3 . 关于旋转门模型，请参见：Jacobs, 1989。实证研究表明，在几乎不需要接受传统“正规”教育的职业中（例如调酒行业和园艺行业），当某个工作场中女性员工的比例占到了15%时，男性就会选择离开（或选择不进入），请参见：Pan, 2015。
4 . Syverson, 2007.
5 . Gammill&Marsh, 1988.
6 . Easley et al., 2012.
20 空间竞争模型与享受竞争模型
1 . Clark、Golder&Golder, 2008.
2 . 关于对法律立场的分析，请参见：Martin&Quinn, 2002。
3 . 霍特林（1929）研究了地理区位决策。凯尔文·兰开斯特（Kelvin Lancaster）（1966）扩展了霍特林的模型，用来研究经济选择之间的享受竞争；唐斯（1957）则将这个模型应用于政治学研究。
4 . 提名分数模型提供了一种更复杂的方法来分配意识形态立场，但是所依据的基本思想是一样的，请参见：Poole&Rosenthal, 1985。
5 . 选择常数项（表达式中的C ）时，要让所有收益均为正。为了实现这一点，可以将它设定为任何理想点和可选点之间的最大可能距离。
6 . 在以这种方式构建分割线时，我们假设消费者赋予这两个属性的权重是相同的，也可以将权重不同的情况包括进来。如果人们认为含糖量比可可含量更重要，那么我们会以逆时针的角度倾斜这条分割线。而在极端情况下，如果（例如）人们只重视含糖量一个属性，那么分割线将是水平的，并且会在垂直轴上均匀地划分A和B。空间模型提供了一个清晰的例子，说明我们应该怎样将直觉——在这里直觉是我们更喜欢且更接近我们的理想的东西，转换为正式的模型。一旦将备选方案（巧克力棒）和消费者的理想点在空间上画出来，并根据它们与理想点之间的距离来定义偏好排序（将备选方案从最优到最差排列好），我们事实上就已经根据这些备选方案给出了一个效用函数了。一种产品的效用等于它与理想点之间的距离的倒数。
7 . Havel, 1978.
8 . Martin&Quinn, 2002.
9 . McCarty, 2011.这些百分比可能会随着对党派忠诚度的变化或者提交投票的法案类型的变化而改变。
10 . 从形式上说，如果我们假设选民的人数为奇数并且在二维中位数上存在一个选民理想点，那么这个条件就要求通过二维中位数的任何一条线都会将剩下的选民理想点划分为两个大小相等的集合。请参见：Plott, 1967。
11 . 理查德·麦凯尔维（Richard McKelvey, 1979）证明，连续进行一系列投票，会导致具有两个维度或多个维度的任何一个政策都有可能会被选中，从而导致“混乱结果”的发生。不过，麦凯尔维谨慎地声明，他这个结论只针对给定偏好下可能产生的结果序列，而不是对系列投票会发生什么事情的预测。也请参见：Kollman、Miller&Page, 1997；他们给出了多维空间模型的一个计算版本，在那个版本中，候选人在各种行为假设下会移动到中心位置。
12 . 提议者可能不得不提议41。
13 . McCarty&Meirowitz, 2014.他们对这个模型以及应用于政治学领域的其他博弈论模型进行了更加深入的分析。
14 . 关于拥有否决权的投票者的影响的进一步的分析，请参见：Tsebelis, 2002。
15 . 有一项关于洛杉矶房价的研究估计，通勤成本大约为每小时28美元；请参见：Bajari&Kahn, 2008。
16 . 这里的计算过程如下。初始收入等于价格乘以数量，我们可以将它写成p ×q 。在稀疏的市场中，价格下跌后，收入下降10%，销售额增加8%，因此收入等于0.9p ×1.08q =0.972p ×q 。而对于拥挤的市场，价格下跌后的收入等于0.9p ×1.33q =1.197p ×q 。
21 博弈论模型
1 . 正式模型以及相关证明如下。令E i 表示博弈参与者i 的努力水平。如果胜出，那么博弈参与者i 获得的收益等于M -E i ，否则为-E i 。假设博弈参与者胜出的概率等于他在总努力水平中所占的比例，即：
为了求解这个模型的唯一的（对称）纳什均衡，我们考虑这个问题：假设所有其他博弈参与者都选择相同的努力水平E* ，博弈参与者i 的努力水平是什么。博弈参与者i 的收益等于：
这个函数的一阶导数等于：
为了求出最大值，我们令一阶导数等于零，于是可以得出 。在对称均衡中，E i =E *。代入上式就可以得出结果。而为了证明一阶导数确实给出了最大值，我们只需检验收益函数的二阶导数是不是为负即可。
2 . 欲了解如何梳理网络效应、以及为什么使用快照数据很难得出关于网络效应的结论，请参见：Shalizi&Thomas, 2011。关于聚类行为和属性的实例，请参见：Christakis&Fowler, 2009。
22 合作模型
1 . 请参见2005年出版的《科学》杂志创刊125周年纪念特刊。
2 . Martin et al., 2008; Biernaskie, 2011。
3 . Zaretsky, 1998.在银行的例子中，如果银行能够赚取大量的地理租金，ATM会降低它们利润吗？地理租金指，银行可以利用客户无法承担长途跋涉到另外一个城镇的银行办理业务的成本而获得的额外利润。我要感谢西蒙·威尔基（Simon Wilkie）以及其他一些朋友，他们与我一起讨论了这个例子。
4 . 从技术上讲，我们这样说其实是在证明冷酷触发策略是概率性重复囚徒困境博弈中的均衡策略。其他策略，例如针锋相对策略，在与冷酷触发策略配对时，也可以成为均衡策略。
5 . 当另一方博弈参与者采取冷酷触发策略时，选择背叛的博弈参与者在第一个时期内可以获得收益T ，但是在未来的任何一次博弈中都只能获得最多为零的收益。如果博弈参与者在每个时间段使用冷酷触发策略，那么在博弈进行的第一期都能获得R 的收益。博弈进行两期的概率为P ，进行三期的概率为P 2 ，进行N 期的概率为p N -1 。因此，期望收益等于：
对 的证明如下。假设结果为真，然后对等式的两边同时乘以（1-P ），于是右侧等于1，左侧等于（1+P +P 2 +P 3 +…）-（P +P 2 +P 3 +…），它也等于1。
6 . 我们只需要把保持合作时的那个计算过程重做一遍，并使P 下降到 即可。如果 不支持合作，那么，继续以概率为P 的博弈进行几期后，再以 的继续概率进行博弈，也不能支持合作。
7 . 诺瓦克和卡尔·西格蒙德（Karl Sigmund）（1998）称之为图像评分。另外也请参见：Bshary&Grutter, 2006。
8 . 如果假设它们能够增大鸣鸟的领地，那么这两种形式的攻击都可以映射为背叛。请参见：Godard, 1993。不过，将某些行动映射为具有收益的博弈形式，需要广泛的实地观察。
9 . 其中有四对值得重点阐述。当针锋相对策略与冷酷触发策略配对时，两者会永远合作下去，而且每个博弈参与者的平均收益均为3。当欺负好人策略与欺负好人策略配对时，前两轮双方都会背叛，然后永远合作，其平均收益略小于2。当冷酷触发策略与欺负好人策略配对时，冷酷触发策略在第一轮合作、欺负好人策略在第一轮就背叛；在第二轮，双方都背叛；在第三轮和第四轮中，冷酷触发策略背叛和欺负好人策略合作；此后，两者都一直背叛。冷酷触发策略的收益序列可以写成1，2，4，4，然后一直是2，因此平均收益为2+ 。欺负好人策略的收益序列可以写成4，3，1，1，然后一直是2，平均收益正好为2。当针锋相对策略与欺负好人策略配对时，针锋相对策略在第一轮合作，而欺负好人策略在第一轮就背叛。第二轮双方都背叛。在第三轮中，欺负好人策略合作，但是针锋相对策略继续背叛。在第四轮中，欺负好人策略第二次合作，针锋相对策略恢复合作。此后，双方都永远合作。双方的收益均为一个1、一个4、一个2，以及一直为3，因此双方的平均收益均为略小于3。
10 . 事实上，始终合作策略和冷酷触发策略都是被针锋相对策略占优的。无论针对什么策略，针锋相对策略至少与始终合作策略或冷酷触发策略一样好（或更好）。针锋相对策略之所以占优永远合作策略，是因为针锋相对策略不会被始终背叛策略和欺负好人策略所“剥削”。针锋相对策略之所以占优冷酷触发策略，是因为它能够与欺负好人策略合作，因为针锋相对策略能够原谅欺负好人策略的背叛，但是冷酷触发策略却不能。
在一个后来成为经典的著名实验中，罗伯特·阿克塞尔罗德要求各个领域的学者参加一项“锦标赛”——提交用于有一定概率继续进行下去的重复囚徒困境博弈中的不同策略。在学者们提交的14个策略中，针锋相对策略表现最佳。然后他又组织了一场，要求大家提交新的策略。这一次有62个人提交了各种策略。针锋相对策略再一次胜出。阿克塞尔罗德将针锋相对策略的成功归结为该策略的如下性质：它会合作，又会惩罚，同时它也是宽容的。冷酷触发策略不宽容，因此冷酷触发策略无法重启与欺负好人策略的合作。请参见：Axelrod，1984。表22-1没有给出针对所有策略的平均收益，因为那将意味着假设每个策略具有相同的可能性。一个种群可能大多数人都采取针锋相对策略；另一个种群可能包括了很大比例的采取欺负好人策略的人；而第三个种群则可能有很多人采取始终合作策略和始终背叛策略。
11 . 假设，诱惑收益等于奖励收益的4倍，即，T =4S ，而且种群中5%的人会合作。这样一来，P 必定超过 。要维持合作，只需要P 超过 即可。在T =4且R =3的情况下，合作的出现要求 ，而维持合作则要求 。接下来给出一般性的证明。假设在种群中，有θ 比例的人采取针锋相对策略（或，冷酷触发策略），比例（1-θ ）的人采取始终背叛策略。再假设每个人都要与整个种群中的所有其他人博弈。与针锋相对策略配对的针锋相对策略（或冷酷触发策略）在每一期都能获得R 的收益，因而其期望收益为 。与始终背叛策略配对的针锋相对策略只能获得-S 的回报。而始终背叛策略与始终背叛策略相配对时，双方都只能获得零收益。而且，始终背叛策略与针锋相对策略配对时，始终背叛策略能够获得T 的收益。因此，针锋相对策略的平均收益等于 ，同时始终背叛策略的平均收益则为θ ×T 。这样一来，当且仅当 时，针锋相对策略胜过始终背叛策略。因此，当且仅当下式成立时，针锋相对策略获得更高的收益：
如果θ 很小，那么 将变得非常大，上述条件很难成立。关于合作的出现比合作的维持更加困难的进一步分析，请参见：Boyd, 2006。
12 . 这个模型，以及对于它的分析，是我们从诺瓦克的论文中借用的（Nowak, 2006）。诺瓦克证明，重复博弈、声誉和亲属选择也能支持合作。
13 . 边缘上的节点会复制表现最好的邻居的行动。根据假设，所有相邻的背叛者获得的收益都等于零。而合作的邻居则可以获得K ×B -D ×C 的收益——当且仅当 时，这一收益大于零。
14 . 关于群体选择理论的基本概念，请参见：Wilson, 1975。
15 . 对于特劳森和诺瓦克的模型，在这里要简单地介绍一下。将一个由N 个人组成的种群划分为M 个不同大小的群体。在每个群体中，都应用合作行动模型并为每一个人分配一个表现值。令选中个体i 的概率等于i 的表现除以所有N 个人的表现之和的结果。然后，将这个人的一个克隆体添加到同一个群体中。
如果加入这个克隆体后，该群体的大小超过了阈值 ，那么就以概率（1-q ）随机地从这个群体中的某个个体移除，同时以概率q 将该群体分成两个群体，每个成员随机地进入其中一个群体中。为了保持群体的总数不变，再随机选择一个现有群体将之移除。当M 很大且群体分裂很少发生（q 很小）时，当且仅当 成立，合作者的数量就会增加。关于这个模型的更加完整的说明，请参见：Nowak, 2006。
16 . 当敏捷管理的倡导者米歇尔·佩鲁索（Michelle Peluso）成了IBM的首席营销官时，她组建了一些相互竞争团队，每一个团队的表现都是其他团队可观察的。然后对表现最好的团队加以奖励（Dan, 2018）。这种类型的敏捷管理实践借鉴了敏捷编程的思想。敏捷编程采用同时推进代码编写、程序测试和与用户互动的方法，取代了标准的按顺序依次推进的瀑布式方法。
17 . 还有一种策略是慷慨的针锋相对，即，一开始选择合作，且只在部分时间惩罚背叛行为。在会出现误差的博弈中，这种策略优于针锋相对策略和“赢则坚持，输则改之”策略。请参见：Rand et al., 2009；Wu&Axelrod, 1995。
18 . Axelrod&Pienta, 2006.
23 与集体行动有关的问题
1 . Hardin, 1968.
2 . Diamond, 2005.
3 . Ostrom, 2005; Ostrom、Janssen&Anderies, 2007.
4 . 为了得出社会最优解，假设每个人在公共物品上花费X 。整个种群的总效用等于：
对X 求导，并令得到的导数等于零，可以得到：
得到X =N 。
为了求解对称纳什均衡，我们假设其他每个人都为公共物品贡献相同的数额，并将这个数额记为A 。令Y 表示这个人贡献的数额。于是这个人的效用等于：
对Y 求导，并令得到的导数等于零，我们可以得到 。重新排列各项并对两边同时取平方，得到Y +（N -1）A =1。在对称均衡中，每个人贡献相同的数额（Y =A ），因此有 。
5 . 哲学家会认为这是功利主义。约翰·罗尔斯（John Rawls, 1971）提出了另一种选择：最大最小原则（maxmin principle）。根据这个原则，理想的社会结果就能最大化最不富裕的人的效用。罗尔斯争辩说，我们应该站在“无知之幕”背后去考虑配置问题。“无知之幕”指我们对自己社会中的地位毫不知情。有了“无知之幕”，我们不知道我们是贫是富、有无名声，也不知道自己拥有多大的能力、会不会受到环境的阻碍。罗尔斯要求对最不富裕的人赋予最大的权重，而功利主义则平等地给每个人赋予权重。
6 . 用i 来给这N 个人编号。我们可以把第j 个人的效用写成如下形式：
为了解出对称纳什均衡，我们假设每一个其他人都为公共物品贡献了数量A 。
再令Y 表示个体j 所贡献的数额。用I 表示所有人的共同的收入水平。这样一来，个体j 的效用等于：
对Y 求导，并令得到的导数等于零，我们可以得到：
重新排列各项，我们有： 。在对称平衡中，Y =A 。从而，遵循 。等号双边求平方，可以得到［（1-α ）+αN ］2 =NY ，这就意味着， 。
7 . Cornes & Sandler, 1996.
8 . 更现实的模型还要假设非线性拥塞成本（也许是S 形的）。这种假设能够刻画像道路这样的资源的如下特点：前几位其他用户对个人的利益不会有任何影响，但是到了某个时点上，资源会因过于拥挤而归于无用。
9 . 使用资源的M 个人的总效用等于（B -θ ×M ）。对M 求导，并令得到的导数等于零，我们可以得到（B -2Mθ ）=0，求解可得 。为了求解纳什均衡，我们将从不使用资源的收益设定为零值。于是，人们会使用资源，直到收益等于外部可选项，即： 。
10 . 需要注意的是：我们将最大收益B 设定为等于种群规模N ，目的是减少变量的数量。为了求解社会最优结果和纳什均衡，我们首先注意到，总效用等于（N -M ）×M +3N -（N -M ）×（N -M ），从而得到4（N -M ）M 。对M 求导，得4N -8M =0。求解可得M =N /2。于是总效用等于 。为了求解均衡，我们要找到一个M ，使两个公园的边际效用相等。这种情况在（N -M ）=3N -3（N -M ）时发生。这个式子可以重写为N =4M 。将M 和N -M 的值代入效用函数，就可以计算出总效用。
11 . 为了求解均衡消费，只要设定R *=（1-g ）（R *-C *）并解出R *即可。
12 . Kurlansky, 1998.
13 . 为了说明为什么变化没有抵消，可以考虑一个两期模型。第一年的增长率为20%，因此只有96个单位的资源（80×1.2=96）。第二年的增长率为30%，这导致了98.8=（96-20）×1.3个单位的资源。如果我们将这两年的增长率互换一下，那么在第一年之后，就会有104个单位的资源，而且在第二年之后会存在100.8=（104-20）×1.2个单位的资源。
14 . Ostrom、Janssen&Anderies, 2007.
15 . Craine&Dybzinski, 2013.
16 . Ostrom, 2010; Ostrom, 2004.
24 与机制设计有关的模型
1 . Ledyard、Porter&Rangel, 1997.
2 . 以帕累托有效为例。考虑3个人的以下4种收益情况：
{（3，3，4），（9，0，0），（0，8，1），（2，2，3）}
除了（2，2，2）之外，都是帕累托有效的。但是配置（2，2，3）被（3，3，4）占优。
3 . Hurwicz&Schmeidler, 1978.
4 . 第三个竞买人可能出价略高于60美元，为了简化分析，假设正好为60美元。
5 . 我们在这里给出的证明假设了这些值是均匀分布的，但是这个结果在其他类型的分布下仍然成立。假设其他（N -1）个竞买人的出价都是真实价值乘以 。如果其他竞买人的价值乘以 小于b ，那么出价b 就将高于另一个竞买人的出价。发生这种情况的概率等于 。由此可知，大于所有其他（N -1）个出价的概率等于这个值的（N -1）次幂。因此，如果竞买人的真实价值为V ，则出价b 的预期价值等于该价值减去出价的差（V -b ）乘以b 为最高出价的概率。这样一来，就可以将预期价值写为：
为了使上式的值最大化，我们对b 求导，并令求得的导数等于零，于是可以得到如下条件：
简化后可以得到这个表达式：V （N -1）-Nb =0，重写为 。为了证明出价最高的竞买人付出的价格等于出价第二高的竞买人的出价的预期价值，我们要先注意到，如果从区间［0，1］上的均匀分布中抽取N 个随机的值，那么最高出价的预期价值等于 。第二高的出价的预期价值则等于 。因此，出价最高的竞买人的预期价值等于：
这就等于第二高的竞买人的预期价值。
6 . 罗杰·迈尔森（Roger Myerson）是我的博士生导师，他因这个贡献获得了诺贝尔经济学奖。
7 . 在全支付拍卖中，当竞买人的价值位于区间［0，1］上时，其最优策略可以表示为：拥有价值V 的竞买人出价 。因此，如果有三个竞买人，那么价值为 的竞买人将出价 。
8 . 相关的实验证据，请参见Lucking-Reiley, 1999。相关的eBay拍卖实验证据，请参见Morgan&Hossain, 2006。相关的木材拍卖证据，请参见Athey、Levin&Seira, 2011。
9 . Ostrovsky、Edelman&Schwarz, 2007.
10 . Page, 2012.
25 信号模型
1 . 有关信号如何驱动行为和选择的更多例子，请参见：Simler&Hanson , 2018。
2 . 一个弱者类型的个体发送信号成本等于MC 。假设所有S 个强者类型的个体都发出了信号，那么收益等于 。因此，如果 ，那么弱者类型个体就不会发送信号。如果他们源于分离的收益 ，超过了所有N 个个体分担信号时的 ，强者类型更偏好发送信号。从先前的计算可知，使弱者类型的个体不发送信号的最小信号等于 。因此，如果我们 M ，那么弱者类型将不会发出信号。而要让强者类型更偏好发送信号 ，我们必须保证 。上式两边同时除以B 并乘以C ，就可以得到 。这个式子可以简化为（C -c ）N ≥CS ，可以改写为C （N -S ）≥cN 。
3 . 经济学家迈克尔·斯宾塞（Michael Spence）提出了这种可能性。斯宾塞因提出了一个假设教育没有功能性价值的就业市场模型（Spence, 1973）获得了诺贝尔经济学奖。
4 . 尾羽过大就会影响孔雀的适合度。请参见：Zahavi, 1975。
5 . Bird&Smith, 2005.
6 . Smith&Bird, 2003.
26 学习模型
1 . 关于学习的心理学研究，涵盖的背景要比我们在这里所讨论的更加广泛。一个人可以通过学习，了解一个事实，例如阿肯色州的首府在哪里。一个人也可以通过学习，获得某种隐性知识，例如怎样烤面包、修理发动机或编写计算机程序。一个人还可以通过学习，掌握某种知识体系，例如有机化学。
2 . Thorndike, 1911.
3 . Rescorla&Wagner, 1972.
4 . 我描述的这个模型是以下述论著中模型为基础的：Rescorla&Wagner, 1972; Herrnstein, 1970; Bush&Mosteller, 1955; Cyert&March, 1963; Bendor、Diermeie&Ting, 2003; Epstein, 2014。
5 . 对参数γ 的选择，必须保证备选方案的权重为正。如果γ 超过了最高可能渴望水平与任何备选方案的最小奖励之间差异的倒数，就可以做到这一点。
6 . Bendor&Swistak, 1997.
7 . 如果我们构建出一个有限种群的复制者动态模型，随后的种群是随机选择的，那么就可能无法重新复制出最优备选方案。如果真的是这样，那么复制者动态模型将找不到最优选择，因为它无法将备选方案重新引入到种群中。
8 . Fudenberg&Levine, 1998; Camerer, 2003.
9 . 这个博弈还有一个混合策略均衡，其中2/3选择经济型汽车，1/3选择一个油老虎车。但是，根据我们的学习规则，这种均衡是不稳定的，因此忽略它。
10 . 更正式的表示是，P （经济型汽车，1）=0.5，P （油老虎车，1）=0.5，收益（经济型汽车，1）=1.5，收益（油老虎车，1）=2，平均收益=1.75。应用复制者方程，我们可以得出P （经济型汽车，2）= ，以及P （油老虎车，2）= =0.57。
11 . Frank, 1985.
12 . Waltz, 1979; Powell, 1991.
13 . Vriend, 2000.这篇论文分析了类似的收益结构，并将它解释为生产相同产品并同时选择数量的企业之间的竞争。经济学家将这种模型称为古诺竞争模型（Cournot competition model）。
14 . 罗斯-伊雷夫学习模型是通过以下公式更新第t 期中的备选方案k 的权重W （k ，t ）的：W （k ，t +1）=（1-r ）×W （k ，t ）+Δ（k ，t ，e ）。参数r 是一个新近度参数（recency parameter）。如果行动k 被选中，那么Δ（k ，t ，e ）=（1-e ）×收益（k ，t ）；如果行动k 没有被选中，那么Δ（k ，t ，e ）=e ×收益（k ，t ）。参数e （实验参数）决定了未被选中的备选方案的权重。
15 . Camerer&Ho, 1999.
16 . 这个分析紧密追随了贝德纳和佩奇（2007，2018）的思路，并借鉴了格雷夫（2006）的模型。贝德纳和佩奇强调了初始行动对于均衡的涌现的重要性，而格雷夫则更侧重于信念的作用。也请参见：Gilboa&Schmiedler, 1995.他们提出了基于案例的决策理论。另外，关于身份在经济选择中的作用，请参见：Akerlof&Kranton, 2010.
17 . 为了证明复制者动态的结果，请注意当且仅当以下情况成立时，按文化规范采取行动才会有更高的收益：
（1-B ）×200+B ×220>（1-B ）×180+300B
重新排列各项，得20（1-B ）>80B 。结果得证。
27 多臂老虎机问题
1 . 关于这类问题与经济现象的相关性，请参见：Bergemann&Valimaki, 2008。
2 . Hills et al., 2015.
3 . 欲了解多臂老虎机问题的更多技术细节，以及对各种启发式的详细比较，请参见：Scott, 2010。
4 . 吉廷斯和琼斯（1972）率先描述了这些最优规则。可以将吉廷斯指数重新表述为一个贝尔曼方程（Bellman equation）。贝尔曼方程适用于任何通过一系列选择完成、且每个选择都会产生收益的问题。贝尔曼方程依赖于价值函数的构造。该价值函数的值等于收益序列的总和（其中，未来的收益要根据当前利率进行贴现）。
5 . Roberts, 2004.
6 . 请参见杰克·鲍尔斯（Jake Bowers）等人（2017）对美国农业部农场服务机构小额贷款项目的实验分析。
7 . 数据源于2012年的《华盛顿邮报》，以及Dann, 2016。
8 . 如果他们是在位领导人，那么阿尔·戈尔（Al Gore）、乔治·H. W. 布什（George H. W. Bush）和希拉里·克林顿将会因经济繁荣而获得更大声誉。关于较早期的政治选情与经济景气的关系的分析，请参见：Markus, 1988。关于更晚近的证据，请参见：Fair, 2012。关于候选人与政党效应大小的相关证据，请参见：Campbell、Dettrey&Yin, 2010。
28 崎岖景观模型
1 . 关于多样性的价值的更加深入的阐述，请参见《多样性红利》一书。
2 . 对NK模型更加全面的介绍，请参见：Kauffman, 1993。
3 . 当N =20，K =19时，我们可以推导出局部峰值和全局峰值的期望值。每个属性的贡献均匀分布在区间［0，1］上，其均值为 、方差为 。这个结果只要通过观察均匀分布就可以证明。每个备选方案的价值等于20个属性的贡献的平均值。因此，根据中心极限定理，这些值服从均值为 、方差为 的正态分布。从而，在N =20的情况下，每一个标准偏差的大小为 。然后我们可以估计出局部峰值的平均值：0.609。我们可以认为，从这个分布中随机抽取21次当中最好的那一次就是一个局部峰值。因此，它的期望值等于近似地从正态分布中抽取出来的、使 的备选方案都有较低的值的一个值。它将会比平均值略低两个标准偏差。使用正态分布计算器，可以算出期望平均值等于0.609。为了估计出全局峰值的期望值0.759，我们注意到，全局峰值具有所有220 个备选方案的最高值。每个备选方案可以被视为是从该分布中抽出的一个值，因此其期望值等于近似地从正态分布中抽取出来的、使 的备选方案都有较低的值的一个值。利用正态分布计算器，可以算出该期望平均值等于0.759。全局峰值的值，应该比100万次抽取的最高值还更高。
4 . Wright, 2001.研究认为这些整合重组有助于人类以及人类社会的出现，也有利于这个时代的技术和科学进步。
5 . Kaufman, 1993; Miller&Page, 2007.他们把复杂性描述为“有趣的中间状态”。
6 . 在美国，如果申请专利后获批的时间超过了3年，那么专利保护期为从专利发布日起计算17年。
7 . Boldrin&Levine, 2010.
结语 像芒格一样智慧地思考——多模型思维的实际应用
1 . 根据正文所述的概率，确切的统计均衡是：无痛状态为70.7%，阿片状态为19.5%，上瘾状态为9.8%。而对于第一种情况，相应的百分比则分别为76.3%、21.5%和2.2%。
2 . Wakeland、Nielsen&Geissert, 2015.
3 . 我要感谢艾比·雅各布斯（Abbie Jacobs），她帮助我得到了这个结果。她有所需要的模型和数据。
4 . Wilkinson&Pickett, 2009.
5 . 这是杜尔劳夫在芝加哥大学贝克尔·弗里德曼研究所（Becker Friedman Institute）主办的一次会议上的评论。会议的主题是“了解不平等及其应对措施”，于2015年11月6日举行。
6 . Goldin&Katz, 2008; Acemoglu&Autor, 2011; Murphy&Topel, 2016.
7 . Mas-Colell、Whinston&Green, 1995.
8 . Kaplan&Rauh, 2013a; Jones&Kim, 2018.他们的模型将能力作为企业家创意的可扩展性的代理变量。另请参见：Frank, 1996；该文是关于不同职业中的不平等是如何产生的早期研究。另请参见：Xie、Killewald&Near, 2016。
9 . Ormerod, 2012.
10 . Ormerod, 2012.该文详细描述了日益增强的连通性如何导致了不平等。
11 . Cancian&Reed, 1999; Schwartz&Mare, 2005.
12 . Greenwood et al., 2014.
13 . 估计的结果是0.34而不是0.43。请参见：Greenwood et al., 2014。基尼系数可以衡量收入分布与平均分布之间的距离。令S （P ）表示收入分布中最底部P %的人口所占的总份额（例如，如果位于收入最底部30%的人口获得了总收入的2%，那么S （30）=2，计算出来的基尼系数为：
如果收入是均匀分布的，即 ，那么基尼系数=0。如果所有的收入都归于最顶部的1%，那么对于所有P <100，都有S （P ）=0，且S （100）=1，因此基尼系数=1。
14 . 计算可以按如下过程进行。儿童属于四个类别的概率为（0.6，0.25，0.1，0.05）。这也就是说，高收入者的下一代中60%的人有高收入，中高收入者的下一代中20%的人有高收入，中低收入者的下一代中15%的人有高收入，而低收入者的下一代中只有5%的人有高收入。高收入者的孙子女中有高收入的人的百分比则等于0.6×0.6+0.25×0.2+0.1×0.15+0.05×0.05=0.4275，低收入者的孙子女中有高收入的人的百分比则等于0.6×0.05+0.25×0.1+0.1×0.15+0.05×0.7=0.105。
15 . Pfeffer&Killewald, 2017.
16 . Kaplan&Rao, 2013b.
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