第三种常见的网络是幂律网络，这种网络的度分布是幂律的。少数节点有许多连接，同时大多数节点的连接则非常少。第四种常见的网络是小世界网络，它结合了地理网络和随机网络的特征。 5 要想构建一个小世界网络，可以从一个地理网络开始，然后进行“重新布线”，方法是随机地选择一条边并把这条边所连接的其中一个节点替换为一个随机的节点。如果“重新布线”的概率等于零，所拥有的就是一个地理网络；如果“重新布线”的概率等于1，那么就有了一个随机网络；而当概率介于这两者之间时，就会得到一个小世界网络，以小集群区别于通过随机链接连接到其他集群的地理网络。社交网络看起来类似于小世界，每个人都有一群朋友，以及若干随机的朋友。
图10-2 随机网络、地理网络、幂律网络和小世界网络
网络形成的逻辑
现在简要讨论一下几个描述网络形成的模型，这些模型给出了解释网络结构的逻辑。我们遇到的大多数网络结构都是从个体行为者做出的关于建立连接的选择中涌现出来的。友谊网络、万维网和电网都是如此。这些网络不是计划的结果。不过，也有一些网络，例如供应链网络，确实是计划的产物。我们希望按计划构造的网络对节点的故障具有鲁棒性。当然，自发涌现的网络结构都具有鲁棒性这个事实是一个谜。
我们已经讨论了如何创建随机网络和小世界网络。只需要随机创建一组节点，然后绘制连接随机节点对的边，就可以创建随机网络。通过构建一个规则的地理网络（常用的方法是在一个圆周上排列节点并在每个方向上连接k 个邻居），然后随机“重新布线”一部分边，就可以创建一个小世界网络。
电网形成的模型依赖于经济和工程原理。电网必须为家庭、企业和政府提供电力。无论生产者是营利性企业还是公共事业公司，都没有动力去创造聚集程度很高的网络，因为那种网络效率低下。但是，聚类的缺乏降低了网络的鲁棒性。经济和工程方面的考虑也排除了远距离跳跃——跨越网络连接的可能性。电力公司不会建立从芝加哥到达拉斯的直接连接。然而，人和企业却可以，一个芝加哥人可能会与达拉斯的某个人建立起友谊，新加坡的一家公司可能会与底特律的一家公司进行交易。正如后面将看到的，这些远距离跳跃有助于提高网络的鲁棒性。
要创建一个具有长尾分布的网络，可以利用优先连接模型的一个变体。先随机创建一些节点，然后画出从新节点到现有节点的边。如果我们令连接到节点的概率与节点的度成正比，就可以产生幂律的度分布。在这个模型中，越早“到达”的节点的度越大。但是这个模型有一个缺点，那就是，它不允许节点质量有任何差异。更高质量的节点本应具有更高的度。不过，质量和度的网络形成模型（quality and degree network formation model）纠正了这种缺憾，并且产成了长尾分布。
质量和度的网络形成模型
创建d 个互不连接的节点。在每周期t 中创建一个质量为Q t 的、从分布F 中抽取出来的新节点。根据其他d 个节点的度将这个新节点连接到那些节点上。用D it 表示在时间t 时节点i 的度，那么给定N 个节点时选择节点i 的概率等于：
如果新节点质量的均值和方差都足够低，那么这个模型就类似于标准的优先连接模型。如果质量分布有一条长尾，那么质量很高的新节点的度可以增长到非常大的程度。 6
网络的功能
前文中，已经提到过友谊悖论；事实上，在任何网络上，平均来说，人们确实不可能比他们的朋友拥有更多的朋友。我们可以利用辐射网络来说明出现这种情况的原因及其背后的逻辑。在辐射网络中，12个人中的每人都只有1个朋友，只有1个人有12个朋友。有1个朋友的那12个人都连接到了中心节点，中心节点有12个朋友。这个特征，也就是度更高的人与更多的人连接在一起的事实，驱动了结果。在中心网络上，平均来说，所有人只有不到两个朋友。然而，平均而言，每个人的朋友都有超过11个朋友。
友谊悖论适用于任何网络：电子邮件网络、学术引文网络、银行网络和国际贸易网络等。平均而言，一篇学术论文引用的参考文献被引用的次数比这篇文章本身更多；与一个国家的贸易伙伴进行贸易的国家数量，要比与这个国家进行贸易的国家更多；食物网络中与单一物种相连接的多个物种的连接比该物种自身更多。在具有更加分散的度分布的网络上，朋友的数量与朋友的朋友的数量之间的差异会变得更加明显。例如，根据Facebook的数据对友谊网络进行的一项研究结果表明，一个人平均大约有200个朋友，而他们的朋友平均来说有超过600个朋友。 7
友谊悖论
如果网络中任何两个节点的度不同，那么平均而言，节点的度会低于其相邻节点。换句话说，平均而言，人们的朋友比他们自己更受欢迎。 8
友谊悖论的逻辑可以扩展到任何与朋友数量相关的性质。如果活跃、快乐、聪明、富有和友善的人平均而言会拥有更多的朋友，那么一个人的朋友平均来说会更活跃、更快乐、更聪明、更富有、更友善。 9 想象一下这样一个网络，在不快乐的人中，90%的人有4个朋友、10%的人有10个朋友。而快乐的人的情况则相反：在快乐的人中，10%的人有4个朋友，90%的人有10个朋友。人们的朋友将不成比例地由拥有10个朋友的人组成。由于那些人中的大多数都是快乐的，因此绝大多数人的朋友都会比自己更快乐。
现在，我们来看一下六度分隔理论，也就是地球上的任何两个人都可以通过6个或更少的朋友联系到一起。虽然友谊悖论适用于任何网络，但是六度分隔却只适用于某些类型的网络。这个术语源于美国社会心理学家斯坦利·米尔格兰姆（Stanley Milgram）在20世纪60年代进行的一项实验。米尔格兰姆向内布拉斯加州奥马哈市和堪萨斯州威奇托市的296人寄出了一些包裹，那些包裹最终需要转寄给在马萨诸塞州波士顿市的一个人。收到包裹的人必须遵守相同的规则：所有参与者只能通过邮政系统将包裹寄给他们认识且他们认为更有可能认识那个波士顿人的人，并附上同样的指示。每个参与实验的人都要在一份记录路径的名册上签名，并邮寄明信片给研究者，以便研究者可以跟踪链条上的断点。最终，有64个包裹抵达了波士顿。这些抵达波士顿的包裹所经历的平均路径长度略小于6，因此就有了“六度分隔”这种说法。
50年后，研究者们又组织了一场更大规模的“六度分隔”实验。这一次是利用电子邮件进行的，实验组织者在全球范围内设定了18个最终收件人，邀请了20 000多个人参加了这个实验。电子邮件链的中间路径长度在5到7之间，具体取决于最初的发送者与最终目标之间的地理距离。由于实验中运用的路径长度不等于实验参与者之间的最小路径长度。因此，这些证据表明，大多数人之间用不着6度就可以连接起来了。 10
在这里，我们构建了一个简化版的小世界网络，以便直观地理解六度分隔理论。这个小世界网络假设每个人都有一个由若干个圈内好友构成的小群体，这些人彼此认识，而且每个人都拥有不属于这些圈内的朋友，我们把这些圈子外的朋友称为“随机朋友”（random friends）。 11 图10-3表明，某人（用黑色圆圈表示）有5个圈内好友和两个随机朋友。它还显示了这个节点的朋友（用浅灰色圆圈表示）的部分“朋友圈”。
图10-3 一个节点的圈内好友（C）和随机朋友（R）
这些随机朋友也可以认为是一种弱关系，他们可以将你连接到其他群体的人。我们的弱关系，也就是网络中的随机朋友，由于连接了具有不同兴趣和信息的社区，从而发挥了重要的信息作用。因此，社会学家很强调弱关系的力量。 12
在这种网络结构中，我们可以计算出二度邻居，也就是朋友的朋友的数量，方法是将随机朋友的所有朋友人数相加，但是不把圈内好友计算在内，因为他们本身就是节点群体的成员。与此类似，我们可以计算出朋友的朋友的朋友的数量，方法是把所有“圈内好友”的随机朋友的朋友加进来，但是不把随机朋友的“圈内好友”的“圈内好友”计算在内，因为他们在计算二度邻居时已经加进来了。为了产生六度分隔，我们将相同的逻辑应用于一个具有100个“圈内好友”和20个随机朋友的网络。
六度分隔
假设每个节点有100个“圈内好友”（C），他们彼此都是朋友；以及20个随机朋友（R），他们没有与节点共同的朋友。
一度： C+R=120
二度： CR+RC+RR=2 000+2 000+400=4 400
三度： CRC+CRR+RCR+RRC+RRR=328 000
四度 13 ：17 360 000
五度： >10亿
六度： >200亿
由于假设随机朋友的朋友之间没有重叠，这个模型隐含地假定人口是无限的。但是在现实世界中，随着度数的增大，真实的社交网络会出现朋友之间的重叠。在包括了重叠和其他真实世界特征（例如朋友数量的异质性）的网络中，实际值将会与上面计算出来的值不同。不过，每个度的邻居数量的相对大小将保持相似：一个人的三度邻居（朋友的朋友的朋友）会比二度邻居（朋友的朋友）多得多。
三度朋友可能是相当重要的，在我们这个例子中，三度朋友的人数超过了25万。与一个人的“圈内好友”不同，一个人的三度朋友往往会住在不同的城市，就读于不同的学校，拥有不同的信息，他们会更加多样性。他们也足够接近，可以建立起信任关系：朋友的朋友的朋友可能是你的室友的母亲的同事，或者是你妹妹的男朋友的姨妈。三度朋友的数量很重要，他们的多样性以及相对接近性使他们成了你的重要资产，他们可以提供新的信息和工作机会。这些人最有可能帮助你找到工作，促使你搬到新的城市，或者成为生活中、商业上的伙伴。
网络结构的鲁棒性
现在来讨论网络结构的鲁棒性，看看当网络的一个节点或一条边发生故障时会怎样。网络最重要的性质是，它在受到冲击时是不是仍然能保持连接。我们可以使用模型来计算网络保持连接的概率——作为移除节点数量的函数。还可以考察当移除某些节点时平均路径长度会发生什么变化。例如，在航空公司的航线网络中，这种分析可以告诉我们，如果某个机场由于天气原因或电力故障而关闭了，将会需要多少额外的航班。
在这里，我们考虑网络中最大连接部分，即巨型组件的大小怎样随着节点的随机失败而变化的问题。图10-4显示了一个大型随机网络和一个大型小世界网络中巨型组件的大小。在这个随机网络中，巨型组件的大小一开始会呈线性下降。在边概率等于1除以节点数这个临界点上，巨型组件的大小会下降到原始网络的任意小的比例。但是，小世界网络却不会出现这种突然的变化。因为在小世界网络中，大多数连接都存在于地理聚类中。每个聚类都可以顶住多个节点发生故障的冲击。这个性质与随机连接相结合，可以有效地防止整个网络崩溃。
从图10-4可以看出：缺乏局部聚类的稀疏网络更容易出现故障。我们可以将这个结论应用于对电网的分析。电网缺乏远距离跳跃连接和紧密聚类，而保证小世界网络鲁棒性的就是这些。在电网中，节点或连接如果发生了故障，是不能通过聚类中的其他连接或与仍然有效节点的远距离连接来克服的。因此，局部故障就级联放大地传播到整个网络。 14 与此形成鲜明对照的是互联网。具有长尾度分布的互联网对随机节点故障具有很强的鲁棒性。互联网的度分布意味着，绝大多数节点的连接很少，因此即便它们发生了故障，网络也能保持连接。
图10-4 巨型组件的大小作为节点故障的函数
到目前为止，我们一直假设节点是随机发生故障的。我们也可以考虑移除战略性节点。有些具有长尾分布的网络，比如说互联网，现在也变得比以前脆弱了。战略性地移除度最高的节点会破坏整个网络。可以从辐射网络看出其逻辑。当随机移除节点时，辐射网络仍然可以保持连接，除非直接移除中心节点，但那是一个低概率事件。然而，战略性地移除节点，即直接毁灭中心节点，却可以一步切断网络连接。
对于某些网络，例如恐怖主义网络和毒品贸易网络是我们想要切断的。如果这些网络是像电网那样的稀疏网络或者具有长尾度分布，那么就可以通过移除战略节点来断开这些网络。对于恐怖主义网络来说，这意味着必须逮捕拥有链接最多的恐怖组织成员。如果这些网络类似于小世界网络，那么它们就会具有鲁棒性，甚至在战略性的节点被移除之后仍然能屹立不倒。尝试切断这种网络任何“区段”的努力都将失败，因为随机重新连接的存在会将这些“区段”重新连接到网络上。
小结
当我们尝试构建关于由人构成的网络模型时，目的通常是用它们来刻画社会影响，也就是在社会网络中，一个人的成功、行为、信息或信念，会影响他们的朋友的成功、行为、信息或信念。一个人的行为既可能是依赖于情境的，也可能是由内在因素决定的；个人对共同事业的价值或贡献也是如此。一个人的价值或贡献可能是源于他本身的某种性质，例如聪明才智、努力水平或好运气，但是，一个人的成功或许也可以归功于其朋友和同事的网络。这其实是一个非常古老的问题：成功到底取决于你所知道的东西，还是取决于你所认识的人？
试想一下，一群科学家在一个实验室里一起进行研究工作。他们分享想法和知识，互相提建议。因此，某个科学家发表的学术论文、申请的专利或取得科学突破的数量不仅取决于他自己知道些什么，而且也依赖于他与其他科学家的互动，他会受到他所认识的人的影响。我们要把环境特征和内在性质一起考虑，然后再来确定某位科学家的成功应该在何种程度上归因于自己的努力程度。
成功主要取决于人才的信念，有些投资公司雇用明星基金经理来操盘，但是往往无法取得预期的结果。经验证据表明，顶级投资者也依赖于向他们提供特定类型信息的同事网络。 15 放在更大的文献背景内，这个发现其实并不令人意外。许多文献（其中有一些是基于模型的）都表明，一个人在一个组织中的位置会影响他的成功。
当然，成功肯定与能力相关。一个能够让投资者获利数百万的商业创意当然是一个好主意，发表数百篇论文并获得无数奖项的科学家肯定具有很高的科研能力。但是另一方面，我们也不能否认，恰恰是那些在网络中占据了最核心位置的人做出了最大的贡献。我们可以使用介数和其他中心性测度来衡量一个人的位置。在网络中占据了介数很高位置的那些人，填补了著名社会学家罗纳德·伯特（Ronald Burt）所说的社区之间的“结构洞”（structural holes），我们可以使用特定的算法识别出这些结构洞。 16 由于能够从多个社区获取信息和思想，这些填补了结构洞的人拥有很大的权力和影响力。当然，要想去填补结构洞，你得有相当高的才华和能力才行。看到一个洞就跳下去并不算填补结构洞。要填补结构洞，你必须让社区的每一个人信任和理解你，你必须熟悉每个社区的知识库。
运用同样的原理，我们还可以对企业的价值进行评估并讨论国家的权力分配。我们可以将企业的价值视为内在价值，着重从资产负债的角度分析。还可以考察该企业运营的情境，例如它在供应链中的位置。与此类似，一个国家的权力取决于它的资源和联盟。无论是对于企业还是对于国家，它们的内在性质都是与连通性相关的。那些在网络中占据很高位置的人也拥有某些举足轻重的特性。
这里的分析以及大多数文献都将节点视为分析的单位。事实上，边同样也很重要。而且，从一个更广泛的角度来看，网络本身可能就是一个合适的分析单位。例如，如果教师网络能够让思想和信息在课堂之间顺畅流动，那么就可以改善教育成果，因此一个连通性很好的管理者可以有效地协调课程改革。与此类似，一个二年级的老师知道很多关于刚上三年级的学生的信息，而这些信息对三年级的老师非常有帮助。数学老师知道学生还有什么概念没有掌握好，这类信息可以帮助科学老师更好地设计课程。因此，优秀的学校都拥有强大的教师网络。这只是一个例子；在许多其他公共领域和私人领域，网络都可以改进我们的思考。 17
迈尔森值和结构洞
填补结构洞的人能够将网络中的不同社区联系起来，从而具有更大的影响力。网络的各种统计数据，例如介数，都与能不能占据结构洞相关。对于一个人在网络中的影响力的另一个衡量指标是迈尔森值，它依赖于夏普利值的原理。为了计算迈尔森值，我们在网络上构建一个合作博弈。在这个合作博弈中，只允许存在包含了连接组件的联盟。
考虑排成一行的三个人。假设他们的位置代表他们的政治（意识形态）立场。如图所示，B位于中间。如果我们限定只允许直接相邻的人组成联盟，那么位于最左的A将不能与位于最右边的C连接，除非B也加入联盟。为了计算出每个博弈参与者的迈尔森值，我们先为所有可行的联盟分配增加值；再对每个可能的联盟计算夏普利值，将每个联盟视为一个单独的博弈。最后，将每个联盟博弈的夏普利值相加，就可以得到迈尔森值。
可能的次序：ABC，BAC，BCA，CBA排除掉的次序：ACB，CAB
举例来说，假设两个博弈参与者的任何联盟产出的价值为10，并且所有三个博弈参与者在一起时的产出的价值为14，那么就可以求出如下迈尔森值：博弈参与者A为3；博弈参与者B为8；博弈参与者C为3。 18
中心性测度（例如介数）只以网络为基础，而迈尔森值则取决于价值函数。同时采用这两种测度，可以将一个人的权力对他在网络中位置的依赖性，与对他所发挥作用的依赖性分开。在这个例子中，三个博弈参与者的迈尔森值（3，8，3）与他们的介数得分（0，1，0）是完全相关的。但是情况并非总是如此，特别是对于更加复杂的网络和价值函数。
11 广播模型、扩散模型和传染模型
就像传染病的传染导致更多的传染病一样，信任的“传染”也可以促成更大的信任。
玛丽安·穆尔（Marianne Moore）
在本章中，我们运用广播模型、扩散模型和传染模型分析信息、技术、行为、信念和传染病在人群中的传播。这些模型在通信科学、市场营销学和流行病学的研究中发挥着核心作用。所有这三类模型都将整个人口划分为两个群组：知道或拥有某种东西的人与不知道或不拥有某种东西的人。随着时间的推移，个人会在这两个群组之间移动。有人会从易感者变为感染者，或者从不了解新产品新思想的人变成知情达意者。
串上某种传染病、购买了某种产品或掌握了某个信息的人的数量随时间推移而演变的曲线，也就是采用曲线的经验图形往往是凹的或S形的。人们如何获悉信息或怎样患上传染病——无论是通过广播传播还是扩散传播，决定了这种图形的形状。本章的主要内容就在于，将思想和传染病传播的微观过程与这些采用曲线的形状联系起来。为此，本章首先分析了广播模型。这种模型适用于人们从某个单一来源知悉思想或罹患传染病的情形。广播模型生成的图是r形的。然后，我们讨论扩散模型。在扩散模型中，传播始于接触，就像传染病在人与人之间传播时那样。扩散模型会产生S形曲线。
许多产品、应用程序、思想和信息都是通过广播传播和口碑传播的。我们可以同时允许广播和扩散来对这些情况建模，由此而得到的模型被称为巴斯模型（Bass Model），它在营销学中起着核心作用。巴斯模型会生成r形曲线还是S形曲线，则取决于广播过程和扩散过程之间的相对优势。
本章中讨论的最后一个模型来自流行病学的关于传染病传播的SIR模型（易感者、感染者和痊愈者模型）。这个模型包括了痊愈率，它能够刻画抵御传染病的免疫系统、突显性逐渐弱化的信息，以及被流行浪潮甩下的时尚行为等。SIR模型会产生一个临界点，在临界点上，产品或传染病性质的微小变化，就意味着失败与成功之间巨大分野。病毒毒力的轻微减少，就可以使大规模传染变为轻微的发病；歌曲传唱概率的小幅变动，就可能把一只热门的新乐队送上天堂或打入地狱，区别之大，恰如披头士乐队与一支在利物浦某个地下酒吧卖唱的乐队之间的区别。
广播模型
本章中介绍的所有模型都要假设存在一个相关人群，用N POP 表示。相关人群包括那些可能患上传染病、了解信息或采取行动的人。相关人群所指的并不是一个城市或国家的全部人口。如果我们要为连续主动脉缝合法的扩散建模，那相关人群就是指心脏外科医生，而不是居住在费城的所有人。
在任何时候，总会有些人患上了某种传染病、了解特定信息或采取了一定行动。我们将这些人称为感染者或知情者（用I t 表示），相关人群中除了感染者或知情者之外的其余成员则是易感者（用S t 表示）。这些易感者可能会感染传染病、了解信息或采取行动。 1 相关人群的总人数等于感染者或知情者人数加上易感者人数的总和：N POP =I t +S t 。
广播模型
I t +1 =I t +P broad ×S t
其中，P broad 表示广播概率，I t 和S t 分别等于时间t 上的感染者（知情者）和易感者的数字
初始状态为I 0 =0，且S 0 =N POP 。
广播模型刻画了思想、谣言、信息或技术通过电视、广播、互联网等媒体进行的传播。大多数时事新闻都是通过广播形式传播的。这个模型的目标是描述一个信息源传播信息的过程，可以是政府、企业或报纸。它也适用于通过供水系统传播污染的情况。但是，这个模型不适用于在人与人之间传播的传染病或思想。由于广播模型更适合描述思想和信息的传播（而不是传染病的传播），所以我们在这里说知情者的人数，而不说感染者的人数。
在给定时间段内，知情者人数等于前一期的知情者人数加上易感者听到信息的概率乘以易感者人数。按照惯例，初始人口全部由易感者组成。要计算未来某期的知情者人数，只需要将知情者人数和易感者人数代入上述方程即可。由此得到的将是一个r形采用曲线。
想象一下：某个拥有100万居民的城市的市长宣布了一项新的税收政策。在他宣布之前，没有人知道这项政策。假设某人在任何一天听到这个新闻的概率等于30%（即，P broad =0.3），那么第一天会有30万人听到这个新闻。在第二天，剩下的70万人中有30%的人，即21万人会听到这个新闻。在每一个时期，知情者的人数都会增加，并且以一个递减的速度增加，如图11-1所示。
图11-1 广播模型产生的r形采用曲线
在广播模型中，相关人群中的每一个人最终都会知悉信息。如果有适当的数据，就可以估计出相关人群的规模。假设一家企业为练习太极拳的人推出了新设计的运动鞋，并在第一个星期就收到了20 000双鞋的订单。如果在第二个星期收到了16 000双鞋的订单，那么我们可以大致估计出他们最终的总销售量，也就是相关人群的规模为100 000。
用广播模型拟合销售数据
第1期：I 1 =20 000=P broad ×N POP ；
第2期：I 2 =36 000=20 000+P broad ×（N POP -20 000）
于是，总销售量为 2 ：P broad =0.2，P broad =100 000
当然，对于根据仅有的两个数据点估计出来的任何结果，我们都不应该抱以太大的信心。这个模型无疑遗漏了许多现实世界的特征。人们既可能通过传媒获悉相关消息，也可能通过口耳相传听到消息，而且有些人可能会购买不止一双鞋子，或者可能存在针对潜在消费者的广告，等等。如果把这些因素都包括进去，估计出来的结果肯定会有所不同。尽管必须牢记这个注意事项，但是这个模型确实提供了一个粗略的估计。这个企业不应该期望能够卖出200万双鞋，但是应该有信心可以卖出不止100 000双鞋。随着更多数据的出现，估计结果是可以得到改进的。如果第三个星期的销售额是13 000双（这等于模型预测的数量），那么这个企业对当初的预测可以寄予更大的信心。
扩散模型
大多数传染病，以及关于产品、思想和技术突破的信息，都是通过口口相传而传播开来的，扩散模型刻画了这些过程。扩散模型假设，当一个人采用了某种技术或患上了某种传染病时，这个人有可能将之传递或传染给与他接触的人。在传染传染病的情况下，个人的选择不会在其中发挥任何作用。一个人患上某种传染病的概率取决于诸如遗传、病毒（细菌），甚至环境温度等因素。在炎热潮湿的季节，疟疾的传播速度要比在寒冷干燥的季节快得多。
技术的传播则与采用者的选择有关，因此更有用的技术被采用的概率更高。但是在这里，我们并没有在模型中明确将这种情况选择考虑在内。这样一来，苹果智能手表的新潮性就发挥了与流感病毒同样的作用。
在这里，我们更看重的是信息的传播，因此我们将人们分为知情者或不知情的新人。如果新人与知情者相遇且信息在他们之间传播，那么新人就会变成知情者。这种事件的发生，因环境而异。生活在城市中的人，相遇的概率可能比生活在农村的人更高，同时也有更高的接触概率。非常吸引人眼球的新闻也比一般的新闻被分享的概率更高，例如，关于外星人降临登陆的新闻被分享的概率比关于M&M公司的椒盐卷饼重新上市的新闻更容易被分享。因此，我们可以将扩散概率（diffusion probability）定义为接触概率（contact probability）和分享概率（sharing probability）的乘积。我们可以根据扩散概率来构建模型，但是在估计或应用模型时，必须独立地跟踪接触概率和分享概率。
扩散模型假定随机混合（random mixing）。随机混合的含义是，相关群体中任何两个人接触的可能性都相同。对于这个假设，我们应该保持警惕。就描述幼儿园内传染病传播的扩散模型而言，这可能是一个准确的假设，因为幼儿园里儿童之间的相互接触是高频率的。但是，如果将它应用于城市人口则是有问题的。在城市中，人们并不是随机混合的。人们在一定的社区中生活，在一定的场所内工作，他们属于工作团队、家庭和社会团体，他们的互动主要发生在这些群体中。但是同时也不要忘记，一个假设要成为有用模型的一部分，其实不一定非得十分准确不可。因此，我们将继续使用这个假设，同时保持开放的心态，在需要改变的时候随时改变这个假设。
扩散模型
其中，P diffuse =P spread ×P contact 。
在这个模型中，与在传播模型中一样，从长期来看，相关人群中的每个人都会掌握信息。不同的是，扩散模型的采用曲线是S形的。最初，几乎没有人知情，I 0 很小。因此，能够与知情者接触的易感者人数也必定很小。随着知情者人数的增加，知情者与不知情者之间接触的机会增加，这又使知情者的人数更快地增多。当相关人群中几乎每个人都成了知情者时，新知情的人数会减少，从而形成了S形的顶部。技术的采用曲线通常也具有这种形状。例如，杂交种子的采用曲线虽然因州而异（艾奥瓦州采用杂交种子的速度比亚拉巴马州更快），但是所有州的采用曲线都是S形的。 3
在广播模型中，根据数据估算相关人群规模是一件相当简单的事情。采用者的初始数量与相关人群规模密切相关。与此相反，利用扩散模型的数据估计相关群体的规模可能会非常困难。产品销售量的增加，可能是由于一个很小的相关人群内部的高扩散概率，也可能是由于一个很大的相关人群中的低扩散概率。
图11-2显示了两个假想的智能手机应用程序的相关数据。在第一天，每个应用程序都有100人购买。在接下来的5天中，应用程序1拥有更高的总销量和更快的销量增长。如果没有模型，我们很可能会预测应用程序1拥有更大的市场。但是，用模型拟合这两组数据的结果表明，事实与我们猜想的恰恰相反。
图11-2 智能手机应用程序的两条采用曲线
应用程序1拟合的扩散概率为40%，相关人群规模为1 000人；而应用程序2的扩散概率为30%，相关人群规模为100万人。 4 事实上，只要再过几天，我们就会观察到应用程序2的相关人群更大。但是，如果没有模型，如果不能根据前5天的数据来进行分析，我们就可能会对总销售额给出不正确的推断。
在使用扩散模型来指导行动的时候，我们必须将扩散概率分解为分享概率和接触概率的乘积。为了提高应用程序的销售速度，开发人员既可以设法提高人们相互接触的概率，也可以设法加大他们分享关于应用程序信息的概率。要想改变第一个概率是很困难的。为了增大第二个概率，开发人员可以为带来了新注册用户的老用户提供一些激励，事实上，许多开发人员都是这样做的，比如游戏开发者可能会给带来了新注册玩家的老玩家奖励游戏积分。虽然这样做能够增加扩散速度，但是并不会影响总销量，至少根据这个模型来看不会有影响。如上所述，总销量等于相关人群的规模，而与分享概率高低无关，提高销售速度不会带来长期的影响。
大多数消费品和信息都是通过广播和扩散传播的。而巴斯模型则将这两个过程组合在一起了。 5 巴斯模型中的差分方程等于广播模型和扩散模型中的差分方程之和。在巴斯模型中，扩散概率越大，采用曲线的S形就越显著。电视、收音机、汽车、电子计算机、电话机和手机的采用曲线形状都是r形和S形的组合。
巴斯模型
其中，P broad =广播概率，P diffuse =扩散概率。
SIR模型
到目前为止，在我们已经讨论过的模型中，一旦有人采用了一项技术，则永远不会放弃它。对于电力、洗碗机和电视等技术来说，确实如此：一旦采用之后，一般永远不会不采用。但这并不适用于所有通过扩散传播的事物，例如我们患上了某种传染病之后不久就会恢复健康，或者当我们采用了某种流行款式或参加了某项潮流运动之后（例如，某种时装或舞蹈），是可以放弃的。遵循惯例，我们将放弃所采用的某种事物的人称为痊愈者。由此产生的模型，即SIR模型（易感者、感染者、痊愈者），在流行病学中占据了中心位置。
由于这个模型起源于流行病研究领域，同时也因为考虑传染病的痊愈更为自然，因此我们以传染病的传播为例来描述SIR模型。为了避免过于复杂的数学计算，我们假设治愈传染病的人会重新进入易感人群，也就是说治愈传染病并不会产生未来对传染病的免疫力。
SIR模型
其中，P recover ，P spread ，和P recover 分别等于传染病的传播概率、接触概率和痊愈概率。
流行病学家对接触概率和传播概率会进行单独跟踪，我们也会这样做。接触概率取决于传染病如何从一个人传播到另一个人。艾滋病通过性接触传播；白喉通过唾液传播；流感病毒通过空气传播。因此，流感的接触概率高于白喉，白喉的接触概率又高于艾滋病。而且，在发生接触后，各种传染病的传播概率也会有所不同。白喉比SARS更容易传染给另一个人。
SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的基本再生数R 0 ，也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。某种传染病，如果R 0 大于1，那么这种传染病就可以传遍整个人群，而R 0 小于1的传染病则趋于消失。在这个模型中，信息（或者，在这个例子中是传染病）并不一定会传播到整个相关人群。能不能做到这一点取决于R 0 的值。因此，像疾病控制中心这样的政府机构必须依据对R 0 的估计来指导政策制定。 6
基本再生数 R 0
如表11-1所示，麻疹可以通过空气传播，因而它的再生数高于艾滋病，艾滋病只能通过性接触和共用针头传播。对R 0 的估计假设人们不会为了应对传染病而改变行为。然而，当学校里虱子肆虐时，家长的反应可能是让孩子待在家中，以降低接触概率，还可能会剃光孩子的头发，减少接触发生时传播的可能性。这两种行为变化都会降低虱子传播的R 0 。
表11-1 各传染病的基本再生数R0
在没有疫苗的情况下，检疫是一个选择，但是成本很高。 7 如果存在疫苗，那么疫苗接种可以预防传染病传播。即便做不到每个人都接种疫苗，也可以预防传染病传播。必须接种疫苗的人的比例，即疫苗接种阈值（vaccination threshold），可以通过公式 求出。我们可以从上述模型中推导出这个公式。 8
疫苗接种阈值随R 0 的增加而提高。例如，脊髓灰质炎的R 0 为6，因此为了防止脊髓灰质炎的传播，疫苗必须覆盖5/6的人群。而麻疹的R 0 为15，为了阻止麻疹的传播，疫苗必须覆盖14/15的人口。疫苗接种阈值的数学推导也为决策者提供了指引，如果接种疫苗的人数太少，这种传染病就会传播开来，因此政府接种疫苗的次数会超过模型估计的阈值。对于麻疹和脊髓灰质炎等R 0 非常高的传染病，政府将努力保证所有人都接种疫苗。
有些人担心疫苗有副作用，选择不参加疫苗接种计划。如果这些人只占人口的一小部分，那么其他人接种疫苗也可以防止这些人感染这种传染病，流行病学家将这种现象称为群体免疫力。选择不接种疫苗的人事实上是搭了其他接种疫苗的人的便车，对于搭便车的现象，我们将在本书后面的章节中详细研究。 9
R0 、超级传播者，以及度的平方
假设随机混合R0 的推导如下：在每一步，人群中的个体随机相遇。如前所述，随机混合假设可能与通过空气传播的传染病或通过接触传播的传染病有关，但对于通过性行为传播的传染病则不太合理。
如果将SIR模型嵌入到网络中，就会观察到度分布对传染病传播的重要性。在这里，我们比较一下矩形网格网络（棋盘格）与中心辐射型网络。在矩形网格网络中，每个节点都连接到东、南、西、北的节点；而在中心辐射型网络中，则由一个中心节点连接到所有其他节点。
假设传染病会随机发生在某个节点上。我们在网络中设定pcontact =1，以保证每个人都会与他所连接的每个人接触。在下一个时期，传染病可能以一个与传染病毒力相对应的给定概率，独立地扩散给每个邻居。
首先考虑矩形网格网络。在每个时期，传染病都可以扩散到东、南、西、北4个节点中的任何一个。我们预计，如果传染病传播的概率超过了1/4，传染病就会蔓延。展望未来的一个时期就会看到，如果一个新节点患上了传染病，那么这个节点有3个可能患上传染病的邻居。如果原始节点的北部和东部的两个邻居患上了传染病，那么传染病可能传播的节点就会达到6个。因此，这种网络似乎对传染病传播的潜力发挥没有太大影响。
接下来，考虑中心辐射型网络。第一个患上传染病的节点可能是中心节点，也可能是外围节点。如果中心节点患上了某种传染病，那么它可以将传染病传播到任何一个其他节点。我们预计这种传染病会扩散，即便传播的概率很低也是如此。如果是一个外围节点患上了传染病，那么唯一可能被传染的节点就是中心节点。正如在前面讨论过的，如果中心节点患上了传染病，那么即使传播的可能性很小，传染病也会蔓延。
对于中心辐射型网络，R0 携带的信息量很有限，因为如果中心节点患上了传染病，传染病就会传播开来。流行病学家们将位置在度很高的中心节点上的人称为“超级传播者”（superspreaders）。超级传播者加速了艾滋病和SARS的早期传播。 10 超级传播者不一定是社交明星或“人脉”特别广的人，可能从事某种特定的行业职业，比如收费站的收费员、银行柜员、牙科医生，这类职业使他会与属于不同社交网络的人接触。生活在19世纪与20世纪之交的“伤寒玛丽”（Typhoid Mary）只是纽约的一名上门服务的厨师。她从这一家再到另一家，将伤寒感染给每一个接触者。当她被确认为传染源之后，就被强制隔离了。
为了推导出高度数节点的影响，我们首先要注意到一个事实：高度数节点不但能够更快地传播传染病，而且会更快地患上传染病。如果一个人朋友的数量是另一人的三倍，那么他患上传染病的可能性也是后者的三倍，同时传播这种传染病的可能性也是后者的三倍。因此，他对传染病传播的总贡献将是另一个人的九倍。因此，节点对传染病（或思想）传播的贡献与节点的度的平方相关。如果节点A的度数是节点B的K 倍，那么节点A传播传染病的可能性是节点B的K 倍，同时传染病传播到节点A的概率也是节点B的K 倍。因此，节点A对传染病传播的总效应将是节点B的K 2 倍。这种现象被称为度的平方。
一对多
尽管SIR模型原本是用来分析传染病传播的，但是我们也可以将它应用于所有先通过扩散传播，然后趋于消失的社会现象，例如书的销售、歌曲的流行、舞步的风行，“热词”的传播、食谱和健身方法的流传等。在这些情形下，我们也可以估计接触概率、传播概率和“痊愈”概率，以及基本再生数R 0 。这个模型意味着，这些概率只要发生了微小的变化，就可以使R 0 移动到高于零的水平，从而造成成功与失败之间的天壤之别。
