但是，这种短视的解决方案会导致学生陷入无聊状态。一旦发生了这种情况，他们就会选择上网，并在所有剩余时间内一直保持无聊状态。因此，他们的长期平均回报等于6。而总是选择学习的解决方案则会在他们75%的时间里处于充实状态，只在25%的时间里处于无聊状态，从而得到的长期平均回报为7。这个解决方案产生了更高的平均回报，因为他们更多地处于充实的精神状态。
正如这个例子所表明的，将一个决策问题表达为一个马尔可夫决策模型，可以告诉我们更好的行动是什么。通过考虑行动对状态的影响，我们会做出更明智的选择。晚睡与早起和锻炼相比，会产生一个更高的直接回报，购买昂贵的咖啡比自己动手制作咖啡产生更高的回报。然而，从长远来看，我们可能会更乐于坚持锻炼和节省咖啡钱。那么，我们需要一个模型吗？不一定。相反，我们也许只需要时时记起《圣经·箴言》21:17就可以了：“爱宴乐的，必致穷乏；好酒爱膏油的，必不富足。”这可能是对的；但是我们同时可能记得《圣经·传道书》8:15所说的：“我颂赞喜乐，因为世人在天日之下再好不过的，就是吃喝欢乐。”是的，我们总能找到一对相反的谚语。通过将我们的选择嵌入马尔可夫决策模型中，可以使用逻辑来确定在给定的情境下，哪些常识性的建议真的有用。
18 系统动力学模型
我们尚未充分理解支配系统行为的原理。
杰伊·赖特·福雷斯特（Jay Wright Forrester）
在本章中，我们将介绍一系列系统动力学模型。 1 这些模型可以分析那些有反馈和相互依赖性的系统，可以用于对生态和经济、供应链和生产过程建模。系统动力学模型提高了我们通过包含正反馈和负反馈的逻辑链进行思考的能力。系统动力学模型通常要包括源（source）、汇（sink）、存量（stock）、流量、速率和常数等组成部分。源产生对系统的输入，汇吸收输出，存量跟踪变量的水平，流量刻画各存量水平之间的反馈，速率和常数用于流量，流量可以是随时间变化的，也可以是固定不变的。
系统动力学模型可以同时包括正反馈和负反馈。当变量或属性的增加导致同一变量或属性的更大增加时，就会出现正反馈，第6章中讨论的马太效应就是如此，成功会带来更大的成功，畅销会带来更大的畅销。就学术论文和专利而言，引用会导致更多的引用。
负反馈会抑制趋势。我们必须小心，不要从“负”这个词的字面含义推出任何规范性的含义。负反馈往往能够带来理想的属性，防止泡沫和崩盘。当我们吃东西吃到饱时，大脑会收到停止进食的信号；当企业的利润超过了正常的经济回报时，竞争者就会进入，使在位者的利润减少并防止他们剥削消费者；当一个物种过度繁殖时，它的成员会为食物展开竞争，从而使增长率下降。在这些情况下，负反馈都有助于系统层面的鲁棒性。
使用系统动力学模型，我们通常可以确定复杂性的原因。当系统既包括正反馈又包括负反馈时，就会产生复杂性。在生命游戏中，活元胞会导致新元胞变活，但是过度拥挤又会导致元胞死亡。
这些模型可以将流量和存量水平表示为数学函数。我们可以校准这些定量模型，以便解释过去的存量值、预测未来值，同时估计干预措施的影响。然后，我们就可以利用这些模型解释、预测和指导行动。这些模型也可以是定性的，可以用加号或减号标记每个箭头以表明内在逻辑。 2
本章内容由五部分组成。在第一部分中，为了引入系统动力学的术语体系，我们先构建了一个定性的面包店模型。在第二部分中，我们构建了一个基于洛特卡-沃尔泰拉方程（Lotka-Volterra equation）的捕食者-猎物模型。我们这个版本假设了存在狐狸和野兔两个相互作用的种群，并同时嵌入了负反馈和正反馈。在第三部分中，我们阐述了如何利用系统动力学模型来预测恶性循环。在第四部分中，我们描述了WORLD3模型，它是一个关于全球经济的巨型模型。最后，在本章的结论部分，我们讨论了系统动力学模型为什么经常会产生违反直觉的结果，这些结果证明了人类直觉推理的局限性和模型作为逻辑辅助工具的价值。
系统动力学模型的各个组成部分
任何一个系统动力学模型都由源、汇、存量和流量组成。源产生存量；存量是某个变量的数量或水平；流量描述了存量水平的变化；汇能够捕获来自存量的流量输出；汇和源是不包含在模型中的过程的“占位符”；存量水平会根据源和流量随时间推移而变化。例如，在一个关于游乐园的系统动力学模型中，公园中的人（一个存量）的人数会随着人们的到来（一个源）而增加，而增加的速度可能又取决于其他参数，例如天气状况、广告投入和门票价格等。
系统动力学模型使用如图18-1所示的表征系统。源和汇用云表示，存量用方框表示，流量用箭头表示并附以加号或减号标识，可变流量用倒三角形表示，而不变流量则用被流量箭头对穿的圆圈表示。正箭头表示正反馈（更多会带来更多），负箭头表示从一个变量到另一个变量的负反馈。
图18-1 系统动力学模型的组成部分
为了让读者尽快熟悉这套符号，在这里先给出一个由面包师、面包和顾客组成的简单的面包店系统动力学模型：面包师制作面包，顾客购买面包。如果面包师生产面包的速度超过了顾客购买面包的速度，面包的库存量就会增加，面包店将会堆满面包。或者，如果卖出面包的速度超过了面包师生产面包的速度，面包店将永远处于卖光的状态。为了使模型更加真实，我们可以假设让面包师根据面包的存量来调整面包生产的速度，如图18-2所示。在这幅图中，包括了一个从面包库存量到面包师生产面包的速度的流量（一个箭头）。我们在这个箭头上放了一个负号，以表示随着面包库存量的增加，生产面包的速度会下降。如果适当地调整速度，模型将产生一个均衡，使面包生产速度收敛于顾客购买面包的速度。
图18-2 一个关于面包店的系统动力学模型
为了使模型更加真实，还可以加入第二个存量排队长度，它等于在面包店外等待的人数。然后再加入第二个源，即潜在顾客，它会增加排队的人数。排队长度较短或适当，可能会吸引更多顾客，而过长的排队长度则会让客户流失，导致他们调头而去。为了刻画排队长度对来自源到达速度的影响的这种可变性，我们在这个箭头上方标记了（+/-）的符号，还在从排除存量线条到顾客购买面包速度的箭头上方加了一个加号，表示排队的人越多，客户购买面包时做决策的速度越快，如图18-3所示。
图18-3 一个更加精细的关于面包店的系统动力学模型
这个模型可以根据数据进行校准。我们可以估计出人们根据排队长度加入排队队伍的速度。然后，面包师可以根据面包存量和排队长度确定烘焙的最佳速度。这个速率将提供一个起点，从中可以获得更好的速率。即使没有校准，编写模型的行为本身也增加了价值。面包师很清楚排队的长度对整体销售量的重要性。
捕食者-猎物模型
我们现在介绍捕食者-猎物模型，这是一个用来刻画野兔数量（猎物）与狐狸数量（捕食者）之间关系的生态模型。这个模型包括两个正反馈：野兔生下野兔、狐狸生下狐狸。它还包括一个负反馈：狐狸吃野兔。该模型假设野兔的存量水平很高，狐狸会产生更多的后代。图18-4定性地表示了这些假设，但没有量化关系。从图中可以看出，随着狐狸数量的增加，野兔数量的减少，从而又导致狐狸数量减少。而随着狐狸数量的下降，野兔数量应该增加，进而导致更多的狐狸。逻辑表明了循环的可能性，也可能是均衡，但我们无法确定。
图18-4 捕食者-猎物模型的系统动力与模型
为了更加深入地了解到底发生了什么，我们需要构建出这个模型的定量版本。假设流量是线性的，取决于存量水平。再假设在没有狐狸的情况下，野兔的数量以固定的速度增长，而在没有野兔的情况下，由于缺乏食物，狐狸的数量以固定的速度减少。再假设，在这个模型中，野兔和狐狸相遇的概率与狐狸数量乘以野兔数量的积成正比。为了捕捉发生这种相互作用时吃野兔的狐狸的行为，假设狐狸的数量以某个恒定的速度乘以上述乘积的速度生长，同时野兔的数量则以某个恒定的速度乘以上述乘积的速度减少。由此而得到的方程就是通常所称的洛特卡-沃尔泰拉方程。
洛特卡-沃尔泰拉方程
假设一个生态系统由H 只野兔和F 只狐狸构成。野兔的数量以g 的速度增长，狐狸的数量则以d 的速度减少。当野兔和狐狸相遇时，野兔以a 的速度死亡，狐狸以b 的速度增长。根据这些假设，可以给出如下微分方程组： 3
从这个微分方程组可以推导出两个均衡，一个是灭绝均衡，即F =H =0；一个是内点均衡，即 和 给出。
这两个微分方程分别描述了野兔和狐狸的数量随时间而发生的变化。当方程等于零时，野兔和狐狸的数量不再改变，系统处于均衡状态。第一个均衡，即灭绝均衡（extinction equilibrium），是说野兔和狐狸都不复存在。因此，这个模型预测，在一定条件下，捕食者-猎物这种关系会导致两个物种同时灭绝。当然，不是所有情况下都会发生这种事情，不然的话，地球上也就不会有任何物种存活了。
第二个均衡是内点均衡（interior equilibrium）。在内点均衡中，狐狸和野兔的数量均为正。在这种均衡状态下，狐狸的数量随野兔的增长速度而增加，但是如果狐狸和野兔之间的每次相遇都会导致野兔种群规模以更快的速度减少的话，狐狸的数量就会减少。这两个结果都很直观：如果野兔繁殖更快，那么这个生态系统可以养活更多的狐狸；如果每只狐狸都需要更多的野兔才能活下去，那么这个生态系统就只能养活更少的狐狸。两个结果都符合我们的直觉，我们想要的也正是这样的结果：模型应该能产生符合直觉的结论。
但模型也应该能够产生不那么直观的结论。幸运的是，这个模型也正是如此。它表明，狐狸的均衡数量完全不依赖于狐狸的死亡率。如果狐狸以更快的速度死亡，野兔的均衡数量就会增加，剩下的狐狸的食物就会更加丰富，而这就意味着狐狸的增长速度更快。狐狸的快速增长速度恰好抵消了狐狸更高的死亡率。
类似的逻辑同样适用于野兔种群。野兔的均衡数量不依赖于野兔的增长速度，也不依赖于野兔被狐狸吃掉的速度，相反，野兔的数量取决于狐狸的死亡速度和狐狸将野兔吃掉“转化为”更多狐狸的速度。对于这些结果，直觉“失败”了，因为我们无法直观地想清楚这里面的反馈机制。野兔增长速度提高的直接影响是会有更多的野兔，间接影响是会有更多的狐狸，而这又意味着更少的野兔，这两种效应会相互抵消。能够得出像这样的非直观结论，正是系统动力学模型的标志特征。直觉在这里“失败”了，因为我们只锁定了直接影响而未能思考整个逻辑链。即便增加（或减少）速度或流量的直接影响是增加（或减少）存量，系统以正反馈和负反馈的形式产生的影响也意味着，其他存量的值也会发生改变，因此速度或流量变化的净效应可能会减少、会被抵消，甚至可能会被逆转。
通过数学演算，我们可以证明洛特卡-沃尔泰拉方程存在这两个均衡，但是并不知道这两个均衡当中哪一个会实现。确实，如果模型在一开始就处于某个均衡状态，那么它将保持在那个均衡状态。但在运行模型之前，我们并不知道这个方程组是否将会产生均衡、周期性、随机性，抑或复杂性。我们所知道的只是，均衡的确存在。
对方程的模拟会产生滞后循环（lagged cycles）。首先，其中一个物种变得“人口众多”，然后，它的数量开始减少，另一个物种的数量开始增加。实证研究表明，这种循环确实很常见。图18-5显示了位于苏必利尔湖中的一个纵长72千米的名为罗亚尔岛（Isle Royale）的岛屿上，狼（捕食者）的数量与驼鹿（猎物）的数量50年来一直处在此消彼长的过程中。不难注意到，捕食者和猎物物种规模的波动，都呈现出了滞后循环的特征。由于模型省略了地理因素、其他物种的影响、天气的变化、物种内部的异质性等，因此其模式并不像我们预期的那么规则。
图18-5 罗亚尔岛上的狼和驼鹿
对洛特卡-沃尔泰拉方程的上述分析进一步支持了我们早先的观察结论，也就是不应该将均衡的存在与均衡的实现混为一谈。在图中所示的这种情况下，系统产生的是循环而不是均衡。不过，动态循环是围绕着均衡发生的。因此，均衡可以告诉我们，狐狸和野兔的数量平均来说是多少。由此可见，我们早先得到的违反直觉的结果，也就是提高狐狸（或野兔）的增长速度对狐狸（或野兔）的均衡规模没有影响，在总体层面上仍然是成立的。
系统动力学模型的应用
系统动力学模型既可以包括正反馈回路，也可以包括负反馈回路。正反馈回路会导致良性循环，例如，当两个国家之间的信任度提高，会导致贸易上升、军事对抗减少，从而进一步增进信任。但是，正反馈回路也可能导致恶性循环，例如，某个地区就业机会的减少，可能会削弱人们学习掌握技能的动力，而这反过来又可能导致企业由于缺乏合格的劳动力而迁离这个地区，进而进一步减少工人去努力获得技能的动力。
系统动力学模型可以帮助我们预测恶性循环。2008年，许多国家的经济都面临着严重的金融压力。当资产价格下跌时，过度杠杆化的银行离破产只有一步之遥，投资者和储户开始担心他们投资的安全。有些国家，如美国，只在一定限度内对银行存款进行保险；而在其他一些国家，例如在澳大利亚，则根本不存在存款保险。
为了防止恐慌，澳大利亚决定引入存款保险制度。逻辑上看似乎是合理的：对存款保险可以防止银行挤兑。但是，这种想法其实只考虑到了系统的一部分。在引入存款保险制度的过程中，这种制度本身的一个缺陷会导致悲剧性的后果。如果把相关的系统动力学模型写出来，这一缺陷就会变得很明显。在关于金融系统的系统动力学模型中，每个银行（都是一个存量）都有一定的资产规模。储户将钱存入银行并获得一定回报，银行的借款人用这笔钱进行投资。存款保险制度保证存款人放在银行的资金的安全。
此外，人们还会将资金投入股票市场和货币市场基金。每种类型的投资都是存量。一旦我们开始在各种存量之间绘制箭头，即存量之间的流量，存款保险这种制度的缺陷就会变得很明显。存款保险制度的直接影响能够提高银行的安全性，从而使银行更具吸引力（图18-6中的箭头1）。但是，它同时还会使其他类型的投资变得不那么有吸引力。想象一下，假设在那个动荡的金融危机时期，你自己是一个投资者，在银行和货币市场上都投入了一定资金。现在，你的银行存款已经投保了，但是你的货币市场基金则没有。因此，谨慎的行动是增加银行存款（箭头2）并退出货币市场（箭头3）。
图18-6 金融系统的系统动力学模型
随之而来的是一个恶性循环：货币市场投资的减少使它的风险增加，而风险增加又导致更多的资金从货币市场撤出，从而形成了一个正反馈回路（图18-6中的循环路径4）。撤出资金提高了风险，而风险的上升又会导致更多的提款，从而导致更大的风险。这个政策似乎肯定会造成货币市场的崩溃，现实也确实如此。在决定为银行存款提供保险的短短四天之后，政府就不得不冻结了货币市场上的所有账户，不然整个行业都会彻底崩溃。显然，这个决定带来了灾难性的后果。数以百万计的退休人员，都需要从这些账户中提取资金去购买食品、交纳房租，支付其他基本必需品。 4
虽然从“事后诸葛亮”的角度来看，这种恶性循环似乎是显而易见的，但是我们其实无法保证，即使澳大利亚的决策者当时已经构建了一个系统动力学模型，他们明白采取这项政策会带来的恶劣后果。重要的是，写出这样一个模型，至少有可能会帮助他们看到，银行存在保险制度会在金融体系内产生更加广泛的影响。如果是这样，他们应该是有可能会注意到这个恶性循环的。这个例子还说明了数据的局限性。来自其他国家的数据表明，保险存款制度有助于稳定金融体系。但是，在这些国家，存款保险制度并不是在金融危机期间创立的，因此这种经验数据对澳大利亚当时的政策选择没有意义。
WORLD3模型
接下来，考虑一个更复杂的涵盖了全球经济的系统动力学模型，这个模型通常被称为WORLD3模型。WORLD3模型最早出现于20世纪70年代，当时这个模型预测世界经济行将崩溃，除非各国政府改变自己的经济增长政策和环境政策。 5 WORLD3模型包括了在一个共同的框架内以不同速度增长的多个彼此互动的过程，因而利用它，决策者能够看到各种各样的相互依赖关系。 6 但是，主流经济学家往往不看重WORLD3模型，因为在他们看来，这个模型一方面过于复杂，另一方面又没有考虑到经济行为主体的理性反应。
这个模型假设，人口和经济产出每年以某个不变的百分比增长，但是经济产出会造成污染。随着时间的推移，土地的生产力下降，人口规模将超过经济提供商品的能力限度，那时世界经济就会崩溃。这个预测不禁让我们联想到托马斯·马尔萨斯在差不多两个世纪前提出的那个可怕的警告。
这个模型包含了大约150个变量、300个方程和500个参数，生育率、经济增长率和土地使用率等无不包括在内。要校准这个模型，必须根据数据估算出这些参数的增长率。WORLD3模型还包括了变量之间的相互作用，这意味着多个参数的变化通常会产生非线性效应。因此，检验模型的鲁棒性需要不断尝试同时更改两个变量、三个变量的多种组合。500个参数可以产生超过12 000个参数对和超过2 000万个参数三元组。对任何人来说，这无疑都太多了。
这个模型的预测是，到2100年，全世界人口将会减少到40亿。不过，约翰·米勒（John Miller）发现，只要调整两个参数——分配给消费的工业产出比例和女性的生育周期长度，就能够使模型预测的世界人口几乎增加一倍，即达到74亿。正反馈带来了巨大的增长。更长的生育周期意味着更多的孩子，他们又需要更多的食物。增大食物在产出中的份额可以让更多儿童生存，生存下来的女性有更长的生育周期，于是生下来的孩子更多。最终结果将是人口大规模增长。 7
参数的小小变化，就会导致人口增加一倍，这个结果会带来很多麻烦。不过，结果依赖于参数这个事实本身并不是一个弱点。相反，构建这个模型的目的就是为了指导行动、帮助识别有效的政策。例如，这个模型证明，降低生育率能够降低人口增长速度（事实证明确实如此）。再者，由于这个模型已经经过了校准，因此它还可以给出人口增长速度到底可以减少多少的估计值。因此，我们可以将这个模型包括在一个模型集合中，以便得到更加准确的预测。
随着时间的推移，这个模型最初的预测变得不那么准确了，部分原因是随着人口的增长，人口增长率已经放缓，它们不再符合模型的假设，这正是经济学家早就预料到的一种适应性反应。 8 虽然WORLD3模型的倡导者接受了这种批评，但是他们也指出，这个模型的许多预测，包括与经济增长和世界总人口有关的预测都是非常准确的。至于生育率的降低，这个模型的倡导者认为，如果WORLD3模型的失效是它自己的原因所导致的——因为这个模型使人们认识到了人口过剩问题的严重性和环境的重要性，他们对这种错误的态度是乐见其成的。
小结
在构建系统动力学模型时，我们选择了关键的组成部分（存量），描述了这些部分之间的关系（流量）；然后我们用系统动力学模型进行模拟实验，以发现它的含义。这些模型与马尔可夫模型的不同之处在于，在这里速度是可以调整适应的（它起到了转移概率的作用）。因此，这种模型不一定会达到均衡。我们必须运行模型才能看清楚会发生什么。此外，因为不必求解结果，所以也不用担心假设的易处理性。
系统动力学模型可以包含许多变量，而且可以包括这些变量之间任何类型的反馈。我们当然也可以构建不存在这些东西的模型，但是一旦绘制出了定义存量的方框，建模者就几乎无法在它们之间绘制出一些箭头来。建模者觉得自己有义务追问：“还有哪些其他变量也可能会受到影响？这些变量的变化又如何反馈回当前的模型中？”这些问题会带来更加精细的模型。
当然，这种灵活性也可能是需要付出代价的：创建的存量和流量越多，模型就会变得越难以理解。构建一个有用的系统动力学模型的“艺术”体现在，既要包括足够多的细节来揭示我们的直觉哪里行不通，但是也不能包括过多的细节，以至于会创造一个像现实世界一样混乱的泥淖。最有用的系统动力学模型都位于那个边界上。这些模型可以揭示出意想不到的效应，并有助于更好地采取政策行动。正如在本章前面的内容中看到的，即使是意图极好的政策，例如澳大利亚政府推出的存款保险制度，也可能会产生不良后果。
系统动力学模型还阐明了负反馈回路会怎样限制干预政策的效果。强制要求汽车增加安全功能的法律，例如安装防抱死制动系统或安全气囊，可能会导致人们更加鲁莽地开车，进而导致更多人受到伤害。道路加宽可能会导致更多人搬到郊区，从而进一步加剧拥堵。减少香烟中的尼古丁含量则可能会导致吸烟者消费更多的香烟。为性传播疾病开发更好的治疗方法可能会使人们更容易做出不安全的性行为。这样的例子不胜枚举。 9 从事后回顾的角度来看，这些负反馈中有许多似乎都是显而易见的，但是要想提前做出预测，可能就不是一件容易的事情了。写出一个定性的系统动力学模型能够使这些反馈回路变得清晰，从而帮助我们成为更好的思考者。
系统动力学模型会鼓励我们把反馈包含进模型中，这个事实恰恰是这种方法的优势所在。1696年，英国国王威廉三世推出了一项宅基地税，规定每栋房子的基本税率为两先令，另外还根据窗户的数量收取额外的税收：窗户数量在10扇至20扇的房子要额外缴纳4先令的税，窗户数量超过了20扇的房子则要额外缴纳8先令的税。国王之所以要对窗户征税，是因为它们是可观察的（可以客观地加以测量），并与住房价值相关。如果国王依赖对房子不动产价值的评估，就会出现很多偏袒和贿赂现象。这种对窗口征税的方法是一个好主意。因此在接下来的一个世纪里，这个方法传播到了法国、西班牙和苏格兰。直到1926年，法国才最终废除了窗口税。
作为模型思考者，我们有理由预期有目的会适应的人们会对税收政策做出反应。当然，他们确实以各种各样的方法做出了反应。有些人把房屋上原有的窗户用砖头砌上了。聪明的建筑师很快就提出新的住房结构设计。在这种税收期间建造的许多中产阶级住宅，二楼卧室都没有窗户。在爱丁堡，有一大排房子的卧室完全没有窗户。 10 于是税收收入随之下降了。在这里，坎贝尔定律再一次发挥了作用：政客们制定了一个制度，但是人们找到了“绕过它”的方法。更精细的系统动力学模型应该还会考虑到窗口减少带来的影响。它将包括从被称为“窗口”这种存量到其他性质的箭头，例如民众的健康——民众的健康会因缺乏新鲜空气和日照而受到损害。
系统动力学模型的巨大价值部分在于，它们能够帮助我们深入思考自己行动的影响。我们通常都能够考虑到政策的直接影响：对窗口征税能够增加收入；安装防抱死制动器能够挽救生命。但是我们并不一定随时都会考虑到间接影响，也就是各种正反馈和负反馈。这些模型恰恰能帮助我们更清晰、更深入地进行思考。
19 基于阈值的模型
种族、民族以及其他阶层的融合标志着显著的社会不平等，这是民主社会的至关重要的理想。
伊丽莎白·安德森（Elizabeth Anderson）
在本章中，我们将介绍基于阈值的模型。当外部变量超过或低于特定的阈值时，人们的行为所发生的变化，就是基于阈值的行为（变化）。例如，当一个人决定在价格低于100美元时购买一件外套，或者当某项社交活动的参与者人数达到1 000人就加入进去时，就会出现基于阈值的行为。基于阈值的行为很直观，也不难分析，但往往会产生违反直觉的结果，例如当宽容行为反而导致隔离时。基于阈值的模型也可以产生临界点。例如，当一个人加入社交活动的决定取决于已经参与了该项活动的人数时，随着越来越多的人参与该活动，参与者的总人数也超过了其他人的阈值，从而导致了更多的人加入。
本章中讨论的模型也可以归类为基于主体的模型。在计算机领域，基于主体的模型指可以单独为每个主体建模的计算机程序。基于主体的模型比系统动力学模型具有更细的粒度。系统动力学模型用单个存量变量表示整个群体，而基于主体的模型则做到了在空间中定位主体，并且可以包括行为多样性。由此增加的自由度当然可以带来一些优势，但是我们必须记住，过多的细节会与要建模的原因相冲突。例如，在构建一个用来讨论人们如何选择参加某项社交活动的模型时，就不应该对人们大脑中的每个神经元进行建模。最优粒度水平取决于模型的目的。
本章从格兰诺维特（Granovetter）的骚乱模型（riot model）开始讨论，接着引入这个模型的双重骚乱版本，用来对初创企业的成长过程进行建模。然后介绍两个隔离模型：第一个讨论参加聚会的一群人如何在不同房间之间移动，第二个讨论城市规模上的隔离。接下来，讨论乒乓球模型（ping pong model），它包括了负反馈，可以产生循环或均衡。在本章末尾部分的讨论中，我们将重新回到生命游戏，分析双重阈值规则如何导致了正反馈和负反馈的结合。正反馈会产生相关行为，而那正是负反馈所要抑制的。本章还会进一步讨论模型粒度问题。
格兰诺维特的骚乱模型
在基于阈值的模型中，个体根据某个总量变量是否超过阈值而决定采取两种行动中的哪一种。如果变量的值超过阈值，个体就采取一个行动，否则，就会采取另一个行动。我们要讨论的第一个阈值模型刻画的是骚乱和社会活动。在这个模型中，每个人都可以选择参加骚乱或者不参加，如何选择取决于参与骚乱的人数。模型没有预设任何规范立场，这里所说的骚乱或社会运动，既可以指对暴君的正义反抗，也可以指足球流氓毁坏财物的非法行为，模型对这两类情况都适用。
骚乱模型为每个人分配一个阈值。当参加骚乱的人数超过那个阈值时，这个人就会参加骚乱。 1 一开始，只有那些阈值为零的人才会参加骚乱。考虑到本书的研究目的，这里所说的“骚乱”是一般的社会活动而不是暴乱，因此在这种情况下，参加骚乱也无非是指参与聚会。假设第一天，有200个阈值为零的人发动了一场社会活动。第二天，这200人继续参加，于是参与阈值低于200的人也加入了他们的行列。假设第二天新加入的人有500人，那么第三天，阈值低于700的人也会加入。而这可能会涉及好几千人。
骚乱模型
假设有N 个人（用i 来索引），每一个人都有一个“骚乱阈值”（riot threshold），不妨记为T （i ）∈{0，1，…，N }。在一开始，骚乱总产值为零，即T （i ）=0的那些人都会参加骚乱。令R （t ）等于在时间t 参加骚乱的人的数量。在时间t 上，如果T （i ）<R （t -1），那么第i 个人就会参加骚乱。
骚乱模型的三种情况
对骚乱模型的分析表明，阈值的多样性至少与平均阈值一样重要。原因可以通过比较如下三种情况来说明（它们都涉及1 000人）。在第一种情况下，每个人的阈值都为10，因此不会发生社会运动。在第二种情况下，有5个人的阈值为零，10个人的阈值为1，其他人的阈值均为20。那么在这种情况下，一开始会有5个人发起社会活动，第二天会有10个人加入，但此后就再没有其他人加入了。
在第三种情况下，这1 000人中每个人都有一个独特的阈值，范围为从0到999。为了方便起见，我们可以根据这些人的阈值将他们编号为0至999号，第i 个人的阈值为i 。第一天，第0号人发起一场社会活动，第二天第1号加入，第三天第2号加入……如此类推，每天都有一个“新”人加入，直到所有1 000人都参加这场社会活动为止。
不难看出，第一种情况的平均阈值最低，但是不会发生社会活动，因为没有人的阈值为零。在第二种情况下，虽然有一些人的阈值为零，但是仍然不足以发动一场广泛参与的社会活动。只有在最后一种情况下，社会活动才会成功。
这个模型表明，阈值的总体分布是非常重要的，而不仅仅只有阈值的均值才重要。因此它也说明，要预测哪些社会活动将会成功有很大的困难。这个模型还可以指导行动，它可以告诉那些希望发动社会活动的人们：要取得成功，除了组织一个核心革命团体之外，还需要“发动群众”，也就是“创建”一个愿意加入他们的群体。
骚乱模型有各种各样的变体，可以用来分析人们什么时候会起立鼓掌、人们的观点会怎样变化（例如，会不会接受同性婚姻）、时尚潮流的改变（例如，愿不愿意佩戴蝶形领结），以及市场动态演变（例如，是否投身于股市泡沫或房地产泡沫）。在所有这些情况下，人们的行为都可以通过基于阈值的规则来近似，而且该阈值因人而异。在所有这些情况下，发生大事件的可能性——无论是大规模社会活动，还是厚边框眼镜的大范围流行，都可能在很大程度上取决于阈值的分布而不是阈值的均值。
市场创造和双重骚乱
骚乱模型还可以扩展到用来分析互联网初创企业。这些初创企业能够创造出新的买家和卖家市场。要想创造一个新的市场，初创企业必须创造一群买家和一群卖家。例如，致力于将狗主人与狗保姆匹配起来的网站，就需要让狗保姆和狗主人到网站上注册，对于提供包裹配送、运输或清洁服务的网站来说也是这样。这些网站要想取得成功，必须先“创建”出这样两个群体，而且必须保证这两个群体以大致相同的速度增长，否则，卖家或买家将无法找到匹配的另一方。换句话说，初创企业必须同时制造出两场“骚乱”。
成功的初创公司爱彼迎（Airbnb）提供了一个关于双重骚乱的例子。爱彼迎很好地将试图出租房子的人与寻找短期住处的人匹配了起来。为此，爱彼迎需要创建两个人群：求租房子的人和出租房子的人。只有当爱彼迎的网站有足够多的可供出租的房子时，想租房子的人才会访问他们的网站。因此，需要让愿意出租房子的人到爱彼迎的网站上注册，并将他们的房子挂牌出租。爱彼迎的前两次发布都失败了，因为将房子在网站上挂牌出租需要房东付出不少时间，需要上传不少图片并填写其他一些信息。在爱彼迎拥有大量租房者之前，没有房东愿意将自己的房源放到他们的网站上挂牌出租。
因此，一方面，爱彼迎需要有足够多的挂牌房源在租房者当中造成一场“骚乱”，也就是让足够多的租房者来到他们的网站求租房子；另一方面，他们也需要足够的租房者，以便在那些想要出租房子的人当中制造一场“骚乱”。爱彼迎能否成功，取决于这两个人群的阈值。相比之下，难度更大的是怎样让房东将房源放到他们的网站上挂牌出租，因为这需要房东付出更多的努力。爱彼迎克服这个难题的方法是：挨家挨户地上门，帮助房东将他们拥有的房子在爱彼迎的网站挂牌出租。一旦完成了这个任务，租房“骚乱”就开始了，随后又出现了挂牌“骚乱”。 2 爱彼迎之所以能够成功地创造出这个市场，是因为它的创始人能够培育出足够数量的初始租户，并以此触发双重骚乱。他们先创造出了一条狗尾巴，然后用狗尾巴拉出了一只狗。
谢林派对模型与谢林隔离模型
接下来要讨论的两个模型都是经济学家托马斯·谢林提出的，谢林用它们来分析种族隔离问题。人们在很多个尺度上按种族和民族隔离，先按不同的国家隔离，在国家内部又按地区隔离。在美国，城市内部还会出现社区层面的种族隔离。对于这些，有人说这是种族不宽容的证据。但是，这个结论与越来越多的跨种族、跨民族通婚的证据相矛盾。同一群人，既然决定不与不同种族的人住在同一个社会，甚至不愿意与不同种族的人在一张桌子上吃午餐，但是他们却选择与不同种族的人结婚，怎么会这样呢？
如果跨种族婚姻中的那些人，和不与不同种族的人共坐一张桌子上的那些人，分别属于不同的社会阶层，那么我们或许可以解释这些事实，但是事实并非如此。跨种族婚姻在所有收入水平上都有发生，同时在美国最顶尖的大学和学院里也可以发现“种族隔离”的午餐桌。幸运的是，谢林的模型可以同时解释这两组事实，它们说明了宽容的行为也会导致种族隔离。
谢林派对模型
第一个是谢林派对模型（Schelling's party model）。在一定意义上，可以认为这个模型是随机游走和骚乱模型的“混搭”。谢林派对模型描述了一个在一幢有两个房间的房子里举行的派对。这个派对邀请的客人可以分为两个类型，这里的类型可以是男性和女性、黑人和白人、西班牙人和澳大利亚人、哥特人和印第安人……但这都不会影响结果。关键的假设是，每个人都能够区分其他人所属的类型。
谢林派对模型
N 个人参加一个派对，每个人都有一个可观察的类型A或B。每个人随机选择两个房间中的一个。在每个时刻，每个人都有p 的概率走到另一个房间去。第i 个人的宽容阈值为T i 。对于这个人，如果他所属的类型的人在当前房间内所有人当中所占的比例低于这个阈值，他就离开这个房间。
为了理解隔离是如何在这种存在“宽容”的情况下产生的，假设前来参加派对的是20名澳大利亚人（A）和20名巴西人（B）。每个人都是宽容的，只要同一个房间里有25%的人与自己属于相同的种族，他们就会留在这个房间里。再假设一开始，有一个房间里待了12名澳大利亚人和9名巴西人，另一个房间则有8名澳大利亚人和11名巴西人。这样没有人觉得自己必须走到另一个房间去，但是两个房间之间会有随机移动，这种随机移动会改变每个房间内的“种族结构”。在图19-1中，一个房间里待了11名澳大利亚人和4名巴西人。这个配置处于一个临界点上：只要任何一名巴西人离开，巴西人所占的“人口比例”就会降低到25%以下，从而导致其余3名巴西人也选择离开。如果发生了这种情况，就永远也不会有巴西人再进入那个房间。
图19-1 一个很容易导致隔离的配置
回忆一下随机游走，我们说过随机游走能够越过任何阈值。一个房间里的澳大利亚人的数量是一维随机游走。因此，如果派对持续时间足够长，那么隔离就是不可避免的。当然，即便是最好的聚会也不一定能持续得“足够久”，所以并不是所有派对都会以隔离而告终。我们也知道，派对规模越大，隔离结果越不可能出现，因为当参加派对的人更多时，随机游走就必须超过一个更高的阈值。例如，在一个有1 000人参加的派对中，不太可能出现某个房间里某个特定类型的人所占比例低于25%的情况。因此，我们预测，在小型派对中出现隔离的可能性更大。
而且，当参加派对的人有不同的宽容阈值时，我们也应该会观察到更多的隔离现象。要理解个中缘由，不妨假设参加派对的是10名巴西人和10名澳大利亚人，并为每个人分配5%至45%的宽容阈值，使每种类型的人的平均宽容阈值为25%，如图19-2所示。
图19-2 异质性阈值导致的“重新安置”
在图19-2中，左边的房间里有5名巴西人和4名澳大利亚人，因此澳大利亚人的比例低于45%，这导致最不宽容的那名澳大利亚人离开这个房间，进入右边的房间（用箭头1表示）。这名澳大利亚人进入了右边那个房间后，就降低了巴西人在那个房间里的比例，导致最不宽容的巴西人换房间（用箭头2表示）。这两次移动使左边房间里澳大利亚人所占的百分比降低到了低于40%的水平，从而导致第二名最不宽容的澳大利亚人也离开左边的房间，进入右边的房间（用箭头3表示）。就这样，一个级联式反应出现了。然而，如图19-3所示，结果不一定是完全隔离，因为最宽容的那些人在任何一个房间里都会觉得舒服自在。在这个模型中，多样化阈值产生了两种不同的影响：它们使隔离更容易发生，同时又使完全隔离的可能性降低，因为非常宽容的人在任何一个房间都不会觉得有问题。
图19-3 异质性阈值导致的“隔离”
这个模型可以用来解释不同职业之间的性别比例差异，例如为什么会有更多的女性担任护士，更多的男性担任推销员。这种差异也许是由于偏好不同所致，但是只要对这个谢林派对模型稍稍加以扩展，就会发现，如果人们更愿意与相同性别的人一起工作，那么这种不同职业之间的性别比例差异就可能会出现。对于这一点，我们还可以用旋转门模型（revolving-door model）来给出更加正式的解释。旋转门模型有两个基于经验基础的假设：退出某个职业的女性会选择女性更多的新职业；女性退出某个职业的速度略高于男性。 3 例如在生命科学领域中，女性退出生物医学研究的速度比男性更快一些，并且会在雇用了更多女性的医疗保健等职业中谋职，这种行动就会提高这两个职业的性别隔离程度。
谢林隔离模型
谢林隔离模型（Shelling's Segregation Model）将行为主体放在地理空间的不同位置上，就像是放在棋盘的不同格子上（图19-4）。其他方面则都与谢林派对模型相同。这个模型同样假设有两种类型的人，对他们的行为假设也与谢林派对模型相同。
