我们可以拿100个随机挑选出来的高收入或低收入水平家庭来进行仿真实验，计算出每一个后代收入的概率分布。如果使用上面的专栏中给出的概率，高收入者的子女有60%的机会成为高收入者，只有5%的机会成为低收入者，那么高收入者的孙子女成为高收入的可能性不足43%，成为低收入的可能性却会超过10%。 14
这个收入动态模型也可以作为评估收入流动原因的基准模型。我们可能会使用一个线性模型来估计作为父母的财富、收入和能力水平的函数的子女收入（假设我们拥有相关的数据）。皮凯蒂的模型意味着父母的财富与子女的收入之间是正相关的。基于能力的模型则意味着父母的能力与子女的收入是正相关的，因为父母的能力和后代的能力之间存在某种相关性。
需要注意的是，要确定父母收入系数需要每个子女和每个父母的收入数据。只是过去几十年以来，我们才开始拥有比较完整的个人收入数据。幸运的是，在《太阳照常升起》（The Sun Also Rises ）这本著名小说中，经济史学家格雷戈里·克拉克（Gregory Clark）发现了一种解决数据匮乏问题的新方法，这种方法利用了人的姓氏。克拉克计算了1888年所有名叫撒切尔的人的平均收入，并将之与1917年所有名叫撒切尔的人的平均收入进行了比较。30年的时间基本相当于一个人一辈子的工作时间。结果，克拉克发现姓氏的平均收入存在显著的相关性，这是表明收入缺乏流动性的一个证据。
有了这种模型，我们还可以识别代际转移中的种族差异。非洲裔美国人虽然也有进入收入分布顶端的，但是表现出了更低的财富持久性；而另一方面，他们在低端则表现出更大的持久性。这也就是说，富裕的非洲裔美国人不太可能拥有富裕的子女，而贫穷的非洲裔美国人却更有可能拥有贫穷的子女。 15
我们要讨论的最后一个关于收入不平等的模型基于邻域效应，它是以杜鲁夫的持续不平等模型（persistent inequality model）为基础的，利用了人们按收入类别分离居住的经验规律性。这也就是说，高收入的人倾向于与其他高收入的人生活在同一个社区中，而低收入的人则与其他低收入的人住在一起。按收入类别分离居住会产生经济上、社会上和心理上的外部性，从而导致流动性下降。在这个模型中，个人收入取决于能力、教育支出和溢出效应。
教育属性还包含教育方面的公共支出。从经验上看，公共教育支出又与平均收入水平相关：高收入地区在公共教育方面的支出高于低收入地区，从而又可以为高收入社区的儿童带来更好的教育和更高的（未来）收入。
溢出可以解释为获取适当工具所需知识的社会传播。在这里，我们可以将杜鲁夫的模型与居住在高收入社区的人们如何获得关于何为适当工具的知识过程联系起来。还可以将模型与社会网络模型和“弱关系有大力量”现象联系起来：生活在高收入社区的人们能够间接地与更多掌握了很有经济价值的信息的人联系起来。
我们还可以将溢出效应解释为一种社会传播行为，例如学习或工作所花费的小时数。如果收入包含了随机成分，那么低收入社区的人就会观察到，花费在自我完善、自我提高上的时间不会带来多少回报（这种观察结论是正确的）。与此相关，溢出还可能包括心理属性，比如对生活积极的或消极的态度、对社会的安全感，以及对自己的信念。
持续不平等（杜鲁夫）模型——谢林隔离模型 +局部多数模型
所有个人分别属于不同收入类别，并按不同收入类别分离居住。个人将自己的部分收入用于教育，从而产生正面的溢出效应，这种溢出效应随社区收入水平的上升而增强。生活在社区C 中的孩子的未来收入取决于自己天生的能力、教育支出和溢出效应。教育支出和溢出效应的贡献取决于这个社区的收入水平，I C 。
个人收入 C =F（能力、教育支出（I C ）、溢出效应（I C ））
不平等的原因： 在低收入社区长大的儿童获得的教育机会较少、受益于经济溢出效应的可能性也更低。
在完整的模型中，杜鲁夫求解出了教育支出的均衡水平，并推导出了持续不平等产生的条件。这种持续的不平等源于他所称的“贫困陷阱”。生活在低收入社区的个人缺乏提高收入所必需的教育资源，当地也不存在可以令他受益的溢出水平，因此无论他们的能力水平如何，都很难走出贫困陷阱。杜鲁夫的模型有助于解释收入水平上的巨大种族差距，例如，非洲裔美国人生活在贫困社区的比例过高。杜鲁夫的模型解释了为什么他们更可能陷入低收入的人生轨迹无法自拔。
上面给出的这些模型突出了收入不平等的各种不同原因。对于收入分布的顶层，经验证据最支持的是那些以技术变革为基础的模型。 16 20多年来，美国国税局追踪了收入最高的400个美国人的收入情况。最顶层这些人的收入主要来自新技术、大众零售和金融行业。这三个行业的共同特点是，它们都可以快速扩展。这种特别高的增长率可能源于像搜索引擎和社交网站这样的赢者通吃市场。但是，以技术变革为基础的模型不能解释收入分布底层的情况。关于收入流动性，它们也无法告诉我们什么信息。此外，它们也不能解释为什么美国CEO的薪酬远远超过了其他国家。
为了解释这些现象，我们需要引入其他模型，比如收入流动性模型、杜鲁夫的持续收入不平等模型和空间投票模型。只有在考虑了所有这些模型之后，我们对收入（财富）不平等才会有更加深刻且多方面的理解。我们看到，在不平等的产生和维持中，有许多不同的过程都起到了作用。我们还可以观察到，这些不同的过程之间存在重叠和交叉。当我们对不平等的复杂性和自我强化的因果关系有了更深刻的理解之后，我们就会对任何声称能够“快速”解决不平等问题的简单方案持怀疑态度。我们认为，减少不平等将需要在很多个方面共同努力。
让智慧入世
在本章中，我们讨论了如何将多个模型结合成一个整体来使用。利用这种方法，我们可以解释阿片类药物滥用和收入不平等的多种原因，并揭示任何一个解释框架的局限性。如果我们是制定政策的专家，就可以用这些模型中的某一个或某一些模型去拟合数据、衡量政策效果，还可以组织自然实验来指导政策选择。
我们还可以针对任何一种社会挑战来进行类似的分析，例如，扭转肥胖趋势，改善教学成绩，缓解气候变暖，管理水资源，甚至改善国际关系。
在每种情况下，即使添加一个新模型也可能产生巨大的后果。以预测金融崩溃为例。美国联邦储备委员会依靠传统的经济模型，使用通货膨胀、失业和存货等国民核算数据。但是这些数据存在滞后性，它们每周、每季度或每年发布一次。这些数据也来自调查，即整个经济的样本。
复杂性学者多恩·法默（J. Doyne Farmer）主张基于从网络上获取的实时数据创建第二类模型。这些新模型将依赖于更细粒度的实时数据，因此与传统的模型不同。法默认为，这样的模型可能比现有的模型要好得多，他可能是对的。然而，在预测和预防金融灾难方面，这些新模型并不需要更准确。考虑到新模型将使用不同的数据并依赖于不同的假设，它们将做出不同的预测。从多样性预测定理中我们知道，只要新模型的精度不差很多，当与现有模型相结合时，这些新模型将提高预测的准确性。用法默的话来说，政策制定者将会更有集体意识。
在做商业决策时，高管可能会从事类似的工作。高管可以应用多个模型来决定产品属性、产品发布时间，设计薪酬计划，构建供应链并预测销售。因为这些操作都发生在一个复杂的系统中，所以任何一个模型都是错误的。多个模型将会带来更好的行动。
总而言之，当面临选择、预测或设计方面的挑战时，我们应该采取多模型方法。基于多模型思维的“谋定而后动”肯定要比仅仅基于冲动和直觉就行动更好。当然，这也就意味着，我们无法保证成功。即便有很多模型，我们也可能无法确定最相关的逻辑链。与要解决的问题有关的领域可能非常复杂，甚至利用许多个模型也可能仅能解释变差的一小部分。
在应用模型来辅助设计时，我们可能会发现自己无法构建出有用的模型抽象。在这种情况下，模型的简单性恰恰可能会成为它们失败的原因。面对复杂性，我们可能会发现模型无助于我们交流思想、做出准确预测和选择最优行动。我们的探索也可能是几乎没有价值的。这本书中讨论的模型的七大用途并不一定能提供顺利登顶的云梯。但是，即便是在这些情况下，我们也能受益。我们可以揭示出相互依赖性，能够理解为什么复杂的过程往往很难理解。
即便是在模型的帮助下，我们的推理能力也会受到限制，所以我们必须保持谦卑，也必须保持好奇心。我们必须继续构建新模型并改进现有模型。如果某个模型遗漏了世界的某些关键特征，例如社会影响、正反馈或认知偏差，那么我们就应该构建能够包含这些假设的其他模型。当采取这些方法后，就可以分辨出哪些属性在什么时候是重要的、重要程度有多高。所有模型都是错的，这当然是事实。但是，我们不会因这个事实而泄气；恰恰相反，它会成为我们通过多个模型来追求智慧的动力。
同样重要的是，我们还应该在这种努力中追求乐趣。虽然本书一直在强调一些务实的目标，比如成为更好的思考者、在工作中取得更好的成绩、做一个有知识有智慧的世界公民。但是，它同时也隐含着另一个重要的目标，那就是，揭示建模的乐趣。建模的实践可以成为一个非常美丽的邂逅。我们做出假设、制订规则，然后根据规则、运用逻辑。正是通过这种合乎逻辑的努力，我们才能提高自己、使自己变得聪明。我们要将这种智慧带入世界，并积极地利用它去改变世界。
译者后记
当今时代，大数据至热。但是许多人其实只是被大数据裹胁了。有了数据还远远不够，我们还要懂得如何让数据告诉我们信息，懂得如何从信息中总结出知识。说到底，我们需要形成自己直面世界的思维体系。斯科特·佩奇这本书为我们指出了实现这个目标的方向和路径：多模型思维。
佩奇是个跨学科天才，他在书中给出的模型，涉及各个学科领域。有些模型其实相当复杂，但是佩奇总能说得既简明又透彻。在《多样性红利》一书中，佩奇强调了群体智慧可以改善我们的决策；在这一本书中，他进一步落实了如何实现多样性红利，那就是，利用多个模型，让模型组成一个群体来帮助我们。这本书是一个完整的工具包。我相信，只要你愿意尝试成为模型思考者，就肯定能从本书中收获很多东西。
当然，也要防止另一个极端。“只要不断地拷打数据，数据总会说话”，类似的说法已经屡见不鲜。我们理当保持警惕。不要忘记佩奇写这本书的思想前提和知识基础。他是复杂性科学的大师级人物，已经到了驭繁如简的境界。模型就是帮助我们像大师那样去思考的工具。但是，我们切不可把我们要面对的世界简单化。不要以为在土里插个温度计，就可以测量整个地球的温度了。恰恰相反，模型思维的前提就是承认复杂性。作为本书核心的多模型范式，实际上就可以说是复杂性的另一种表述。
译书从来不易。我首先要感谢的是我的太太傅瑞蓉。本书与我以前的每一本译著一样，她的贡献至少要占到一半。感谢儿子贾岚晴带给我的动力和快乐。这本书献给他们。
感谢钟睒睒，有情怀、重情义、善创新、爱读书的他，既是好老板，也是好老师，让我在工作之余能够腾出时间来完成此书。
我还要感谢汪丁丁教授、叶航教授和罗卫东教授的教诲。我对复杂性科学的兴趣，源于他们。同时还要感谢何永勤、虞伟华、余仲望、鲍玮玮、傅晓燕、傅锐飞、陈叶烽、童乙伦、罗俊、邓昊力、陈姝、黄达强、李燕、李欢、丁玫、何志星等好友的帮助。
这本书，是我翻译的第二本佩奇的著作。佩奇的书，简洁而丰富，纯粹而复杂，因而总是有一种神奇的吸引力，我翻译起来也觉得特别得心应手。这是非常难得的体验。感谢湛庐文化和简学给我这个机会。
书中错漏之处在所难免，敬请专家和读者批评指正。
贾拥民
于杭州耑谷阁
注释
01 做一个多模型思考者
1 . 例如：凯西·欧奈尔（Cathy O'Neil）在2016年阐述了基于数据的简单模型如何忽略人口的某些部分以及本书第4章提到的自适应。
2 . 请参见帕阿斯克和希勒分析森林工业的论文（Paarsch &Shearer, 1999）。在他们的模型中，木材加工厂主和林场主要向工人支付按树计件工资。关于植树造林的原始数据显示，计件工资越高，工人种植的树木越少；向某个种植树木的人支付的报酬越多，这个人种植的树木就越少。直接得出的推论与标准经济学原理背道而驰——经济学理论告诉我们，如果每种植一棵树都可以得到更多的报酬，那么种植树木的工人就应该更加努力地工作才是。
不过，如果我们构建一个包含了小时工资率的市场模型，假设每小时的体力劳动报酬为20美元，那么数据和我们的直觉就都可以证明是正确的。从这个假设可以得出这样一个等式：
20美元=每小时种植的树木数量×种一棵树的美元报酬
这个模型意味着，如果树木很难种植，那么工资将会很高。如果一个人可以在一小时内种植10棵树，那么种每棵树的工资就等于2美元。如果树很容易种植，那么工资就会很低。如果一个人可以在一小时内种植20棵树，那么种每棵树的工资将为1美元。因此，这个模型预测，计件工资率与种植的树木数量之间呈负相关关系。这样一来，数据中看似矛盾的东西通过这个模型的镜头来看，在逻辑上是解释得通的。这个模型通过种植条件的变化来解释相关性。事实上，这个模型预测的不仅仅是这种相关性，它还给出了一种特定的数学关系：计件工资率乘以种植的树木数量应该等于一个常数。我们可以对这个结果进行检验。
3 . 关于模型胜过了人的证明，请参见：Dawes, 1979；Tetlock, 2005；Silver, 2012；Cohen, 2013。关于认知偏差，请参见：Kahneman, 2011。
4 . Slaughter, 2017 & Ramo, 2016.
5 . 研究表明，最具影响力的科学发现和专利是不成比例地从多个学科中汲取灵感的。有一项研究在分析3 500万篇论文后指出，从长远来看，跨学科论文的影响更大（Van Noorden, 2015）。思想的组合不一定会表现为模型的组合，但在许多情况下确实是如此；请参见：Jones、Uzzi&Wuchty, 2008; Wuchty、Jones&Uzzi, 2007。如果我们将专利解释为创新的证据，那么有两个独立的研究思路都可以将思想的多样性与成功联系起来。Shi、Adamic、Tseng、Clarkson（2009）的研究表明，跨类别的专利被引用得更多。Youn、Strumsky、Bettencourt、Lobo（2015）则证明，大多数专利都包括了多个子类别。跨学科研究也稳步发展到了这样一个临界点：平均而言，社会科学家引用其他学科的论文，多于他们所属学科的论文。
6 . Box &Draper, 1987.
7 . Page, 2010a.
8 . 我这样说并不意味着可以将知识与模型等同起来。我的意思是，模型可以表示知识并提供一个清晰的形式来交流对有关知识的理解。“知识”一词的含义非常广泛，它还包括了嵌入在身体中的、隐性的技能，例如怎么打网球、说法语或讨价还价。我在本书中使用的是更狭义的知识定义。关于更宽泛的知识概念，请参见：Adler, 1970。
9 . 只要注意到，从高空往下掉落的跳伞者在终点时速度可以达到320千米／小时，就可以得出这个近似结果。终端速度与质量的倒数成比例。假设跳伞者的质量比毛绒玩具猎豹大400倍。400的平方根等于20，因此，毛绒玩具猎豹的终端速度大体上等于320千米／小时除以20，即大约16千米／小时。
10 . 他没有说错。弗雷斯诺市比冰岛还要大30%。埃里克·鲍尔和约瑟夫·李普曼（Joseph LiPuma）（2012）讨论过怎样把学术研究得出的教训应用到商业世界中。
11 . Lo, 2012.
12 . 这个故事的不同版本在美国哲学家与心理学家威廉·詹姆斯（William James）、斯蒂芬·霍金和法学家安东宁·斯卡利亚（Antonin Scalia）的著作中都可以找到。
02 模型的7大用途
1 . 关于对构建模型原因的更细致的分类剖析，请参见：Epstein, 2008。查尔斯·拉夫和詹姆斯·马奇（1975）描述了模型的3个用途：解释经验现象、预测其他现象和新的现象，以及建造和设计系统。他们也都提倡利用模型进行探索。
2 . 请参见：Harte, 1988。这种方法也借鉴了一篇阐述的关于模型在社会科学中的各种用途的观点的论文（Johnson, 2014）。这两种方法通常也称为伽利略和极简主义的理想化。请参见：Weisberg, 2007。关于类比的作用更进一步的讨论，请参见：Pollack, 2014；Hofstadter&Sander, 2013。侯世达在《表象与本质》一书中将类比称为思考之源和思维之火。另外也请参见：Schelling，1978、1987；他也详细地说明了模型的各种类别。丹尼尔·利特尔（Daniel Little）的博客“理解社会”（understanding society）也提供了相当不错的社会科学本体论的入门知识。
3 . 请参见：Arrow, 1963。如果我们对可能的个人排序施加限制，那么进行集体排序就是有可能的。比如，如果令每个人都保持相同的排序，那么集体的排序也会如此。但是一般而言，我们无法将个人排序映射为一致的集体排序。
4 . 与我同一时代的杰出人士一定已经注意到了，我从《嚎叫》（Howl ）中借用了“这是真的发生过的事情”的手法。请参见：Bickel、Hammel&O'Connell, 1975。
下图是一个添加一个节点会减少总边长的诸多可能例子之一。左侧的网络有4个点（分别作为正方形的一个角）。右侧的网络则多了位于中心的第5个节点。如果将正方形的边的长度假设为1，那么左侧图中各边的总长度为3，右侧图中各边的总长度则等于4×0.71，小于3。
当向录取率更高的院系提出入学申请的男性多于女性时，辛普森悖论就会出现。例如一所拥有医学院和兽医学院的大学。假设有900名男生申请入读医学院，其中480名（53%）被录取；同时有300名女生申请医学院，180名（60%）被录取。并假设有100名男生申请兽医学院，20名（20%）被录取；同时有300名女性申请兽医学院，90人（30%）被录取。在每一个学院，女生的录取率都比较高，但是就整个学校总体而言，男生的录取率达到了50%（1000人申请，500人被录取）；女生的录取却只有45%（600人提出申请，270人被录取）。
作为“帕隆多悖论”的一个例子，假设有这样两个赌局：在第一个赌局中，一个人总是会输1美元；在第二个赌局中，如果轮数不能被3整除，那么输2美元，如果能够被3整除，就赢3美元。每一次投注都会形成一个期望损失，但是如果你只在赢的轮次上参加第二个赌局，而在其他轮次上则参加第一个赌局，那么你每三轮就肯定能够赢得1美元。
5 . Kooti、Hodas&Lerman, 2014.
6 . 假设每个人都可以赚得相同的收入，并以固定税率t 缴纳税收。令c 表示百分比减量、r 表示收入的增量。当前的政府收入等于I ×t 。减税政策实施后，政府的收入等于I （1+r ）× t （1-c ）。只有当I ×t <I （1+r ）t （1-c ）时，政府收入才会增加。重新排列各项，我们有r > c （1+r ）。
7 . 基于市场的机制如何能为多维有效载荷问题提供一个更好的解，请参见：Ledyard、Porter&Wessen, 2000。
8 . 物理学家尤金·维格纳在他的论文（Eugene Wigner, 1960）中使用过的一个形容词“好得不合情理”。他说，物理科学中使用数学模型的有效性“好得不合情理”。
9 . Ziliak&McCloskey, 2008.他们讨论了社会科学模型解释变差的能力。
10 . Porter&Smith, 2007.
11 . Squicciarini&Voigtl?nder, 2015.Mokyr, 2002.
12 . 请参见美国财政部网站。
13 . 例如，在20世纪90年代中期，在美国俄亥俄州哥伦布市新开业的餐馆中，大约有60%后来都关门了。没有任何一家得到过政府的救助，当然政府也不应该救助它们。健康的市场经济本身必定包含了破产。请参见：Parsa et al., 2005。
14 . 摘自国际货币基金组织的《2009年全球金融稳定报告》。连接的强度基于投资组合价值的相关性。但是这种相关性又是基于极端事件的，也就是这些机构表现得特别好或特别糟糕的日子。这个指标可以刻画一家金融机构的破产扩散到另一家的可能性。事实上，业绩表现的相关性可能源于投资组合的相似性以及一家银行对另一家银行资产的持有。
15 . Geithner, 2014.
16 . 要了解旧金山湾的物理模型及其在政策中的用途，请参见：Weisberg, 2012。
17 . Stone et al., 2014.
18 . Dunne, 1999&Raby, 2001.
03 多模型思维
1 . Levins, 1966.
2 . Page, 2007、2017.
3 . 关于群体的智慧，请参见：Suroweicki, 2006；关于狐狸是如何胜过刺猬的，请参见：Tetlock, 2005；关于计算机科学的集成方法，请参见：Patel et al., 2011。
4 . 卢红和佩奇（2009）证明，独立的模型需要一个唯一的分类集。这也就是说，在二元分类模型中只存在一种创建一组独立预测的方法。
5 . 关于多样性预测定理的详细阐述，请参见我以前出版的几本书：《多样性红利》《多样性与复杂性》等。关于经济预测所用的数据，请参见：Mannes、Soll&Larrick, 2014。
6 . 考虑下图中用A、B、C和D表示的四幢平房及其市场价值。根据这些平房是否包含了一个录音室由“门”上方的圆圈符号表示），创建两个类别。平房A和B不包含录音室，因此它们属于同一个类别；而平房C和D则包含了一个工作室，因此它们属于第二类。
四幢平房及其市场价值
首先计算出这些平房价格的总变差，即每幢房子的价值与均值之差的平方和。这四幢平房的均值等于400 000美元，因此总变差等于100 000：总变差=（200-400）2 +（300-400）2 +（500-400）2 +（600-400）2 。
为了计算分类误差，假设我们知道每个类别内的真实均值：第一个类别为250 000美元，第二个类别为550 000美元（平房已转变为录音工作室）。但是这种分类将不同价值的房子混同在了一起。剩余的变差等于分类误差：分类误差A和B=（200-250）2 +（300-350）2 =5 000、分类误差C和D=（500-550）2 +（600-550）2 =5 000。总分类误差等于这两个数字的总和，即10 000。
为了计算出估值误差，假设模型预测平房A和B的价值均为300 000美元、同时预测平房C和D的价值均为600 000美元。估值误差等于每个类别的预测值与真实均值之间的差的平方和。估值误差A和B=（300-250）2 +（300-250）2 =5 000，估值误差C和D=（600-550）2 +（600-550）2 =5 000。于是总估值误差等于10 000。
总模型误差等于预测值与实际值之间的差的平方和：模型误差=（200-300）2 +（300-300）2 +（500-600）2 +（600-600）2 =20 000。因此不难注意到，模型误差等于分类误差和估值误差之和。
7 . 读者如果想了解二维社会互动的旋转玻璃模型，请参见：Brock&Durlauf, 2001。爱德华·格莱泽（Edward Glaeser）等人则给出了一个关于犯罪的一维模型。另外，德鲁·弗登伯格（Drew Fudenberg）和戴维·莱文（David Levine）也构建了一个关于大脑的经济模型。
8 . 斯塔夫罗斯·尼阿科斯并不是第一个试图利用货船超大空间的人。1858年，因设计建造大西部铁路的传奇英国工程师伊桑巴德·金德姆·布鲁内尔（Isambard Kingdom Brunel）建成了一艘近220米长的大船，并命名为“大东方号”（SS Great Eastern）。事实证明，作为一艘货轮，大东方号是失败的。由于缺乏适当的水动力模型，导致大东方号整体设计不佳。这艘船只有在最慢的速度下才能够航行。幸运的是，它最终还是派上了用场——被用于铺设跨越大西洋的海底电缆。关于多模型思维在设计船舶时的作用，请参见：West, 2017。
9 . 以磅和英寸为单位时， 。
10 . 勒布朗·詹姆斯（LeBron James）身高6英尺8英寸，体重大约250磅，身体质量指数为27.5。凯文·杜兰特（Devin Durant）身高6英尺9英寸，体重235磅，身体质量指数为25.2。2012年和2016年奥运会十项全能金牌得主阿什顿·伊顿（Aston Eaton）身高6英尺1英寸，体重185磅，身体质量指数为24.4。另一位著名运动员，2008年奥运会十项全能金牌得主布莱恩·克莱（Brian Clay）的身体质量指数则为25.8。
11 . Flegal et al., 2012.
12 . 假设这只小鼠3英寸长、1英寸高、1英寸宽，同时假设这只大象10英尺高、10英尺长、5英尺宽。大象的表面积为400平方英尺，也就是57 600平方英寸。大象的体积为500立方英尺，相当于864 000立方英寸。
13 . 杰弗里·韦斯特（Geoffrey West, 2017）和他的同事们已经构建了一个更精细和更准确的模型，它预测新陈代谢的规模与质量的四分之三次幂成比例。而且在80多年之前，科学家就已经在数据中找到了与之相近的定律，即克雷伯定律（Kleiber's law）。
14 . 发送的简历内容完全相同，但是申请人的名字改变了的实验表明，女性获得的报酬低于男性，得到的评价也低于男性；请参见：Moss-Racusina et al., 2012。
15 . 一个男性员工成为CEO的概率等于他连续获得15次晋升的概率。概率比，也就是男性成为CEO的概率与女性成为CEO的概率之间的比值。按照我们的假设，男性每次升职的概率为50%，女性每次升职的概率为40%，于是概率为（1.25）15 =28.4。
16 . Dyson, 2004.
17 . Breiman, 1996.
04 对人类行为者建模
1 . Haidt, 2006; Simler&Hanson, 2018.
2 . 要证明这个结果，需要利用一些微积分知识。假设一个人的收入为M ，一单位食品的价格为1美元，一个单位的住房服务的价格等于P H 。那么我们可以将他的预算约束写成M =F +P H ×H 。而这当然就意味着F =M -P H ×H。可以将其效用函数写成
为了求这个函数的最大值，我们对H 求导数并令它等于零：即
把第一项移到等式的右侧，交叉相乘，可以得到：2P H ×H =M -P H ×H 。在预算约束的条件下，用2P H ×H 替换M -P H ×H ，可以得到M =2P H ×H +P H ×H ，或者M =3P H ×H 。因此，他将收入的1/3用于住房。
3 . 在美国，这是一个不错的近似值。
4 . 这个定理的正式表达如下：X ={A，B，C，…，N }表示一个结果的有限集，并设定一个抽奖，令它成为这个结果集上的一个概率分布，即L =（pA ，pB ，…，pN ）。如果对彩票的偏好（>）满足完备性、传递性、独立性和连续性，那么这个偏好可以表示为一个连续的有实数值的效用函数，可以给每个彩票赋予一个效用。完备性是指，任何两个彩票，L 和M ，都可以进行比较；传递性是指，如果L >M ，并且M >N ，那么L >N ）；独立性是指，如果L >M ，那么给定任意一个彩票N 和任意一个概率p >0，都有pL +（1-p ）N >pM +（1-p ）N ；连续性：如果L >M 且M >N ，那么存在概率p 使得pL +（1-p ）N ～M 。这个定理的正式证明有点繁杂，下面只给出证明的简要思路。假设存在最优结果B和最差结果W，并且假设B的效用等于1、W的效用等于零。给定任何其他结果A，根据连续性公理，存在概率p ，使得人们在肯定能够得到A，与以p 的概率得到B并以（1-p ）的概率得到W，两者之间无差异。利用上面的符号，我们把它写成A～p B+（1-p ）W。然后，我们再将A的效用指定为p 。按此思路推导（这需要一点点数学知识），可以证明，一个人越喜欢某个结果（或彩票），p 就越大。这样一来，我们也就魔术般地将排序转变成了数字。对于这个定理的完整的证明，请参见：Von Neumann&Morgenstern, 1953。
5 . Rust, 1987.
6 . Camerer, 2003.
7 . Harstad&Selten, 2013.
8 . 关于以理性选择模型为基准的理由，请参见：Myerson, 1999。
9 . 对于这个领域的一个早期的综述，请参见：Camerer、Loewenstein&Prelec, 2005。
10 . Kahneman, 2011.
11 . 开放科学协作组织的原始论文（2015），导致了更多的复制结果的研究，它们得出相似的百分比。
12 . 要想了解关于被试多样性的重要性，请参见：Medin、Bennis&Chandler, 2010。
13 . Berg&Gigerenzer, 2010.他们充分表达了这种批评意见，认为它破坏了基于数学的心理模型。
14 . Kahneman&Tversky, 1979.
15 . 例如，治疗方案A—— 肯定能够拯救40%的患者，治疗方案B—— 有50%的机会拯救所有人。损失框架：治疗方案A’——肯定会有60%的患者死亡，治疗方案B’——有50%的机会没有任何人死亡，有50%的机会所有人都死亡。根据前景理论，大多数医生在收益框架下都会选择治疗方案A，而在损失框架下都会选择B’。
16 . 关于双曲贴现的含义的早期研究，请参见：Thaler, 1981；Laibson, 1997。
17 . 双曲贴现的公式可以写成如下更一般的形式：
18 . Gigerenzer&Selten, 2002.
19 . Gode&Sunder, 1993.
20 . Gigerenzer&Selten, 2002.
21 . 在弗农·史密斯（Vernon Smith）的诺贝尔奖获奖演说中，他指出：“生态理性，要使用推理，也就是用理性的重建来考察个人的行为，但根据的是他们的经验和常识。人们遵循规则但不一定能清楚地将它们表达出来。但是，它们是可以被发现的。”请参见：Smith, 2002。
22 . Arthur, 1994.
23 . Lucas, 1976; Campbell, 1976.
24 . 关于模型如何阐明可能发生的事情的进一步讨论，请参见：de Marchi, 2005。关于基于方程和规则的模型（行为者在类似的博弈中做出类似的行为），请参见：Gilboa&Schmiedler, 1995；Bednar&Page, 2007、2018。
05 正态分布
1 . 给定一个数据集{x i ，…，x N }，方差等于数据与均值之间距离的平方的平均值，可以写为：
标准差则等于数据与均值之间距离的平方的平均值的平方根，即：
2 . 这里有好几个条件，而且只要满足其中任何一个条件就足够了。林德伯格条件（Lindeberg condition）是比较常见的一种，它要求，随着变量的数量的无限增加，来自任何一个变量的总变差的比例将收敛为零。
3 . Lango et al., 2010.
4 . 对于一般情况，假设独立性，我们可以得到如下表达式：
用σ 代替σi ，就可以得到 。
5 . Wainer, 2009.
6 . 两个标准差的阈值（5%显著性）是一个惯例。尽管经常受到批评，但它仍然是社会科学家最常使用的。当然，6%显著性水平的大相关系数，可能比4.9%显著性水平的小相关系数更值得注意。进一步的讨论，请参见：Ziliak&McCloskey, 2008。
7 . Gawande, 2009.
8 . 随机变量的乘积分布之所以称为对数正态分布，是因为分布的对数将会是正态分布的。个中的原理，我们可以简述如下。首先，我们写出一些数字的乘积，y =x 1 ×x 2 ×x 3 ……x n ，并将它写为如下以10为底的幂的乘积的形式：
然后，我们对两边同时取以10为底的对数，得到以下的等式：
log 10 （y ）=log 10 （x 1 ）+log 10 （x 2 ）+log 10 （x 3 ）+…+log 10 （x n ）
因此，变量y 的对数可以写为随机变量的对数之和。这些随机变量的对数也是随机变量，只要它们的方差满足中心极限定理的条件，它们的和log 10 （y ）就是正态分布的。
9 . Limpert、Stahel&Abbt, 2001.
10 . 这个思想最早可以追溯到罗伯特·吉布拉特（Robert Gibrat）1931年的研究。
06 幂律分布
1 . 关于这场大洪水的影响和文化意义，请参见：Parrish, 2017。
2 . 在这个例子中，指数假设为2。这个例子借用自：Clauset、Young&Gleditsch, 2007。
3 . 关于本章所述模型的技术性细节以及其他关于幂律的例子，请参见：Newman, 2005。
4 . Newman, 2005; Piantadosi, 2014.
5 . 常数C 使所有结果的总概率等于1。根据这个定义，幂律分布满足标度不变性（scale invariance），如果改变了用来衡量结果的单位，那么分布的形状仍然不会发生变化。
6 . 在计算这些概率的时候，可以先求出事件在一年内未发生的概率。例如，如果事件的概率为1/2，那么这个事件在一年内不发生的概率等于（0.999）365 =0.69。因此，该事件发生的概率等于31%。一个概率为一百万分之一的事件在一个世纪内不发生的概率也可以用类似的方法计算。
7 . Cederman, 2003; Clauset、Young&Gleditsch, 2007; Roberts&Turcotte, 1998.恐怖袭击导致x 人死亡的概率大体上可以写为一个常数项：0.06除以x 的平方。对于x 只取整数值的离散分布，幂律分布则可以写为p （x ）= 0.608x -2 。之所以选择系数0.608，是为了使概率总和等于1。因为 ；0.608与1.644934的乘积等于1。
8 . 对于幂律，我们对两边同时取对数，并将y =Cx -a 变换为log（y ）=log（C ）-a log（x ），这是一个log（y ）关于log（x ）的线性方程。当我们绘制出log（y ）随log（x ）而变的图形时，将会得到一条直线。对于指数分布，y =C×A -x 。如果取两边的对数，就可以得到log（y ）=log（C ）-x log（A ），这意味着log（y ）对于x 是线性的。换句话说，log（y ）将随log（x ）而快速减少，从而形成凹的图形。
