研究者以人为被试，进行了数千次实验，结果充分揭示了人们所选择的策略的巨大异质性。我们将使用表22-1中的收益来考虑给定不同分布时的结果。基于这些策略的不同组合的收益多样性，最优策略将取决于人口的构成。在主要由总是选择合作策略的人组成的人群中，始终背叛这个策略的表现最佳。如果个人选择采用这个最优策略，或者自然选择的作用发挥得非常快，那么人们可能永远无法合作。如果学习或选择以适中的速度发生，那么博弈参与者也会逐渐远离始终合作策略。然而，一旦人口中只包含了很少的采用始终合作策略的人，那么始终背叛策略的表现将不如冷酷触发策略、欺负好人策略和针锋相对策略。这时，这三种策略中的某一种策略将会在人群中扎下根来。无论是在以人类为被试的实验中，还是在计算机仿真实验中，都会发现这种模式的广泛存在：一开始背叛策略的表现很好，但是不久之后，合作也能扎下根来。我们可以把这些情况下发生的这种事情，称为合作的涌现和合作的演化。
我们不难想象出这五种策略或任何其他策略集上的某种分布，再计算出该分布的平均收益，然后思考通过学习或自然选择接下来可能会发生什么事情。在本书后面的章节中，我们构建了一些关于学习和（自然）选择的正式模型。在这里，我们只是非正式地提出这样的观点，因为我们的目的只是指出合作是否能够出现、取决于种群中的初始战略分布以及人们如何学习或发展新策略。
合作出现或发展的一个必要条件是，合作带来的收益超过了背叛者能够获得的收益。否则，选择和学习都会导致整个种群趋向背叛。为了简化分析，不妨想象如下这个由采取冷酷触发策略、始终合作策略和针锋相对等合作策略的人，以及采取始终背叛策略的人所组成的种群。然后，我们可以计算出，要想让合作策略平均来说表现得更好，必须具备什么条件。这个计算表明，不断发展的合作比简单地维持合作更加困难，而且合作是无法自我引导的，少数合作者无法促成合作的出现。 11
合作的维持、合作的出现和合作的不断发展，以及合作的自我引导之间的区别值得再三审视。如果当所有参与者都合作时，合作的表现是最好的，那么合作是自我维持的。合作的维持所对应的情况是，通过冷酷触发策略实现的合作是重复博弈的纳什均衡。如果在种群中配对时，合作策略的平均表现优于那些不合作的策略，合作就能够出现或发展起来。
正如刚才已经指出过的，合作出现的条件要比维持合作的条件更难满足。事实上，数学推理告诉我们，以自我引导的方式让合作出现几乎不可能。如果合作者的比例接近于零，合作者的收益就会低于背叛者。这样说并不意味着合作的自我引导永远不会发生，而只是在这个模型中不会发生。为了实现合作，我们需要一部分人从一开始就是合作的。这种情况有可能发生在那些会反思博弈结构的人身上，但是似乎不太可能发生在蜜蜂和树根“身上”。要想理解这种自我引导怎样才能发生，我们需要一些更加精细的模型，以允许局部学习、进化和群体选择。下面就来讨论这些模型。
合作行动模型
为了研究合作怎样才能实现自我引导，在这里引入一个合作行动模型（cooperative action model）。在这个模型中，人们可以采取合作行动，也可以不采取合作行动。 12 合作行动要求个人承担一定成本，会给他人带来收益。在这个模型中，聚类和群体选择都可以产生合作。
合作行动模型与重复囚徒困境博弈之间存在着一些差异。首先，在合作行动模型中，个人并不是两两配对重复进行博弈并在博弈中使用策略、获得收益的，相反，个人要么是合作者，要么不是合作者。其次，合作行动模型不假设理性行为者，也不假设个体会采用更复杂的规则。再次，这个模型中的个体属于一个交互网络。他们的合作行动只会影响与他们有联系的人，也就是他们的邻居。最后，因为个体有固定的类型，所以他们会对所有邻居都采取相同的行动。例如，一个有五个邻居的合作类型的个体，要付出五次合作的成本，并且为另外五个人带来收益。
合作行动模型
一个种群由N 个人组成，他们或者是合作者，或者是背叛者，连接于一个网络中。在每一次互动中，合作者都要承担合作成本C ，而其他人则可以获得合作收益B 。背叛则不会产生任何成本和收益。合作优势比率B /C 刻画了合作的潜在收益。
在这个模型中，网络发挥了关键的作用。网络的存在，使合作得以出现，甚至可以实现合作的自我引导。一个主要在内部成员之间进行互动的合作者团体或合作者群组会有很好的表现，能够使合作在种群中扩展开来。在生态系统中，后代通常位于父母附近。如果合作者的后代更有可能成为合作者，那么合作的自我引导将会变得更加容易。
为了证明聚类可以导致合作的自我引导，我们从一个只有一部分已经被“充满”的网络开始。这个网络上的每个节点都是一个人可以“居住的住处”。在生物学背景下，这种“住处”就是生物的可行栖息地。然后，我们让合作者或背叛者“住进”网络的一部分。例如，可以先绘制出一个平均度数为10的随机网络，然后在每个节点上掷骰子，如果掷骰子掷出了“6”，就在那个节点上放一个人进去。如果没有掷出“6”，就将这个节点留空。如果我们已经决定要在一个节点上放一个人，那就再掷一次骰子。如果掷出了“5”，就在那个节点上放一个合作者，否则，就放一个背叛者。这个过程结束后，网络中1/6的节点将会被人占有，而且在这些被占有的节点中，只有1/6是被合作者占有的。
鉴于这个网络结构，每个人的邻居数量将会有所不同，有些人没有邻居，有些人会有四五个邻居。为了在这个网络上实现合作的增长或消亡，我们通过迭代地填充与被占用节点相邻节点的方法来填充网络的其余部分。假设填充空节点的人的类型将与这个节点的邻居中表现最好的那种类型相同（合作者或叛逃者）。图22-3给出了一个线性网络的两个片段，合作者用黑色线条表示，背叛者用灰色线条表示，黑色虚线则表示空节点。每个片段都在中心处包含了一个空节点，它有两个邻居、一个背叛者和一个合作者。在这图22-3中，合作创造的收益为2，而发生的成本则为1。
图22-3 两个线性网络中的一个空节点的邻居的收益
在图22-3的上图中，空节点右边的背叛者有一个合作者的邻居，因此可以获得1的收益。空节点左边的合作者有一个背叛者的邻居，因此可以获得-1的收益。根据规则，由于空节点的邻居中，背叛者获得的收益更高，所以这个空节点将由一个背叛者占据。在图22-3的下图中，空节点的背叛者的邻居的邻居也是背叛者，同时，空节点的合作者的邻居则连接到了另一个合作者。在这种情况下，空节点的邻居中以合作者的表现更好，因此空节点将成为合作者。
这个例子表明，一个单独的合作者不能产生一个额外的合作者，但是两个相邻的合作者可以。这就是说，一个小小的合作聚类就可以将合作扩展到空单元上。因此，合作区域可以从少数几个合作者中产生。
我们可以根据相邻的合作者和背叛者的比例以及合作优势比例，写出决定空单元是会成为合作者还是会成为背叛者的更一般的条件。因此，在度数更低的网络中，合作的自我引导更加容易实现。这个发现与我们在分析声誉机制如何维持合作时所得到的结果相反，在那种情况下，更多的连接网络会增加背叛行为破坏某人声誉的可能性，因此更多的连接有助于合作的维持。这也是多模型思维能够产生依赖于特定条件的知识的又一个很好的例子。连通性高的网络能够产生更大的合作还是更少的合作，这个问题没有单一的答案。如果合作有赖于运用声誉机制的老练的行为者维持，那么连接更多的网络将更有利于合作。如果合作是在不成熟的行为者（如树木或蚂蚁）中自我引导或演化的，那么连接较少的网络应该更能促进合作。
聚类自我引导合作
如果一个空节点的邻居包括了一个合作者（其度数为D 且有K 个作为合作者的邻居），同时这个空节点的所有非合作者邻居都没有合作者的邻居，那么这个空节点会成为一个合作者，当且仅当合作优势比例高于与合作者数量之间的比例时，即： 13
群体选择
我们要讨论的最后一个自我引导、发展和维持合作的机制是群体选择。这个机制依赖于群体之间的竞争或选择。 14 为了构建群体选择模型，我们将种群进一步划分为若干个群体。在每个群体内，个人的行动满足某种形式的合作行动模型——每个人或者选择合作或者背叛。与以前一样，我们可以认为每个人都有各自的表现。我们还为每个群体分配一个表现，它等于该群体成员的平均表现。群体选择模型假设选择是在群体与群体之间进行的，表现最佳的群体的复制体（副本）将替换表现较低的群体。这种选择有利于合作者组成的群体，它们的表现将会更好。
然而，合作者组成的群体在群体选择时会占优势，这个直觉结论无法回避这样一问题：在任何一个群体内部，背叛者都比合作者有优势。作为例子，不妨考虑两个规模均为10人的群体：第一个群体包含了两名合作者和8名背叛者，第二个群体包含了两名背叛者和8名合作者。如上所述，假设收益等于2且成本等于1。在第一个群体中，每个背叛者的绩效等于4，因为他可以从每名合作者那里获得2的好处；每名合作者的成本为9，并且只获得2的收益，因此其绩效等于-7。第一个群体所有成员的平均绩效等于1.8。在第二个群体中，每个背叛者从8名合作者中的每一个中获得2名，因此其绩效等于16，每名合作者的绩效等于5，因为他从其他7名合作者那里得到14，但是支付9的成本。第二个群体的平均绩效等于7.2。
这些计算结果揭示了一个矛盾：在每个群体内部，背叛者对合作者有优势，但是表现更好的群体却必须包含更多的合作者。这里的张力是非常明显的：个体选择有利于背叛，但是群体选择却有利于合作。这种张力在各种各样的生态、社会、政治和经济环境下都会出现。例如，让自己的根系与其他树木合作的树木，个体生存条件可能会变得更加糟糕，但是这种合作有助于形成一个更加强大的生态系统，并使之更快速、更有效地扩散到更大的土地上。在一个社区内，合作的个人可以获得的收益少于背叛者，但是合作的社区规模将会扩大。支持自己所属政党的政治家可能比那些只专注于个人支持率的政客更加不容易再次当选，但是凝聚力更强的政党将更有可能发展壮大。在某家企业就职的人如果只专注于学习掌握与本企业有关的知识和技能，对自己可能不利，但是他所属的企业则可能胜过其他企业。
合作行动模型能够帮助我们识别和量化这种张力。为了确定群体选择能否引导、发展或维持合作，还需要往模型中加入更多的细节。为此，特劳森（Traulson）和诺瓦克（Nowak）构建了一个精致的模型。在他们的模型中，种群的人口会增长，而且新出现的成员会复制表现最好的成员的类型。这个模型内置了个体选择和群体选择。选择发生在个体层面，同时表现更好的人更有可能来自合作的群体。当一个群体变得足够大时，它会一分为二，创建出一个新的群体。为了防止种群人口过多，新群体的形成会随机地导致现有的某个群体消失。这最后一个特征引入了一种较弱形式的群体选择。 15
这些模型证明，群体选择能够增进合作，条件是合作行动的利益相对较大，同时最大群体的规模相对于群体的数量来说比较小。群体选择的效力部分取决于最大群体的规模与群体数量之间的比，这个结果揭示了竞争的必要性。有更多的群体，意味着全部由合作者组成的群体更有可能出现，它也隐含地假设了更多的竞争。最意想不到的一个结果是，最大群体的规模越小，导致的合作更多。较小的最大群体规模可以防止合作者组成的群体被背叛者所支配，也就是说，这限制了个人选择的影响。回想一下在前面举的有8名合作者和两名背叛者的群体的例子中，背叛者的表现更好。如果允许群体的规模扩大为80，那么在群体“分裂”出新的群体之前，它就会包含更大比例的背叛者。如果这个群体在有12名成员时就拆分为两个群体，那么在最坏的情况下，这个群体在拆分时也会包括2/3的合作者。
群体选择拥有增进合作的潜力，这个结论还可以应用到组织内部。大多数组织主要根据个人绩效来分配薪酬。将员工分成若干相互竞争的团队，并根据团队绩效分配奖金和机会，能够诱导合作行为的出现。如果资源流向团队，个人就有动力在这些团队中努力工作，即相互合作。 16 如果合作带来的好处很大，并且团队规模相对于团队数量来说很小，那么这种激励措施应该能够增进团队内部的合作。
但在评估群体选择的潜力时，我们必须仔细考虑个体行动者的复杂情况。树木的适应速度非常缓慢，因此不必要求群体选择很快发挥作用。但是，人类的适应是非常迅速的，因此如果个人背叛的动机很高，那么相应地，群体选择就必须以很高的速度进行。而且，人们也可能会认识到群体选择效果，他们可能会考虑群体之间的竞争，并理解创建一个强大的群体需要符合个体的自身利益。这种认识会使合作更有可能实现。所有这些都表明，我们应该很小心，不要对特定模型中证明的能够促进合作的特定条件过于自信。恰恰相反，我们应该坚持多模型思维，善用判断力，追问定性结论是否仍然成立。
小结
合作如何出现、发展和维持，是来自众多学科领域成千上万的学者一直致力研究的一个难题。模型对这种研究很有帮助，其中最突出的模型是囚徒困境博弈模型。如果我们采用重复博弈框架，并假设行为者是理性的，这个合作难题会暂时消失。模型表明，可以利用进行惩罚的威胁来维持合作。惩罚可以通过重复博弈机制直接实施，也可以通过声誉机制间接实施。这些机制或许可以解释，在利害关系很大且博弈参与者是成熟老练的个体时，合作是怎样产生的；但是它们无法解释为什么蚂蚁、蜜蜂、树木和裸鼹鼠也会合作，而且合作程度是如此之高。当我们考虑了遵循规则的博弈参与者之间的合作时，我们发现要让合作不断发展并不那么容易。理性行为者可以在遵循规则的行为者无法发展合作的环境中维持合作。
我们还发现，像针锋相对这样的简单规则虽然不是最优的，但是可以实现相互合作而且不会被“剥削”。后续研究还表明，如果博弈中会出现随机误差，那么针锋相对策略的表现就不是很好。如果允许出现误差，那么每个使用针锋相对策略的博弈参与者都会在另一个博弈参与者出现误差之后产生一个背叛行动和合作行动组成的循环。如果两名博弈参与者都因误差意外采取了背叛行动，那么针锋相对策略将导致双方一直背叛，直到另一个误差出现为止。
在现实世界的囚徒困境博弈中，这种误差确实会发生。1983年9月1日，韩国航空公司007航班从阿拉斯加安克雷奇起飞，前往韩国首尔，途中偏离航线进入了苏联领空。一架苏联SU-15战斗机击落了这架民航客机，机上269人全部不幸遇难。美国人认为这是苏联人的“背叛”行径，而苏联人则认为这架飞机在执行间谍任务，认为这是美国人的“背叛”行径。
其他的策略，例如“赢则坚持，输则改之”（Win Stay，Lose Shift）策略，在这样的情况下可以做得更好。在“赢则坚持，输则改之”策略下，相互合作时的收益和诱惑收益都编码为“赢”，另外两种收益则编码“失”。“赢则坚持，输则改之”策略从合作开始，此后，如果赢了，就坚持上一轮所做的一切；如果输了，就转变为另一种行动。只要考察一些例子，你就可以观察到“赢则坚持，输则改之”策略会回归到合作行为上。 17
我们还描述了另外两种机制。聚类使合作能够实现自我引导。这种机制依赖于合作者之间的互动并通过选择来发展合作。群体选择发挥作用的原理也类似。合作者组成的群体表现得更好并取代了背叛者组成的群体。在正式的模型中，我们发现通过聚类和群体选择实现合作的条件要比通过重复博弈或声誉机制维持的合作更加严格。
我们还了解到，这些机制的成功与否，取决于我们如何对个人进行建模。我们不应期望这些机制对人类、蚂蚁和树木发挥作用的方式完全相同。更精明老练的行为者可能因为他们拥有前瞻能力而能够更好地维持合作，但是，当周围都是合作者时，他们也更有可能发现背叛的好处。
我们的大多数讨论都假设合作是有益的。但是，有些组织也可能通过合作来剥削他人。企业组成卡特尔（cartel） (9) ，人为地压低价格；各产油国结成联盟，限制石油产量，以扩张自己的利益，而不管人类的利益是否受到了损害。癌细胞会合作抵抗我们的免疫系统。 18 因此，当我们研究合作的时候，还应该记住，合作不一定是为了共同利益，例如野生水牛并不会受益于狮子之间的合作。
23 与集体行动有关的问题
自从大约5万年前智人发展出了现代创造力、高效和狩猎技能以来，如何可持续地管理环境资源一直是一个非常困难的问题。
贾雷德·戴蒙德（Jared Diamond）
在本章中，我们讨论集体行动问题，也就是那些自身利益与集体利益出现了不一致的情况。集体行动问题在各种情况下都会出现。在机场，乘客可能通过尽可能地挤到行李传送带旁边而获益，因为可以更快地拿到自己的行李，但是如果所有乘客都站到离行李传送带几步以外的地方，那么每一个人都会感觉更好。在美国，人们几乎没有任何动力去成为一个了解有关信息的选民，因为仅凭自己的一票改变选举结果的可能性非常低，尽管如果选民了解有关议题的话，国家的整体绩效将会更好。我们可以把集体行动问题视为一个多人囚徒困境博弈：每个人都有动机去背叛，但是从集体的角度来说，每个人都能够通过合作使自己的境遇得到改善。
学者们经常在历史案例的背景下研究集体行动，例如苏格兰公地的管理或纽芬兰和缅因州沿海龙虾栖息地的演变。 1 其中最著名的案例是贾雷德·戴蒙德讲述的复活节岛上的波利尼西亚人的衰落。 2 复活节岛位于智利以西3 000多千米的南太平洋，方圆1 000多千米内没有其他可以供人居住的岛屿。这个特殊的地理位置决定了，复活节岛上的居民必须自己管理自己。据估计，到17世纪初，复活节岛上的人口已经超过了1.5万人。从16世纪开始，复活节岛上的居民积累了足够多的资源，调集了富余劳动力去建造一种名为莫埃（maoi）的巨型石头人像，它们往往重达80吨以上。
但是，复活节岛上的居民在忙于建造莫埃的同时，却没能共同合作管理好他们的森林。到了1722年，当欧洲探险家第一次登上复活节岛时，岛上的食物已经相当匮乏了，人口也减少到了2 000人左右。岛上已经基本看不到超过3米高的树木了，许多鸟类和动物都已经灭绝。用戴蒙德的话来说，岛上的文明已经崩溃了。当欧洲人带来的病毒害死了岛上几乎所有剩余的原住民时，这个崩溃过程就最终完结了。
根据戴蒙德的解释，复活节岛上文明的崩溃，以及中美洲的玛雅人、美国西南部的阿纳萨齐人（Anasazi）和格陵兰岛的温兰人（Vinlander）的没落和崩溃，都是由于自然资源的过度开发和气候变化共同造成的，而资源的耗竭，又是因为制度和文化的失败所致。温兰人不但在极地边缘地带放养动物，而且还从原本就非常脆弱的草地上揭起草皮来建造房屋。结果在很短的时期内，他们的土地就因过度使用而变得极度贫瘠了，于是温兰人开始挨饿。与复活节岛上的居民一样，温兰人也未能管理好公共资源。他们砍掉了太多的树木、毁坏了太多的草皮，文明崩溃了。
虽然这些例子都很引人注目，也促人深思，但是由于它们都发生在“遥远”的历史时期，所以许多人可能据此认为，集体行动问题只是在久远的过去才是重要的问题。这是一种相当不幸的框架效应。事实上，由于世界已经变得更加复杂，各个部分之间的相互联系也更加紧密了，集体行动问题其实比以往更加重要。在人类社会的所有方面几乎都面临着集体行动问题。公共教育、身体和精神的健康保障、基础设施、公共安全、司法系统和国防支出，核心都是集体行动问题；管理全球渔业、应对气候变化，特别是减少对大气层的碳排放量，与集体行动问题就更加息息相关了。
此外，由于几乎所有工作都变得更加依赖于团队合作，也必然会产生集体行动问题。员工有很强的动机去“搭便车”——自己偷懒卸责，让别人去努力工作，他们也会对共享工作空间提出过度需求，以确保自己的团队有足够的工作空间。
本章的结构如下。首先定义一个一般的集体行动问题，然后具体分析三类重要的集体行动问题。我们的讨论是从公共物品的供应问题入手的，在这类问题中，个体要为道路、学校和社会服务提供资金，或者为清理公园或水源而付出时间和精力。然后，我们研究了拥挤问题，即个人对诸如道路系统、海滩或公园之类的公共资源的使用必须受到限制。最后，我们分析了可再生资源的开采利用问题——个人需要消费这些可以再生的资源，例如鱼，龙虾和树木。拥挤问题每天都会发生。如果太多的汽车塞满了城市的街道，那么该市或许可以通过向进入城市的汽车征收拥堵费来解决这个问题，因此以往的过度使用不会产生长期影响。然而，森林被过度采伐了、渔场被过度捕捞了，却至少需要数十年时间才能恢复元气。这就是说，我们不得不承担过去合作失败的恶果。
个体激励与集体目标之间不一致的性质各不相同，因此问题的解决方案也不同。我们可以通过征税来解决公共产品供应问题，在某些情况下，也可以通过分类来解决这个问题。拥挤问题则可以通过收费或实施使用限制来解决，解决可再生资源问题则需要监督、制裁，还需要建立健全解决冲突的机制。
说到底，我们在这里给出的解决方案只是一些最基本的见解，它们必须因地制宜地应用于各种具体情况。任何真实情况都包括了模型无法完全覆盖的复杂层面。巴厘岛的水神庙能够解决水资源分配问题。水资源的分配是一个序列拥挤问题：上游的人可以先利用水资源，然后是中游的人，最后才是下游的人。国际捕鱼权制度通过限制进入的方法解决了可再生资源的公地悲剧问题，不然的话，挪威限制本国渔民近海捕捞的努力，可能因瑞典、俄罗斯和丹麦等国渔民在近海的过度捕捞而无效。 3 在现实世界中，任何一个解决方案的有效性，都部分依赖于我们在第22章中讨论过的关于如何在囚徒困境博弈中实现合作的机制：重复行动、声誉、网络结构和群体选择等。群体选择是间接发挥作用的：成功解决了这些问题的社区和国家将繁荣发展，它们的成功会被其他人所复制。
集体行动问题
在集体行动问题中，每个人都可以在做贡献与免费搭便车之间进行选择。搭便车符合个人利益最大化动机，因为这能为个人带来更高的收益。然而，当每个人都做出贡献时，整个群体能够获得更大的收益。
集体行动问题
在集体行动问题中，N 个人中的每个人都要选择是搭便车（f ）还是为集体行动做贡献（c ）。个人的收益取决于自己的行动和合作者的总数。个人可以通过搭便车获得更高的收益，即，收益（f ，C ）>收益（c ，C +1），但是当每个人都做出贡献时，所有人的收益总和实现最大化。
我们可以把集体行动问题视为一个多人囚徒困境博弈。因此，我们可以参考第22章中提出的解决方案，来解决如何形成合作和维持合作的问题。然而，那些方法是不完整的，原因如下：第一，集体行动问题涉及群体和社区，而不仅仅涉及配对博弈的个体；第二，许多集体行动问题都有特定的形式，因此其解决方案必须量身定制。
集体行动问题一：公共物品供应问题
我们要讨论的第一个具体的集体行动问题与公共物品的供应有关。公共物品满足非竞争性（non-rivalry），也就是一个人对公共物品的使用不会影响任何其他人的使用，以及非排他性（non-excludability），也就是无法禁止个人使用公共物品。公共物品包括清洁的空气、国防、龙卷风到来之前的警报信号和知识。美国宪法列举了政府有建立司法体系、确保国内安全、防御外国侵略的责任，这些也属于公共产品。
私人物品，比如自行车、燕麦饼干和量角器，既不是非竞争性的，也不是非排他性的。但知识既是非竞争性的，也是非排他性的。比较一下燕麦饼干和三角函数知识，就可以将这种差异突显出来。老师可能会说：“梅丽莎，我很抱歉，卡拉已经把最后一块燕麦饼干吃掉啦。”但他永远不可能说：“梅丽莎，我很抱歉，卡拉已经用过了毕达哥拉斯定理，现在它永远消失啦。”
公共物品的非排他性和非竞争性导致了集体行动问题。这个问题的出现，不是因为人们不想做出贡献，而是在于人们低估了贡献的价值。每个人贡献出来的每一美元，都可以增加每个人的效用。我们在这里将给出一个正式的模型：每个人都要将自己的收入在一种公共物品和一种代表性的私人物品之间进行分配，可以把私人物品想象成可以花在任何其他东西上的钱。我们可以将这个模型扩展到为包括多种公共物品和多种私人物品的情形，但那只会使分析复杂化，并没有特别大的意义。
公共物品供应问题
有N 个人，每人要将自己的收入I （I >N ）配置到一种公共物品（PUBLIC）和一种私人物品（PRIVATE）上，每个单位的成本为1美元。每个人都有以下形式的效用函数：
效用
社会最优配置： PUBLIC=N （如果N =100，那么每个人捐献100美元）。
均衡配置 ：PUBLIC=1/N （如果N =100，每个人捐献0.01美元）。 4
在这里，我们把效用模型描述为公共物品的凹函数和私人物品的线性函数。对于这样的假设，我们必须说明其理由。凹性对应于收益递减：一个人对某种东西估价随着对它消费的增多而减少。效用对公共物品数量的凹性，意味着公共物品的边际收益递减。这是一个标准假设。人们因高速公路新增的第三条车道而获得的好处，大于因新增第四条车道而获得的好处。污染严重的空气变得清洁对人们的好处要比将清洁的空气中最后一点微尘彻底清理干净更大。
之所以假设私人物品的效用是线性的，是因为它其实代表着所有私人物品的组合。虽然实用函数对任何一种私人物品可能都是凹性的，无论是巧克力、电视机还是牛仔夹克，但是它对于所有商品来说则更可能接近于线性。这个假设还有一个额外的优势，那就是，会使模型更加容易分析。
先求解社会最优配置问题。我们把社会最优配置定义为能够最大化整个种群效用总和的配制，也就是大多数人的最大幸福。 5 社会最优配置要求，每个人都得为种群中的每个人捐献一美元用于提供公共物品。这里需要注意的是，每个人对公共物品的贡献随着种群规模的增大而增加。这个结果不依赖于我们选择的效用函数的形式，因为种群规模越大，能够因非竞争性的公共物品而受益的人越多。这也就是说，享受清洁空气或国防安全的人越多，应该提供的公共物品就越多。
均衡贡献等于1除以种群总人数。随着人口的增多，人们有更大的动机去搭其他人贡献的便车。为了说明个中缘由，我们可以看看让人口规模增大1（加入一个人）时会发生什么。这个“新”人从公共物品中获得的效用，与之前的其他人一样。如果其他人的贡献保持不变，那么这个“新”人为公共物品捐献的动力就会比其他人在以往贡献时更弱。因此，他的贡献会比他们更少。另一方面，当他真的有所贡献时，他将使公共物品的数量有所增加，从而又增强了其他人贡献更少的动机。
因此，这个模型表明，随着人口规模的扩大，公共物品供给（不足）问题也会加剧。公共物品的最优水平提高了，但是人们贡献的动力却下降了。从模型中推导出来的最优贡献水平和均衡贡献水平确实依赖于对效用函数形式的假设，但是公共物品供给不足的现象确实是非常普遍的。
这种分析假设是人都是自私自利的，这也是经济模型中的常见假设。不过，来自问卷调查、实验，以及日常观察的证据表明，人们还有涉他偏好（other-regarding preferences），会考虑他人的利益。人们希望他人也能够与自己一样，上好的学校、利用完善的道路网络。我们可以在模型中加入一个利他主义参数来模拟这种行为，该参数取零值时就对应于经济学家所假设的自利理性行为者，取值1则对应于每个人为他人考虑的程度与为自己考虑的程度完全一样。纯粹的利他主义者，也就是对每个人都一样关心的人，做出的贡献达到了社会最优水平。只要达不到纯粹的利他主义，就会导致供应不足。
计算表明，在规模很大的种群中，人们的贡献水平与最优配置水平之间的比例，近似地等于利他主义参数的平方。虽然公共物品供给不足的程度取决于效用函数的形式，但是这个例子说明了利他主义的局限性。关心他人的程度相当于关心自己的程度一半的那些人，贡献水平只相当于最优水平的1/4。关心他人的程度相当于关心自己的程度一半的那些人，贡献水平则只占最优水平的1/9。
利他主义者提供的公共物品
N 人有利他主义偏好，其对总效用的权重为α ：
均衡纯粹的利他主义者 （α =1）：PUBLIC=N
均衡一般解： 6
实例： α =1/2：PUBLIC≈N /4
考虑到我们并不生活在一个由纯粹的利他主义者组成的世界中，我们必须寻找其他机制来解决公共物品供给不足的问题，例如税收。政府征税以支付国防、公共道路、教育和刑事司法体系的支出，并提供其他公共物品。不过，确定税额需要包括个人收入和偏好异质性的更精细的模型。人们可以就税额和税率进行投票。空间投票模型预测税率等于中间选民所偏好的公共物品的水平。但是，如果人们有异质性的收入和偏好，这个水平就可能不是社会最优的。
许多公共物品，如学校、道路网络和资源回收系统，可以认为是属于“本地”的。本地社区可以将本社区之外的人排除在这些公共物品的使用者之外；但是在社区内部，这些公共物品仍然是非竞争性的和非排他性的。对于这种本地公共产品，人们可以根据自己的偏好将它们归入不同的社区。这就是所谓的蒂布特模型（Tiebout model），它为公共物品的供应问题提供了一个可能的解决方案。想要更好的学校、公园、游泳池和公共安全的人，可以投票支持征收更高的税收，以支付提供这些公共物品的费用。而那些不想要这些本地公共产品的人，则可以住进另一个社区，并只需要支付较低的税。
当然，蒂布特模型也不是万能的，它也不可避免地带来了一些成本，其中之一就是社会凝聚力会因此下降。此外，如果高收入人群以这种方式将自己与社会其他群体隔离开来，就会导致较贫困社区的公共物品供应进一步下降，并减少可以传递信息和知识的网络互动。 7
集体行动问题二：拥塞模型
第二个集体行动问题是拥塞模型，它刻画了道路、海滩、供排水系统等公共物品对个人的价值随着用户数量的增加而减少的现象。任何一个受过交通堵塞之苦的人，都明白这里所说的含义。道路通畅比严重堵塞能够带给我们更多的乐趣和效用。有人估计，美国每年的交通延误成本已经达到了1 000亿美元以上，尤其是洛杉矶和华盛顿特区，人们每年堵在路上的时间超过了60小时。
拥塞模型假设，资源的总量是固定不变的。每一天，每个人都可以选择使用这种资源或不使用。使用资源的个人收益随着其他用户数量的增加而线性地减少。 8 模型中的斜率，即拥塞参数，描述了这种拥塞效应的严重程度。
拥塞模型
在N 人中，M 人选择使用一种资源。其效用可以写成如下形式：
效用（M ）=B -θ ×M
B 表示最大收益，θ 是拥塞参数。其余（N -M ）人不使用这种资源，并且效用为零。 9
社会最优解： ，且效用
纳什均衡解： ，且效用
在社会最优解中，使用这种资源的人的数量等于最大可能收益除以拥塞参数的两倍。这些发现与我们的直觉相符，使用一种资源的人的数量应该随着最大可能收益的提高而增加、随着拥塞效应的加剧而减少。在纳什均衡解中，使用这种资源的人的数量恰好是社会最优解下使用这种资源的人的数量的两倍。这时，拥塞变得如此严重，以至于没有人能够获得任何收益。这个结果依赖于不使用这种资源的效用为零的假设。这个发现有一个违反直觉的含义：建一个美丽的公园可能并不能为社区居民带来太大的效用。在均衡状态下，公园将会变得非常拥挤，以至于在公园休憩并不会比待在家里更好。
当一个模型产生的结果与常识相反时，就需要对结果细加思量。人们肯定更希望拥有一个公园，因此这个模型必定是错的。首先，它之所以出错，是因为我们假设所有人都有相同的偏好。如果不同的人对公园的“享受”程度各不相同，那么在有些人无法因公园而获益的情况下，另一些人仍然可能会获得正效用。其次，这个模型假设公园总是会拥挤不堪，但那不可能是事实。再次，人们的替代选择可能是去海滩，而不是待在家里。因此，新公园的出现，可能会使海滩变得不那么拥挤。最后，人们能够从各种体验中获得效用。如果一个城市里有滑板公园、宠物公园和水上公园，那么人们可以在一定时间内从多种不同的体验中获益。
尽管存在这样一些问题，但是这个简单的拥塞模型的主要结果仍然具有一定的说服力。在繁忙时期，拥塞确实会上升到公园所产生的好处不会比任何其他活动更多的程度。拥塞是不可避免的，尽管不会像只有一个公园时那么严重。更何况，即便建成多个公园也不能保证人们能够在多个公园之间实现最优配置。在下面的例子中，有太多的人都挤到了一个更大的那个公园中。
除了创建更多的公园，社区还可以尝试其他解决方案，例如采取配给制或轮换进入制、进行抽签、收取入场费和扩大容量等。配给制的核心是给每个人或每个家庭分配一定数量的资源。这种解决方案适用于像水这样可分割的资源，但不太适用于公共道路。轮换是按时间分割资源的使用权。例如，为了减少空气污染，城市可以限定在某些日子里只允许车牌号为偶数或奇数的汽车上路行驶。但是很多资源，如受欢迎的公立学校，是不能配给或轮换的，在这种情况下，则可以通过抽签来配置资源。
存在多个拥塞性公共物品的情况
M 个人去公园1，（N -M ）个人去公园2。相对而言，公园2更大更好，为了体现这一点，假设如下形式的效用函数： 10
公园1：效用（M ）=N -M
公园2：效用（N -M ）=3N -3×（N -M ）
社会最优解： M =N /2，创造出的总效用为N 2；
纳什均衡解： M =N /4，创造出的总效为
对于道路系统，收取通行费是一种普遍的解决方案。伦敦市会收取车辆进入中心城区的费用，世界各地的收费公路也是如此。收费其实是将资源配置给那些愿意为使用资源付出更多钱的那些人，但是这些人也许不是能够从资源中得到最高效用的人。新加坡同时使用了收费和限制进入的方法。每一年，新加坡都会拍卖固定数量的机动车许可证，许可证的有效期为10年，一份许可证的售价往往超过了一辆普通汽车的价格。为了减少高峰期的交通堵塞，新加坡和伦敦一样，还向进入中央商务区的车辆收费。在同等规模的城市中，新加坡的交通状况算得上相当不错，而且新加坡政府还通过上述方法筹集了大量资金，可以用它们进一步发展公共交通。
扩大道路通行能力，能不能结束拥堵？并不一定。当一个城市通过增加高速公路的车道来缓解交通问题时，会使高速公路附近的房子升值，从而形成一种正反馈回路：房子的数量会随之增加，从而使交通量进一步上升，进而需要更宽的道路。这种正反馈回路，与第18章所描述的系统动力学模型中的正反馈回路类似。
集体行动问题三：可再生资源开采模型
第三个集体行动问题是可再生资源开采模型。在这种模型中，个人所利用的资源是能够再生的。这种模型适用于森林、河流、草原和渔业资源。在这些情况下，未来可用资源的数量取决于现在使用的数量。如果使用得太多，资源就可能无法足够快地再生。资源可能无法快速再生这个事实使可再生资源利用问题比公共物品问题或拥塞问题更加脆弱。如果一个城市在某一年内资金不足，无法提供足够的公共照明，那么它还可以在下一年想办法加以改进，并且不会因为这种错误产生长期不良影响。但是，如果人们过度捕捞或过度砍伐森林，就会付出持久的代价，因为要生产鱼就必须先有鱼，但并不需要用路灯来制作路灯。此外，可再生资源可能是必需品：食物、饮用水和保暖用的燃料。人们需要开采可再生资源才能生存下去。
可再生资源开采模型
令R （t ）表示第t 期开始时的可再生资源数量，再令C （t ）表示第t 期内耗用的资源的总量，g 表示资源的增长率。那么，第t +1期的资源数量量由以下差分方程给出： 11
R （t ）=（1+g ）［R （t ）-C （t ）］
均衡消费水平：
可再生资源开采模型表明，资源的耗用水平有一个临界点。任何高于均衡开采率的资源开采率都会导致崩溃，这一点在上面的正式模型中可以看得很清楚。我们可以将资源总量视为一个“饼”，开采资源相当于从这个饼中咬掉了一口。由于资源是可再生的，它会产生与剩余资源数量成比例的一定资源。如果资源开采水平较低，资源将会增加；如果开采水平过高，就无法通过再生来弥补了。在这两者之间，存在着一个均衡：开采的资源与再生的资源恰恰相等。
