多个价值模型
在市场经济中，我们可以通过一个愿意支付的价格来衡量一件商品对这个人的价值。一个人可能会认为一个五香熏牛肉三明治值7美元、戈雅（Goya） (8) 的一幅画值300万美元、佛罗里达州奥卡拉市的一块土地值75 000美元。但是，许多经济模型都忽略了这些估值的来源。美国经济学家乔治·施蒂格勒（George Stigler）引用了大文豪陀思妥耶夫斯基（Dostoyevsky）的《卡拉马佐夫兄弟》（The Brothers Karamazov ）一书中那个著名的情感主义者米蒂亚（Mitya）说的一句话。他说：“De gustibus non est disputandum。”（口味各异，难言好坏）我们这里所讨论的模型确实比较少讨论口味本身，而更多讨论口味如何转化为人们赋予商品的货币价值。
享受模型 ：这个模型根据商品的内在属性解释商品的价值。估值的差异取决于对商品属性的不同潜在偏好。这些属性可能是商品的物理组成部分。例如，一个五香熏牛肉三明治中包括了黑麦面包、五香熏牛肉、瑞士奶酪、芥末、泡菜和洋葱。然后，我们可以将它的价值写成这些组成部分的价值的加权线性组合。更精细的享受模型还可以包括交互项。例如，如果与烤黑麦面包一起售卖，那么五香熏牛肉可能会更有价值。
协调模型 ：这种模型将价格解释为社会建构的。戈雅画作的价值取决于其他人相信它真的有那么高的价值。在最初，人们对戈雅画作的价值有自己的看法。然后，他们与社会网络中的其他人互动并更新自己的看法。两个人都可以将他们的价值设定为等于两人估价的平均值，一个人可以改变他的估价以匹配另一个人给出的价值，或者每个人都可以根据其他人的估价来调整自己的估价。给定这三种假设中的任何一种，估价都可以实现局部收敛。这样，相互之间有联系的人将会具有类似的估值。分配给商品的最终价值将取决于价值的初始分布、社会网络以及配对发生的顺序。
预测模型 ：这类模型将价格解释为对未来价值的预测。根据这种模型，佛罗里达州奥卡拉市的土地价值、比特币或股票价值，都取决于人们将来愿意为它们付出多少钱。这些估值取决于预测模型，而预测模型又取决于属性和类别。我们可能会将奥卡拉市归类为气候温暖的、税率很低的非沿海城市。人们的估值的变化源于不同的预测模型。投资者会使用多种预测模型。这些模型可能依赖于属性，或者，就像对比特币进行估价一样，也会对协调做出假设。
这三种模型为商品的价值提供了三种不同的解释。没有任何一个模型在所有情况下都是最好的。在特定情况下，每个模型都可能成为最好的那个。模型就像箭袋中的箭。五香熏牛肉三明治的价值很可能来自其内在性质，戈雅画作的价值则可能在很大程度上是社会建构的——只要人们认为他的画作有价值，那么它们就有价值。对佛罗里达州土地价格的估计则可能取决于对未来房地产价值的预测。
21 博弈论模型
演绎推理是从最抽象到最不抽象的推理。它从一套公理开始，运用逻辑定律和数学规律来操纵，形成对世界的预测。
雷切尔·克罗松（Rachel Croson）
本章以及随后各章中讨论的许多模型，包括合作模型、信号模型、与机制设计有关的模型和与集体行动有关的模型都要涉及博弈。我们不会在这里非常深入地探讨博弈本身，因为实际上整本书都是讨论这个主题的。本章的目标是提供一个适当的入门介绍，为此，我们给出了三种主要类型的博弈的一些例子：标准式博弈，博弈参与者在一组离散的行动（通常为两种）中做出选择；序贯博弈（sequentail game），博弈参与者按顺序选择行动；连续行动博弈，博弈参与者可以选择任意尺度或效果的行动。我们通过这些例子介绍了博弈的主要概念，有助于理解后面章节中给出的模型。当然，它们本身也有讨论的价值。
在本章的其余部分，我们首先讨论2×2标准式零和博弈。在零和博弈中，两个博弈参与者中的每一个都要在两个行动中做出选择，无论某个博弈参与者选择什么行动，一个博弈参与者得到的收益，都会被另一个博弈参与者遭受的损失所抵消。我们利用零和博弈的例子来定义博弈论的基本术语，区分策略和行动，并引入迭代消除被占优策略的概念。然后，研究市场进入博弈（market entry game），市场进入博弈是序贯博弈的一种。我们将在重复市场进入博弈的框架下讨论所谓的连锁店悖论（chain store paradox）。接着，考虑一个“努力博弈”，这是一种连续行动博弈。在这个博弈中，个体选择努力水平以赢得固定金额的奖励，付出努力越大，博弈参与者赢得奖励的机会越高。本章最后简要讨论了博弈论模型的一般价值。
标准式零和博弈
在本节中，我们分析两个双人标准式零和博弈（two-player normal-form zero-sum games）。在这种博弈中，每个博弈参与者选择一个行动，并根据博弈参与者自己的行动和另一个博弈参与者的行动获得一定收益。此外，博弈参与者双方的收益总和为零。
在图21-1所示的第一个硬币配对博弈中，每个博弈参与者都要在两个行动中做出选择：猜硬币正面朝上还是背面朝上。行博弈参与者希望自己的选择与另一个博弈参与者的选择匹配，而列博弈参与者则不希望匹配。收益如矩阵所示：
图21-1 硬币配对博弈
博弈的策略是如何进行博弈的规则，它可以是对单个动作的选择、在不同行动之间的随机化，或者，正如在下一节中将会看到的，也可以是一个行动序列。博弈的纳什均衡（Nash equilibrium）是指这样一种策略，它们能够使每个博弈参与者的策略在给定其他博弈参与者策略的情况下是最优的。在硬币配对博弈中，存在一个唯一的均衡策略，那就是，两个博弈参与者都以相同的概率在两个行动之间进行随机化。为了证明随机化是一种均衡，只需要证明，如果某个博弈参与者随机化，那么另一个博弈参与者选择任何行动都不可能比随机化更好。
要证明这一点很简单。如果行博弈参与者（在图21-1中，行博弈参与者的行动以黑体显示）以1/2的概率选择正面朝上、1/2的概率选择背面朝上，无论他的选择到底是什么，列博弈参与者的收益都为零。正因为如此，随机化是列博弈参与者的最优策略。根据对称性，随机化也是行博弈参与者的最佳选择。
随机化策略的最优性，对策略互动环境中的行为有很大的意义。体育运动也是零和博弈：一方获胜，另一方就要落败。在点球大战中，一名前锋希望在瞄准球门左侧与球门右侧之间进行随机选择；在网球比赛中，发球方要随机将球发到内角或外角；在足球比赛中，进攻方希望在跑动与传球之间随机选择。而且，在所有这些比赛中，另一方也会随机化他们的反应。任何非随机性都可能会被对手利用，扑克等纸牌游戏也是如此。一个优秀的扑克玩家会随机地虚张声势。如果他一直虚张声势，对手就会了解这种策略，他就会落败。当然，对手的最优策略也是随机地虚张声势，这样就同样有可能赢或输。
现在讨论最小化风险博弈（minimize risk game）。在图21-2所示的这个博弈中，每一个博弈参与者都可以选择采取冒险的行动或安全的行动，这是一个非对称的零和博弈。博弈参与者的收益不仅取决于自己的行动，还取决于哪一个博弈参与者采取了哪一个行动。在这个博弈中，行博弈参与者有一个占优策略，即采取安全的行动。无论列博弈参与者选择哪一个种动作，对于行博弈参与者来说，选择安全的行动总是更好的。但是对于列博弈参与者来说，情况却并非如此。如果行博弈参与者选择冒风险，那么列博弈参与者也应该选择冒风险；如果行博弈参与者选择了安全的行动，那么列博弈参与者也应该选择安全的行动。
图21-2 最小化风险博弈
通过考虑对行博弈参与者激励的情况下，列博弈参与者可以推断出行博弈参与者总是会选择安全的行动，那么他也会选择安全的行动。这种一方为另一方排除最优策略被称为迭代消除被占优策略。因此，两个博弈参与者都选择安全的行为是这个博弈的纳什均衡。
序贯博弈
在序贯博弈中，博弈参与者按照某个特定的顺序采取行动。由此，可以用一棵博弈树（game tree）来表示一个序贯博弈。博弈树由节点和边组成，每个节点对应于博弈参与者必须采取行动的时刻，该节点的每条边分别表示可以采取的某个行动。在博弈树最末尾的分支上，我们写下相应行动路径的收益。图21-3所示的博弈树显示了市场进入博弈。
在市场进入博弈中，有两个博弈参与者：拟进入者和现有企业。如果拟进入者选择不进入市场（博弈树的左侧分支），那么它的收益为零，现有企业的收益为5。如果拟进入者决定进入市场，那么现有企业必须做出选择：是接受新进入者，同时自己的收益从5下降为2，还是发动与新进入者的商战，但这会导致自己的收益变为零，同时令新进入者的收益为负。之所以假设这种情况下新进入者的收益为负，因为它必须为进入市场付出一定的成本。
图21-3 市场进入博弈
在序贯博弈中，策略对应于每个节点处的行动选择。假设现有企业在发现有新企业进入时决定发动商战。那么，如果拟进入者知道这一点，就不会选择进入，因为这种情况下进入会产生负收益。这个行动序列——拟进入者选择不进入、现有企业在拟进入者进入时就会发动商战，是一个纳什均衡。然而，这并不是唯一的纳什均衡，也不是最有可能出现的结果。拟进入者选择进入市场，现有企业决定接受（不发动商战），这是第二个均衡。
那么，应该如何在这两个均衡之间做出选择呢？我们可以利用细化准则。在序贯博弈中，一种常见的细化准则是选择子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）。可以运用逆向归纳法（backward induction）来求解子博弈均衡：从最末端的节点开始，并在每个节点处选择最优行动。然后沿着博弈树逆向倒推，假设每个博弈参与者会在给定另一个博弈参与者在后续节点上的行动时选择最优行动。例如，在市场进入博弈中，我们从现有企业的末端节点开始推导。它有一个最优行动，即接受对方进入。然后移动到博弈树上面的节点，不难发现拟进入者的最优策略是进入。
这个博弈在重复进行时会变得更加有趣。试想一下，现有企业也可能存在于许多个市场中。也许它是一家连锁企业，在几十个城市都有门店。再假设存在一系列的拟进入者。那么，这个企业将陆续地进行一系列市场进入博弈。
如果现有企业从最后一个市场开始使用逆向归纳法进行推理，那么它将接受最后一个市场中的进入者。根据同样的逻辑继续推导，现有企业将接受倒数第二个市场中的进入者，以此类推，它将接受所有市场中的进入者。在序贯博弈唯一的子博弈完美均衡中，所有潜在的进入者都选择进入，现有公司接受所有。
虽然每个市场的进入和接受都是唯一的子博弈完美均衡，但实际上，这可能不会发生。假设我们是现有公司董事会的成员，我们面对的是第一个进入者曾经学过博弈论并已经进入市场。我们可能想要竞争，试图阻止其进入其他市场。如果竞争是可信的，那这将是一个明智的策略，也就是说，如果能够建立一个愿意竞争的声誉。我们希望创造的结果不同于子博弈完全均衡。
博弈理论家将这种情况称为连锁店悖论。这是一个例子，博弈论认为的最优行为可能不是一个老练的行为者在利害关系很大时所选择的行为。这个例子并没有反驳博弈论或破坏理性选择假设，而是揭示了为什么我们总是必须挑战假设。
连续行动博弈
我们现在研究另一种博弈。在这种博弈中，博弈参与者可以在连续的可能行动集中进行选择。在连续行动博弈中，行动对应于努力水平。通过选择更大的努力，博弈参与者能够增大自己赢得奖励的概率。这个博弈还允许考虑任意大数量的博弈参与者。
努力博弈
N 个博弈参与者中的每一个人都要选择以货币形式表达努力水平，以赢得价值为M 的奖励。一个博弈参与者赢得奖励的概率等于他的努力水平除以所有博弈参与者的总努力水平。如果令E i 表示博弈参与者i 的努力水平，那么他的获胜概率由以下方程式表示： 1
均衡努力水平为：
均衡努力水平的表达式揭示了很多重要的含义，正如我们所预料的那样，个人的努力水平会随着奖金的增多而增大。同样，在均衡状态下，总努力水平将会小于奖金的价值。在假设博弈参与者会进行最优化的情况下也会得到这些结果。博弈参与者应该付出一定努力以赢得奖励，但是不应该付出不合理的努力水平。
通过增加博弈参与者的数量，可以看到其对个人和总体努力的影响。根据模型，即便每个人的努力水平都下降了，总努力水平也会增加。这个结果说明，那种吸引了大量“参赛者”的研究课题竞标、建筑设计竞赛和征文比赛，反而可能会产生水平不那么优异的赢家（与“参赛者”较小的竞赛相比），因为在这种“参赛者”众多的竞赛中，个体参与者付出的努力水平会较低。
小结
本章一开始，我们先讨论了零和博弈，这类博弈不包括互利的行动组合。任何对一个博弈参与者有益的行动都必定会损害另一个博弈参与者。在零和博弈中，任何行为对一方的“益”，在数量上都等于对另一方的“损”。从一个人那里拿钱给另一个人，就是一种零和行动。许多个人行动和政策选择至少在一个方面是零和的，我们每天只有这么多的时间可用，这么多钱可花，这么多资源可分配。也就是说，在这个维度上的零和行动，在另一个维度上可能不是零和的。例如，重新安排预算，在货币的数量这个维度上是零和的，但是就人的幸福感或满足程度这个维度而言，却可能是正和的或负和的。
我们应该始终探究提议的政策变化是否会导致零和博弈。许多人都对家长的择校行为颇有微词（这里所说的择校问题，主要是父母将孩子送进什么样的学校学习的能力），因为它加剧了竞争。但是迫于竞争的压力，学校的教学质量将会得到提高，至少从逻辑上看是这样。
然而，只有在产能过剩的情况下，学校才有动力提高质量，否则，择校会在学生中造成零和博弈。假设一个城市有1万名学生和10所学校，每个学校可以接受1 000名学生。如果所有学生都以相同的方式对学校进行排名，那么最好的学校的名额将只能通过抽签来分配，中签的学生将去更好的学校，未中的学生将去更差的学校。学生们玩的是一场零和博弈。如果新的学校开放或现有学校改善，就将不再是零和博弈，每个人都可以赢。
市场进入博弈与零和博弈都提供了有益的洞见。市场模型揭示了学校改进质量的动力。零和博弈则表明有些学生将受益、有些学生将受损。每个人所承受损害或获得的收益的大小，则取决于具体情况：学生和家长对学校的质量的了解程度如何，学校还有存在多少剩余名额，学校是否真的知道如何提高教学质量，会创办新的学校吗？
这两个博弈都没有给我们一个正确的答案，但是都产生了有用的见解。择校会带来竞争。它还产生了一个具有零和博弈特征的大规模排序问题。竞争的积极方面是否会超过消极的排序成本取决于环境。我们必须把模型排列在一系列事实的基础上，才能做出正确的政策选择。
识别问题
关于人们行为的数据经常揭示出人类行为的“聚类倾向”。优秀的学生更有可能与其他优秀的学生成为朋友，而不怎么可能与学习困难的学生成为朋友。有过犯罪前科的人比从未犯过罪的人更有可能与犯罪的人交往。在社交网络中，各种各样的“社会善”和“社会恶”——吸烟嗜好、健美的人、肥胖者，甚至幸福也都会“聚类”。人们还会根据信仰或意识形态聚在一起。
有两个模型可以解释这种聚类：同伴效应模型（peer effect model）和分类模型（sorting model）。同伴效应模型用博弈论来解释聚类现象，即一个人与他的朋友一起进行协调博弈。而在分类模型中，人们会“迁移”到与他们相似的其他人附近。一群优秀的学生之所以聚在一起，可能是因他们要协调完成某个共同行动（同伴效应），或者也可能是因为优秀的学生就喜欢找优秀的学生一起玩（分类效应）。如果只有数据快照（snapshot of data），那么这两者是无法区分的。
数据 ：学生既有可能获得高分H，也有可能获得中等分数M，两者是等可能的（概率相同）。假设每一个学生都会加入某个人数为4的“小团体”，则有如下分布： p （{H，H，H，H}）=P（{M，M，M，M}）=5/16， p （{H，H，H，M}）= P （{M，M，M，H}）=3/16， p （{H，H，M，M}）=0。
同伴效应模型 ：学生最初先会形成一些人数为4的随机小组： p （{H，H，H，H}）=P（{M，M，M，M}）=1/16， p （{H，H，H，M}）= P （{M，M，M，H}）=1/4，并且 p （{H，H，M， M}）=6/16。属于仅包含一种类型的小组的人数保持不变。与小组内所有其他人类型都相反的人会切换类型，因此，{H，H，H，M}这样的小组会变为{H，H，H，H}。在每种类型的人数相同数量的小组中，会有一个成员切换类型，也就是说，{H，H，M，M}这样的小组有同样的概率会成为{H，H，H，M}或{M，M，M，H}。
分类模型 ：学生最初先会形成一些人数为4的随机小组。在具有两种类型的任何一个小组中，与至少两个其他人的类型相反的人，会与相反类型的某个人交换小组。也就是说，{H，H，H，M}会变为{H，H，H，H}，而且{M，M，M，H}会变为{M，M，M，M}；并且，任何{H，H，M，M}这种形式的小组有同样的概率成为{H，H，H，M}或{M，M，M，H}。
两个模型都与数据一致，从而导致了识别问题。只有数据快照，我们无法确定吸烟、看漫画书或喜欢滑板到底因为同伴效应导致的，还是因为分类效应导致的。在某些情况下，我们可以推断出使用哪种模型更好。例如，美国中西部地区的人们喜欢说“pop”（泡泡）、沿海地区的人们喜欢说“soda”（苏打），对于这种倾向，我们可以有把握地认为这是由同伴效应驱动的，因为很少从外地移居波士顿的人，会将可口可乐称为“苏打水”。但是，对于某些利害关系更大的行为，例如学业成绩、滥用药物、肥胖和幸福，就需要用更多的时间序列数据来识别哪种模型才适用了。利用时间序列数据，我们就可以分辨出人们到底是在改变自己的行为（同伴效应），还是在更换他们的朋友（分类效应）。在许多情况下，这两个因素都有。 2
22 合作模型
从来没有人因施舍而变得贫穷。
安妮·弗兰克（Anne Frank）
经常会有人要求科学家列出他们心目中最重要的问题，各个领域的专家给出的最重要的问题往往各不相同，例如，宇宙是如何形成的？意识是怎样出现的？我们能否找到根治癌症的方法？等等。在这些问题当中，有一个是社会科学家和生物科学家都认为是重要的问题，那就是，合作是怎么产生的？ 1 合作要求合作者采取不符合自身利益的行动，而这就意味着我们不会经常观察到合作现象。但是在现实世界中，我们却看到合作出现在无数领域中，而且达到了非常大的规模。合作在细胞层面上就存在：细胞通过黏附作用实现了合作，一个细胞会产生细胞外物质，供其他细胞黏附之用。我们观察到，蚂蚁、蜜蜂、人类、人类组织之间，甚至国家之间都存在着广泛合作，不同国家会在制定条约和国际法方面进行合作。
在本章中，我们运用模型来讨论合作如何产生、如何维持以及怎样做才能创造更多的合作。当然，本章给出的这些模型无法完美地解释世界上广泛存在的各种合作，比如，为什么乌鸦会告诉其他乌鸦所发现的腐肉地点，为什么裸鼹鼠会共同防御以它们为猎物的天敌，为什么攀爬藤蔓种植在“亲属”旁边时根系较不发达，为什么白蚁和蜜蜂会建造出精致复杂的巢穴，为什么蚂蚁能用身体和附肢搭起运送食物的桥梁，等等。但是，这些模型确实能够告诉我们很多重要的结论。 2
尽管我们看到，物种内部和物种之间广泛存在着合作的例子，但是我们同时还应该看到合作失败的情况。合作的程度取决于具体环境。联盟既能吸引人们加入，也会失去原有成员；英国是欧盟的创始成员国之一，但是后来却要退出欧盟。一个积极为学校筹款活动服务的人，却可能在超市排队时插队或者偷税漏税。一头狮子，既可能加入围猎水牛的团体，也可能自己偷偷地去猎杀野猪。并不是每个物种都合作。黑胡桃树的根须将一种名为胡桃醌（juglone）的物质释放到土壤中，以抑制附近植物的生长。
细胞、树根、乌鸦、人、企业和国家等合作型实体行为特征的多样性，要求采取多模型方法。也许，我们最好将细胞和植物建模为遵循固定规则的，将乌鸦、蚂蚁和狮子建模为运用更多依赖于环境或过去结果规则的，将人、企业和国家建模为有前瞻能力并会进行成本收益计算的。
本章的第一个要点是：合作可以通过多种机制、在多种环境下涌现出来并维持下去。我们讨论了四种促进合作的机制：重复、声誉、局部聚类和群体选择。这些机制都能在没有外部干预或管理的情况下进行合作。它们可以适用于合作的鼹鼠、蜜蜂和人类，人类还有更正式的促进和保持合作的方式。在本章最后的讨论中，我们描述了其他制度性的解决方案，包括付钱让人们进行合作，如果不这样做就惩罚，或者制定法律强制人们的合作行为。
本章的第二个要点是，这些机制中任何一个的“效力”都取决于那些正在合作的实体所拥有的“行为曲目”（behavioral repertoires）。一些机制，特别是通过重复实现合作这个机制，几乎适用于任何行为。声誉和规范这两个机制则需要前瞻性行为和信息共享，对于那些更“老练”的行为者来说更加有效。
局部聚类对合作的效果取决于具体模型。由演化力量选择支持或反对的行为者之间的合作，最常出现在稀疏的网络上，而通过规范进行合作则需要密集的网络。群体选择的有效性则取决于行动者的前瞻能力和适应速度的细微差别。行为者所拥有的更强的前瞻能力，能够增强群体选择的力量，而允许行为者更快地适应则可能会阻碍群体选择发挥作用。为了探索这些问题并分析清楚行为假设与合作结果之间的相互关系，要利用我们熟悉的囚徒困境博弈模型和合作行动模型。合作行为模型允许我们刻画有利于多个参与者的行动，并对网络上的合作行为进行建模。
本章安排如下。我们首先描述了囚徒困境博弈，同时说明理性行为者之间的合作是怎样得以维持的。接着，我们阐述了重复行动是如何促进基于规则的行动者之间的合作的，以及为什么不断发展合作比单纯维持合作更加困难。然后，我们考虑不太复杂的生物学意义上的行为者之间的合作，并阐明了亲缘选择和局部聚类如何促进了合作。最后两部分讨论了群体选择以及我们如何综合这些模型实现更高程度上的合作的问题。
囚徒困境博弈
囚徒困境博弈的名称源于如下故事。有两个人，被控共同犯下了某种罪行。有关当局只掌握了间接证据，因此给他们每个人都提供了认罪减刑的机会。两人因此面临着两难选择：如果两人都不认罪，那么每个人都会（根据现有证据）受到轻微的惩罚；如果只有一人认罪，那么认罪的这个人不会受到惩罚，而另一个人则会受到很严厉的惩罚；如果两人都认罪，那么两人都会受到较严厉的惩罚，但是不会像只有一个人认罪时那么严厉。
图22-1将这个故事表述为一个双人博弈。每个博弈参与者可以选择合作或背叛。图中的灰色数字表示列博弈参与者的收益，黑色数字表示行博弈参与者的收益。对每个博弈参与者来说，背叛都是占优策略，无论其他博弈参与者采取什么行动，背叛都能带来更高的收益。但是，如果两个博弈参与者都背叛，每个博弈参与者的收益都会低于双方合作时的收益。因此，追求自身利益的行为导致了集体利益的恶化。
图22-1 囚徒困境博弈的例子
囚徒困境博弈紧紧抓住了现实世界中许多情况下的核心激励，它可以用来建模一些国家之间的军备竞赛：背叛对应于将资源用于开发武器，合作对应于发展经济。还可以用来建模竞选活动中的广告战：背叛对应于投放负面广告，合作对应于投放正面广告。它甚至可以用来解释为什么雄孔雀会有如此之长的尾巴，每只孔雀都有很强的动力使自己看上去比其他孔雀更强壮、更健美。
很多囚徒困境博弈都是在事后才认识到的。许多新技术的最早一批采用者，例如，最早使用ATM机的银行，发现自己的利润因此大为增加。但是，当其他银行也跟进时，利润就因竞争加剧而下降了。事后证明，可以把选择使用ATM机类视为一种“背叛”。 3
如图22-2所示，一般形式的囚徒困境博弈假设如果两个参与者都选择背叛，那么基线收益为零。这样一来，我们就可以用三个变量来表示这个博弈：来自合作行为的奖励R ，背叛的诱惑T ，以及被损害的一方的收益S （参见图22-2中的收益矩阵）。收益矩阵下面的不等式确保了选择背叛是一个占优策略，而选择合作则能够产生有效率的结果。
图22-2 一般形式的囚徒困境博弈
通过重复和声誉机制实现合作
我们首先阐明，博弈的重复进行和声誉的建立为什么能够维持理性行为者之间的合作。能够维持合作这个事实，并不能保证合作真的能够实现，它只是说明，如果合作“不知怎么”出现时，理性的博弈参与者能够维持它。为了证明重复行动能够维持合作，我们构建了一个重复博弈模型。在这个重复博弈中，每次博弈结束之后，都以概率P 再一次进行。从理论上说，这种博弈可以永远持续下去。
博弈参与者在重复博弈中，要根据以往的博弈历史选择行动。在这里，我们考虑一个被称为冷酷触发（grim Trigger）的重复博弈策略。具体来说，这个策略是，在第一次博弈中选择合作，并且，只要另一个博弈参与者不背叛，那么就在未来的所有博弈中一直选择合作；但是，一旦另一个博弈参与者背叛了，那么就永远选择背叛。冷酷触发策略是“永不饶恕”的。如果两个博弈参与者都采用冷酷触发策略，那么双方将会永远合作。
要想证明冷酷触发策略能够在重复博弈中维持合作，我们只需要证明，如果一个博弈参与者选择了冷酷触发策略，那么另一个博弈参与者也可以通过采用冷酷触发策略获得最高的收益。由于第二个博弈参与者的任何一个偏离合作的行为都会导致第一个博弈参与者无休止的背叛，所以第二个博弈参与者只需要对一直合作的预期收益，与一次背叛再加上两个博弈参与者此后都一直背叛的预期收益加以比较就行了。 4 而冷酷触发策略能否带来更高的收益，则取决于诱惑的大小、合作回报的多少以及重复博弈的概率。
重复博弈维持合作
在重复囚徒困境博弈中，如果继续进行下一次博弈的概率P 超过了诱惑收益T 减去奖励收益R 的差与诱惑支付的比，那么采用冷酷触发策略就能维持合作，即： 5
这个结果告诉我们，如果诱惑收益超过了奖励收益的三倍，即T >3R ，那么博弈必须以超过2/3的概率重复。这个不等式还告诉我们，如果合作的奖励增大了、博弈重复进行的可能性增加了，或者背叛的诱惑减少了，合作就会变得更加容易维持。这些含义中的每一个，都意味着一条直观的促进合作的途径：增加合作奖励，让重复进行博弈的可能性更大，以及减少背叛的诱惑。虽然这些都只是非常简单的推论，但是在写出这个模型之前，它们可能并不是一目了然的。
通过思考合作的必要条件，我们还可以推断出一些不那么直接的结论。上面这个不等式还意味着，如果博弈参与者认为博弈重复进行的概率在未来会下降到低于阈值，那么理性的博弈参与者将会在这种概率变化发生之前就停止合作，而不会等到变化发生时再停止合作。 6
而且，重复博弈能不能维持理性的博弈参与者之间的合作，还取决于这个模型的一个特别假设：博弈会以一定概率不断重复进行下去。相反，如果转而假设博弈只会重复一定次数，比如只会重复进行3次，那么理性的博弈参与者将不会选择合作。
我们可以利用逆向归纳法来证明这一点。假设博弈只重复进行3次并且第一个博弈参与者将采用冷酷触发策略。再假设T =3、R =2、S =1。给定这样的收益矩阵，如果第二个博弈参与者在所有三轮博弈中都选择合作，那么他的总收益为6。接下来需要确定是不是所有其他策略都不能带来更高的收益。如果第二个博弈参与者在第一轮博弈中就背叛，那么他所能得到的收益仅为3，因为在他背叛之后，第一个博弈参与者将在后面两轮博弈中都选择背叛。如果第二个博弈参与者在第二轮博弈时再背叛，那么他可以得到的收益为5。但是这两个策略都是不理性的。如果在第三轮博弈中才背叛，那么他可以得到的收益为7（前两轮博弈中各得到2，最后一轮博弈中得到3）。因此，理性的博弈参与者会在最后一轮博弈背叛。
但是，第一个博弈参与者（他宣布自己会采取冷酷触发策略）应该会意识到第二个博弈参与者会在第三轮博弈中背叛，因而他也会在第三轮背叛。第二个博弈参与者也会意识到两个博弈参与者都会在第三轮博弈中背叛，因此他在第二轮博弈中就会背叛。根据同样的逻辑，第一个博弈参与者也会在第二轮博弈中就背叛，这种推理也适用于第一轮博弈。事实上，只要博弈只重复有限次数（无论多少次），上述结果就都适用。在最后一轮博弈中，理性的博弈参与者会背叛。结果，两个博弈参与者都有动力在倒数第二轮博弈中背叛，以此类推，他们会在所有轮次的博弈中都背叛。从而，唯一符合理性的策略就是永远背叛。
目前为止，我们一直是在一个孤立的环境中考虑两人博弈的，并没有考虑一个人的背叛行为可能会影响其他人对待背叛者的态度。这样做，其实是将这种两人博弈圈进了一个封闭世界中。我们可以扩展这个模型，让博弈在一个社区的成员之间进行，并让这些人有机会监督其他参与博弈的人的行为。
现在假设，每一天，先让这些人随机两两配对，然后进行囚徒困境博弈。在这种情况下，我们假设这个社区的所有成员相信博弈将会永远重复进行下去，因此未来继续博弈的概率等于1。在这些假设条件下，每一个人都不太可能在第二天仍然与前一天博弈过的那个人博弈，所以他们背叛的动机会更加强大。但是，由于我们假设同一社区的人可能会认出谁是背叛者，所以那些背叛过的人很可能会留下不好的名声，根据假设，这个社区中的任何人将来都不会与声誉不好的人合作。
如果我们用P D 表示一个人背叛且被发现、从而留下了一个背叛者的坏名声并在未来的所有博弈中受到惩罚的概率，那么，通过声誉机制维持合作的条件，也就与重复博弈条件下维持合作的条件一样了。这个条件可以写为 ，用一个背叛被发现的概率取代博弈重复进行下去的概率P 。
在声誉模型中，合作是通过社区来实施的。背叛并被发现的人，在未来将会遭到所有博弈参与者的背叛。在这里，个体还是会计算背叛的收益和成本。他们还必须相信其他人会坚持惩罚到底，而这也就意味着其他所有人都会背叛那些背叛的人。要做到这一点，所有个体必须要么彼此认识，要么有某种方法来识别或标记过去的背叛者。因此，在其他条件相同的情况下，规模较小的社区的成员应该能够更好地通过这种机制来实施合作。在美国北方的小城镇，人们在冬季会将车停在商店停车场里。他们不用担心汽车会不会被人偷走（“背叛”），因为他们认识城里的每个人。任何偷车的人，即便是恶作剧，都会导致自己的声誉下降。
实物标签可以使声誉变成一个公共信息，从而有利于能够维持合作。在纳撒尼尔·霍桑（Nathaniel Hawthorne）的小说《红字》（The Scarlet Letter ）中，海丝特·白兰（Hester Prynne）被迫穿着一件上面有一个猩红色的“A”的衣服，以表示她犯下了通奸的过错。在有些社会中，小偷被定罪后，手会被砍掉，这无疑是一个代价极其高昂的标签。
背叛者会被打上标记，这种情况甚至也发生在了人类之外的其他物种中。在大海中，医生鱼——裂唇鱼（labroides dimidiatus），既可以选择清除作为它的“邻居”的其他鱼类身上的寄生虫（合作），也可以吃某种更美味的其他食物（背叛）。如果裂唇鱼合作，那么它的“邻居”就可以少受寄生虫的困扰。其他鱼也可观察到寄生虫有没有减少。于是，裂唇鱼“邻居”的清洁程度就成了一个标签，一个代表声誉的具体形象。 7
连通性与声誉
通过声誉机制维持合作有一个条件：个体必须能够知悉自己邻居的行为偏离合作的可能性。为了评估关于这种行为偏差的信息传播出去的可能性，我们可以应用在向传染病模型中加入网络时学到的三个结果。首先，网络的度越大，关于偏离合作行为的信息传播出去的可能性就越大。其次，度分布的变化，特别是超级传播者的存在，也会增加信息传播出去的可能性。再次，如果一个人所背叛的那个受害者，与这个人的其他邻居没有任何联系，那么这个人的邻居就不会知道这个人背叛了他人。因此，要保证声誉扩散，网络必须具有很高的聚类系数，而聚类系数又是社会资本的一个衡量指标。
规则行为者之间的合作
现在，我们放松关于理性的假设，转而假设博弈参与者只会遵循诸如冷酷触发策略之类的规则行事。我们将利用这个更一般的模型探析合作是否可能出现以及如何出现。在这个模型中，假设一群人重复进行囚徒困境博弈，并假设博弈将以如上所述的概率进行下去。我们将证明，如果博弈继续重复进行下去的概率足够高，那么理性的博弈参与者会在这种情况下合作。
与前面那个模型不同，在这里我们假设博弈参与者直接应用特定的行为规则。有些博弈参与者可能会采用冷酷触发策略，有些博弈参与者可能始终合作，而另一些博弈参与者则可能始终背叛。这些策略的某些变体甚至可以在人类之外的其他物种身上看到。雄鸣鸟（Warbler）可能会采取“爱自己的敌人”策略，它们不会大声唱歌，也不会以牺牲邻居为代价来扩大领地。我们可以将这种行为视为一种合作行为。 8
为了便于解释，我们假设每个个体都与其他人一起博弈。在完成了自己所有的博弈之后，每个人都要公布自己的“成绩”，也就是在博弈中的平均收益。之所以要使用每一场博弈的平均收益而不是所有博弈的总收益来考量，是因为给定博弈以一定概率继续进行，有些博弈参与者（出于偶然）参加的博弈可能会比其他博弈参与者多一些。在这个模型设定中，策略的效能取决于策略的分布。因此，胜出的策略也可能取决于初始分布。如果合作策略在一开始的时候表现是最好的，那么种群中的合作者数量就可能会增加。
在这个例子中，我们随机地向每个博弈参与者分配如下五种遵循行为规则的策略中的一种：始终合作（C）、始终背叛（D）、冷酷触发（GRIM）、针锋相对（TFT）、欺负好人（TROLL）。冷酷触发策略是一开始选择合作，后面也一直继续合作，直到另一个博弈参与者背叛为止，然后就一直背叛。始终合作和始终背叛这两种策略与名字的含义一样：盲目地选择合作或背叛，无论其他博弈参与者的行为如何。针锋相对（或一报还一报）是指在第一次合作，然后每一次都复制另一个博弈参与者在前一次中的行为，两个人都使用针锋相对策略的博弈参与者将永远合作。欺负好人策略则剥削始终合作的博弈参与者，更具体地说，这种策略是，在前两次选择背叛，如果另一个博弈参与者在这两次都没有背叛过，那么就选择永远背叛；而如果另一个博弈参与者在前两次已经背叛过了，那么就先转而在接下来的两次选择合作，然后一直采用冷酷触发策略。
我们首先根据如图22-1所示的囚徒困境博弈的收益矩阵，将每种行为规则策略面对其他每一种策略时的收益计算出来。我们先计算始终背叛这个策略在面对各种策略时的收益。如果面对的是始终合作这个策略，那么它在每一轮博弈中都可以得到的收益为4。与此对应，在这些博弈中，始终合作所能得到的平均收益则为1。如果始终背叛策略“对阵”的是针锋相对策略或冷酷触发策略，那么它在第一轮博弈中获得的收益为4，之后每一轮博弈中都获得2的收益。
如果我们假设博弈会重复多次，那么所有轮次博弈的平均收益将只能略超过2，我们将它记为2+ 。而如果始终背叛策略与欺负好人策略相遇，前两轮博弈双方都背叛，然后欺负好人策略在第三轮和第四轮博弈中合作，但是此后一直背叛。因而始终背叛策略还是可以获得2+ 的平均收益；同时欺负好人策略的平均收益则略低于2，我们将它记为2- 。
与此类似，我们可以计算出每一对策略的预期收益。 9 表22-1显示了每一个策略对所有其他策略的收益。
表22-1 行策略对列策略的平均收益
表22-1显示了相互合作、相互背叛和利用其他策略中的缺陷策略的各种情况。仔细研究这张表可以发现，这五种策略中其实有四种是在与自己合作的，因此我们可以将这些策略视为潜在的合作策略。只有针锋相对这一种策略是所有这四种潜在的合作策略都能合作的策略。因此，如果这四种策略的任何一个组合在人口中占了大部分，那么针锋相对策略就能够表现得非常好，尽管不一定总是最好的。 10
