9 . 如果我们取对数正态分布的对数，就会得到以下形式的方程：log（y ）= ，其中，σ 是这个对数正态分布的标准偏差的自然对数，作为该分布方差的一个代理变量。对于很大的σ ，log（x ）2 的贡献将很小，直到log（x ）的值变得足够大，可以引起图形出现下降为止。
10 . 关于对数正态分布和幂律分布的正式区别，请参见：Broido&Clauset, 2018。研究认为，许多曾经被认为具有幂律分布特点的网络，实际上并不是幂律分布的。
11 . 要了解齐普夫的单词频率定律和其他可选模型，请参见：Piantadosi, 2014。如果事件的大小分布满足幂律，那么排名也符合这个定律。在开放区间［1，∞）上，指数为a 的幂律分布具有形式p a （x ）=ax -a 。假设有100个事件。令S R 表示第R 大的事件的预期大小。那么某个事件大于S R 的概率必定等于 。例如，如果R =3，那么一个事件大于S 3 的概率必定等于3%。因此：
从中可以解得 ，而它又可以改写为： 。
在a =2的特殊情况下，上述表达式就变成了 。
12 . Bak, 1996.这个模型的适用范围很广，至今仍然没有看到它的边界。学者们已经利用这个模型来解释经济波动、战争中的死伤、恐怖主义行为、进化中的间断均衡以及交通拥塞等理论和现实问题了。请参见：Paczuski&Nagel, 1996；Sneppen et al., 1995。
13 . Salganik、Dodd&Watts, 2006; Ormerod, 2012.幂律分布还意味着，构成概率分布的很大一部分是非常多的小事件。这些小事件合到一起，也足以产生与大事件同等规模的经济价值。请参见：Anderson, 2008b。互联网的出现，使零售商能够出售大量的书籍、电影和音乐，尽管有些东西只能吸引少数人。一个只卖一本畅销书、卖出了500万的零售商，获得的利润可能与另一个销售1万种书、每种书只卖出500本的零售商差不多。
14 . 有一个模型说明了这种情况是怎样出现的，请参见：Denrell&Liu, 2012。
15 . 地质学家使用里氏标准来表示地震震级。震级等于地震强度的对数。因此，里氏6级地震的强度是里氏5级地震的10倍。地震的强烈可以用齐普夫定律来预测（但不是地震的时间），请参见：Merriam&Davis, 2009。
16 . Eliot、Golub&Jackson, 2014.他们给出了增大连通性如何使失败的可能性降低的明确模型。
17 . Mayt、Levin&Sugihara, 2008.
18 . Stock&Watson, 2003.
19 . Carvalho&Gabaix, 2003.
20 . Claridat、Galí&Gertler, 2000.
21 . 我要感谢塞思·劳埃德（Seth Lloyd），是他提醒我注意到了这个例子。
22 . 我们让工资分布等于随机变量x 的100 000倍，其中，p （x ）=2x -3 从1到∞。变量x 的均值等于2，因此工资分布的均值为200 000美元。
23 . Weitzman, 1979.他给出的模型在更一般的情况下证明了这个结果。
24 . Bell et al., 2018.
07 线性模型
1 . 有价值的葡萄酒，如波尔多葡萄酒，都要由专家加以排名。这些葡萄酒同时也在市场上定价。价格和排名都可以作为质量的代理变量。奥利·阿申费尔特（Orley Ashenfelter）根据冬季降雨量、收获季降雨量和9月份的平均温度，拟合出了关于波尔多葡萄酒的质量的（对数）线性模型。请参见：Ashenfelter, 2010。线性模型将因变量的对数表示为自变量的对数的线性和，例如：
log（y ）=b 0 +b 1 log（x 1 ）+b 2 log（x 2 ）
这个表达式意味着，因变量也可以写成自变量的乘积。只需对上式的两边同时取以e 为底的指数，就可以做到这一点。于是，我们得到：
通过取对数，乘式就可以变加式，然后就可以应用线性回归的工具了。以年份葡萄酒的价格为因变量，阿申费尔特的模型的拟合度指标（R 2 ，即，得到了解释变差的百分比）达到了83%左右。有证据表明，它比葡萄酒专家的判断更加准确地预测了葡萄酒的价格。阿申费尔特的模型甚至可以预测专家的估值的变化。罗伯特·帕克（Robert Parker），一位著名的葡萄酒评酒专家，最初将Pomerol和St. Emilion于1975年出品的葡萄酒评为95分（满分为100分）。但是，在阿申费尔特的模型的预测中，对这些酒的质量排名则较低。后来，到了1983年，罗伯特·帕克将他对这些酒的排名降低到了低于平均水平，一如阿申费尔特的模型的预测。请参见：Storchmann, 2011。
2 . Xie, 2007.
3 . Ryall&Bramson, 2013.
4 . Mauboussin, 2012.他讨论了如何利用这个方程式指导合理的管理决策。
5 . Bertrand&Mullainathan, 2001.
6 . Shapiro、Meschede&Osoro, 2013.他们并没有把相关性和因果关系混为一谈。如果两个变量不相关，就不应该期待它们之间存在因果关系。
7 . 为了找到最优的那条线，我们使用的是支持向量机（SVM），这是一种类似于回归的方法。两者之间关键区别在于，支持向量机将所有数据分成正的组或负的组，然后找到最大化到每组中最近点的直线。如果不存在这样的直线，就会对偏离行为进行处罚。回归则考虑到所有点的距离。
08 非线性模型
1 . Arthur, 1994.
2 . 30次倍增为230 ，超过10亿。
3 . Karlsson, 2016.
4 . Ebbinghaus, 1885.
5 . 关注大脑反应的研究者发现，即便是享用巧克力，消费了一定数量后，人们也会开始觉得厌恶，请参见：Small et al., 2001。
6 . 与本书中的许多例子一样，这个例子我也是从拉夫和马奇出版于1975年的那本书中借用来的。
7 . 假设你每年投资3 000美元。如果股票的价格维持在每股15美元的水平不变，那么你每年可以买200股。如果价格在20美元到10美元之间变动，那么在价格最高的年份你只能购买150股，而在价格较低的年份你可以购买300股。平均而言，你可以购买225股，这比你在价格不变的情况下购买的数量更多。
8 . 关键假设是，在柯布-道格拉斯模型中的指数a 和（1-a ）的总和为1。这个假设意味着如果我们将工人数量和资本数量加倍，总产出也会增加一倍，即：
产出=常数×（2×工人） a （2×资本）（1- a ）
展开各项并重新排列，就可以得到输出加倍的方程式：
产出=常数×（2×工人） a （2×资本）（1- a ）
9 . 在第二年，每天产出等于 。在第三年，产出则 。增长率等于每年的产出增长百分比。
10 . 计算过程如下。第2年，机器：290；产出： 。投资=（0.2）×1 702=340，因此消费=1 362。折旧=（0.1）×290=29。第3年，机器：601，产出： 。投资=（0.2）×2 453=491，因此消费=1 962。折旧=（0.1）×601=60。
11 . 长期均衡可以通过求解M *求出，即，使得 。M *=40 000。
12 . 在完整的索洛增长模型中，会用一个参数a 替换掉这里的平方根函数，像在柯布-道格拉斯模型中一样，还包括劳动市场。
13 . 为了求出均衡，我们设定投资等于折旧： 。因此，均衡机器数量K *要满足等式 。将之代回产出函数，可以求得产出等于 。
14 . 经济学家罗伯特·戈登（Robert Gordon, 2016）则采取了一种悲观的看法，认为即将出现的新技术将使得A 出现大幅增长。更高级的增长模型将技术视为其他变量的函数。例如，保罗·罗默（Paul Romer, 1986）的模型假设增长源于商品种类的增加：随着经济的增长，产品种类也在增长。经济学家马丁·魏茨曼（Martin Weitzman, 1998）则对思想的产生和组合给出了明确的模型。
15 . 关于技术变革中的滞后，请参见：Arthur, 2011。
16 . 例如，以前从来没有通过固定电话的乡村地区，可以直接建造无线基部并提供手机服务。亚历山大·格申克伦（Alexander Gerschenkron, 1952）将这种现象称为“后发优势”。
17 . 皮凯蒂（2014）揭示，从1700年到2012年，世界GDP的年平均增长率仅为1.6%，而且这种增长中的一半是来自人口增长。将72法则应用于这0.8%的年增长率，我们可以发现，在300年的时间内，平均生活水平提高了大约10倍。
09 与价值和权力有关的模型
1 . 这个值是这样计算出来的：将桨手能够增加价值的概率1/6乘以桨手能够增加的价值的期望值（后者等于4/5×10再加1/5×2）。同时注意到，夏普利值的总和为10，也就是这个博弈的总价值。
2 . 正式的计算过程如下：在阿伦的6个想法中，只有两个是他独有的，一个是贝蒂也提出来的，3个是每个人都提出来的。如果他是最先进入的那个人（这个事件发生的概率为1/3），那么增加的价值为6。如果他是第二个进入的，那么能够增加两个独有的想法，这两个想法都是其他人所不知道的；而且，在贝蒂和卡洛斯进入之前，他还有1/2的机会再增加一个想法。所以，他总共增加了2.5个想法。如果他是第三个进入的，那么他可以增加两个他独有的想法。因此，他的夏普利值等于3.5。贝蒂提出了4个与另外一个人共同的想法、3个与所有人共同的想法。因此，她的夏普利值等于3。最后，卡洛斯提出了3个与另一个人共同的想法以及3个与所有人共同的想法，所以他的夏普利值等于2.5。需要特别注意的是，夏普利值的总和为9，即所有想法的总数。
3 . 衡量投票权力的另一种方法是，班茨哈夫-彭罗斯指数（Banzhaf-Penrose index）。它的计算方法是，根据所有可能的获胜联盟确定所有可能成为“关键投票者”的政党的数量，而赋予一个政党的值就等于它发挥关键作用的次数的值除以这个数字。请参见：Banzhaf, 1965。
4 . Groseclose&Snyder, 1996.
10 网络模型
1 . 对网络模型的全面讨论，请参见：Newman, 2010；想要了解网络模型在社会科学领域的应用，请参见：Jackson, 2008；Tassier, 2013。
2 . 给定任何一个节点，它的最小路径长度可以为1到4个节点，也可以为2到4个节点，还可以为3到4个节点，由此，从每个节点开始的最小路径共有12个节点。平均而言，节点的最小路径是访问另一个节点。由此可以得出，每个节点的平均介数等于1/12。根据对称性，所有节点必定都具有相同的介数。
3 . 关于社区探寻算法的更多细节，请参见：Newman, 2010。由于可能性的数量不同，用这些算法构造出来的分区可能有所不同。具有100个节点的网络可以用超过1.9亿个不同的方法进行分区。删除边的次序的随机性，相同的算法通常也会产生不同的分区。通过应用多个算法并多次应用每个算法，就可以增强推理的鲁棒性。
4 . 根据中心极限定理，我们知道度是正态分布的，并且其均值为 ，因为每个边连接两个节点。
5 . Watts&Strogatz, 1998.
6 . 关于网络形成的正式分析，请参见：Newman, 2010。
7 . Ugander et al., 2011。
8 . 给定一个具有N 个人的网络，令d i 表示节点i 的邻居的数量，即度。平均度 可以表示为如下形式：
平均度 等于这个节点的期望邻居数。而在计算邻居的邻居的平均数量时，度为d i 的节点会被“数上”d i 次，即，每个邻居一次。因此，节点的邻居的邻居的总数N 2 可以表示如下：
因此，为了求得一个节点的邻居的平均度，我们必须用这个数除以邻居的总数，得出的结果为N 。因此，只要证明下式就足够了：
而它可以重写为
左边的项等于度分布的方差。如果任意两个节点具有不同的度数，那么度分布就具有正的方差，因此，节点的邻居的平均度，超过节点的平均度。
9 . Eom&Jo, 2014.
10 . Dodds、Muhamad&Watts, 2003.
11 . Newman, 2010; Jackson, 2008.
12 . Granovetter, 1973.
13 . 四度朋友的数量是通过对如下8组节点求和来计算的：CRCR=4 000 000，CRRC=4 000 000，RCRC=4 000 000，CRRR=800 000，RCRR=800 000，RRCR=800 000，RRRC=800 000，RRRR=160 000。
14 . Albert、Albert&Nakarado, 2004.
15 . Groysberg, 2012．条纹模型可以解释它们为何无法成功回归均值。
16 . 关于填补结构洞的人的价值，请参见：Burt, 1995。
17 . 关于对教师网络的影响，请参见：Frank et al., 2018。
18 . 具有非零价值的联盟是{A，B}、{B，C}和{A，B，C}。在前两个联盟中，每个联盟的价值都等于10。第三个联盟的附加价值等于-6。第三个联盟的独立价值等于14，但是这个联盟是由两个联盟组成的，每个联盟的价值都是10。因此，联盟的价值等于14减去20：-6=（14-10-10）。然后，我们可以为每个联盟中的每个博弈参与者分配如下夏普利值：联盟{1，2}：博弈参与者1为5，博弈参与者2为5；联盟{2，3}：博弈参与者2为5，博弈参与者3为5；联盟{1，2，3}：博弈参与者1为-2，博弈参与者2为-2，博弈参与者3为-2。对这些值求和，就可以得到迈尔森值。
11 广播模型、扩散模型和传染模型
1 . 这些模型都假设了离散的时间（步长），例如，天或周，并使用差分方程来描述“明天”被感染（或变得知情）的人的数量与“今天”被感染（或变得知情）的人的数量之间关系。连续时间模型则需要运用微分方程和微积分。但是，如果改用连续时间模型，那么结果从定性的角度来看不会有所不同。
2 . 将第一个方程式插入第二个方程式，可以得出：36 000=20 000+20 000-P broad ×20 000，进一步化简为4 000=P broad ×20 000，所以我们有：P broad =0.2，以及N POP =100 000。
3 . Griliches, 1988.
4 . 假设，每个应用程序的初始销售量（I ）等于100。一开始，设定P diffuse =0.4，同时POP=1 000。第三期的新销售量等于 。与此类似，我们可以计算出未来各期的销售数据。对于第二组数据，令P diffuse =0.3，POP=100 000。第二期的新销售量 。用同样的方法，可以求得后续各期的销售量。
5 . 巴斯把率先采用某种技术或购买某种产品的人称为“创新者”，而把跟着这样做的人称为“模仿者”（Bass, 1969）。
6 . 对R 0 的正式推导始于这样一个观察结果：当感染者的人数很小的时候，易感者的数量大体上相当于相关人群的数量。因此，为了减少变量的数量，我们可以用相关人群的数量代替易感者的数量。然后，我们可以将感染者人数的变化写成最初感染者人数的线性函数的形式（见正文中的专栏）。对R 0 的正式推导过程如下。当出现了一种新的传染病时，它最初只会感染少数人。我们用I 0 表示这个很小的感染者的数量。将之代入SIR模型，第一期中感染者的数量等于：
以N POP 为S 0 的近似，上面这个式子就变为I 1=I 0+P contact ×P spread ×I 1?P recover I 1。由此我们可以推出，感染者的人数将上升，当且仅当P contact ×P spread >P recover ，而这又等价于下式：
7 . 强制隔离会使接触的概率降低到接近零的水平，从而有效降低基本再生数，但是成本很高。在20世纪初，结核病（R 0 ≈3）在美国每年都会导致超过10万人死亡，各州都不得不加征财产税，以建立强制性的疗养院以收容隔离病人，因为手术治疗如摘除肺叶和整个肺，甚至往肺部空洞处塞入乒乓球，但最终全都被证明是无效的。请参见：Dubos, 1987。
8 . 为了求疫苗接种阈值，我们需要对SIR模型进行一些修正，以便容纳接种了疫苗的人群。一种传染病要得到传播，感染者必须与未接种疫苗的人（概率为（1-V ））接触（接触概率为P contact ），并且传染病必须是会扩散的（P spread ）。第一期的差分方程可以写为如下形式：
运用近似值S 0 =N POP （就像在推导R 0 时一样），上式就可以改写为：
I 1 =I 0 +P contact ×P spread ×I 0 ×（1-V ）-P recover I t
当且仅当P contact ×P spread ×（1-V ）>P recover I t 时，感染者的人数才会增加。这个不等式可以重写为R 0 （1-V）≤1。展开并重新排列各项，我们有R 0 -1<V ×R 0 。只要两边同时除以R 0 就可以得到我们想要的结果。
9 . 关于从社会科学角度对SIR模型和群体免疫力的更详尽的分析，请参见：Tassier, 2013。
10 . Stein, 2011.
11 . Updike, 1960.
12 . Tweedle&Smith, 2012.
13 . Lamberson&Page, 2012b.
14 . 数据源自网络。
15 . Christakis&Fowler, 2009.
16 . 对此，达蒙·森托拉（Damon Centola）和迈克尔·梅西（Michael Macy）（2007）称之为复杂的传染病（complex contagion）。
12 熵：对不确定性建模
1 . Smaldino, 2013.
2 . 数字x 的以2为底的对数必定等于使2产生x 的幂，因此log2 （4）=2，且log2 （2 N ）=N 。在一般情况下，log a （x ）等于使a 产生x 的幂。因此，如果a y =x ，则log a （x ）=log a （a y ）=y 。
3 . 我们可以将信息熵写成如下的长形式：
这个式子可以化简为：
4 . 多样性指数，即，概率的平方和的倒数，可以满足前两个公理以及乘法公理。以多样性指数来衡量，已知结果的多样性等于1。请参见：Page, 2007、2010a。
5 . Wolfram, 2001; Page, 2010a.
6 . 亚历山大总共列出了15个这样的属性。他将自己的想法，再加上很多精英的照片集结成册，自行出版了4本精美的书：《秩序的本质，第1册：生命现象》（The Nature of Order, Book 1: The Phenomenon of Life ）（2002）、《秩序的本质，第2册：创造生命的过程》（The Nature of Order, Book 2: The Process of Creating Life ）（2002）、《秩序的本质，第3册：生活世界的愿景》（The Nature of Order, Book 3: A Vision of a Living World ）（2005），以及《秩序的本质，第4册：流光溢彩的大地》（The Nature of Order, Book 4: The Luminous Ground ）（2004）。这4本书中，第2册与我们这里讨论的主题的关系最密切。
13 随机游走
1 . 欲了解更多关于随机游走的知识，请参见：Mlodinow, 2009。
2 . Taleb, 2001.
3 . Turchin, 1998; Suki&Frey, 2017.
4 . 需要注意的是，大数定律说明平均比例是收敛的，而中心极限定理则告诉我们白球比例的分布是正态的。
5 . 一位三分球命中率为46%的篮球运动员连续投中9个三分球的概率大约为1/1 000（0.469 ）。如果这个篮球运动员一直继续投三分，那么在10年的NBA生涯中（总共参加大约800场比赛），一次都做不到三分球9投9中的概率大约为47%（0.999800 ）。
30多年来，统计学家一直在争辩，篮球运动员和其他职业运动员是不是真的会出现“热手效应”，或者换句话说，任何一次投篮或罚球命中的概率是否与前一次的成功相关。请参见：Chance, 2009。他分析了乔·迪马吉奥（Joe DiMaggio）的56场比赛连胜纪录。在考虑“热手效应”的证据时，我们必须考虑到行为。如果一名篮球运动员认为自己的手感很好，那么可能会尝试更加困难的投篮。此外，如果防守方觉得对方哪个运动员手感太好，他们就会收紧对他的防守。这些行为反应在模型中可以通过加大难度来体现。特沃斯基等人没有发现可以证明“热手效应”的证据。乔舒亚·米勒（Joshua Miller）和亚当·圣胡尔霍（Adam Sanjurjo）（2015）则在以往的研究中的条件概率计算中发现了一个推理错误，进而证明以前那些声称没有发现“热手效应”的研究实际上支持了“热手效应”假说。以前研究的这种误差源于采样技术中的缺陷。这些研究收集了多名（例如）篮球运动员投篮命中和不中的序列；然后再计算随机选择的多次投篮后某次投篮命中的概率。这种采样程序会引入一种微妙的统计偏差。
为了说明这种偏差，不妨考虑如下这种情况：多名篮球运动员每人只投篮4次，而且每次投篮都有相同的命中概率，这样就有16种可能的投篮命中和未命中的序列。我们用B代表投篮命中，用M代表投篮不中。在这16个序列中，有6个是连续两次命中后再接着投篮一次产生的，它们是：BBBB，BBBM，MBBB，BBMB，BBMM和MBBM。这些都是连续两次投篮命中后再投第三次篮的情形。如果抽到了BBBB，那么无论选择哪一个由两个B组成的序列，那么接下来再投篮命中的概率都等于100%。如果选择了MBBB，那么B跟着BB出现的概率也等于100%。但是，如果选择了BBBM，那么BB之后出现M的概率等于50%。最后，如果选择的是MBBM、BBMB或BBMM，那么M必定会在BB之后出现。求这6种情况的平均值：
之所以会产生偏差，是因为在序列BBBB中，有两个BB可以选择，但是在其他序列中，则只有一个（例如，BBMB）。前述采样程序使得BBBB的这两个子序列中的每一个被选中的概率都仅为BBMB中的那一个子序列的一半。这种偏差的含义是，如果不存在“热手效应”，那么这种采样程序就已经证明投篮命中后再投篮时更有可能不中。当然事实并非如此，而这就意味着投篮命中之后再投篮实际上更有可能命中。
6 . 麦道夫几十年来一直宣称自己的客户每月的回报率为1.5%。他声称，无论市场大环境（“大盘”）如何变化，他的投资每个月都在升值。在经济衰退期间维持正收益，要比表现优于市场更加困难。当市场下跌时，一个人即使战胜了市场也仍然可能会出现负收益。整体市场下跌了80多个月，但是麦道夫却一直声称自己实现了正收益。如果我们愿意冒风险做出一个“英勇”的假设：即使在大盘下跌的时间超过3/4的情况下，麦道夫也能以某种神奇的方法取得正收益，那么他连续80期成功的概率大约为十亿分之一（0.7580 ）。
7 . 只要了解到，一个随机游走的值是相同的、独立的随机变量的总和，我们就可以求解标准差。每个随机变量的均值都为零，而且取值为+1或-1。因此，每个都具有1的标准差。设置σ =1并且对所得到的总和应用西格玛平方根公式，就可以得出结果。
8 . Newman, 2005.
9 . Levinthal, 1991; Axtell, 2001.
10 . Newman, 2005; Sneppen et al., 1995.
11 . 湖泊是按面积计算的。我们的模型产生幂律直径。面积等于直径平方的常数倍，因此面积也将是幂律分布的。具体数据请参见：Downing et al., 2006。
12 . 在平衡的轮盘赌轮上，所有间隔都应有相同的可能性。如果桌子有任何倾斜，那么球在上坡时更可能从外缘掉落。关于多恩·法默、诺曼·帕卡德（Norman Packard）和他们的朋友通过“可穿戴计算机”，利用这个现象并击败轮盘赌的故事，请参见网络。
13 . N 次投注后，这随机游走的期望值等于 。由于获胜的概率大约为 ，我们可以将这个值的标准偏差近似为 。确切的值则等于 。
14 . L.皮尔（L. Peel）和A.克劳塞特（A. Clauset）（2015）将每个博弈模型化为一个单个序列，并发现得分序列表现出了反持续性：上次得过分的队伍不太可能接下来马上得分。鉴于球队交替发动进攻，这个结果应该是预料之中的。
15 . Baxter, 2009.
16 . 这个结果的证明需要先计算在N 个步骤内返回起点的概率，然后把所有可能的N 的结果都加总起来。
17 . Samuelson, 1965.
18 . Grossman&Stiglitz, 1980.
19 . Lo&MacKinlay, 2007.席勒（2005）证明，市盈率相对较低的股票的表现优于市场。
20 . Mauboussin, 2012.
21 . 从1967年到2017年的这个窗口期恰好正逢标准普尔500指数上涨周期。在大多数窗口期，股票价格增长速度高于经济整体的增长速度。
14 路径依赖模型
1 . Hathaway, 2001.
2 . Pierson, 2004.
3 . Bednar&Page, 2007、2018.
4 . Page, 2006.
5 . 这里是我在2006年给出的一个证明概要。显然，只要证明在前N 期抽取出K 个白球的概率等于1/（N +1）即可。存在（N +1）种可能性，因为K 最小可以取零值，最大则可以等于N 。N 个周期中抽取出给定K 个白球序列的概率可以写为N 个分数的乘积。这些分数的分母分别是数字2到N +1。分子分别为数字1到K （白球）和1到（N -K ）（灰球）。分子的乘积等于K ！乘以（N -K ）！而分母的乘积则等于（N +1）！。通过这个计算，就可以给出K 个白球的特定序列的概率。在N 个期内排列K 个球的可能方式的数量等于 。因此，正好抽取出K 个白球的总概率等于
6 . 我们用反证法来证明，假设结果不成立。从长期看，60%的结果是白色的，因此，瓮中60%的球将是灰色的。但是，这又意味着60%的结果将是灰色的。于是，出现矛盾，原命题得证。
7 . 要想了解更多依赖用熵来度量不确定性的模型，请参见：Lamberson&Page, 2012b。
8 . Lamberson&Pag, 2012b.
9 . Page, 1997.
10 . 风险价值也可以用年内任何时候损失超过10 000美元的概率来计算。
11 . 这些计算依据的是以下事实：长度为N 的随机游走的值的标准差等于 。2.5%对应于两个标准差。
15 局部互动模型
1 . 在物理学中，局部多数模型通常称为伊辛模型（Ising model）。局部多数模型是投票者模型的一个变体。投票者模型假设了随机选择各种规模的邻居。请参见：Castellano、Fortunato&Loreto, 2009。
2 . 对于沿4条边的元胞，我们将顶部的边连接到底部的边，创建出一个圆柱体，然后将左侧的边连接到右侧的边，创建出一个圆环。
3 . 在局部多数模型的另一个版本中，元胞可以被同时激活，或者根据更新的动机来激活，其中处于相反状态的最大多数邻居元胞最先移动。如果元胞同时更新，局部多数模型可以生成循环。
4 . 关于起立鼓掌的模型，请参见：Miller&Page, 2004。
5 . 关于包括了跨域行动一致性的文化模型，请参见：Bednar et al., 2010。
6 . 在这里，也是先将顶部连接到底部创建出一个圆柱体，然后连接两端以形成一个“瘦小”的圆环。
7 . 有一类称为扩散反应的模型也会在较窄的形状上产生条纹，并在较宽的形状上产生斑点。使用这些模型，科学家可以预测哪些动物会有条纹，哪些动物会有斑点，哪些动物会是纯色。答案取决于在发育阶段的哺乳动物胚胎的大小，即在模式形成时的大小，而不是成年动物的大小。否则，大象就会有斑点。请参见：Murray, 1988。
8 . 我要感谢伯纳多·休伯曼（Bernardo Huberman）提供给我这个比喻。
9 . 要证明这一点，需要编写一个计算机程序。这个程序能够生成随机数字序列或随机模式，并证明生命游戏模仿了计算机程序。正式的证明需要说明生命游戏在元胞自动机的集合中是通用的。请参见：Berlekamp、Conway&Guy, 1982。
10 . Dennett, 1991; Hawking&Mlodinow, 2011.
16 李雅普诺夫函数与均衡
1 . Nagel, 1995.
2 . 我要感谢珍娜·贝德纳，她提供了关于逐底竞争的几个例子，除此之外，她还提供了本书的很多个例子。
3 . Page, 2001.
4 . 外部性（即便是负外部性）的存在，不能排除构建李雅普诺夫函数的需要。局部多数模型和路径选择模型都包含了负外部性。在局部多数模型中，当一个元胞改变了自己状态时，它会对处于相反状态的邻居施加负外部性。然而，它与现在匹配的邻居产生的正外部性更大。
5 . Guy, 1983.如果你够大胆，那么就从27开始试一试。
17 马尔可夫模型
1 . 正式的研究论文需要利用统计技术更准确地估计转移概率并计算出误差范围。它还要检验转移概率在那个时间段内是不是保持不变的。如果转移概率取决于人均收入，那么就不会。请参见：Przeworski et al., 2000。
2 . Flores&Nooruddin, 2016.
3 . Tilly, 1998.
4 . 采用瓷砖的人的均衡百分比等于从油毡转移到瓷砖的概率除以从油毡转移到瓷砖的概率与从瓷砖转移到油毡的概率的总和。这就等于 。我们还可以写出如下更一般的模型。令D表示拥有昂贵的耐用品的人的百分比，C表示拥有更便宜的商品的人的百分比。再令 表示有人购买更便宜的商品的概率。令REPLACE（C）和REPLACE（D）表示更换两种产品的概率。如果以下不等式成立：
REPLACE（C）×1-BUY（C）>REPLACE（D）×BUY（C）
那么会有更多的人买更便宜的商品，但是同时更多的人拥有耐用品。根据假设，命题的第一部分显然成立。为了证明第二部分，我们要先解出转移概率。某个人从D移动到C的概率是P （D，C）=REPLACE（D）×BUY（C）。与此类似，某个人从C移动到D的概率是P （C，D）=REPLACE（C）×1-BUY（C）。在均衡状态下，D-D×P（D，C）+CP （C，D）=D。设定C=（1-D），我们得到 。如果P （C，D）>P （D，C），那么上式大于0.5。这个不等式与REPLACE（C）×1-BUY（C）>REPLACE（D）×BUY（C）是等价的。
5 . McPhee, 1963; Ehrenberg, 1969.他们给出了一些证明双重危险的经验证据。为了证明这个结果，我们只需要证明消费者在转换品牌时会以同样的概率购买任何一种产品。
6 . Briggs&Sculpher, 1998.
7 . Schrodt, 1998.
8 . Khmelev&Tweedie, 2001.
9 . Khmelev&Tweedie, 2001.
10 . Reynolds&Saxonhouse, 1995.
11 . 请参见网络。
12 . 巧妙构建此类模型的关键在于，定义有用的状态并分配准确的转移概率。请参见：Langville&Meyer, 2012。
13 . 在食物链中，一个物种与它所消费的物种相连。请参见：Allesina&Pascual, 2009。
14 . Russakoff, 2015.
18 系统动力学模型
1 . Sterman, 2000.
2 . 关于定性系统动力学模型的价值分析，请参见：Wellman, 1990。
3 . 这个模型假设所有野兔都是因被狐狸吃掉而死亡的。为野兔的其他死亡方式增加变量，只会使模型复杂化，但不会改变其结果，因为这样做其实只降低了现在这个模型中野兔增长率的取值范围。这里的符号 表示每单位时间内H 的变化率，换一种写法是 。当野兔和狐狸数量的变化率都等于零时，即 时，均衡就实现了。为了求解均衡，取方程gH -aFH =0，然后两边同时除以H ，可以得到g -aF =0。解出F 就可以得到结果。接下来，再取方程bFH -dF =0，然后两边同时除以F ，可以得到bH -d -0。求解H 就可以得到结果。
4 . 我要感谢多伦多大学的迈克尔·赖亚尔（Michael Ryall），他提供了这个例子。
5 . 对于这个模型的相关结果的总结，请参见：Meadows et al., 1972。
6 . 这套模型就是通常人们所称的“罗马俱乐部”模型。戴维·洛克菲勒（David Rockefeller）于1968年创立的罗马俱乐部，资助了围绕这些模型的研究，并推广了这些模型的发现。
7 . 通过对变量在更小范围内进行操纵，约翰·米勒还可以将模型的预测推向近300亿。请参见：Miller, 1998。
8 . Hecht, 2008；MacKenzie, 2012.
9 . Sterman, 2006.
10 . Glantz, 2008.
19 基于阈值的模型
1 . Granovetter, 1978.
2 . 爱彼迎创始人采取的方法是，在2008年美国总统大选期间，开发出了奥巴马奥氏（ObamaO's）和船长麦凯恩氏（Cap'n McCain's）谷物早餐，然后挨家挨户上门推销。
