在这里，我们将职业选择建模为一个搜索过程。给定某个行业，一个人尝试某条职业道路。我们将这种行为建模为从一个分布中抽取某个事件。假设，这个人可以坚持这个职业选择或再试一次，再试一次对应于从分布中的另一次抽取。例如，考虑一个有才华的年轻科学家的职业选择。她可以选择去医学院深造，也可以选择去研究量子计算。医学院提供了一条更安全的道路，选择研究量子计算则可能成为一名创业企业家并承担更多风险。为了解释这些差异，我们将医生的工资分布表示为均值25万美元，标准差25 000美元的正态分布，并把量子计算企业家的工资分布表示为指数为3、期望工资为20万美元的幂律分布。 22
再假设，在每个行业内，这位科学家也可以尝试多种职业。也就是说，她可以搜索。医生可以从肿瘤科转入放射科，一个企业家破产后也可以重整旗鼓继续尝试创业。但是每一次转换职业都要付出一定的成本：对于一个医生来说，这意味着要接受更多的培训；对于一个从事量子计算的企业家来说，这意味着需要付出更多的时间去从事没有报酬的工作。
另外再假设，这位科学家认为这两个职业同样有意思，并且会根据薪资水平来做出选择。我们的模型证明，哪种选择更好取决于有多少次尝试新职业的机会。如果她必须坚持自己的第一个职业选择，那么成为一名医生就可以获得更高的期望工资；如果她有足够的资源持续尝试，努力成为一名企业家，那么最终她将从长尾中获得高薪。假设在每个职业中分别进行1次、2次、5次和10次职业搜索，下图显示在20次测试中得到的平均最高工资。如果这位科学家有机会在量子计算初创企业中尝试10次，那么她的薪资将会是她选择进入医学院深造并尝试10个职业后收入的两倍。
如果拥有的财富和家庭的支持与一个人不得不尝试新职业的机会数量相关，那么模型的预测是，更富有的人将选择风险较高的职业。 23 专利证据与我们的模型是一致的。一个人成功申请专利的可能性与他的数学技能相关，数学能力排名前1%的人更容易获得专利。而且在这数学能力排名前1%的人当中，收入排名前10%的家庭的人更有可能拥有专利。 24 至少有两个模型可以解释这种差异：一个模型假设更贫穷且有才华的学生没有上大学的机会，他们可能正在从事日常工作，从未有机会在进入医学院深造还是去研究量子计算之间做出选择，另一个模型则假设更贫穷的学生会选择更安全的职业。
机会的增加可以创造风险激励，这个逻辑可以应用到很多领域。风险资本家经常冒险，因为他们有机会进行多项投资。只要投中了一个独角兽（市值10亿美元以上的公司），不仅可以补偿多次失败的投资，还可以带来很大的利润。研究药物的实验室也愿意承担风险，花费数十亿美元用于药物开发。甚至在决定午餐吃什么时，我们也可以应用同样的逻辑。长途旅行并在某个不熟悉的小镇短暂停留时，我们一般更喜欢选择连锁餐厅用餐；但是，如果真的搬到那个小镇去居住，我们就会尝试多家餐厅。
07 线性模型
是的，我承认我在说谎。但为什么你非要强迫我给出一个线性解释呢！线性解释几乎总是谎言。
埃莱娜·费兰特（Elena Ferrante）
模型通常假定变量之间存在某种特定的函数关系。这种关系可以是线性的，也可以是非线性的，或者可以包括阈值效应。在这些模型中，线性模型是最简单且应用最广泛的。本章的重点就是线性模型。教育对收入的影响、因锻炼而增加的期望寿命，以及收入对选民投票率的影响，都可以用线性模型来解释。
在本章的开头部分，先回顾一下单变量线性函数。然后讲解了如何通过回归将数据与线性函数拟合，并揭示各种效应的符号、大小和显著性。我们还讨论了为什么误差、噪声和异质性意味着数据不会全部落在回归线上。接着，我们扩展了线性模型以容纳更多的变量，并讨论了如何拟合多元线性模型。为了建立多变量模型的直觉，我们将成功建模为技能和运气的线性函数。本章的结尾部分总结了如何依靠数据和回归指导行动、减少错误，但是这样做也可能会导致边际行为，进而导致保守的行为。确实，“唯大系数论”思维可能会扼杀创新。为了确定更多的创新项，我们可能需要考虑构建其他更具推测性的模型。
线性模型
在线性关系中，由于第二个变量的变化而导致的第一个变量的变化量不依赖于第二个变量的值。假设树木的高度与树木的年龄呈线性关系，那么树木每年生长的高度相同。假设房子的价值随它的面积（平方米）线性增加，那么房子面积扩大200平方米所带来的房子价值的增量，等于房子面积扩大100平方米所带来的房子价值增量的两倍，400平方米的扩大使房子的价值增加了4倍。
线性模型
在线性模型中，自变量x 的变化，会导致因变量y 的线性变化，用如下方程表示：
y =mx +b
其中，m 等于直线的斜率，b 等于截距，即当自变量等于0时的因变量值。
线性回归模型的目标是找到能够最小化到各数据点的直线。线性回归可以解释犯罪、洗衣机销量，甚至可以解释葡萄酒价格的变化。 1 假设我们找到了一组年龄介于20岁到60岁之间的成人的年龄数据以及他们每个星期走路的距离，可以发现如下回归方程：
第i 个人步行的英里数=-0.1×年龄 i +12+ε i
这个回归方程不仅告诉我们这种效应的符号（距离随年龄的增长而减少），还告诉我们这种效应影响的大小（年龄每增加1岁，距离减少1/10英里）。在这个例子中，截距并不重要，因为它位于数据范围之外，也就是说，数据原本就不包括年龄接近于0的人。根据这个方程，我们可以预测，一个40岁的人每个星期步行8英里，而50岁的人则每个星期步行7英里。但是，用于产生回归的数据不会全部都落在回归线上。
图7-1显示了用于生成回归线的假想数据。其中灰色圆圈代表的人名叫博比，他40岁了，每个星期步行11英里，比模型估计的要多走3英里。为了使数据与模型一致，我们在方程中给每个数据点增加了一个误差项，用ε表示，等于模型估计值与因变量实际值之间的差异。博比的误差项等于+3英里。
图7-1 散点图和回归线
在社会环境和生物环境中，我们不能期待会有完美的线性拟合。结果通常取决于多个变量，但是根据定义，单变量回归只能包含一个变量。由于这些被省略的变量，预测值可能会偏离实际值。博比走的路可能要比预期更多，因为作为植物学教授，他要带他的学生到树林里采集标本。这个模型没有把职业作为一个变量，但是职业有助于解释为什么图7-1中的数据点没有落在回归线上。ε项也可能由测量误差引起。如果人们忘记随身携带智能手机，或者将智能手机借给他人，那么利用智能手机收集的健身数据就会包含误差。此外，环境噪音也可能导致误差，比如人们可能会因为坐在颠簸的汽车上而获得额外的步行里程。 2
回归线越靠近数据，模型解释的数据越多，R 2 就越大（得到解释的百分比越大）。如果数据全部都恰好位于回归线上，R 2 就等于100%。
符号、显著性和大小
线性回归可以告诉我们关于自变量系数的如下内容：
符号： 自变量与因变量之间的正相关或负相关。
显著性（ p值）： 系数上非零符号的概率。
大小： 对自变量系数的最佳估计。
在单变量回归中，回归线与数据拟合得越好，我们对系数的符号和大小就越有信心。统计学家使用p 值来表示系数的显著性，p 值等于基于回归的系数不为零的概率。p 值为5%意味着数据由一个系数等于零的过程生成的概率为1/20。显著性的标准阈值是5%（通常用*表示）和1%（通常用**表示）。但是，显著性并不是我们唯一关心的东西。一个系数可能是显著的，但是却很小。如果真的是这样，就可以对相关关系很有信心，但是变量的影响其实不大。又或者，也可能系数虽然不显著但却很大，这通常发生在有噪声数据或数据带有许多遗漏变量的情况下。
为了阐明如何利用回归来指导行动，不妨想象一下这样一家销售香料的公司。该公司供应超过100种香料。客户会购买包含6种、12种或24种香料的包装。客户下单后，员工负责包装和运输。将每8小时的班次的订单数量作为员工工作年限的函数进行回归，结果如下：
完成的订单数=200+20 **×工作年数
在上面的方程中，工作年数前面的系数20的显著性水平为1%。我们可以确信它是正的。如果这种关系是因果关系，那么这个模型就可以用来预测每个员工每个班次可以完成的订单数量（作为工作年数的函数），还可以使用这个模型来预测某个在职员工明年可以完成的订单数量。在这里，有一个模型的实例，既可以给出预测，也可以指导行动。
相关关系vs. 因果关系
回归所揭示的是变量之间的相关关系，而不是因果关系。 3 如果先构建了某个模型，然后用回归检验模型的结果是否得到数据的支持，但那也不能证明因果关系。但是，在我们能够用回归发现显著的相关性之前，有一种方法远比回归方法好，这种方法就是通常所称的“数据挖掘”（data mining）。但是，数据挖掘存在识别与其他因果变量相关的某个变量的风险。例如，数据挖掘可能会揭示维生素D的水平与身体总体健康程度之间存在显著的正相关关系。人们多晒阳光有利于吸收维生素D，因此这种效应可以归于生活方式更积极的那些人在户外度过的时间更长，从而健康状况更好。或者回归可能会发现，某个大学的学术表现与参加马术队的学生人数存在显著相关。但是，马术队与学术水平之间可能并不存在直接的因果关系，但它们与平均家庭收入和学校资助水平相关。
数据挖掘还可能导致虚假的相关关系，即两个变量只是偶然相关。我们可能会发现，名字较长的公司可以获得更高的利润，或者居住在比萨店附近的人更容易患流感。事实上，使用5%的显著性水平阈值，每检验20个变量就会发现有一个是显著的。因此，如果尝试足够的变量，肯定会发现某些显著但虚假的相关性。
我们可以通过创建训练集（training set）和检验集（testing set）来避免报告虚假相关。在训练集上发现的相关性，如果也存在于检验集上，就更可能是真实的。但即便是这样，我们仍然无法保证那就是因果关系。为了证明因果关系，还需要进行一个实验来操纵自变量并观察因变量是否会随之发生变化，或者也可以想办法找到可以证明这类因果关系的自然实验。
多元线性模型
大多数现象都有不止一个因果变量和相关变量。一个人的幸福可以归因于身体健康、婚姻美满、子女、宗教信仰和财富等。一栋房子的价值取决于室内面积、庭院大小、浴室数量、卧室数量、建筑类型以及当地学校的质量等。在解释房子价值的时候，可以把所有这些变量都包含在回归中。但是必须记住，随着添加更多的变量，也就需要更多的数据，不然无法得到显著的系数。
实力-运气方程
在讨论多元回归之前，先引入迈克尔·莫布森（Michael Mauboussin）的实力-运气方程，以便对多元方程有一个直观的认识。 4 这个方程说的是，任何成功，无论是日常工作中的成功、体育运动上的成功，还是游戏时的成功，都可以视为实力-运气的一个加权线性函数。
实力-运气方程
成功=a ×实力+（1-a ）×运气
其中，a 位于区间［0，1］上，是技能的相对权重。
如果给实力和运气分配适当的权重（也许通过利用现有数据进行回归，可以得到这样的权重），我们就能够运用这个模型来预测结果。例如，假设一家休闲汽车销售公司的经理发现，用销售数量来衡量的成功有很大的运气成分，那么他就会期待回归均值：本月取得了很好业绩的销售人员下个月可能会回到平均水平。然后，这个经理就可以利用这个模型来指导行动了。比如，他不会为了争取一个连续两个月都取得非常不错业绩的销售人员而付出比竞争对手高很多的薪资。相反，如果回归表明运气对成功几乎没有任何作用，那么连续两个月的业绩就可以作为未来业绩表现的一个很好的预测器。在这种情况下，经理就应该为这个最佳销售人员提供有竞争力的报酬。 5
同样的逻辑也适用于CEO薪酬的决定。在那些“运气决定了成功”的行业中，董事会不应该向CEO发放高额奖金。石油公司的利润取决于原油的市场价格，那是一个公司无法控制的变量。因此，一家石油公司的董事会不应该因为某一年公司业绩不错就给CEO发放巨额奖金。相反，广告公司则不然：如果广告公司业绩表现良好，那么给CEO发放巨额奖金就是一件明智的事情。简而言之，要奖励实力，而不要为运气去买单。事实上，那些很成功的公司都不会为运气付出太多。
即便是最简单的模型，例如上面这个实力-运气方程，也能帮助我们得出深刻的见解。进一步思考这个方程可以发现，即便是在那些成功几乎完全取决于实力的环境中，例如跑步、骑自行车、游泳、下棋或网球比赛，如果不同的参赛者之间实力差异很小，那么运气就会在很大程度上决定谁输谁赢。我们可以预期，在竞争最激烈的比赛中，比如奥运会，进入决赛的选手之间的实力差异很小，因而运气就非常重要了。莫布森把这种情况称为“实力悖论”（paradox of skill）。
历史上最伟大的运动员之一迈克尔·菲尔普斯（Micheal Phelpls）可以说同时位于这个悖论的两端。在2008年奥运会的一场决赛中，菲尔普斯在100米蝶泳快结束时仍然落后于米洛拉德·卡维奇（Milorad Cavic）。然而幸运女神眷顾了他，菲尔普斯率先触到了池壁。然而，在2012年奥运会的一场决赛中，菲尔普斯一直领先于查德·勒·克洛斯（Chad le Clos），但是幸运女神这次没有眷顾他，勒·克洛斯率先触到了池壁。菲尔普斯拥有令人难以置信的实力，但是上一次胜利和这一次失败，却都是运气的产物。
多元线性回归
多元线性回归模型拟合了具有多变量的线性方程，当然同样要最小化到数据的总距离。这些方程包括每个自变量的系数。下面的方程反映了这样一个假设的回归输出：学生在数学考试中的成绩，是学生学习的小时数（HRS）、学生家庭社会经济状况（SES）和上“快班”课程的数量（AC）的函数。
数学成绩=21.1+9.2 **×HRS+0.8×SES+6.9 *×AC
根据回归分析的结果，学生每多学习一个小时，数学成绩会提高9.2分。这个系数有两个*号，因此它在1%的水平上显著，这意味着很强的相关性，尽管不是因果关系。这个方程也表明，每参加一个“快班”课程，数学成绩能够提高近7分，这个系数也是显著的，但仅仅在5%的水平上显著。家庭社会经济状况这个变量的取值为从1（低）到5（高），系数也为正，但是与零没有显著差异，因此我们可以认为它可能没有什么因果关系。
有了这样一个（或任何形式的）回归方程，我们就可以预测结果。这个模型预测，如果花7个小时学习，并同时参加一个“快班”课程，数学成绩就能够达到90分左右。这个模型还可以用来指导行动，但必须保持谨慎，因为我们无法推断因果关系。数据表明，花时间学习和参加“快班”课程的学生成绩更好。但是，花时间学习和参加“快班”课程这两个因素也可能没有什么用，因为也许存在选择性偏差（selection bias），那些花更多时间学习、参加“快班”课程的学生，数学成绩可能本来就更好。
即便回归不能说明是什么原因导致数据呈现出来的特定模式，但是至少可以排除其他解释。以美国种族之间的巨大财富差距为例：2016年，白人家庭的平均财富（约11万美元）是非洲裔美国人家庭和拉美裔美国人家庭的10倍。各种各样的原因都可以用来解释这种差距，包括制度因素、收入差距、储蓄行为差异或结婚率差距等。回归可以为其中一些解释提供支持并排除其他解释。例如，回归分析表明，非洲裔美国人的婚姻状况与家庭财富之间没有显著关系，因此婚姻状况不能成为这种财富差异的原因。此外，收入差距虽然相当大，但是也不足以解释这种财富差距。 6
大系数与新现实
如前所述，线性回归模型在科学研究、政策分析和战略决策中都发挥着重要作用，部分原因是因为线性回归模型容易估计和解释。而且，随着数据可得性的不断改善，线性回归模型得到了更广泛的应用。“要信只信上帝，要认只认数据”（In God we trust. Everyone else must bring data.）这句话在商界和政界都可以经常听到。对数据的这种依赖（通常意味着线性回归模型），可能会导致我们过于倾向边际行动（marginal action），远离重要的新思想。企业、政府或基金会，都致力于收集数据，拟合线性回归模型，试图找到有最高统计显著性系数的变量，这种努力几乎肯定会导致调整该变量并获得边际收益的行为。
在采取行动的时候，最好选择具有较大系数的变量，而不要选择具有较小系数的变量。与此同时，“大系数至上”这个思路建立在“保守主义”的基础上，它会使我们将注意力集中到较小的改进上，而无法再关注全新的政策。“大系数至上”的另一个问题是大系数的大小对应于给定现有数据的边际效应。正如我们在下一章中会阐述的，通常这种效应将会随着变量值的增大而减少。如果确实是这样，那么当我们试图利用它时，大系数就会变小。
大系数与新现实
线性回归揭示了自变量与我们感兴趣的（因）变量之间的相关程度。如果这种相关是因果关系，那么具有大系数变量的变化就会产生很大的影响。基于大系数的政策在保证能够带来改进的同时，排除了涉及更多根本性变化的新现实。
“大系数至上”思维方式的替代者是“新现实思维”。如果说，大系数思维可以拓宽道路、建造高利用率的车道以减少交通拥堵，那么新现实思维就相当于建造了铁路和公共汽车系统。大系数思维为低收入家庭的学生购买计算机提供补贴，新现实思维则直接为每个人都提供了计算机。大系数思维改变了飞机上座位的宽度，新现实思维则创造了一个使用可互换吊舱的飞机机舱。大系数思维已经相当不错了，因为基于证据的行为是明智的，但我们也必须同时关注重要的新思想。当我们遇到重要的新思想时，可以用模型去探究它们是否可行。对青少年交通事故的回归也许会告诉我们，年龄的系数是最大的，这意味着提高驾驶年龄的政策也许能起到一定作用。还可以采取更多的政策，例如禁止夜间驾驶的宵禁、通过智能手机自动监控青少年驾驶员或限制青少年驾驶汽车的乘客数量等。这些新现实政策带来的效果可能比大系数带来的要好。
小结
总而言之，线性模型需要假定效应大小不变。线性回归为我们对数据进行第一轮加工提供了一个强大的工具，有了它，我们能够识别出变量的符号、大小和显著性。如果我们希望了解咖啡、酒精或苏打水对健康的影响，就可以进行回归分析。我们可能会发现，喝咖啡会降低心血管疾病的风险，适量饮酒也有同样的效果。这也就是说，在现有数据范围之外推断线性效应时必须非常小心。我们绝对不能推断，喝30杯咖啡、6瓶葡萄酒会是个好主意。我们不应该用线性模型对过于久远的未来进行预测。从1880年到1960年，加利福尼亚州的人口增长率为45%，如果进行线性预测，那么我们将会预测2018年加利福尼亚州的人口会达到1亿人，但这超出了实际人口水平的两倍。
请记住，线性模型只是一个开始，大多数有趣的现象都不是线性的。因此，回归模型通常会包括非线性项，例如年龄的平方、年龄的平方根，甚至包括年龄的对数。为了解释非线性，我们还可以将线性模型首尾相连，这些连接起来的线性模型可能近似于曲线，就像我们可以使用直边的砖块来砌出弯曲的路径一样。虽然线性可能是一个强大而不切实际的假设，但是它至少提供了一个很好的起点。在给定了数据的情况下，可以使用线性模型来检验我们的直觉判断。然后，我们可以构建更精细的模型，其中变量的影响会随着它的增加（收益递减）或变得更强大（正回报）而减弱。这些非线性模型正是下一章要研究的重点。
对数据的二元分类
在当今这个大数据时代，组织普遍使用根据模型建立的算法对数据进行分类。政党可能想要了解哪些人投了谁的票，航空公司可能想知道常客的特点，某项活动的组织者可能想要了解哪些人会参加这项活动。在所有这些情况下，它们所使用的方法都将相关的人分成了两组：一组是“正”的（+），也就是购买了、贡献了、注册了的人；另一组是“负”的（-）。
分类模型应用算法根据人们的年龄、收入、教育水平或在互联网上花费的时间等性质，将人划分为不同的类别。不同的算法意味着不同的属性与结果之间关系的基础模型。应用多种算法，也就是使用许多模型，能够产生更好的分类。
线性分类： 在图a中，“正”（+）代表参加投票的人，“负”（ -）代表没有参加投票的人。在此基础上，可以用一个反映人们年龄与教育水平的线性函数来对某个人是否会参加投票进行分类。数据表明，受过更多教育的人更有可能去投票，同时年龄大的人也更有可能去投票。在这个例子中，图中的直线近乎完美地实现了分类。 7
图a 用线性模型对投票行为进行分类
非线性分类： 在图b中，“正”（+）代表航空公司的常客（每年飞行超过1万英里的旅客），“负”（ -）代表航空公司的所有其他旅客。中年人和收入更高的人更有可能乘坐飞机旅行。要对这些数据进行分类，需要先利用某个深度学习算法（如神经网络算法）找到一个非线性模型。神经网络模型包含多个变量，因此它们几乎可以拟合任何曲线。
图b 用非线性模型对航空公司的常客进行分类
决策树森林： 在图c中，“正”（+）表示参加科幻大会的人，基于他们的年龄和每个星期花在互联网上的小时数。在这里，我们使用了三棵决策树对数据进行分类。决策树根据各种属性不同的条件组合进行分类。图中显示的三棵决策树分别为：
决策树1：如果年龄<30岁
且每个星期花在互联网上的小时数介于［15，25］岁之间
决策树2：如果年龄介于［20，45］岁之间
且每个星期花在互联网上的小时数>30
决策树3：如果年龄>40岁
且每个星期花在互联网上的小时数<20
图c 用决策树森林对会议参与者进行分类
树木的集合称为森林。机器学习算法会在一个训练集上随机构造出树，然后将那些在检验集上准确分类的树保存下来。
08 非线性模型
讨论非线性科学，就类似于讨论无大象的动物学。
约翰·冯·诺伊曼
在本章中，我们介绍非线性模型和非线性函数。非线性函数可以向下或向上弯曲，可以形成S形，还可以扭结、跳跃和波动。在下文中，我们将会讨论到所有这些可能性。现在先从依赖于凸性和凹性的模型开始讨论。我们阐明了增长和正反馈是如何产生凸性的，收益递减和负反馈又是如何产生凹性的。在绝大多数学科中，都包含了这两类模型。
关于生产的经济学模型假设交货期和库存成本会随着企业规模的增大而减少，从而使每单位产品的销售利润成了企业规模的一个凸函数，这也就解释了为什么沃尔玛能够获得如此高的利润。 1 关于消费的经济学模型则假设效用（或价值）是凹的，也就是说，第5块比萨带给我们的享受比第1块比萨小。在一个生态系统中，当一个新物种入侵并无须面对任何天敌时，其“人口”会以恒定的速率增长，这就产生了一个凸函数。但是随着“人口”的增长，它们的食物就会减少。因此，作为种群规模函数的适合度（fitness）是凹的。
本章由三个部分组成。第一部分讨论凸函数，包括了人口增长和衰退模型。第二部分讨论凹函数。在这一部分中，我们将会看到凹性意味着风险规避和对多样性的偏好。在第三部分中，我们研究了一系列经济学中的增长模型，它们结合了凹函数和线性函数。
凸函数
凸函数的斜率是递增的：函数值随度量值的增加而增加。例如，在一个人群中，可能结成的“对”的数量是这个群体人数的凸函数。一组3人，可以结成3个不同的“对”；一组4人，可以结成6个不同的“对”；一组5人，则可以结成10个不同的“对”。群体规模每增大一些，都会导致“对”的数量有更大的增加。与此类似，每一次，当厨师增加了一种新的香料时，他可以使用的香料组合数量就会增加很多。
我们要讨论的第一个凸函数模型是指数增长模型（exponential growth model），它描述的是一个变量的数量（通常是指人口或资源）与它的初始值、增长率和周期数之间的函数关系。
指数增长模型
时间t 的资源值V t ，其初始值为V 0 ，且以速率R 增长，可以写成如下方程：
V t =V 0 （1+R ）t
这个单方程模型在金融、经济、人口、生态以及技术等领域中都发挥着核心作用。当我们把它应用于金融问题时，这里的变量就是货币。利用这个方程，我们可以计算出，年利率为5%时1 000美元债券在一年后的价值会增加50美元，而到第20年将增加100多美元。为了得出清晰的推论，我们假设增长率固定不变。根据这个假设，可以利用指数增长方程推导出72法则（Rule of 72）。
72法则
如果一个变量在每个周期内以R （增长率小于15%）的百分比增长，那么下面提供了一个很好的近似：
72法则量化了最高增长率的累积效应。1966年，津巴布韦的人均国内生产总值为2 000美元，是博茨瓦纳的两倍。但是在接下来的36年里，津巴布韦几乎没有增长，而博茨瓦纳的年平均增长率则达到了6%，这意味着博茨瓦纳的人均国内生产总值每12年就会翻一番。于是在36年中，博茨瓦纳的人均国内生产总值翻了三番（增加了8倍）。因此，到了2004年，博茨瓦纳的人均国内生产总值达到了8 000美元，相当于津巴布韦的4倍。
同样是这个公式，还揭示了为什么房地产泡沫必定会结束而技术进步则不会。2002年，美国的房价上涨了10%。这个增长率意味着每7年翻一番。如果这种趋势一直持续35年，那么美国的房价将会翻五番，即增长32倍。这也就是说，一栋在2002年价格为20万美元的房屋在2037年将上涨到640万美元。当然，价格不可能一直这么涨下去，泡沫必定会破灭。与此不同，摩尔定律（Moore's law）则指出，可以安装在一块集成电路上的晶体管数量每两年会增加一倍。摩尔定律之所以持续存在，是因为用于研发的投入带来了近乎恒定不变的进步速度。
人口学家则用指数增长模型研究人口问题。如果每年增长6%，那么人口在12年内就会翻一番，在36年内会翻三番，在100年内则会翻八番，即增长256倍。早在1798年，英国政治经济学家、人口学家托马斯·马尔萨斯（Thomas Malthus）就观察到了人口数量呈指数增长的现象，并在给出的一个模型中指出，如果经济体生产粮食的能力是呈线性增长的，就会出现粮食危机。短期的变化如下：人口增长模式为1、2、4、8、16、32……；而粮食生产的增长模式则为：1、2、3、4、5……。马尔萨斯预测，灾难很快就会发生。幸运的是，出生率不久之后就下降了，工业革命的到来也极大地提高了生产率。如果这两件事情都没有发生，那么马尔萨斯的预测应该是正确的。关键是，马尔萨斯忽视了创新的潜力。本章下面将要给出的模型重点就是创新，它颠覆了马尔萨斯担心的趋势。
指数增长模型也可以用于研究物种的增长，当然不仅仅适用于兔子。当你受到细菌感染时，那些肉眼不可见的细菌会以极高的速度繁殖。人类鼻窦中的细菌每分钟都在以4%的速度增加。应用72法则，我们可以计算它们每20分钟就会翻一番。一天之内，每个初始细菌都会繁衍出超过10亿的后代。 2 当然，由于鼻窦的物理空间有限，它们不可能一直繁殖，没有空间时增长就会停止。食物的限制、天敌的存在、生存空间的缺乏，都会减缓增长。有些物种，例如生活在美国郊区的鹿，或者被毒枭巴勃罗·埃斯科巴（Pablo Escobar）带入哥伦比亚的河马，虽然繁殖速度远远不如细菌，但是由于受到的限制很少，它们的种群迅速增大。 3
具有正斜率的凸函数会以递增的值增加，具有负斜率的凸函数就会变得不那么陡峭，也就是说，最初具有较大负斜率的凸函数将逐渐走平。半衰期模型（half-life model）中的方程就是如此，这个模型可以用来刻画分解、折旧和遗忘。
在半衰期模型中，每H 周期，数量就会衰减一半。因此，我们把H 称为该过程的半衰期。对于某些物理过程，半衰期是恒定的。所有有机物都包含两种形式的碳：不稳定的同位素碳-14，以及稳定的同位素碳-12。在活的有机物中，这些同位素是以固定比例存在的。当有机体死亡后，体内的碳-14开始分解，其半衰期为5 734年，碳-12的数量则不会改变。美国物理化学家威拉德·利比（Willard Libby）意识到，通过测量碳-14与碳-12的比例，就可以估计化石或人工制品的“年龄”，这种技术被称为放射性碳年代测定法（radiocarbon dating）。现在，古生物学家已经将放射性碳年代测定法应用于测定恐龙、猛犸象和史前鱼类遗骸的年代了。考古学家则用这种方法来判断古生物的真伪。利用这种方法，考古学家估计，在意大利阿尔卑斯山发现的冰人“奥茨”（?tzi）的遗骸有5 000年的历史。而于1357年首次出现在公众眼前的“都灵裹尸布”则被认定为是14世纪的物品，而不是某些人所声称的用于耶稣基督葬礼的那一块。
半衰期模型
如果每H 周期，剩余数量的一半会衰减，那么在t 周期后，剩余的比例为：
半衰期模型的一个新应用是在心理学中。早期的心理学研究表明，人们几乎以接近固定不变的速度忘记信息。人们记忆的半衰期取决于事件的显著性。 4 2016年，电影《聚焦》（Spotlight ）获得了奥斯卡最佳影片奖。假设，人们对奥斯卡获奖记忆的半衰期为两年，那么到了2018年，有1/4的人会记住这一事实；但是到了2026年，将只有1/1024的人还会记得这件事情。但对任何特定事件的回忆因人而异，对《聚焦》的导演汤姆·麦卡锡（Tom McCarthy）来说，他可能永远不会忘记他是哪一年获得奥斯卡奖的。
凹函数
凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每个额外东西所能带来的价值会越来越少。几乎所有商品的效用或价值都呈递减趋势。闲暇越多、金钱越多、冰激凌越多，甚至与爱人共度的时光越多，对我们的价值就越小。一个直观的证据源于如下事实：包括巧克力在内，对任何事物的消费越多，我们就会越不觉得享受，同时愿意为它付出的代价也就越少。 5
收益递减可以解释很多现象，包括为什么异地恋往往能够带来很大的幸福感。如果你每月只能与你的伴侣相聚几个小时，那么每多一分钟都是一个莫大的惊喜。而在一个月不间断的相处后，幸福曲线的斜率就会变平，从而额外增加的相聚时间就变得不那么重要了。 6 同样的逻辑也可以解释为什么房地产开发商喜欢邀请人们在周末免费去他们的海滨公寓。在短暂的周末，你无法在海滩上享受足够长的时间，你会很想把房子买下。相反，如果让你在海滩上连续待上十天半个月，你可能就会觉得无聊。
当我们假设了凹性时，也就隐含地假设了对多样性和风险规避的偏好向。要证明前者，只需要给出一个有多个参数的凹函数就可以。如果人们的幸福曲线是凹性的，而且闲暇和金钱都在增加，那么人们就会更偏好休闲和金钱的组合，而不怎么喜欢只有金钱、没有闲暇或只有闲暇、没有金钱。而风险规避则意味着更偏好确定的有把握的事情而不怎么喜欢彩票，也就是不确定的事情。例如，一个厌恶风险的人会更喜欢得到100美元，而不是只有一半机会得到200美元，另一半机会什么也得不到。一个厌恶风险的人也更喜欢双层冰激凌甜筒，而不怎么喜欢要么没有冰激凌、要么可以得到四层冰激凌。
图8-1说明了为什么凹性就意味着风险规避。这幅图描绘了3种结果的幸福价值（幸福感）：高结果（H ）、低结果（L ），以及前两种结果的平均值（M ）。给定形状向下的曲线，平均结果的幸福感会超过低结果和高结果的平均幸福感。凸函数情况下则相反。凸性意味着风险爱好：我们更喜欢的是极端值，而不是平均值。可以购买的股票数量是其价格的一个凸函数，因此，股票买家更喜欢价格波动。如果价格不断上涨和下跌，买家最终能够获得的股票比价格保持不变时获得的更多。 7
图8-1 风险规避：平均价值>价值的平均
经济增长模型
接下来，我们将构建一系列经济增长模型。这些模型不仅揭示了增长的原因，还可以解释和预测各国的增长模式，还可以指导例如提高储蓄率等的行为。为了给对增长模型的研究奠定基础，我们先引入一个标准的经济生产模型，其中产出取决于劳动和实物资本。经验证据和逻辑都支持产出是劳动力和资本凹函数的假设。保持固定资本，随着投入的劳动力的增加，劳动力的价值应该变得越来越低。同样，在保持工人数量不变的情况下，添加更多的机器或计算机会增加更少的价值。逻辑推理还表明，产出应该是线性的，工人数量和资本总额翻番应该能使产出翻番。这就是说，一家拥有60名工人和一栋厂房的扫帚生产企业，在新建了一栋同样大小的厂房并多雇用了60名工人后，它的产出肯定应该翻番。柯布-道格拉斯模型（Cobb-Douglass model）是经济学中使用最广泛的模型之一，它同时包括了这两种性质。产出是劳动力和资本的凹函数，而且从规模上看是线性的。这个模型既可以应用于单个企业，也可以应用于行业或整个经济生产。 8
柯布-道格拉斯模型
给定L 个工人和K 个单位资本，总产出如下所示：
产出=常数×L a K （1- a ）
其中a 是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。
接下来，我们利用柯布-道格拉斯模型来构建经济增长模型。简化起见，我们假设经济体中有10 000名工人，并暂且不考虑工资和价格，这使我们能够专注于分析机器数量的变化是如何影响总产出的。然后，将资本投资与增长联系起来。为了使模型尽可能简单，再假设只生产一种商品——椰子。椰子含有丰富的椰汁和椰奶，可以作为食物。然而，椰子长在高高的树上，所以工人需要使用某种机器才能把它们摘下来。接下来，再做出一个非常不现实的假设，即机器本身也是用椰子制成的。这样可以简化模型，同时也保持了当前消费与未来投资之间的关键权衡。作为柯布-道格拉斯模型的一个特例，我们将生产函数写为工人数量的平方根乘以机器数量的平方根，即：
如果经济体中只有一台机器，那么产量等于100吨。如果人们消费掉了所有100吨椰子，就不能投资制造新机器了，从而明年的产量将保持不变，也就是经济没有增长。如果他们投资1吨椰子制造了第2台机器，产量将增加到141吨，增长率为41%。如果他们制造了第3台机器，那么产量将增加到173吨。 9 通过不断地投资，经济增长率却逐渐下降，因此产出是一个凹函数。
我们已经大体知道投资是如何推动增长的。现在可以构建一个包含投资规则的更加精细的模型。假设投资等于储蓄率乘以产出，并假设机器按某个不变的折旧率折旧。例如，到了年底，不能再用的机器数量等于机器总数的某个固定比例。然后就可以得出，下一年的机器数量等于上一年的机器数量加上新投资的机器数量，再减少因折旧而减少的机器数量。于是，这个完整的简单增长模型由4个方程组成。
简单增长模型
产出函数：
投资规则： I （t ）=s ×O （t ）
消费-投资方程： O （t ）= C （t ）+I （t ）
投资-折旧方程： M （t +1）= M （t ）+I （t ）-d ×M （t ）
其中，O （t ）=产出，M （t ）=机器，I （t ）=投资，C （t ）=消费，s =储蓄率，d =折旧率。
假设这个经济体中有100台机器，储蓄率为20%，折旧率为10%，产量等于1 000吨椰子，消费量等于800吨椰子，新投资200台机器。再假设，因折旧而损失的机器为10台，也就是在新的一年开始时将有290台机器。通过类似的计算可知，在第2年，产出将增长为1 702吨，而第3年的产出则将为近2 500吨。 10 由此可见，在这前3年，产出以递增的速度在增长。但是这种凸性只会在前几年出现，原因是机器的初始数量很少，因而折旧几乎完全不会产生任何影响。
