现在描述NK模型。利用这个模型，我们可以对属性的相互作用与崎岖性之间的联系加以形式化。 2 这个模型将对象，或我们这里所称的备选方案，表示为一个长度为N 的二进制字符串，这就是NK模型中“N ”的含义。至于“K ”，则指与该字符串的每一位交互以确定这一位的值的其他位的数量。如果K 等于零，那么价值函数就是线性的。如果K 等于N -1，则所有的位都相互交互，每个字符串的值都是随机的。因此，我们可以考虑增大K ，将景观的崎岖度调整到富士山景观与随机景观之间的某个适当位置。
NK模型
一个对象由N 位二进制符号组成，s ∈{0，1} N 。
这个对象的价值表示为V （s ）=V k 1 （s 1 ，{s 1 k }）+V k 2 （s 2 ，{s 2 k }）+…+V k 1 （s 1 ，{s 2 k }），其中，{s ik }等于一个从原字符串中除了第i 位之外随机选择出来的有k 位的子字符串的集合，而且V k 1 （s 1 ，{s 1 k }）是从区间［0，1］中抽取出来的一个随机数。
K =0：得到的是一个关于位的线性函数。
K =N -1：任何位的变化都使每个位产生新的随机贡献。
NK模型作为一个框架，为探索想法和提出问题创造了一个非常好的空间。我们想要问，局部最优值的数量是怎样取决于交互项的数量的。我们还可以问，全局最优值的大小又是如何取决于交互项的数量的。不过眼下，还不是回答这两个问题的适当时机，因为还没有定义好怎样去搜索可能性空间，这就是我们正在使用的启发式，局部最优集及其吸引盆的集合取决于搜索时所用的启发式。
在下文中，我们主要依赖单翻转算法（single flip algorithm）来进行搜索。这个算法按顺序选择每一个属性并切换该属性的状态。如果改变那个属性会产生一个更高的价值，就保留这个切换。否则，那个属性就退回到它原来的状态。之所以选择这个算法，有两方面的动机。首先，我们可以把它解释为描述基因突变的一个粗略模型，让好的基因变异逐步接管整个种群，并让坏的基因变异消失。其次，它也是在我们这个空间中表征爬山算法最自然的一个形式。
作为例子，我们先来求解N =20且K =0时的NK模型。当K =0时，每个属性对总价值的贡献独立于其他属性，这时单翻转算法可以识别出每个属性更好的状态和全局最优值。因此，K =0意味着不存在相互作用，这种情况对应于富士山景观。每个状态的值均匀分布在区间［0，1］中。不难证明，从区间［0，1］上的均匀分布中随机抽取出来的两个值中较高的那一个期望值为2/3。只要我们对这20个属性的贡献求平均值，就不难推出全局最优值的期望值也是2/3。
而在另一个极端，当N =K -1时，每一个属性都与其他每个属性相互作用。在这种情况下，切换任何一个属性的状态，其他每个属性的贡献都会改变。那将是从区间［0，1］中均匀抽取出来的一个新随机数。同时对象的值则将是这20个新随机数的总和（每个属性一个）。这就意味着，属性的每一次翻转，都会导致整个对象产生一个新值，而且它与之前的值不相关。因此，景观将会非常崎岖，每一点都可能隆起、每一点都可能下陷。
在上面这两个结果的基础上，我们可以推导出局部峰值的期望数量。如果我们从任何一个备选方案开始，单翻转算法将会对该备选方案与N 个备选方案中的每一个进行比较。例如，假设我们从所有位都取零值的备选方案开始，那么单翻转算法将评估N 个备选方案，每一个备选方案都恰好有一位的取值为1。
初始备选方案：00000000000000000000
属性1切换后的备选方案：10000000000000000000
属性2切换后的备选方案：01000000000000000000
……
属性20切换后的备选方案：00000000000000000001
要成为一个局部高峰，其值必须高于这N 个备选值中的每一个。原来的备选方案拥有最高值的概率等于1/N 。因此，局部峰值的数量近似等于可能的替代方案数量2 N 除以N 的商。很容易计算，对于N =20，大约有5万个局部峰值。由于具有如此之多的局部最优，只靠单翻转算法很难准确定位全局峰值。
因此，在这里重要的不是局部最优值的数量，而是它们的值有多大。因此还需要将这些最优值的期望均值与全局最优值的期望值进行比较。通过这种比较，我们可以确定单翻转算法的性能如何。而在计算这些值的时候，我们可以利用中心极限定理。在这个例子中，很容易证明局部最优值的期望值大约等于0.6，而全局最优值的期望值则略大于0.75。 3 将这些值与K =0时的全局最优值比较一下，就可以发现崎岖景观的局部峰值低于富士山景观的峰值，但是崎岖景观的全局峰值则比富士山景观的峰值更高。
由此自然而然地引出了这样一个问题：在这两个极端之间，也就是当我们将交互作用的属性数量K 从零增加到N -1的过程中，发生了什么事情？答案是，我们可以观察两种效果。交互作用的属性数量的增加，在产生了更高的全局峰值的同时，也产生了更多的（更低的）局部峰值。假设我们在搜索时使用了单翻转算法，那么对这个模型的计算表明，对于比较小的K 值，互动的好处（得到了更高的全局峰值）超过了互动的坏处（出现了更多的局部峰值）。因此，在开始阶段，局部峰值的期望值会随着K 的增加而提高。同时，局部峰值数量的增加则意味着它们的平均值将减小。因此，如果决定使用单翻转算法，人们一般更喜欢用相对较小的K 值，比如3或4。但是，我们为什么要把自己局限在这种只切换单个属性的简单启发式上呢？经由变异而完成的进化也许适用这个启发式，但是我们却不必受它所限。我们可以切换两个属性甚至三个属性的状态。更复杂的算法将会减少局部最优值的数量。
崎岖性与舞动的景观
NK模型的一个重要含义是，我们需要适度的相互依赖性，因为这种互动能够产生更高的峰值。多模型思维则要求我们跳出模型的特定假设，并仔细思考是什么原理驱动了这些结果。我们不难发现，背后的逻辑由两部分组成。第一个组成部分源于组合学：两个元素的组合数会随对数的平方而增加，而三个元素的组合数则会随三元组数量的立方而增加。因此，这种相互依赖效应有可能会创造出更多有益的互动。
第二个组成部分则源于我们只需要保持更好的组合这个事实。想象一下，假设我们准备利用4种食材来制作一份食物。有4种食材意味着：如果选用其中的两种，那么有6种可能的组合。假设我们所用的是以下4种食材：泡菜，香蕉，鸡肉，焦糖。由此产生的6种配对是：香蕉和泡菜、泡菜和鸡肉、焦糖和泡菜、香蕉和鸡肉、焦糖和香蕉，以及焦糖和鸡肉。你可能会觉得只有一种搭配对你有吸引力，那么你就会选择那种搭配。假设我们喜欢的是焦糖和香蕉，就会忽略其余配对。 4
类似的逻辑也适用于进化系统。能够产生正面相互作用的表型组合，例如坚硬的外壳与强健的短腿，会在种群中保存下来。适者生存法则与产生负面相互作用的组合相反。因此，我们现在看不到有如下这种组合的动物：跑得很慢的脚+味道鲜美的皮肉+外表鲜艳的外表。它们也许曾经存在过，但是早就被捕获并被吃光了。
我们在搜索模型中也会遇到类似的情况。当拥有非常多的可能性时，我们更喜欢变化。同样的逻辑在这里也是适用的：组合（两个元素、三个元素）会产生丰富的可能性。而且我们还希望，这些可能性的价值有很大的变化范围。然后，我们更有可能发现其中一个具有非常高的价值。由于相互作用效应会增加变异，因此总体上说，它们是有利的，但只在一定程度上有利。正如我们在上面已经阐述过的，太多的变化会使景观随机化。在理想情况下，我们会有适度的互动。有的学者认为，如果相互作用的数量和大小可以演化或适应，那么系统应该会自然而然地演变为具有高峰值的崎岖景观。如果真的是那样，那就表明系统倾向于向复杂性而不是均衡或随机性演化。 5 当然，什么时候能够达到这个结果、是不是真能达到这个结果，本身也是一个可以通过模型来探索的有趣问题。
最后要强调的一点是，我们一直将景观视为固定的。但是在生态和社会系统中，物种或企业要面对的景观还取决于他人的行为和属性。任何一个物种的适应，或任何一个企业策略的改变，都会改变和重组它们的竞争对手的适合度景观。
现在，我们可以将空间竞争模型和享受竞争模型重新解释为舞动的景观上的运动模型。这种运动可能会导致均衡，每个博弈参与者都站在局部或全局山峰上。或者，在舞动的景观上的竞争，也可能导致复杂的行动模式和结果。只要粗略地观察一下生态系统、政治领域和经济社会，就会明白后一种情况更容易出现。
我们之所以会观察到如此多的复杂性，一个很重要的原因可能是，我们这个世界在很大程度上是由自适应的、有目的的行为者组成的，它们有能力操纵舞动的景观。为了理解这种复杂性，我们需要多模型思维。
我们可以对知识授予专利权吗
我们今天的幸福源于数百年来的知识积累。知识体现在所有方面：物理定律、内燃机、复式记账法、传染性细菌致病论、X射线和HTML等。知识通常是一种公共物品，永远是非竞争性的，不过知识既可能是、也可能不是排他性的。要想排他，必须有方法验证，当知识已经呈现为特定形式的人工制品时，要验证是比较容易的。例如，要想验证某个人是不是使用了某种算法或技术来解决了某个问题，那往往是不可能的；但是，要想验证某人是不是在软件程序中嵌入了某种算法，就是可以做到的。
当知识的排他性可以保证时，我们就会面临一个选择。我们可以像对待道路和国防那样去对待知识，并通过向民众征税来生产知识。政府可以向那些思考者支付报酬或者直接补贴他们，或者通过支持大学、研究机构来间接地加以支持。政府还允许人们获得专利权。专利制度之所以能够鼓励知识生产，关键就在于它为专利所有权人创造了一定期限的使用知识的独占权、并允许他们向其他使用专利的人收费。在美国和欧洲，专利权的期限为自申请提交之日起20年。 6 专利倡导者认为，如果任何人都可以免费使用别人发明的东西，那么私人（个人或机构）就不会有什么动力去开发更好的捕鼠器、计算机算法或音响系统了。他们强调，专利制度能够克服知识生产中固有的激励问题。
但是，经济学家米歇尔·博尔德林（Michele Boldrin）和戴维·莱文利用多模型思维，提出了一个有力的反对专利制度的理由。 7 在他们给出的允许思想（创意）组合的模型中，引入专利权会限制不同思想的组合，从而阻碍创新。如果一家公司获得了触摸屏技术专利，那么就很可能会减少其他企业设计采用这种技术的新产品的动力。如果没有专利保护，就会有更多的产品采用这种技术。也就是说，创新将会增加。
专利制度的支持者则反过来指出，就算专利制度真的会阻碍创新（那将很糟糕），但是如果没有专利保护，那么投资的减少幅度将会大得多。博尔德林和莱文基于我们在本书中讨论过的扩散模型反驳了这种说法。利用新知识设计生产的有用产品会迅速通过消费者传播开来。收音机、电视和谷歌搜索引擎都是如此。这会创造出一种先发优势，创新者仍然会受益，尽管获利程度与专利保护下有所不同。
博尔德林和莱文还对某项发明应该在多大程度上归功于发明者提出了疑问。如果重大突破都是某个孤独的天才在密室中做出的，而且如果没有动力，大多数新思想都不会出现，那么专利制度就是有理由的。但是，崎岖景观模型表明，大多数困难的问题都有很多种可行的解决方案。新发明，特别是那些结合了现有思想和技术的发明，例如汽车、电话和在线拍卖，也许是本来就会发生的“自然事件”，而不是某个天才人物行为的结果。如果各种想法和创意都能够在思考者的群体中自由流动，那么很多人可能早就实现了这些创新。从历史上看，许多重大发明（发现）都有一种引人注目的同时性，例如，微积分是由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发明的、电话是由亚历山大·格雷厄姆·贝尔和伊莱莎·格雷发明的，以及进化的自然选择理论是由查尔斯·达尔文和阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士发现的。
总而言之，多模型思维能够呈现专利制度的优点和缺点。这些模型提供的更深入、更周详的结论支持一种更加灵活的专利制度。也许，对于其中一些想法，那些许多人都能够发现的想法，以及可以与许多其他想法重新组合的想法，我们应该采取与今天的专利制度不同的专利制度，例如授予更短的保护期限、更宽松的使用条件。甚至，有些想法根本不应该被授予专利。
结语 像芒格一样智慧地思考——多模型思维的实际应用
一切都是复杂的；如果不是这样，那么生活、诗歌以及所有一切，都只会成为烦恼和负担。
华莱士·史蒂文斯
这是全书的最后一部分内容。在这一部分中，我们用多模型思维分析两个重要的政策问题：阿片类药物滥用和经济不平等。我们将阐明，如果同时运用多个模型，不但可以更好地分析这些问题，而且可以帮助我们理解为什么它们如此难以解决。我们还将会看到，特别是在阿片类药物滥用这个问题上，专家们如何利用多个模型在危机真的发生之前就预测到它。但是在这里，我们并不想说，利用模型就可以避免灾难的发生，那过于夸大其词了。我们这里对阿片类药物滥用问题的分析其实并不深刻，事实上，我们只是试图就如何利用多模型思维来考虑政策制定和政策实施问题给出一个粗糙的模板。我们没有收集过数据，也没有校准模型。相反，只是定性地应用模型得到一些见解。
然而另一方面，我们对收入不平等的分析则包括了更多细节，而且与学术文献紧密地结合在一起。它代表了多模型思维的另一个极端，对各个模型都深入地进行探讨。无论是对阿片类药物滥用问题，还是对收入不平等问题，利用多个模型来进行思考都会使我们变得更有知识、更聪明。但从定义上讲，复杂的系统是很难预测和理解的。我们肯定会犯错误，但是可以从这些错误中吸取教训，变得更加明智。
多模型思维与阿片类药物滥用
在美国，阿片类药物滥用情况有多严重？只要举出一个数字就够了：2016年，医生开出了超过2亿多张阿片类药物处方，这相当于差不多每个人一个处方。在那一年，美国有超过10万人死于与阿片类药物有关的服药过量。而有阿片类药物滥用问题的人则超过了1 000万人，其中有200万多人已经被归类为阿片类药物使用障碍患者。
医生之所以开出了如此之多的阿片类药物处方，主要原因当然是它们有疗效，阿片类药物可以减轻疼痛。数以千万计的美国人都需要止疼，从而对这类药物产生了巨大的需求。但是没有人料到，这类药物会被滥用到这个程度。为了解释阿片类药物的滥用，我们采用了多模型思维方法。关于这个危机产生的原因，有四个模型都给出了一些重要的直觉性结果。
第一个模型是多臂老虎机问题，它解释了为什么阿片类药物会被批准使用。在申请药物上市时，制药公司要进行临床试验，以证明药物有显著的疗效并没有有害的副作用。我们可以将药物临床试验建模为一个多臂老虎机问题，其中一只手臂对应新处方药，另一只手臂则对应安慰剂或现有药物。
阿片类药物批准模型——多臂老虎机问题
为了证明阿片类药物的疗效，制药公司要进行药物与安慰剂的比对试验。在临床试验中，患者随机分为两组，一组服用阿片类药物，另一组服用安慰剂。我们可以把阿片类药物建模为一个“双臂老虎机”问题模型中的一只手臂、而把安慰剂建模为另一只手臂。在试验结束时，每个试验都归类为“成功”或“失败”。临床试验发现，接受阿片类药物治疗的患者的疼痛（在统计学的意义上）显著减轻了。对接受过髋关节置换术、牙科手术和癌症治疗的患者进行的药物试验都表明，阿片类药物的效果显著优于安慰剂。
对于任何一种药物，成瘾的可能性都是一个非常值得关注的问题。只有当临床试验的结果可以证明，药物成瘾的患者比例极小（不到1%）时，这种药物才有可能获得批准。然而，这种试验并没有考虑过医生会给患者开出“大处方”的可能性，在某些情况下，医生一次开出的药就足够服用一个月。一个人服用阿片类药物的时间越长，成瘾的可能性就越大。数据表明，服药期较长的患者的成瘾率将会超过2.5%。下面的马尔可夫模型表明，成瘾率从1%提高到2.5%，就可以使阿片类药物成瘾者的均衡人数增加5倍。
这些转移概率仅用数据进行了不严格的校准。因为我们在这里用这个模型只是为了得出一个直观结论：相对较小的成瘾率是如何导致了大量成瘾者的。对这个模型的数值实验表明，只要我们稍稍降低成瘾者戒瘾成功的概率并提高从无痛苦状态转变为阿片状态的概率，那么阿片类药物成瘾者的比例会急剧增加。例如，如果我们在第二个模型中将从成瘾状态转变到无痛苦的转移概率降低为1%，那么成瘾者的比例就会增加到35%。这种模型思维的含义是非常明显的，在现实世界中也开始得到了落实：有的医疗保健服务提供者，现在已经对医生可以开出阿片类药物的数量进行了限制。
成瘾模型——马尔可夫模型
为了计算出成瘾的概率，我们创建了一个三态马尔可夫模型。这三个状态分别表示不受疼痛折磨的人（无痛状态）、使用阿片类药物的人（阿片状态）和成瘾者（成瘾状态）。我们要估计这三种状态之间的转移概率（用下图中的箭头表示。左侧的模型假设使用阿片类药物的人当中，会有1%的人成瘾，10%的成瘾者会恢复为无痛状态，并假设20%的处于无痛状态的人会成为阿片类药物使用者。在均衡状态下，只有2.2%的人是成瘾者。在考虑了“大处方”的情况下，左边的模型假设2.5%使用阿片类药物的人会成瘾，同时只有5%的成瘾者会恢复为无痛状态，并假设20%处于无痛状态的人会成为阿片类药物使用者。现在，在均衡状态下，会有10%的人是成瘾者。 1
我们的第三个模型是一个系统动力学模型。与马尔可夫模型类似，在这个模型中，我们也假设了有三种类型的人（三个状态）：受疼痛折磨的人、使用阿片类药物的人和不受疼痛折磨的人。然而，这个系统动力学模型并不能直接写出这些状态之间的转移概率，而是想象存在一个“流”：由受疼痛折磨的人，到阿片类药物的使用者，再到不受疼痛折磨的人。更精细的系统动力学模型还可以包括其他一些源（其他药物的提供者），并允许阿片类药物使用者和海洛因使用者之间互动。此外，更精细的模型可能包括其他类型的情况。患有焦虑和抑郁的人更容易成瘾这一事实也可能被纳入这个模型。 2
海洛因成瘾之路——系统动力学模型
模型描述了受疼痛折磨的人群产生阿片类药物使用者和海洛因成瘾者的过程。阿片类药物使用者会变为无痛状态，也会变为成瘾状态。而成瘾者则可以进一步发展成为海洛因使用者。人们使用海洛因的一个原因是他们不能再服用阿片类药物了。因此，随着阿片类药物的流量的加大，海洛因使用者的数量也在增加。
可以用来分析成瘾问题的最后一个模型是社会网络模型，我们没有在这里给出它的正式形式。这个模型依靠社会网络解释为什么人均阿片类药物使用量的地图会出现类似于农村地区那样的聚类。根据我们对平方根规则的分析，人口规模越小，变差越大。回想一下前面举过的例子：表现最好的学校和表现最差的学校都是小学校。农村地区阿片类药物的使用更大，也可能是因为医生会给农村病人开出服药时间更久的大处方，因为他们距离药店更远。除了这些解释之外，阿片类药物的使用也出现了聚类现象，而不再像是随机发生的。
如果阿片类药物是通过药物贩卖的渠道扩散的，那么就可能会出现这种聚类。与销售二手旧家具不一样（在销售二手家具时，人们会刊登广告），阿片类药物是通过个人关系销售出去的。因此，这样一个社会网络模型将会从家庭和朋友的社交网络开始。模型可能会假设，人们只向亲密的朋友出售阿片类药物。如果真的是这样，那么阿片类药物滥用者将会出现局部聚类现象。 3
用多模型法分析经济不平等问题
接下来我们讨论最后一个多模型应用。在这里，我们将深入研究经济不平等的各种原因。之所以要讨论这个问题，有三个原因。首先，不平等是我们这个时代最重要的政策问题之一。收入和财富与人类社会的繁荣和未来息息相关。高收入人群拥有更好的健康状况、更长的预期寿命、更高的生活满意度和幸福感。处于收入分布底部的人无论是谋杀率、离婚率，还是精神性疾病患病率都更高，他们普遍更加焦虑。 4 不过，我们必须非常小心，不要将相关关系与因果关系混淆起来。这种相关关系的很大一部分可以通过更健康、更快乐的人赚的钱更多这个事实来解释。但是，几乎所有研究都表明收入与生活幸福之间存在联系。没有人喜欢自己穷困潦倒。其次，我们有各种各样的不平等模型，这些模型分别由经济学家、社会学家、政治学家，甚至物理学家和生物学家提出。再次，我们拥有丰富的关于收入和财富的国内数据和跨国数据。我们不仅拥有当前的数据，还拥有可以回溯数百年的时间序列数据。
我们要先总结一下有关收入分配的若干经验规律。首先，在任何时代、任何国家，收入分布都有一个很长的尾部——许多低收入者和一小部分高收入者。在历史上，收入分布曾经被校准为对数正态分布或帕累托分布。最近，颗粒度更细的数据表明，收入分布的尾部长于对数正态分布，但是又不完全符合幂律分布。财富分布也同样是偏斜的。
其次，在大多数发达国家，近几十年来收入和财富不平等状况（无论用什么指标来衡量）一直处于不断恶化的趋势中。目前，美国的收入和财富不平等程度已经接近了镀金时代。由于整个分布内部的变化很难辨别，因此按照惯例，我们描述了归属于分布的上尾部的收入份额的变化情况。图29-1显示了顶层0.1%所占的收入份额随时间流逝而演变的情况。该图表明最顶层千分之一的家庭所占的收入份额在20世纪50年代后稳步下降，直到20世纪80年前后一直稳定在不到4%的水平。但是现在，这个数字已经上升到了10%左右。
图29-1 最顶层0.1%的人的收入份额，1916—2010年。
资料来源：Piketty，2011。
再次，在全球范围内，生活在极端贫困中的人的数量也急剧下降了。我们应该看到，这些看似对立的趋势之间其实不存在逻辑矛盾。贫穷国家收入的快速增长，显著地减少了收入的跨国差异，但是并没有抵消国内不平等程度的加剧。群体选择模型也产生了类似的效果。利他主义社区数量的增长，压倒了每个社区内部自私者上升的趋势。
不平等有很多原因，而且这些原因往往是相互交织的。经济力量、社会趋势、政治因素，以及发展历史，都会导致不平等。因此，正如经济学家史蒂文·杜鲁夫（Steven Durlauf）所指出的那样，我们不应该试图只用一个方程来解释所有不平等的水平或趋势，也不应该把所有政策建立在一个模型的基础上。 5 我们必须想得更加细致周到一些。使财富和收入集中在顶层1%或最顶层0.1%的过程，可能与将底层20%人困在贫穷陷阱中的因素无关。要深入了解收入分化的原因，需要采取多模型方法。
我们首先描述解释收入分配变化的模型。收入有以下几个来源：工资和薪金、营业收入、资本收入和资本收益。收入的这些组成部分股票的相对大小因收入水平而异。低收入人群的资本收益或资本收入很少。收入最高的那些人则从每个来源都可以获得很可观的收入。
我们的第一个模型扩展了柯布-道格拉斯（Cobb-Douglass）生产函数模型。在这个模型中，劳动包括两种类型：受过教育的人提供的劳动和未受过教育的人提供的劳动。支付给某种类型的劳动的工资取决于该类型的相对供给和技术。 6 这个模型可以解释近期基于供求关系不平等程度的上升。在20世纪50年代，制造业的增长增加了对未受过教育的工人的需求。与此同时，大学入学人数的大幅上升（这部分是因为美国《退伍军人安置法案》的实施），增加了受过教育的工人的供给。到了20世纪80年代，由于人们上大学的动力下降，减缓了大学毕业生数量的增长，再加上受教育程度较低的移民流入，增加了低技能工人的供给。与此同时，技术变革——自动化制造的兴起和向更加数字化经济的转型，增加了受过教育的工人的相对价值。他们的工资上涨反映了价值的这种变化。
按教育程度划分的平均收入时间序列数据与这个模型的拟合相当好。出于这个原因，许多经济学家依靠这个模型来提出政策建议。根据这个模型，他们主张增加所有人受教育的机会，因为这能抑制受过教育的工人工资的上涨趋势并减少不平等。这个模型很好地解释了总体趋势，但是它无法解释每个收入阶层内部的变差的扩大。
技术和人力资本模型——增长模型
产出取决于实物资本（K）、受过教育的人的劳动（S）和未受过教育的人的劳动（U），具体生产函数如下：
产出=A K α S β U γ
参数A 、α 、β 和γ 刻画了技术和三种投入要素相对价值。高技能工人和低技能工人的相对市场工资是： 7
（Wages 是高技能工人的工资，Wages 是低技能工人的工资）
不平等的原因：有利于受过教育的工人的技术变革会使β 增大、使γ 减少。这一点，再加上低技能工人供给的增加，会增加不平等。
不过，正反馈模型却可以。这个模型着重关注分布的尾部上的人群，特别是企业家群体。2011年，企业家在美国400名最富有的人中所占的比例达到了70%。 8 这个模型假设技术，特别是互联网和智能手机使人们之间的联系更加紧密，并使人们在更大程度上受他人的选择的影响。 9 一个想购买无线立体声扬声器的人，可以在线阅读评论，并从多个可选项中选出“最好的”。在过去，这个人也许只能在当地的立体声商店买，并只能选择唯一可选的某个型号。一个扭伤了膝盖的人，现在可以在网上搜索并了解他最喜欢的运动医生的身份。这种连通性会产生正反馈并导致更大的不平等。为了给这种受社会网络影响的经济选择建模，我们修改一下优先连接模型，以便将正反馈与人才联系起来，从而为受社会影响的经济选择建模。
虽然正反馈模型与时间序列数据的拟合程度不如前面那个强调技术导致增长的模型高，但是我们可以通过运行数值实验来了解反馈是如何导致不平等的。回想一下在第6章中描述过的音乐下载实验，也就是让随机分成两个组的大学生在两个不同的情境中下载音乐。在第一个情境中，被试们无法看到其他人在下载什么音乐。这种情境刻画了互联网出现前的世界。在第二个情境中，被试们可以看到每首歌的下载数字。在不能观察到“社交”信息的情境下，没有一首歌的下载次数超过了200次，只有一首歌的下载次数少于30次。然而，当人们可以看到下载次数时，有一首歌的下载次数超过了300次，同时一半以上的歌曲的下载次数少于30次。信息和社会影响放大了马太效应。富人变得更加富裕了，而穷人则变得相对更穷了。
对才华的正反馈——优先连接模型
存在N 个生产者。开始时，每个生产者的销量均为零。第一个消费者随机选中了一个零销量的生产者，购买了产品，使该生产商的销量为正。随后，每个后续消费者都以概率p 从销量为零的生产者那里购买、以概率（1-p ）从具有销量为正的生产者那里购买。当从具有销量为正的生产者那里购买时，消费者选择生产者的概率与该生产者的当前销量成正比例。
不平等的原因： 更多的联系增加了社会影响，创造了正反馈。
显然，我们可以将同样的逻辑应用于对经济问题的分析。 10 社交网络的正反馈效应导致不平等的可能性部分取决于人们所购买东西的性质。没有重量的商品，比如说可下载的电影、音乐和网络应用程序，以及某些技术，都很容易传播。点击一下图标是不能复制拖拉机、汽车和洗衣机的。因此，新的智能手机应用程序的销量可以几乎不需要付出任何资本支出就能够扩大，但是汽车却不能，即便是最畅销的汽车也不能。一个例子是，2015年5月，沃尔沃宣布，将在南卡罗来纳州生产S60轿车。这家新公司将于2015年9月破土动工，而第一批汽车将在2018年末才能下线。
下一个模型源于空间投票模型。我们用它来解释公司高管（如CEO）薪酬的上升，它不是由社会网络因素决定的。2012年，财富500强企业CEO的平均收入超过了1 000万美元，大约相当于当年工人平均工资的300倍。相比之下，在1966年，CEO的工资仅为工人平均工资的25倍左右。其他国家CEO的收入则要少得多。在日本，CEO的收入大约是普通员工的10倍。在加拿大和整个欧洲，CEO的工资大约是普通工人的20倍。
在大多数公司内，CEO的薪酬是由一个由董事会成员组成的薪酬委员会决定的，通常包括了工资、奖金和股票期权。这就是说，决定CEO薪酬的人往往是其他CEO。他们有很强的动机提高其他CEO的薪酬，进而提高自己的薪酬。我们可以使用一个空间模型来表示薪酬委员会的偏好。根据空间投票模型，工资将被设定为中间选民的偏好。CEO的薪酬跨国差异可以通过董事会和薪酬委员会的组成来解释。在德国，董事会包括工人成员，他们更倾向于减少CEO的工资。
CEO的薪酬——空间投票模型
CEO薪酬由薪酬委员会投票决定。在美国，薪酬委员会通常由现任和前任CEO（他们当然更喜欢高薪）以及薪酬专家（X）组成。而在其他国家，薪酬委员会的组成人员中还有工人（W），因而导致中间选民更偏好比较低的薪酬水平。
不平等的原因： CEO通过相互“俘获”来确定自己的薪酬。任何一位CEO的薪酬的增加，都会使所有CEO更加偏好更高的薪酬。
这个模型根据什么样的薪酬才是适当的来解释CEO薪酬的上升。在一点上，我们也可以回过头去考虑分析价值的多模型方法。薪酬委员会成员的理想价值可能是基于数据的，也可能在社会影响下形成的，或者也可能是基于对CEO未来价值的预测。
下一个收入不平等模型来自著名经济学家托马斯·皮凯蒂（Thomas Piketty）的畅销书《21世纪资本论》（Capital in the Twenty-First Century ）。与其说这是一个正式的模型，还不如说它是一个观察结果：资本回报率总是会超过经济增长率。只要这个关系成立，那么高收入者从资本回报中获得的收入部分就会随着时间的推移而不断增加。如果在增长模型的基础上构建一个更精致的模型，应该不难证明资本回报率始终会超过整个经济体的增长率。从长远来看，经济增长率可能不到2%或3%，但是资本回报率则可能会高出一倍以上。
由此可以推出，在一个由赚取工资的工人和从租金中获得收入的资本家组成的经济体中，资本家的收入份额将会增加。更正式地说，资本增加的速度将取决于三个比率：消费率、税率和资本回报率。消费取决于资本存量水平。一个没有什么资本的人需要把自己收入的很大一部分消费掉，而拥有大量资本的人的消费只占收入的很小一部分。如下面的专栏所示，如果我们将消费率表示为一个常数除以资本水平，那么消费量将不会依赖于资本水平。较富裕的人将以较低的速度消费，而这会使他们的净资本更有可能增加。
资本租金模型（皮凯蒂）——72法则
经济由工人和资本家组成。工人的工资增长率为g ，即经济增长率。资本家在时间t 有财富W t 。资本的回报率为r （税后净额），且资本家的消费为一个不变的常数A 。资本家的收入将比工人的增长更快，当且仅当：
不平等的原因： 在市场经济中，资本回报率必定超过经济总增长率（即r >g ）。拥有大量财富的资本家只将自己资本收入的一小部分用于消费，因此他们在总收入中的份额将随着时间的推移而不断提高。
为了说明资本回报率与经济增长率之间的差异是怎样导致不平等的，我们可以应用72法则。如果在最初的时候，工人的收入与资本家的收入相等，工资的年增长率为2%，而资本的年增长率为6%，那么在36年后，工资将增加一倍，但是源于资本的收入将增加8倍。而在72年内，资本家的收入将会达到工人收入的60倍。
皮凯蒂就是运用这样一个模型来解释收入和财富不平等的长期趋势的。用法国和英国过去三个世纪以来的数据对这个模型进行校准，结果非常好。这个模型还揭示了过去一个世纪在美国和欧洲各国的不平等的演变模式：两次世界大战摧毁了欧洲的资本存量，使那里的收入和资本分配较为平衡。这个模型能够很好地适合数据的一个原因是它略去了两个相互抵消的效应。由于将企业家排除在外，这个模型低估了不平等。而通过假设资本家的后代会明智地投资（尽管并非所有资本家的后代都能做到这一点），这个模型又夸大了不平等。因此，它在创造了一个新的富人阶层的同时，抹去了一个原来的富人阶层。这个模型，由于同时出现了这两个疏漏，因而比只有一个疏漏的模型更加准确。
这个模型的含义是，只要资本在增加，资本家就会从经济蛋糕中获得越来越大的份额。只要继续应用72法则，任何人都能看到资本家的收入将使工人的收入相形见绌。对于这种原因导致的收入不平等，似乎有一个非常简单的解决方案：向富人征收财富税。作为征税的替代方案，有的人可能会期待战争和革命，也就是以暴力的方式重新分配财富；或者，等待能够产生很多新资本家的技术突破的出现。
接下来要考虑的两个模型都优先考虑社会力量，而且两者都有很强的经验证据支持。第一个模型解释了选择性婚配，也就是所谓的门当户对的婚姻选择所导致的不平等恶化。家庭的收入取决于夫妻双方的收入。如果一个低收入者与一个高收入者结婚，那么这种婚姻将有助于平衡收入分配。如果一个高收入者与另一个高收入者结婚，那么收入差距将会增大。虽然大多数人结婚时，都无法确知未来的人生伴侣的终身收入；但是，人们确实可以了解潜在结婚对象的受教育程度和身体健康状况，并且能够收到他们是否拥有雄心壮志的信号。有证据表明，男性（女性）受教育程度越高、收入越高（技术和人力资本模型），他们越有可能选择受教育程度较高的人生伴侣。
不平等的加剧是由以下因素造成的。第一，获得大学学位的女性越来越多。第二，相对收入会随着接受教育的程度的增加而提高。第三，受过良好教育的男性（女性）更喜欢受过良好教育的人生伴侣。因此，由两个受教育程度很高的人组成的家庭，更有可能拥有两个高收入者，从而导致家庭之间的收入不平等状况恶化。这里的逻辑似乎很严密。唯一的问题是这种效应的影响空间有多大。 11
社会学家通常会将人们按教育水平分为五类：辍学、高中毕业、上过大学、有大学学位，以及研究生。然后，他们计算出每个教育水平的平均收入，并拟合关于每一对教育水平之间的婚姻数量的数据，从而粗略估计出选择性婚配的影响。
选择性婚配模型——分类模型与分类
每个人都有自己的教育水平：{1，2，3，4，5}。（其中1=辍学，2=高中毕业，3=上过大学，4=大学学位，5=研究生）
令P （m ，j ）和P （w ，j ）分别表示男人和女人具有教育水平j 的概率。收入（g ，? ）表示性别为g 、收入水平为? 的人的（估计）收入。一对夫妇组成的家庭的收入，包括了一个受教育程度为? M 的男子和一名受教育程度为? w 的妇女的收入。其家庭收入估计如下： 12
收入（M ，? M ）+收入（W ，? w ）
不平等的原因： 受过良好教育的女性人数的增加、高教育水平的工人工资的增加，以及选择性婚配（人们喜欢与收入水平相同的异性结婚的倾向）导致了家庭之间收入不平等的增加。
如果婚姻是随机的而不是非得门当户对不可的，收入不平等的程度就会轻得多。一项研究表明，如果婚姻是随机的，那么以基尼系数衡量的收入不平等程度将会减少25%。 13
下一个模型则使用马尔可夫模型分析不同收入类别之间的变动。这个模型按收入水平将人们（或家庭）分成四类：高、中高、中低、低。每个类别包括了分布的1/4。选定一个时间段，可能是1年、10年，也可能是一代人的时间，然后估计收入类别之间的转移概率，以刻画收入流动性。
代际收入（财富）动态变化——马尔可夫模型
将所有人口划分为4个人数相等的收入（或财富）类别。我们可以估计一个类别中的个体（或家庭）在一代的时间内流动到另一个类别中的转移概率（如下图所示）。更平等的转移概率对应更大的社会流动性。
收入水平（收入等级）之间的转移概率
不平等的原因： 社交技能、隐性知识、对风险和教育的态度以及遗产，减少了收入阶层之间的流动性。
如果代与代之间不存在黏性，那么高收入父母的孩子的收入属于4个收入阶层中的任何一个的概率都相同，即所有的转移概率都等于1/4。在完全不存在流动性的最极端情况下，转移概率将仅包括沿对角线的那些1。经验结果估计，表明现实介于这两个极端之间。
