躬的方式表示欢迎，那么位于“斑块”边界上的人在与他们的邻居互动时可能会碰到一些尴尬的情况：当其他人准备握手时他们却准备鞠躬，或者当其他人准备鞠躬时他们却准备握手。如果每个人都选择了相同的动作，也就是说，如果他们解决了协调博弈问题，那么从整体上看，所有人都会更加开心。
由于这种互动只作用于局部，因此出现了次优均衡，即受挫状态。相反，如果元胞是根据全局多数原则来匹配的，那么很快所有元胞都会处于相同的状态。这种观点意味着，创建共同行为可能需要影响更加广泛的网络。如果人们只在局部与自己的邻居协调，他们就会创造出各种各样的行为。因此矛盾的是，恰恰是协调导致了多样性。
纯粹协调博弈
在纯粹协调博弈（pure coordination games）中，每个博弈参与者都要在两个行动A或B中选择一个。如果两个博弈参与者都选择了相同的行动，那么每个博弈参与者的收益为1。如果两个人各自选择了不同的行动，那么每个人的收益都为零。
一个纯粹协调博弈有两个有效的均衡：两个博弈参与者选择A或者两个博弈参与者选择B。它还有一个无效的均衡，也就是每个博弈参与者都在A和B之间进行随机选择。我们可以从纯粹协调博弈的角度重新解释局部多数模型：在这个博弈中，每个元胞都是一个博弈参与者，它必须选择一个共同行动来对抗它的8个邻居。如果博弈参与者只有在随机激活时才能改变行动，那么某个博弈参与者就可以通过选择与它的大多数邻居所选择的行动相匹配的行动来增加自己的收益。这种策略被称为短视最优响应（myopic best response），因为它没有考虑到邻居可能的未来行为。
一个博弈参与者有5个邻居选择了B，那么这个博弈参与者可以通过从A切换到B来在短期内增加自己的收益，但是，如果这个博弈参与者和邻居是被其他选择A的博弈参与者的“海洋”所包围的一个孤岛，那么这个博弈参与者保持A不变反而可能获得更高的期望收益。最关键的一点是，局部多数模型中的行为规则虽然只是一个假设的规则，但却可以植根于博弈论模型中。
协调的悖论（paradox of coordination）将不同群体之间的差异解释为一种特异性的分歧。对于某些行为，比如你是将酱油或番茄酱存放在橱柜中还是冷藏在冰箱里，或者当别人走进你家里的时候，是会脱鞋进门还是直接穿着鞋进来，而与其他人协调一致是明智的选择。由此而产生的地区多样性使我们的生活更加丰富多彩。以咖啡为例，意大利的小杯力士烈特（ristretto）、法国的中杯浓缩，以及华沙的大杯咖啡加奶油（kawa ze smietanka）极大地增加了人们在欧洲旅行的乐趣。
但是，其他很多差异却可能是低效的。各种各样的电插头可能会令人抓狂——这里是两个插脚的，到那里却是三个插脚的。随着全球一体化程度的提高，技术协调失败的代价可能是非常高昂的。例如，瑞典政府决定将靠左行驶改为靠右行驶，以便与欧洲大陆其他地区保持一致。这件事非同小可，转为靠右行驶的那一天在瑞典被称为“H日”（Dagen H）。1967年9月3日凌晨4点45分，瑞典行驶在路上的所有车辆以及许多特意在凌晨时分上路参加这个活动的瑞典人都突然停下来，然后，在接下来的15分钟内，所有的汽车都从左侧行驶到右侧。凌晨5点，所有汽车开始在道路的另一侧再次启动，开始靠右行驶。尽管达成协调的动机相当强烈，但是许多时候人们却无法做到。例如，虽然英国已经通过隧道连接到了欧洲大陆，但是英国的车辆至今仍然靠道路的“错误”一侧行驶，而且英国的某些（尽管不是全部）前殖民地也是如此。
协调的悖论
如果人们是在局部进行协调的，那么从全局的角度来看，整体配置将会是斑块状的、多样性的。
应用这个模型时，必须记住，许多帮助我们实现协调的文化习俗，例如人们如何哀悼死者的逝去、如何庆祝孩子的出生，并不是简单的“奇风异俗”，而是文化的重要组成部分，是一系列内在一致的行为规则、惯例的组合；它们定义了一个人到底是谁，给了人们生活的意义和归属感。 5
与任何模型一样，对于局部互动模型，我们也可以对各种参数进行模拟实验，看看改变它们会如何影响结果。在局部互动模型中，均衡时形成的斑块大小增加得比邻域的大小更快。如果我们使邻域，也就是影响网格上一个格子的格子数量增加到原来的两倍，那么斑块会变得比原来的两倍还大。因此，这个模型表明，当技术和城市化使人与人之间的联系更加紧密之后，协调的力量可以产生更大的同质性行为和信念。
模拟实验还表明，如果我们将整个配置变成一个狭长的矩形，那么模型一般来说会产生水平和垂直的条纹，如图15-2所示。 6 斑马状的条纹是一个均衡，因为每个处于开（关）状态的元胞，都有5个处于开（关）状态的邻居。在正方形上，这种类型的模式也是一个均衡，但是很少会真的出现。尽管这种令人困惑的发现有可能导致我们误入歧途，陷入没有什么实证意义或理论价值的问题，但是它们也有可能引导我们得出一些深刻的洞见，从而带来更深层次的意外发现。
图15-2 局部多数模型中稳定的线条
在这个例子中，正方形网格会产生荷尔斯坦奶牛式斑块状模式，而狭长的矩形网格则会产生斑马状的模式这个结果，几乎就是在直接要求我们回答：是不是可以用这里的模型去解释不同动物皮毛上斑点和条纹的特有模式？大量科学研究文献告诉我们，确实可以。 7
生命游戏
接下来我们讨论下一个模型：生命游戏。这个模型也假设位于棋盘上的元胞处于两种状态中的某一种。生命游戏与局部多数模型的关键区别在于，在这里，元胞的更新规则有两个阈值，并且所有的元胞都同步更新自己的状态。因此，在生命游戏中，我们可以说初始配置如何如何，时间1的配置如何如何，时间2的配置如何如何，等等。还可以把同步更新视为一个“进行曲”动态机制（更新！更新！更新！）。 8
生命游戏
方格上的每个元胞都或者是活的（开的）或者是死的（关的）。每个元胞的邻居由网格上的8个相邻元胞组成。元胞根据如下两个规则同步更新自己的状态：
活的规则： 对于一个死元胞，当恰好有三个活的邻居时，这个死元胞就会变活。
死的规则： 对一个活元胞，当活的邻居小于两个时或当有三个以上的活邻居死去时，这个活元胞就会死去。
我们从排在同一条水平线上的三个活的元胞开始讨论，如图15-3所示。在下一个时期，对每个元胞应用上述死活规则之后，我们会得到排在同一条垂直线上的三个元胞。中间的活元胞有两个活着的邻居，所以它还活着。两端的两个活元胞分别只有一个活的邻居，所以它们都死了。最后，中间的活元胞的上方和下方的元胞都变活了，因为这两个元胞分别各有三个活着的邻居。根据对称性，等再下一个时期更新后，又会回到三个元胞组成水平线的情形。如果继续迭代运用上述规则，模型就会在水平线与垂直线之间不断交替，这也就是说，它将会不断“闪烁”。
图15-3 生命游戏中的“闪光灯”
闪光灯是由元胞之间的互动产生的，而不能直接从假设中推导出来。复杂系统学者将这种宏观现象称为涌现。闪光灯是生命游戏产生的涌现结构中最常见的、最不能给人留下深刻印象的一种。图15-4显示了其他三种简单涌现结构：方块、滑翔机和右五连（R-pentomino）。这是一个均衡配置；每个活元胞都有三个活的邻居，每个死元胞最多有两个活的邻居，因此，既没有活元胞死亡，也没有死元胞复活。
图15-4 生命游戏中的三种涌现结构
图15-4中间的配置会产生一个大小为4的循环，该循环沿着对角线向下和向右滑动，成了滑翔机。与之相关的另一个更精致的配置被称为“滑翔机枪”，它能产生无穷无尽的滑翔机。第三种配置右五连能产生一系列复杂的模式。如果我们在大型网格上重复运行模型超过1 000次，这个右五连会生成许多滑翔机、闪光灯以及其他一些较小的稳定配置。生命游戏也可以产生随机性。 9 因此，生命游戏可以根据初始状态产生任何类别的结果。
这种能力甚至引发了一些哲学问题。生命游戏由排列在网格上的、只有两种状态的元胞组成，并运用简单的规则进行更新。它可以生成精美的图案，通过适当的编码，还可以变成一台通用计算机。我们可以把初始模式视为输入，根据规则产生的结果则可以解释为计算。因此，我们可以在这个模型和人类的大脑之间进行一个粗略的类比，因为人类的大脑也是由依赖于基于阈值规则的、在空间上相互连通的简单组成部分构成的，尽管那些规则要复杂得多。
当然，这并不是说我们在生命游戏中观察到模式就可以解释意识了。现在还没有任何一本书名为《生命游戏：意识的解释》，尽管丹尼尔·丹尼特（Daniel C. Dennett） (6) 确实写过一本以《意识的解释》（Consciousness Explained ）为名的书，而且他也认为像生命游戏这样的简单模型可以提供关于意识如何演化的洞见。丹尼特这个思想得到了不少人的共鸣，物理学家斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）就这样写道：“我们完全可以想象，像生命游戏这样的东西，只有少数几个基本定律，就可以产生高度复杂的特征，甚至可能产生智能。” 10
小结
在本章中，我们研究了两个关于排列在网格上的元胞之间的互动模型。第一个模型是局部多数模型，它总是可以达到某个均衡（尽管可能的均衡有许多种），我们可以将这个模型与多种物理过程和社会过程进行类比。第二个模型是生命游戏，它能够产生从均衡到随机的任何一种类型的结果。这个模型与现实世界之间不存在任何明确的联系。生命游戏给出了一个很好的例子，它说明，构建替代现实的模型是怎样帮助我们产生洞察力的，也就是从微观的规则中涌现出动态的宏观层面结构，这可以极大地加深我们对世界的理解。正如生命游戏所呈现的那样，整体可以执行远远超出其各个组成部分的功能。例如，如果我们把两个3×3的方格的角连接起来，画出一个斜8字图形，那么生命游戏就会产生一个长度为8的循环模式。它循环通过一系列模式，然后在恰好8个步骤内回到那个8字图形上。这个模式，从图形上看像8字，它的行为也“好像”知道它要数到8。这确实是非常惊人的。
为什么生命游戏会产生复杂性，而局部多数模型则不可避免地走向均衡？为了理解个中原因，我们还需要更多的分析工具和框架。在第16章中，我们介绍了李雅普诺夫函数（Lyapunov function），它运用差分方程对世界状态进行分类。细致地构建出一个李雅普诺夫函数之后，我们就可以解释为什么局部多数模型必定会达到平衡，而生命游戏则不一定。
最后要强调的是，正是在我们对模型进行探索的过程中，才使模型（以及现实世界）是否会产生均衡、周期性、复杂性或随机性这个问题突显了出来。确实，模型既能够回答问题，也能够提出问题。它们关上了一些门，同时又打开了更多的门。
16 李雅普诺夫函数与均衡
数学之美，只会呈现给那些更有耐心的追求者。
玛丽安·米尔札哈尼（Maryam Mirzakhani）
在本章中，我们学习李雅普诺夫函数，它给出了模型能够实现均衡的条件。李雅普诺夫函数是在按时间索引的配置系统上定义的实值函数。在每个时间步骤中，李雅普诺夫函数都要给配置分配一个值。如果配置发生了变化，也就是说，如果模型不处于均衡状态，那么李雅普诺夫函数的值就会减小一个固定量。李雅普诺夫函数也具有最小值，这意味着到了某个时间点上，它的值最终必定会停止递减。当发生这种情况时，模型就达到均衡了。例如，我们可以使用李雅普诺夫函数来证明，为什么局部多数模型一定会收敛。
本章的核心结论是，如果能够为模型构建一个李雅普诺夫函数，那么模型必定会达到均衡。在这种情况下，我们不可能得出周期性、随机性或复杂性。更重要的是我们甚至可以确定模型收敛到均衡所需的时间，这一点在为局部多数模型构造李雅普诺夫函数中可以看得很清楚。
本章的内容分为6个部分。我们首先定义了李雅普诺夫函数，然后将李普雅诺夫函数应用于对逐底竞争博弈（Race to the Bottom Game）的分析。然后，我们分别为局部多数模型和自组织活动模型构建了李雅普诺夫函数。接着，我们证明了为什么可以为某些交易市场构建李雅普诺夫函数，却不能为另外一些交易市场构建李普雅诺夫函数，同时也分析了为什么生命游戏没有对应的李雅普诺夫函数。接着，我们讨论了一个看似令人烦恼的数学问题：在不能找到李雅普诺夫函数的情况下达到均衡。本章最后讨论了均衡是否可取的问题。
李雅普诺夫函数
一个离散动态系统（discrete dynamical system）由可能的配置空间，以及一个转移规则（transition rule）组成。我们可以把配置空间视为世界的多维状态，例如生命游戏中的活元胞和死元胞的初始集合，而转移规则则是将时间t 时的配置映射到时间t +1时的配置上。
一个李雅普诺夫函数是从配置到实数的一个映射，它满足两个假设：第一，如果转移函数不处于均衡状态，则李雅普诺夫函数的值就会减少某个固定的数量（对此，稍后会给出更多的解释）；第二，李雅普诺夫函数具有最小值。如果这两个假设成立，那么该动态系统必定达到均衡。
