随着时间的推移，机器数量的增加和折旧开始变得十分重要。从长远来看，产出的增长将完全停止（图8-2）。只要分析一下模型，就可以找到原因。投资是线性的，因为增加的新机器的数量是随产出呈线性增加的，同时产出则是机器数量的凹函数。因此，随着经济的增长，投资与机器数量的关系也是凹性的。然而，折旧与机器数量之间却是线性关系。最终线性折旧会赶上产出的凹性增长。
图8-2 简单增长模型中前100年的产出
在经济的长期均衡中，投资的新机器数量等于折旧损失的机器数量。在这个简单增长模型中，当经济体拥有40 000台机器并生产20 000吨椰子时，这种长期均衡就会出现。在这一点上，经济体在新机器上投入了20%的产出或4 000吨椰子，恰恰等于因折旧而损失的机器数量，也就是40 000台机器当中的10%。因此，因折旧而损失的机器数量等于通过投资和停止增长所创造的新机器数量。 11
索洛* 增长模型
现在构建一个更一般的模型，它是索洛增长模型（Solow Growth Model）的简化，因此我们在索洛后加了一个星号 。我们用实物资本取代机器，并将劳动力视为一个变量。此外，还添加了一个技术参数，它可以线性地增加产出。创新会使这个参数增大。与简单增长模型一样，当投资等于折旧时，长期均衡就会出现。不过，在这里，人们认为均衡时的产出水平取决于劳动力数量和技术参数，以及储蓄率和折旧率。 12
索洛 * 增长模型
经济体中的总产出由以下方程给出：
其中，L 表示劳动量，K 表示实物资本量，A 表示技术水平。长期均衡产出O * 由下面的方程给出： 13
长期均衡产出随劳动力数量的增加、技术的进步、储蓄率的提高而增加，同时随折旧率的上升而下降。这些结果都不足为奇。更多的工人、更先进的技术和更多的储蓄理应可以增加产出，更快的折旧理应减少产出。但是，产量随着劳动力数量的增加和储蓄率的提高而线性增长这个事实却着实令人惊讶。劳动只能带来递减的收益，因此如果不考虑模型，我们可能会预测长期产出与劳动力数量之间是凹性关系。但是，随着劳动力数量的增加，产出也会增加，投资也会增加，进而带来更高的产出。从长远来看，投资的正反馈恰好抵消了收益递减。均衡产出与折旧率之间的关系是凸性的，折旧率降低20%可以使产出增加25%。
长期均衡产出也会随技术改进的平方而增加。因此，创新增加的产出要比线性增长更快。我们可以使用这个模型来了解其原因。如果从一个长期均衡的经济体开始，并将技术参数提高50%，那么产出将会增加50%，投资也将增加50%。然后投资超过了折旧，经济继续增长，投资将继续超过折旧，直到经济再增长50%为止，在这一点上，因折旧而造成的资本损失抵消了投资。这个计算过程揭示了创新乘数（innovation multiplier）的存在，创新有两个效应。首先，创新直接增加产出；其次，创新间接导致更多的资本投资，从而导致产出再次增加。因此，创新是持续增长的关键。 14
需要注意的是，产出的这些增加不是瞬间发生的。当技术出现了一个突破时，技术参数的变化是相当缓慢的。直接效应的影响需要随着时间的推移显现。旧的实物资本必须被新技术的新实物资本所取代。当计算机技术进步刚刚发生时，一般企业的计算机不会马上变得更快，只有当技术发生了变化并且企业购买了新计算机之后，它们才会变得更快。实物资本投资增加导致的二阶增长则会发生在更长的时间范围内。技术与技术对增长的影响之间的滞后，可能意味着创新在出现后的几十年时间内都会导致增长。火车是在19世纪早期发明的，但是镀金时代（Gilded Age）并没有马上开始，直到19世纪的后半期才到来，这是一个长达50多年的“时滞”。另一个例子是，在阿帕网（ARPANET）出现整整30年后，互联网才开始步入繁盛期。 15
国家缘何成功与失败
我们还可以将增长模型应用于一系列重大政策问题，例如，落后国家是否可以赶上发达国家？为什么有些国家取得了成功而有些国家却失败？政府在促进增长方面能够发挥什么作用？这些研究揭示了增长模型的价值和局限性。为了便于说明，不妨从低国内生产总值的国家实现快速增长的能力开始讨论。模型证明，资本积累可以实现快速增长，技术投资也可以。一个实物资本较少的落后国家，有可能通过新的资本投入进入技术前沿，从而实现难以置信的高速增长。 16
创新对长期增长来说是必不可少的，这种必要性也意味着一次性进口新技术有很大的局限性，而持续增长需要创新。
这些模型也表明，攫取和腐败，也就是政府将经济体的产出挪用于政府开支，会减少储蓄，进而削弱增长。对经济增长率的跨国比较研究的结果支持以下这些观点：减少攫取和腐败以及促进创新，都能推进经济增长。实现这些目标，需要一个强大但有限的中央政府来促进多元化。强大的中央政府能够保护产权、贯彻法治。多元主义能够阻止精英的俘虏，精英往往更喜欢现状，可能不会接受创新，因为创新往往可能具有很大的破坏性。
举一个破坏性创新的例子：克雷格列表网（Craigslist）。用户可以自行在这个网站上发布待售和求助广告。在21世纪初，克雷格列表网导致美国平面媒体行业失去数十万个工作岗位，但其实在那个时候，克雷格列表网本身只雇用了几十名员工而已。虽然许多人失去了工作，但是克雷格列表网通过增加技术参数使整体经济更有效率。而在一个多元化程度较低的社会中，平面媒体行业可能会游说政府禁止克雷格列表这样的网站。很显然，这样做将会减缓经济增长。
中国的经济优势
线性模型 +72法则 ：从1960年到1970年，日本的国内生产总值以每年10%的速度增长。根据线性模型的预测，连年10%的增长，会使日本经济每7年翻一番（运用72法则）。1970年，日本人均国内生产总值约为2 000美元（以当前美元计）。如果这种增长趋势持续下去，那么到2012年，日本的人均国内生产总值将会翻六番，也就是说，人均国内生产总值将达到128 000美元。
增长模型 ：增长模型对日本经济增长的解释为实物资本投资的结果。这个模型还预测日本经济增长在一段时间内将会是凹性的。具体来说，这个增长模型的预测是，当日本的国内生产总值接近美国和欧洲时，日本的经济增长率会降低到1% ～2%的跨国平均值。 17 证据支持这个预测。从1970年到1990年，日本国内生产总值的年 增长率大约为4%。但是从1990年到2017年，它的增长率仅为1%或更低。
中国的增长 ：从1990年到2010年，中国国内生产总值的增长率接近10%。2016年，中国的人均国内生产总值达到了8 000美元左右；正如增长模型预测的那样，增长速度已经放缓了。从2013年至2017年，增长率接近6%。同样，在中国，10%的增长率不可能一直持续下去，这与72法则相悖。如果中国经济在整个21世纪一直保持10%的增长水平，那么到这个世纪结束时，中国的人均国内生产总值将会超过1亿美元。
这毕竟是一个非线性的世界
之所以要构建非线性模型，是因为我们感兴趣的现象很少是线性的。在本章中，我们看到收益递减和收益递增是许多经济、物理、生物和社会现象的共同特征。我们还看到，在模型中包含曲率是有重要含义的。也许最重要的是，我们看到了函数形式能够影响我们的思维，用函数拟合数据有助于做出精确的表述。科学家可以使用碳-14数据来计算人工制品的年龄，经济学家还可以估计经济小幅增长的长期影响。
本章的一个核心结论是，一旦包括了非线性，直觉就变得不够用了。直觉可以告诉我们影响的方向：储蓄的增加、劳动力的增加和技术创新可以加快增长。模型还揭示了这些影响的形状和形式。正如我们所料，储蓄具有线性效应。从长远来看，劳动力的增加也是如此，即便模型假设短期收益递减。创新的增加还会产生乘数效应，我们对这种效应取其平方。第一个增长是创新的直接影响，产出的第二次增长则来自资本的增加。
在模型的帮助下，这些见解会变得很清晰。如果没有模型，我们通常可以推断出上升和下降的内容，但缺乏对功能关系形式的理解。我们会倾向于以线性的方式来思考，从而得出日本的经济将很快成为世界霸主的结论。利用模型，我们可以更好地思考非线性效应。也就是说，本章中介绍的凹函数型和凸函数，在非线性模型的巨大海洋中，只不过是沧海一粟。如果我们希望提高在复杂世界中推理、解释和行动的能力，就需要更深入地研究非线性现象。
09 与价值和权力有关的模型
你的价值不在于你知道了什么，而在于你能够分享什么。
罗睿兰（Ginni Rometty）
在本章中，我们讨论对个体行为者的价值和权力进行量化分析的模型。有些情况很容易处理。当一个群体的总产出等于每个成员个人贡献的总和时，每个人的价值就等于自己的贡献。但是，当集体产出不能分解为单独的组成部分时，例如当一组计算机程序员编写软件程序时，或者当一群创业企业家提出了新技术的某种创造性用途时，要分清每个人的贡献就会很困难。在美国，将权力授予政党时也会出现类似的问题：一方政党控制的议座数量与权力相关，但是这种相关并不是完美的相关。
在本章中，我们定义了度量价值和权力的两个标准。第一个标准是“最后上车者价值”（last-on-the-bus value，简称LOTB），它等于一位行动者在团队已经形成的情况下加入团队时的边际贡献。第二个标准是夏普利值（Shapley value），它等于行动者遍历所有可能的加入团队的序列，加入团队时的边际贡献平均值。例如，在一个由三个人组成的团队中，要求出一位行动者的夏普利值，先要求出他以第一、第二、第三位加入者的身份加入时的边际贡献，再计算平均值。我们是在合作博弈模型的框架下定义这些度量标准的。合作博弈模型由一组博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为每个可能的博弈参与者子集分配一个集体收益。
本章由四个部分组成。在第一部分中，我们定义了合作博弈、“最后上车者价值”和夏普利值，并给出了一些实例。在第二部分中，我们讲述了夏普利值的公理基础，并证明它是唯一能满足四个条件的度量标准。其中有两个条件分别是：对永远不能为团体增加价值的博弈参与者必须赋予零值，所有博弈参与者的价值总和必定等于博弈的总价值。在第三部分中，我们将夏普利值概念应用于执行某个创造性任务的团队。在这里，创造性的团队指每个成员都有新想法的团队。我们将阐明在这种情况下，夏普利值是怎样产生直观的价值衡量标准的。在第四部分中，我们考虑如何将夏普利值方法应用于投票博弈这个特殊情况。我们利用这个概念区分了投票权与投票百分比，结果发现两者之间并不总是一致的。某个拥有20%席位的政党，在这一次投票中可能完全没有权力，但是在另一次投票中却可能得到1/3的总权力。
合作博弈
合作博弈由一组博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为博弈参与者的每个可能的子集（通常称为联盟）分配一个值。合作博弈的目标是刻画集体工作和联合项目。在合作博弈模型中，假设人们都会参与，以便我们可以专注于讨论如何为他们的参与分配价值。
合作博弈
合作博弈由N 个博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为任何子集S ?N 分配一个值V （S ）赋值。这些子集称为联盟。没有博弈参与者组成的联盟的价值等于零，即 。所有N 个博弈参与者的价值V （N ）等于博弈的总价值。
在合作博弈中，一个博弈参与者的“最后上车者价值”等于当他是最后一个加入团队的人时，他所能增加的价值。“最后上车者价值”刻画了边际博弈参与者的价值。如果雇用4个人来搬运一张桌子，假设搬运这张桌子产生的价值为10，并且要4个人一起动手才搬得动，那么每个人的“最后上车者价值”均为10。如果只需要三个人就可以搬动这张桌子，那么每个人的“最后上车者价值”均为零。这里需要注意的是，“最后上车者价值”不一定是博弈的总价值相加。特别是，如果价值函数表现出了规模收益递减的性质，那么“最后上车者价值”的总和将小于博弈的总价值；如果增加的价值表现出了规模收益递增的性质，那么“最后上车者价值”的总和将超过博弈的总价值。
一个博弈参与者的夏普利值，等于他在所有可能加入的联盟的次序下对联盟边际贡献的平均值。换句话说，我们要在想象中按顺序将博弈参与者加入联盟中并计算每个博弈参与者为每个序列增加的价值。例如，考虑一家同时在西班牙和法国运营的小公司，它至少需要一位会讲法语的人和一位会讲西班牙语的人开展日常业务。假设该公司有三名员工：一名会讲西班牙语的人、一名会讲法语的人和一名既会讲法语又会讲西班牙语的双语人士。
现在假设，这个合作博弈为任何一位能讲法语和西班牙语的人分配了1 200美元的价值。如果该公司能够运营，这个金额就等于公司每日的收入。如果任何两名员工来上班了，那么第三名员工就不是必需的。因此，在这个例子中，每个博弈参与者的“最后上车者价值”为零。
为了计算只会讲法语的那个人的夏普利值，我们要考虑这三个人来上班的所有6种可能的次序。在这6种次序中，只有在一种情况下，也就是只会讲西班牙语的人第一个到，然后这个只会讲法语的人第二个到时，这个只会讲法语的人才增加了价值。因此，这个只会讲法语的人的夏普利值就等于1/6乘以1 200美元，即200美元。与此类似，只会讲西班牙语的那个人只有当他第二个到且只会讲法语的那个人第一个到时，才能增加价值，因此他的夏普利值也等于200美元。而在其他四个次序中，既会讲法语又会讲西班牙语的人第一个到或者第二个到都能增加价值，因此，他的夏普利值等于800美元。所有这三个人的夏普利值总和等于1 200美元，也就是这个博弈的总价值。
夏普利值
给定合作博弈{N ，V }，夏普利值的定义如下：
N 个博弈参与者加入联盟的次序有N ！个，让O 代表这所有N ！个次序。对于O 中的每一个次序，将博弈参与者i 增加的价值定义为当博弈参与者i 加入时价值函数发生的变化。博弈参与者i 的夏普利值等于他在O 中所有次序上增加价值的平均值。
在了解了上述基本概念的基础上，现在可以构建一个更加复杂的例子了。想象一下，在赛艇比赛中，一个团队通常由四名桨手和一名舵手（舵手通常个子较小，控制划桨节奏和方向）组成。现在想组建一支赛艇队，就需要找到六名赛艇运动员，也就是合作博弈中的博弈参与者：五名高大强壮的桨手和一名舵手。在参加比赛的时候，四名桨手和一名舵手上场的团队价值为10；或者由五名桨手上场，但由于重量过重，整个团队表现不佳，这样的团队价值为2。
为了计算出夏普利值，假设这些博弈参与者以各种可能的顺序加入。如果舵手以第一、第二、第三或第四位的次序加入，那么他不会增加任何价值；当他以第五位的次序加入时，他增加的价值为10，这种情况出现的概率为1/6；如果他以第六位的次序加入，那么他将取代一位桨手，所增加的价值为8。将所有这些情况平均，可以发现舵手的夏普利值等于3。
而对于任何一个桨手来说，当且仅当他以第五位的次序加入时，才能增加价值，这种情况发生的概率为1/6。如果舵手没有加入，那么以第五位加入的桨手所增加的价值为2。如果舵手已经加入，那么以第五位加入的桨手所增加的价值为10。由于舵手最后一位加入的机会是1/5，同时舵手在前四位加入的机会是4/5，因此可以求出每一个桨手的夏普利值为7/5。 1 从直观上就可以看出，舵手的价值应该超过单个桨手的价值，同时考虑到桨手可以在没有舵手的情况下参加比赛（尽管成绩会“很差”），因此舵手的价值应该比所有桨手的总价值低。有无数种方法都可以在满足上面这两个约束的前提下分配价值，夏普利值只是给出了其中一个特定的分配方案：给舵手分配3，给所有桨手分配7。
夏普利值的公理基础
我们现在讲述夏普利值唯一满足的公理，这也就解释了为什么要优先考虑夏普利值而不是其他。第一，我们是通过对所有可能次序中博弈参与者的边际贡献来计算夏普利值的，因此任何永远不能增加价值的博弈参与者的夏普利值都为零。第二，对任何两个相同的博弈参与者，即对每个联盟贡献相同的任两个博弈参与者，也必须分配给他们相同的夏普利值。第三，由于所有次序的价值总和等于博弈的总价值，所以夏普利值的总和也必定等于与博弈的总价值。这里需要注意的是，“最后上车者价值”虽然满足前两个性质，但是却不满足最后一个公理。
在这三个公理的基础上，还可以增加第四个公理——可加性。这个性质要求，如果合作博弈的价值函数可以分解为两个价值函数，并把每个分解出来的价值函数分配给一个不同的合作博弈，那么复合博弈中一个参与者的价值应该等于他在两个分博弈中的价值总和。很容易看出，夏普利值也满足这个性质。不过，这四个公理唯一刻画了夏普利值这一点其实并不太明显。
证明一种度量唯一满足一组公理，也就为这种度量奠定了坚实的逻辑基础。如果没有公理基础，或许也可以找到某种直观的度量，但是我们可以认为它是武断的、似是而非的。上述公理告诉我们，如果选择任何其他度量，就不得不至少放弃其中一个公理。当然，这并不意味着夏普利值是唯一合理的标准。罗依德·夏普利（Lloyd Sharpley）这位伟大的经济学家和数学家，可能是先写出了这个标准，然后才构造了这些只有它唯一满足的公理的。当然，谁先谁后其实并不重要。即便这些公理是用后向方法构造出来的，只要我们接受，就应该采用这种方法。衡量标准的适当性取决于公理的合理性。就这些公理而言，前三个公理是无可争议的。第四个公理（可加性）虽然看上去比较复杂，但也是合理的，如果没有这个公理，博弈参与者就会有很强的动机去合并或分割联盟。
夏普利值的公理基础
夏普利值唯一满足以下公理：
零性： 如果博弈参与者为任何联盟增加的价值都等于零，那么该博弈参与者的价值等于零。
公平性／对称性： 如果两个博弈参与者对任何联盟都具有相同的增加价值，那么这两个博弈参与者具有相同的价值。
完全分配性： 博弈参与者价值的总和等于博弈的总价值V （N ）。
可加性： 给定两个定义在相同博弈参与者集合之上的博弈，它们的价值函数分别为V 和 ，那么在博弈（V + ）中，一个博弈参与者的价值等于该博弈参与者在V 和 的价值的总和。
夏普利值的应用
现在，我们将夏普利值应用在基于替代用途测试（alternative uses test）的合作博弈中。在测试中，每个人都必须为一种常见的物品想出一些新的用途，比如砖块。这种测试的目的是根据人们想出来的用途或用途类别来衡量一个人的创造力。我们在计算夏普利值的过程中，发现了一个直观的评分规则。
想象一下有三个人参加了某替代用途测试，分别是阿伦、贝蒂和卡洛斯。测试要求他们想出区块链的替代用途，这是一种分布式记账技术。如图9-1所示，阿伦和卡洛斯分别提出了6个想法，每个人的创造力得分均为6；贝蒂则提出了7个想法，因而得到7分。他们这三个人组成的团队的总创造力得分为9，因为总共有9个不同的想法（不同人提出的想法，有些是重合的）。
为了计算夏普利值，可以写下这个团队能够形成的所有6种可能的排序，而且只有当某个人为团队提供了独特的想法时才“给分”，然后再对所有6种情况求平均值。或者，在计算夏普利值的过程中，我们可能已经注意到了，某个人因某个想法而“得分”的概率等于1除以所有提出了这个想法的人的数量。任何一个提出了一个他人没有的独特想法的人都可以获得满分。图9-1用粗体字来表示这类想法，例如阿伦提出的用区块链进行艺术交易的想法。
如果两个人提出了同一个想法，那么每个人都有1/2的机会首先加入该团队。同样，如果所有三个人都想到了同一个想法，那么每个人都有1/3的机会首先加入。这就是说，在想到同一个想法的人之间平等地分配得分能够产生夏普利值。因此，它是分配满足4个公理的值的唯一方法。这些值表明，虽然阿伦不是提出最多想法的那个人，但是他却增加了最多的价值。 2
图9-1 在替代用途测试中应用夏普利值
夏普利-舒比克权力指数
接下来，我们将夏普利值应用于一类投票博弈。在这种投票博弈中，每个博弈参与者（代表某个政党或官员）控制着固定数量的席位或投票权，而且要采取行动，就必须获得多数席位或支持票。在投票博弈中，夏普利值通常被称为夏普利-舒比克权力指数（Shapley-Shubik index of power）。 3 通过对这个指数的计算，我们发现一个博弈参与者（政党）控制席位（投票权）的百分比与其权力之间并不存在直接的转换。
为了计算权力指数，考虑各个政党加入联盟所有可能的次序。如果某个政党加入了一个联盟并获得绝对多数，那么这个政党所增加的价值等于1。在这种情况下，我们就称这个政党是“关键的”。否则，这个政党不会增加任何价值。
假设议会中共有101个席位，分别由4个政党掌握：A党控制了40个席位、B党控制了39个席位、C党和D党则各控制了11个席位。在这个例子中，如果A党首先或最后加入，那么A党就不会成为“关键的”政党。但是，如果A党在第二位或第三位加入，就肯定会成为“关键的”政党。因此，A党的权力指数为1/2。如果B党在第一位或最后一位加入，那么它就不能增加任何价值；如果B党在第二位加入，那么当且仅当A党已经在第一位加入时，B党才可能成为“关键的”政党。如果B党在第三位加入，那么它要想成为“关键的”政党，唯一的机会是A党在最后一位加入。这两个事件组合发生的概率分别为1/12。因此，B党的权力指数等于1/6。C党和D党也可以在两个与B党类似的事件组合中成为“关键的”政党。如果C党或D党在第一位加入，那么不可能成为“关键的”政党。如果A党在第一位加入，那么只要C党或D党在第二位加入，就能成为“关键的”政党。如果A党在最后一位加入，那么只要C党或D党在第三位加入，也能成为“关键的”政党。因此，C党和D党的权力指数也分别为1/6（图9-2）。
图9-2 席位与权力之间的脱节
这个例子表明，一个政党控制的席位百分比与它实际拥有的权力之间可能存在着脱节。A党和B党控制的席位数量几乎相同，但是A党的权力却是B党的三倍；B党控制的席位虽然比C党或D党多得多，但是所拥有的权力却不比它们大。与这个例子相似的席位分配在现实世界的议会制度中经常出现。因此，只拥有少量席位的政党往往可以掌握很大的权力。例如，在以色列议会中共有120个席位。2014年，利库德集团领导的联盟共有43个席位，反对派联盟则拥有59个席位（仅略低于多数席位），正统派联盟拥有18个席位，但所有这三方都拥有相同的夏普利-舒比克权力指数。当然，相同的权力指数并不意味着正统派联盟在现实世界中确实拥有完全相同的权力，不要忘记，所有模型都是错的。但是它确实表明，正统派联盟的影响力超过了他们的席位数所占的百分比。
20世纪60年代中期，纽约拿骚县（Nassau County）监事会出现过惊人的席位与权力脱节的情况。该监事会由6名成员组成，每个成员控制的选票与该成员所代表的地区的人口成比例（图9-3）。投票事项要多数通过，需要得到115张票中的58张或以上。在三个最大的地区中，任何两个地区合作都可以稳占多数。因而另外三个地区的投票永远不可能是决定性的，这三个地区没有权力。例如，虽然北亨普斯特德（North Hempstead）地区拥有21票，超过了总票数的18%，但是并不能影响投票结果。
图9-3 拿骚县席位与权力脱节
理论上说，夏普利-舒比克权力指数适用于任何席位或投票权分配不均等的情况，比如欧盟或美国的选举团，但这并不意味着它在所有情况下都是适当的方法。就美国选举团制度而言，50个州可以有50！（3×1064 ）的不同次序。
当然，考虑到选民偏好的区域相关性，并非所有联盟都是可能的。密西西比州几乎不太可能与纽约州组成联盟。为了提供更有效的权力衡量标准，我们需要将某些联盟置于更优先于其他联盟的位置，或将某些联盟排除出去。在后面的章节中，我们描述了允许排除某些联盟的迈尔森值（Myerson Value）。
小结
个体的夏普利值与为联盟增加的平均贡献相对应。它是衡量增加价值的一种标准。在投票博弈中，也可以将夏普利值解释为权力的一种度量。不过，夏普利值可能并不一定总是最好的衡量标准。假设威胁是可信的，那么在一个群体已经形成的情况下，个人的“最后上车者价值”可能是衡量权力的一个更好标准，因为它能够度量每个人通过威胁离开可以攫取多大利益。
在这些情况下，联盟会希望减少“最后上车者价值”。通过扩大联盟规模，可以创建出一个具有很高的总价值、同时“最后上车者价值”又足够低的联盟。不断加入新成员，会使现有成员变成“可以放弃的”，从而使“最后上车者价值”趋向于零。我们在实践中确实可以观察到这一点。例如，雇主会通过雇用多余的工人来削弱工人的权力，制造业企业会向多个相互竞争的供应商采购中间产品，政府会与多个承包商签订合同，等等。
同样的直觉也可以用于解释美国立法机构中出现的联盟。国会游说者和政党领导人希望通过法案（价值的一种结果），同时又试图限制个别众议员和参议员的权力。 4 如果游说者努力争取到了通过法案所必需的最低数量的众议员和参议员的支持，那么每一个众议员和参议员都会拥有很大的“最后上车者价值”。任何一个人都可以通过改变自己的投票来推翻那个法案。在这种情况下，游说者可以通过收买绝大多数众议员和参议员来降低他们的“最后上车者价值”。同样的逻辑也意味着，只拥有微弱多数的政党可能是非常难以驾驭的，因为每一个成员都拥有很大的“最后上车者价值”。而在某个政党拥有了绝大多数席位（投票权）的时候，没有任何众议员或参议员能够拥有太大的权力。
将视野放大到现代互联网世界，我们发现应用“最后上车者价值”和夏普利值的概念来思考权力问题非常有用。无论是个人、组织、企业，还是政府，抑或是恐怖组织的权力，都部分取决于偏离合作制度可以造成的损害的程度，也就是“最后上车者价值”。一个技术高超的计算机黑客，由于拥有摧毁大量财富的力量，因而拥有巨大的权力。即便黑客完全不能给社会创造价值，这个结论依然成立。
在考虑跨国企业或其他跨国组织的价值时，夏普利值可能是一个更好的衡量标准。在这些情况下，退出本身就是一个不可行的选择。能源公司必须参与能源生产博弈、能源分配博弈、房地产博弈、环境博弈、就业博弈等。这样的公司的总增加值等于各个领域的增加值之和。
通过合作博弈论的视角来思考权力和价值，可以得出很多深刻有力的洞见。合作博弈还指出了我们下一步应该关注的地方。在政界和商界，并不是所有联盟都是合理的。不过目前的模型假设它们合理。更丰富的模型需要考虑到世界的连通性。咨询公司和金融公司要从科技公司购买软件，科技公司和咨询公司通过金融公司进行投资和借贷，金融公司和科技公司要聘请咨询师。在这些网络中，每个参与者都能增加价值并发挥影响力。要计算出这种环境下的权力，我们需要网络模型。
10 网络模型
网络理论是科学的一个完整分支。但是就过去的二三十年来说，它相对较新。我们还没有机会把所有这些理论从大学中拿出来，然后问自己：“我们应该建立什么样的网络？应该将网络用于什么样的目的？”
安妮-玛丽·斯劳特（Anne-Marie Slaughter）
本章将介绍网络模型。对网络进行全面研究，需要写好多本书。因此，我们在这里只专注于一个更加温和的目标：只希望了解有关网络的基础知识，能够给网络的各个组成部分命名，并讨论它们对于建模的重要性。我们得出的答案是，网络几乎总是很重要。我们构建的任何模型，无论是市场模型、传染病传播模型，还是信息传播模型，都可以通过将参与者嵌入网络中而变得更加丰富。 1
网络无处不在。人们经常会谈起贸易网络、恐怖主义网络，以及志愿者网络。不同物种会组织成食物链，那是一种网络形式。企业会建立供应链，那也是一种网络。如前所述，将金融系统视为一个支付承诺的网络会很有效。网络对于理解社会关系一直都很重要。在人类历史的大部分时间里，社交网络受到地理限制，难以扩展。由于技术的进步，许多社会互动和经济交易现在都是通过虚拟网络进行的，并且可以使用模型进行分析。
本章内容仍然遵循前面用来讨论分布时所用的模式，即结构—逻辑—功能。我们首先用一系列统计量来表征网络结构，包括：度、路径长度、聚类系数和社区结构等。然后我们讨论了一些常见的网络类别：随机网络、中心辐射网络、地理网络、小世界网络和幂律网络。之后探索网络形成的逻辑，我们构建了一些微观层面的流程，生成所能观察到的网络结构。最后讨论功能，也就是网络结构为什么是一个重要的问题。
本章主要关注网络结构的五个重要含义。我们首先从友谊悖论入手，在对它进行了全面分析之后，描述六度分隔理论和弱关系属性的强度。最后讨论了网络在节点或出现故障时的鲁棒性，解决了网络上的信息集结问题。本章最后还讨论了网络会如何影响模型结果。
网络的结构
网络由节点以及连接节点的边（edge）组成。由边连接起来的节点互为邻居。如果沿着边，可以从任何一个节点到达任何其他节点，就将这样的网络称为连接的网络。网络可以用图形来表示，也可以用边的列表表示，或者也可以用由0和1组成的矩阵表示，其中第A行、第B列的一个数字表示节点A和节点B之间的边。虽然人们更喜欢用图形来表示网络，但是其实用列表和矩阵来表示网络，才更适用于计算网络统计数据。
网络中的边可以是定向的，也就是说，可以从一个节点指向另一个节点。在信息网络中，一条有向边表示一个人从另一个人获取信息。在生态系统网络中，从红尾鹰到灰松鼠的一条有向边表示红尾鹰吃松鼠。边也可以是非定向的；连接两个朋友的边就是非定向的。在非定向网络中，一个节点的度（degree）等于连接到它的边的数量。
网络以一组网络统计数据为特征。对于每个统计量，我们可以计算网络平均值和所有节点的分布。例如，友谊网络的平均程度告诉我们平均每个人有多少个朋友。度分布（degree distribution）告诉我们某些节点是否比其他节点连接得更多。社交网络的分布比万维网、互联网和引文网络更加平等，后面这几类网络都有很长的尾巴。
路径长度，指两个节点之间的最小距离，与度成反比。当增加边时，就缩短了节点之间的平均距离。在航空公司的航线网络中，路径长度对应于人们从航线网络中的某个城市到另一个城市所需的航班数量。如果要在两家航空公司之间做出选择，在其他所有条件（即价格）都相同的情况下，旅客会更喜欢平均路径长度更低的那家航空公司。平均路径长度也与信息丢失相关。经过多人中转传递的信息比直接在两个人之间传递的信息更容易遭到扭曲。最短路径上的节点在网络中起着关键作用。如果信息是通过最短路径传递的，那么就必定会经过最短路径上的节点。节点的介数得分（betweenness score）等于通过该节点的最小路径的百分比。在社交网络中，介数得分高的人掌握更多信息并且拥有更多权力。
最后一个统计量是聚类系数，它等于节点的邻居节点对当中，同时彼此也互为邻居节点对所占的比例。例如，一个人有10个朋友，这些朋友可以组成45个对。如果在这45个对当中，有15个对本身也是朋友，那么这个人的聚类系数就等于1/3。如果所有这45对都是朋友，那么这个人的聚类系数就等于1，这也是所有可能值当中最大的一个。整个网络的聚类系数等于各个节点聚类系数的平均值。
网络统计量
度 ：节点的邻居数（即边数）。
路径长度 ：从一个节点到另一个节点必须遍历的最小边数。
介数 ：经过某个节点连接两个其他节点的最短路径数量。
聚类系数 ：一个节点的邻居对当中，同样也由一条边连接的邻居对所占的百分比。
图10-1显示了一个辐射网络和一个地理网络，它们各具有13个节点。在这个辐射网络中，中心节点的度为12，所有其他节点的度均为1，因此平均度小于2。这种度分布是“不平等”的。中心节点与其他每个节点的距离均为1。所有其他节点与中心节点的距离为1，与中心节点之外的任何一个节点的距离为2。因此，这个辐射网络的平均路径长度也小于2。中心节点位于任何两个其他节点之间的最小路径上，于是介数得分为1。任何一个分支节点都不位于连接其他节点的任何最小路径上，因此它们的介数得分均为0。最后，在这个辐射网络中，连接到某个节点的任何节点都不彼此连接。因此，网络的聚类系数为0。
图10-1 一个中心辐射型网络和一个地理网络
在这个地理网络中，每个节点都连接到位于它右侧和左侧的两个节点，因此平均度等于4。每个节点到4个节点的距离为1、2、3，因此平均距离恰好等于2。从图10-1可见，这个地理网络的度和距离分布都是简并性（degenerate）的，因为每个节点都具有相同的度和相同的平均距离。可以看出，每个节点的介数都等于1/12。 2 每个节点都有4个邻居，可以构成6个对。在这6个对中，恰好有3对是相互连接的：直接靠着该节点的左右两个节点分别连接到再外一点的节点，并相互连接。因此，聚类系数等于1/2。
刻画网络的聚集程度的另一种方法是将节点划分为不同的社区（community）。在年轻人的友谊网络中，这里所说的社区可能对应于对艺术、体育或科学感兴趣的青少年。或者，社区也可以通过种族和性别来定义。政治联盟网络可能可以分为地区性的或意识形态上的盟友。可以用来确定社区的方法有很多，其中一种方法是依次移除具有最高介数的边，因为介数高的边更有可能将不同的聚类连接起来。还有一种方法是将社区的数量视为给定的，并在特定的目标函数下寻找最佳划分方法，例如最小化社区之间边的数量或最大化社区内部边的比例。 3
我们可以使用社区检测算法（community detection algorithm）去查看网络数据的问题。有研究表明，人们可能会生活在“网络泡沫”（online bubbles）当中。这也就是说，我们所属的社区，可能是由只从类似来源获取新闻的人组成的。如果真的是这样，那么无疑会对社会凝聚力产生重要的影响。在互联网出现之前，情况可能也是这样的，但是很难用数据证明。现在，数据科学家可以在网络上抓取海量数据，从而将人们的新闻来源准确地识别出来，实际上我们确实在一定程度上生活在“泡沫”当中。现在，模型可以给出社区的正式定义，数据可以揭示这些社区的力量。结合我们的判断力，就可以根据数据做出明智的推断。
常见的网络结构
在分析网络时，我们遇到了网络过于多样性的问题（图10-2）。少数几个网络统计量无法确定具体的网络结构：人们可以构建出数十亿个具有10个节点且平均度为2的不同网络。还可以通过检验它的统计指标是否与某个常见的网络结构有显著差异来表征网络。例如，当一位法官引用了另一位法官的判决时，一个研究者可能会收集司法引用的数据并将其以网络的形式表示。这种网络从图形上看似乎有一个很特殊的结构和集群。我们可以将这个网络的统计数据与具有相同数量的节点和边的随机网络进行比较，以检验这个网络是不是随机的。在第一种常见的网络随机网络（random network）中，聚类系数等于一条随机的边的概率，因为一个节点的两个邻居并不比任何其他随机选择的节点更可能包含一条边。
随机网络的蒙特 ·卡罗方法 (5)
为了检验一个具有N 个节点和E 条边的网络是不是随机网络，可以创建大量具有N 个节点和E 条边的随机网络，并计算出度、路径长度、聚类系数和介数的分布。然后，执行标准的统计检验，以确定接受还是拒绝那个网络的统计数据可能抽取自该模拟分布的假设。 4
理论模型通常假设某种特定的网络结构。有的研究者偏好假设随机网络，而有的研究者则偏好假设规则的地理网络，例如这样的网络：节点排列成圆形并且每个节点在每个方向上都连接到最近的节点。这也是第二种常见的网络，有一种地理网络将节点排列在棋盘上，并让每个节点与自己东、南、西、北的邻居相连。大多数常见的地理网络都具有较低的度，即节点仅连接到本地邻居，并且具有相对较大的平均路径长度。在地理网络上，介数和聚类系数不会有变化。
