神奇的概率
当我在第5章提到也许很少有人会传阅《时间简史》的时候，你相信我所说的话吗？正如我们很多人所做的那样，我当时对术语的使用也比较宽泛。但是，数学概率这个话题却关系到我们对整个世界认知能力的限度——从诸如夸克和玻色子等亚原子粒子的运动方式到我们有生之年世界末日来临的可能性，从参与各州发行彩票活动的人到天气预报（这两种活动可能有着相同的成功概率）。
有了概率，我们就可以对未来将要发生的事件进行定量分析。概率对于我们做出理性决定也起着重要的辅助作用。没有了它们，我们便会受到逸闻趣事和虚假叙述的蛊惑。也许你曾听到有人说过类似这样的话：“我可不系安全带，因为我听说有个人死于车祸时就系着安全带。他被困在了车里没办法出去。假如没有系安全带，他就不会出事了。” [1]
这种说法也许有一定的道理，但我们的视野却决不能局限于这一两个叙述。什么是相对风险呢？尽管在少数诡异的特殊情况下安全带会置人于死地，但假如不系安全带，那么死亡的可能性必然会高得多。概率有助于我们对这个问题进行定量分析。
当使用“概率”一词时，我们一般采用不同的方式来表达不同的意思。这很易于使人联想到两点：当某人表达的是一种意思时，概率所表示的则是另外一种意思；当我们面对多种可能性时，疑惑不解往往会促使我们得出错误的结论。
概率中的一种——古典概率，所依据的就是对称和可能性相等的思想 [2] ：一个色子有6个面，一枚硬币有2个面，轮盘赌的转轮有38个弹槽（这是美国轮盘赌的数量，欧洲轮盘赌有37个弹槽）。如果没有制造上的缺陷或故意弄虚作假使一种结果优于另一种结果，那么每种结果出现的可能性都相等。所以，掷色子时任何一个特定点数出现的概率都是1/6，掷硬币时正面朝上的概率是1/2，玩轮盘赌时获得任何一个点数的概率都是1/37或1/38。
古典概率只限定于在上述这些定义非常明确的事件中使用。在古典概率中，由于系统参数为已知，所以我们可以据此计算出每个系统事件的概率。然而，我们在日常生活中常常想要知道其他事件发生的可能性，比如一种药品对患者起到治疗作用的可能性，或者消费者偏爱某一种啤酒的可能性。因此，第二种概率便由此产生。在第二种概率中，由于不清楚系统参数是什么，所以我们往往需要对它们做出估计。
为了计算第二种概率，我们需要进行观察或实验，并统计我们得到自己所期望结果的次数。这种概率就叫频率论概率。我们先让一组患者服用一种药品，然后统计有多少患者的病情出现了好转——这就是实验，药物起到治疗作用的概率就是病情出现好转的患者人数占患者总人数的比例（基于期望结果所出现的频率）。假如我们针对大量的人来做这个实验，所得结果将近似于真实概率，这正如公共民意调查一样。 [3]
古典概率和频率论概率这两种概率方法，所计算的都是那些重复出现的、可复制事件的概率，以及在大体相同的条件下你所期望获得的特定结果出现次数的比例 [4] （一些主张比较严格的概率论家提出，条件必须完全相同。但我却认为，这种要求过于苛刻。因为即使在极限情况下，由于偶然变异的存在，宇宙也绝对不会完全相同）。当你使用随机采访的方式进行公共民意调查时，即使你今天采访一些人，明天再采访一些人，你实际上也还是在相同条件下向人们提问的——条件是在此期间没有发生能够改变人们想法的重大事件。当一位证人就犯罪嫌疑人的DNA（脱氧核糖核酸）与一支左轮手枪上发现的DNA二者相匹配的概率出庭作证时，他所使用的就是频率论概率。 [5] 因为从本质上讲，他所做的就是对相匹配和不相匹配的DNA碎片进行计数。从一副纸牌中取出一张牌、在流水线上找出一件有瑕疵的小部件、询问人们是否喜欢他们的咖啡品牌，这些都是古典概率和频率论概率的例子。这些事件也都是重复出现的可复制事件（取纸牌属于古典概率事件，后两个例子则属于频率论概率事件）。
第三种概率与上述两种概率不同。这种概率不是从实验或可复制事件中获得的——相反，它是针对特定事件发生的可能性所表达出的一种观点或相信程度。这种概率叫作主观概率（贝叶斯概率属于其中的一种，它是以18世纪的统计学家托马斯·贝叶斯的名字命名的）。当朋友告诉你说，他有50%的概率去参加迈克和朱莉的周末聚会时，他所使用的就是贝叶斯概率。他所表达的是自己要去参加聚会的一种信念上的强烈度。明年失业率会达到多少呢？我们不能用频率论概率的方法来回答这个问题，因为我们不能把明年的失业率作为在完全相同或类似条件下所取得的一组观察数值。
我们来思考一个例子。当天气预报员预报明天下雨的概率为30%时，此前他并没有针对相同条件下的很多天（即使这种情况真的存在）做过实验，并统计结果。30%这个数字表达了他对明天有雨这件事相信的程度（比例为1∶100）。他有意提醒你，打算外出时要考虑是否带上橡胶套鞋和雨伞。
如果该天气预报员的统计校准度比较高，那么在他的预报所涵盖的那些天当中恰好就会有30%的天数会下雨。假如其中有60%的天数下了雨，那么他的预报就低估了很多。统计校准问题只与主观概率相关。
我们再来看上文提到的那个问题：你的那位说自己有50%的概率去参加聚会的朋友。很多不进行批判性思考的人经常会犯这样的错误，认为如果存在两种可能的情况，那么它们的可能性必然相等。认知心理学家阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）和丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）曾经向人们描述了实验条件下的聚会和其他情境。例如，在一次特定的聚会当中，参会人员可能会被告知，70%的来宾是作家，30%的来宾是工程师。如果你在聚会上偶遇一位有莎士比亚文身的人，那么你就可能正确地认为那个人是作家；如果你碰见了一位身穿印有麦克斯韦方程式T恤的人，那么你也有可能正确地认为那个人是工程师。但假如你在聚会上随机地遇见了某人，而且没有任何暗示其身份的东西——没有莎士比亚文身，也没有数学方程式T恤——那么，此人是工程师的概率有多大呢？在特沃斯基和卡尼曼所做的实验当中，人们往往会回答说：“一半一半。” [6] 这明显混淆了两种可能的结果和两种可能性相等的结果。
主观概率是一种唯一可供我们在现实情境中使用的概率方法。现实情境中往往没有实验，也没有对称方程式。如果“优势证据” [7] 指向被告有罪，法官就会让陪审团做出判决。这种情况就属于一种主观概率——每名陪审团成员都要按照各自的标准和信条（有可能带有个人色彩，并非是客观公正的）来权衡现有的证据，并就证据是否具备优势做出判断。
在赛马比赛中，当庄家开出让利盘口时，他所使用的就是主观概率——尽管庄家有可能获得赛马的历史战绩、健康状况以及骑手的历史数据等信息，但却没有自然对称（它不是古典概率），也没有做实验（它也不是频率论概率）。棒球和其他体育比赛也都如此。为赛马比赛下赌注的人会说，皇家队下次比赛获胜的概率有80%。然而，他并不是从数学意义上来使用概率的，这只是他和我们使用语言为比赛赋予数字精确度的一种方法。下注的人不可能让时光倒流，从而反复观看皇家队进行同一场比赛，然后统计出它在比赛中获胜的次数。他或许掌握着经过反复计算的数据，又或许使用电脑报告了他的预测。但是，他最终所得的数字只不过是一种猜测而已，只能表明他对自己预测的信心程度。不同的赛马行家对同一场比赛结果的预测并不相同。这个现实中的证据说明了人们对赛马获胜概率的预测只不过是主观上的一种判断。 [8]
主观概率就在我们周边，但大多数人却视而不见——在报纸上、会议室以及酒吧里我们都能遇到它。某个国家将在未来的12个月内试验原子弹，明年银行利率将上浮，意大利将赢得世界杯冠军，士兵将占领某一个特定山头，这些事件发生的概率都属于主观概率而非频率论概率——它们都是一次性的不可复制事件。专业人士和预测家的个人声誉完全取决于他们能否对此类事件的发生进行准确预测。
概率的结合
乘法法则是计算概率最重要的法则之一。如果两个事件是独立事件——其中一个事件的结果不影响另一个事件的结果——通过把两个事件发生的概率相乘，你就能得到两个事件同时发生的概率。掷硬币时，正面朝上的概率是一半（因为总共只有两种相等的可能性：正面和反面）。从一副扑克牌中随机抽取一张牌，得到红桃的概率是1/4（因为只有4种可能性相等的结果：红桃、方块、梅花和黑桃）。如果你投掷一枚硬币并从一副扑克牌中随机抽取一张牌，那么硬币正面朝上，同时抽到红桃的概率就可以通过计算得出：把两个事件的概率相乘，即1/2 × 1/4 = 1/8。这种概率叫作联合概率。
你还可以亲自验证上述算法的真实性。具体方法是把所有可能的情形都列出来，然后统计一下你得到自己想要的结果的次数。
正面 红桃 反面 红桃
正面 方块 反面 方块
正面 梅花 反面 梅花
正面 黑桃 反面 黑桃
此处，我忽略了这样一些极其罕见的情形：你把硬币抛出后，它恰好立了起来；硬币在空中被海鸥叼走；你所用的扑克牌是一副魔术牌，每张都是梅花。
同理，我们还可以计算三个事件的联合概率：掷硬币时出现正面，从一副扑克牌中抽到一张红桃，下一个你遇见的人和你在同一天出生（这三个事件的联合概率约为1/365.24——尽管出生日期略显密集，并且有一些出生日期相比较而言更为常见，但是这个数字是一个合理的近似值）。
也许你曾经访问过这样一些网站，它们要你回答一系列的多项选择题，比如“你曾经在下面哪5个街道居住过”“你拥有下面哪5种信用卡”。这些网站试图对你进行鉴定，它们要确定你就是它们所认为的那样。这些网站所使用的正是乘法法则。假如你连续回答6个此类问题，而答对每个问题的概率都只有1/5（0.2），那么你凭借猜测全部答对这些问题的概率就只有0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2，或者说0.000064——大约是6/100000。这还不如你在法庭DNA证据的例子中所发现的那么绝对，但也还不错（你现在可能在猜想，这些网站的提问为什么不采用那种只需要简短作答的填表题。那样一来，你就必须自行提供全部答案而无须做多项选择。原因在于，如果那样做，正确答案的随机性就太高了。你的信用卡指的是大通、大通银行，还是摩根大通的？你曾经居住在北面梧桐街、梧桐北街，还是北梧桐街？你应该能够明白其中的道理了）。
事件的概率由其他事件得知
乘法法则只能在事件之间相互独立的条件下适用。什么样的事件不属于独立事件呢？比如，天气。今晚出现冰冻天气的概率和明晚出现冰冻天气的概率，这两个事件就不是独立事件——一种天气模式一般都倾向于保持一天以上，尽管也会出现反常的冰冻天气，但预测明天夜间气温的最好办法是参照今晚的气温。你可以计算一年之中夜间气温下降到冰点以下的天数——我们假设你所居住的地方有36天如此——那么就可以说今晚出现冰冻天气的概率是36/365，或大约为10%。然而，这种算法并没有把依赖关系考虑在内。如果你说在冬季连续两个晚上出现冰冻天气的概率是10%×10%=1%（遵循乘法法则），那么你就低估了概率，因为这两个晚上的事件不是独立事件，明天的天气预报是由今天的情况预测的。
一个事件发生的概率还可以通过你正在研究的特殊样本得知。今晚出现冰冻天气的概率明显受到你所讨论的地方所在地理位置的影响。在南、北纬44度地区，这个事件发生的概率高于南、北纬10度地区。如果你研究的是篮球场，那么你在那里找到身高6英尺6英寸的人的概率就比在司机们经常去的酒馆里的概率高。你所研究的人或事物的亚组与你的概率估算具有相关性。
条件概率
在评估统计学表述时，那种分析由随机人群组成的群组的做法，经常会使我们误入歧途。实际上，我们应当分析的是亚组。你得肺炎的概率是多少？也许并不是很高。但是，如果我们对你本人和你的特定情况了解得更多，那么你得肺炎的概率可能更高，也可能更低。这种事件的概率被称为条件概率。
我们设计了如下两个不同的问题：
1. 从整个人群中随机抽取一个人，这个人得肺炎的概率是多少？
2. 不是从人群中随机抽取，而是抽取出现三种病症（发烧、肌肉酸痛和胸闷）的一个人，这个人得肺炎的概率又是多少？
第二个问题涉及条件概率问题。它之所以成为条件概率，是因为我们分析的并不是每一个可能存在的条件，而只是那些满足条件所列要求的人。我们无须浏览全部数字就能够做出猜测：处于第二种条件下的人得肺炎的概率更高。当然，我们也可以重新设计这个问题的提问方式，从而使得肺炎的概率低于那些从人群中随机抽取的人：
不是从人群中随机抽取，而是最近刚刚连续做了三次肺炎检测且结果都呈阴性的人。这个人的免疫系统非常活跃，就在几分钟之前，他还刚刚获得了纽约市马拉松比赛的冠军。这个人得肺炎的概率是多少？
采用同样的办法，你患肺癌的概率与你的家族遗传病史并非没有关系。餐馆服务生把番茄酱拿到你餐桌的概率与你所点的菜也并非没有关系。你可以计算出任何一个随机抽选出来的人未来10年得肺癌的概率，也可以计算出服务生把番茄酱拿到一个餐桌相对于拿到所有餐桌的概率。所幸的是，我们事先知道这些事件还要依赖于其他行为。这一点使我们得以缩小所研究人群的范围，从而获得更准确的估计。例如，假如你的父母都患有肺癌，你想要计算一下自己得肺癌的概率。计算方法是研究这个所选群组中其他人的情况，即那些父母患有肺癌的人。而假如你的父母都没有得过肺癌，你想要分析的内容就变成了由没有患肺癌家族史的人所组成的亚组（可能你会得到一个不同的结果数字）。如果你想要知道服务生给你拿来番茄酱的概率，那么你就会只分析那些点了汉堡或炸薯条的顾客的餐桌，而不是那些点了塔塔吞拿鱼或苹果派的顾客的餐桌。
在法律界，忽视事件之间的依赖性（假定事件相互独立）会造成非常严重的后果。莎莉·克拉克案件便是这方面的一个例证。 [9] 莎莉是一位来自英国埃塞克斯郡的妇女。由于被控告谋杀了自己的第二个孩子，所以她出庭接受审判。此前，她的第一个孩子死于婴儿猝死综合征（SIDS）。检方人员控告说，由于两个孩子都死于SIDS的概率非常低，所以莎莉必定谋杀了自己的第二个孩子。检方证人梅多医生是一名儿科医师，他援引了一项研究称，婴儿死于SIDS的概率为1/8543（梅多医生在儿科方面的专业知识并不能使他成为一位专业的统计学家或流行病学家——此类的困惑和疑虑成为很多错误的法庭裁决的基础，本书第三部分将对其进行探讨。一个领域的专家并不能自动成为另一个类似领域的专家）。
如果进行深入思考，我们就会对8543这个死亡数字产生疑问。他们怎么会知道这个数字？SIDS是一种排除性诊断方法，也就是说，没有任何测试方法可以让医学人员做出结论说，死亡是由SIDS造成的。相反，如果医生无法找出死因，而且又排除了其他可能性，那么他们就会把死因贴上SIDS的标签。无法找出某种事物并不能证明它没有发生。由此看来，一些归因于SIDS的死亡实际上是由一些并不那么神秘的原因导致的，比如下毒、窒息、心脏衰竭等。
不过，作为一种辩论，让我们先假设SIDS造成婴儿死亡的原因就是那位专家证人所提出的1/8543的概率。他在证词中又进一步说，同一个家庭发生两次SIDS的概率为1/8543 × 1/8543，或者说1/73000000（“这能说是巧合吗？我认为不是！”在其总结陈词时，检方人员可能会这样咆哮道）。这种计算——这种对乘法法则的运用——把死亡假定为独立事件，但它们也可能不是独立事件。无论何种原因导致克拉克女士的第一个孩子猝然离世，这种原因对于出生在同一个家庭的两个孩子来说，可能都会存在：与SIDS相关的环境因素有两个，一个是二手烟，另一个是让婴儿正面朝下趴着睡觉。另一种可能的情况是：第一个孩子患有某种先天性的生理缺陷病，而这种情况在第二个孩子的基因组中出现的概率相对很高（兄弟姐妹都有一半相同的基因）。如果这样来思考，那么第二个孩子就有50%的概率可能会死于这样的因素。所以，现在看来，克拉克女士就变得很不像是一位杀死自己孩子的母亲了。最终，她的丈夫在医院的档案中找到了证据，证明第二个孩子的死亡是由微生物学方面的原因造成的。最终，克拉克夫人得以无罪释放。然而，她却为自己没有犯的罪行而在监狱里服刑三年。
条件概率有一种特殊的记录符号。假定你要了一个汉堡，那么服务生把番茄酱拿给你的概率可记作：
P（番茄酱∣汉堡）
其中，竖线∣读作“假定”。请注意，这个记法省略了很多描述性的词语，从而使数学表达更为简洁。
假定你刚刚点了一个汉堡，而且也点了番茄酱，那么服务生把番茄酱拿给你的概率可以记作：
P（番茄酱∣汉堡∧已点）
其中，∧读作“并且”。
条件概率的形象化表达
美国一年中肺炎的相对发病率约为2%，即每年在全美国3.24亿人当中被诊断为肺炎的人数为600万 [10] （当然，毫无疑问，没有诊断出肺炎的人也有很多，而且某些人在一年之中得肺炎的次数也不止一次，但我们此处的讨论先忽略掉这些细节情况）。因此，任何随机抽取的人患肺炎的概率大约为2%。但是，如果我们对这个随机抽取出来的特定的人能够有些了解，那么我们就可以做出更准确的估计。如果当你来到医生办公室时，有咳嗽、胸闷和发烧这些症状，那么你就不能再算一个随机抽取出来的人了——你应当归入在医生办公室里表现出上述症状的那一类人。根据这个新证据，你就可以有条不紊地把自己先前所持有的某些事属实（你患了肺炎）的那种信念进行更新。我们采用贝叶斯法则计算条件概率的方式来做到这一点：既然我有了某症状，那么我患肺炎的概率是多少？你拥有的信息越多，就越能够更好地完善这种信念的更新。既然我有了上述这些症状，也有家族病史，而且刚好和患肺炎的人在一起待了三天，那么我自己得肺炎的概率又是多少呢？这样计算所得的概率会越来越高。
当计算条件概率时，你可以使用贝叶斯法则的公式（详见本书附录）。 [11] 但是，还有一种简易的方法能够先把条件概率变得形象化，然后再进行计算。首先，采用数学上的四重表描述出所有可能的情形。例如，你是否点了汉堡，你是否拿到了番茄酱。
然后，根据实验和观察，你在表中填写好各个数值，即每个事件发生的频率。在一个餐馆里，你所观察的16个顾客中点了汉堡且拿到番茄酱的只有一个，点了汉堡但没拿到番茄酱的有两个。这就构成了表格左侧一列的内容。
类似地，你发现有5个顾客没有点汉堡，但却拿到了番茄酱，而8个顾客没有点汉堡，也没有拿到番茄酱。这又构成了表格右侧一列的内容。
下一步，你把表格的每行每列数字都相加。
现在来计算条件概率就变得很容易了。假定你点了汉堡，如果你想要知道你拿到番茄酱的概率，那么你就先看假定条件，也就是左侧的一列。
总共有三个人点了汉堡，即该列最下面的总数3。那么，假定你点了汉堡，你拿到番茄酱的概率是多少呢？我们现在来看“是否拿到了番茄酱的肯定回答”一栏与“是否点了汉堡的肯定回答”一栏交叉处的方格数字，它是1。条件概率P（番茄酱∣汉堡）就等于1/3。你可以形象化地表达这个逻辑：有三位顾客点了汉堡，其中一位拿到了番茄酱，而另外两位没拿到番茄酱。在这个计算过程中，我们忽略了表格右侧的一列。
使用这种方法，我们就可以计算任何条件概率，包括在你没有点汉堡的条件下拿到番茄酱的概率：由于总共有13人没有点汉堡，而且其中的5人拿到了番茄酱，所以概率为5/13，或约等于38%。在这个特定的餐馆中，你没有点汉堡却拿到番茄酱的概率要大于你点了汉堡并拿到番茄酱的概率（现在请你启动批判性思维。这种情况是怎么出现的呢？也许该数据是由那些点了炸薯条的顾客拉动的，也许该餐馆售卖的汉堡在给顾客之前就已经抹上番茄酱）。
医疗决策
条件概率的这种形象化表达方法在医疗决策中非常有用。如果你去做医疗检查，结果显示你患有某种疾病，那么你真正得这种疾病的概率是多少？概率肯定不是100%，因为医疗检查并非完美无缺，它们也会误报（当你没有患病时，检查结果却显示你得病了）和漏报（当你患有疾病时，检查结果却显示你很健康）。
一名妇女患乳腺癌的概率为0.8%。如果她患有乳腺癌，乳腺X光影像能够检测出来的概率只有90%。由于该测试并不完美，它也有检测不出乳腺癌的时候。如果这位妇女没有得乳腺癌，检测显示阳性结果的概率则为7%。现在，假设随机选出来的一位妇女，其乳腺癌检测结果呈阳性——那么她真正患有乳腺癌的概率是多少？ [12]
我们先画一张四重表，然后填写好可能的情形：这名妇女患有乳腺癌和没有患乳腺癌，以及检查结果显示她患有或没有患乳腺癌。为了使数字变得简单，同时使数字显得完整，我们假设分析对象为10000名妇女。 [13]
这个数字就是妇女总人数，所以它应该出现在表格外边的右下角。
在汉堡—番茄酱的例子中，我们先填写的是表格周边的数字，因为那是我们先得到的条件信息。这个例子则与之不同。患乳腺癌的概率是0.8%，或者说每10000名妇女中就有80人患有乳腺癌。这个数字应当填写在表格外面最右边的第一个横线上（虽然我们现在还不知道如何在表中的方格里填写数字，但很快就会知道）。由于表格外面最右边的一列数字之和必须是10000，那么其第二个横线上的数字就是10000 – 80 = 9920。
我们已经知道，如果真正患有乳腺癌，那么检测显示阳性的概率是90%。由于概率之和必定是100%，所以如果真正患乳腺癌时检测不显示阳性的概率一定是100% – 90% = 10%。对于那80名实际上真的患有乳腺癌的妇女来说（表格外最右边第一个横线上的数字），我们现在知道，她们中将有90%的人检测结果呈阳性（90% × 80 = 72），另外10%的人检测结果呈阴性（10% × 80 = 8）。如何填写表中第一行的方格，我们所需要的全部信息都已经在此了。
对于诸如“假定我的检测结果呈阳性，那么我真正患有乳腺癌的概率是多少”之类问题的答案，我们现在还没有做好计算准备，因为我们还需要知道有多少人的检测结果会呈阳性。要解开这个谜团，现在所缺少的一环正是我们在本部分开篇所做的一个说明：在那些真正没有患乳腺癌的妇女中，有7%的人的检测结果仍然会呈现阳性。表外最右边第二条横线上的数字告诉我们，总共有9920名妇女没有患乳腺癌，这个数字乘以7%等于694.4（我们取其近似值694）。9920 – 694 = 9226，这个计算结果应当填写在表中第二行的右下角方格中。
最后，我们把表格中每列的数字相加，结果分别放在表外最下方的横线上。
如果你属于那些认为检测结果呈阳性就一定表明自己真的患有乳腺癌的成百上千人中的一员，那你的认识就错了。假定当检测结果呈阳性时，真正患有乳腺癌的条件概率的计算方法是，把表中左上方方格中的数字除以该列数字的总和，即72/766。一个好消息是，即使乳腺X光影像结果呈阳性，实际上真正患有乳腺癌的概率也只是9.3%。这是因为乳腺癌这种疾病的发病率相对来说比较低（每1000人中还不到一人患病），而且相关医疗检测方法也不完美。
反向条件概率行不通
自小学开始，我们对数学中的某些对称性就一直比较熟悉：如果x = y，那么y = x；5 + 7 = 7 + 5。然而，把这种数学方法运用于某些概念时却行不通。这就像我们在上文关于概率数值的讨论中所看到的那样（如果出现假警报的概率是10%，那么并不意味着遭受袭击的概率就会是90%）。
请思考下面这条统计：
超市里售出的苹果数量是路边摊售出的苹果数量的10倍。
稍做思考便可得知，这条统计并不是说在你想吃苹果的那一天，你去超市找到苹果的可能性更高：超市的顾客数量或许是路边摊的顾客数量的10倍，即便超市的库存量很大，它也有可能无法满足顾客的需求。如果你看见大街上任意一个路人手里拿着苹果，而你不知道他们从哪里买的苹果，那么他们手里的苹果是从超市买来的概率要高于在路边摊买来的概率。
作为一个条件概率问题，我们可以提问：假定一个人手中有一个苹果，那么他的苹果从超市买来的概率是多少？
P（在超市购买∣发现手中有一个苹果）
如果你很想吃蜜脆苹果，你可能会很想知道这个人是在哪里买到的，但下面的条件概率公式所表达的意思却大不相同：
P（发现手中有一个苹果∣在超市购买）
同样的意义不对称的现象会以各种不同的伪装形式出现在各类统计数据当中。如果你读到这样的内容：晚上7点发生的汽车事故数量比早上7点多。 [14] 这是什么意思呢？此处，语言文字叙述本身就有歧义。它可以表示，你所研究的是在汽车事故已发生的条件下，它发生于晚上7点的概率；也可以表示，在晚上7点的条件下，汽车事故发生的概率。在第一种情形下，你的研究对象是所有的汽车事故，然后分析有多少事故发生的时间是晚上7点。在第二种情形下，你所研究的是晚上7点时有多少汽车在路上，然后分析这些汽车中有多少发生了事故。天！
也许，晚上7点时道路上的汽车数量比一天之中的其他时间都多，而且每1000辆汽车发生事故的概率也极低。在这种情况下，也可以出现晚上7点比其他时间汽车事故都多的现象。其原因仅在于，在那个时间点道路上的车辆要多得多。能帮助你确定什么时间驾驶汽车才最安全的其实是事故率。
与此类似，你或许还听说过这种说法，即大多数的汽车事故都发生在离家三英里的地方。这并不是因为那样的地方本身最危险，而是因为人们出门大都是做短途旅行，所以离家三英里的地方是人们开车经过最频繁的地方。在多数情况下，对上述关于晚上7点汽车事故的这个叙述所做的两种不同的解释都是不相等的：
P（晚7点∣事故）≠ P（事故∣晚7点）
此类理解上的混乱状况不仅存在于理论层面之上，很多庭审案件的结果也都取决于一种对条件概率的错误运用，造成既成事实判断方向上的混乱。一位法医学专家或许能够正确地计算出犯罪现场发现的血迹与被告血型意外匹配的概率只有1%。但这并非完全等同于说，被告无罪的可能性就只有1%。什么？直觉又一次欺骗了我们。这位法医学专家告诉我们的是，在假定被告无罪的条件下，血型相匹配的概率：
P（血型匹配∣无罪）
或者，用白话来说，就是“如果被告真的无罪，我们可以发现的血型匹配的概率”。这与你真正想要知道的数字并不相同，其实你想要知道的是：在血型相匹配的条件下，被告人无罪的概率是多少：
P（血型匹配∣无罪）≠ P（无罪∣血型匹配）
由于这种错误的理解，很多无辜的公民被迫遭受了牢狱之灾。很多病人也在医疗保健方面做出了不明智的决定，因为他们错误地认为：
P（阳性检查结果∣癌症）= P（癌症∣阳性检查结果）
不仅仅是病人，医生也时刻都在犯此类错误（一项研究表明，90%的医生把上述两种概率视为等同）。 [15] 这种情况异常危险。曾经就有一位外科医生规劝90名妇女说，如果她们属于高危人群，那么就要把健康的乳房切除。 [16] 这位医生之前注意到，93%的乳腺癌患者都属于高危人群。假定一位妇女患有乳腺癌，那么她处于高危人群的概率为93%：P（高危人群∣乳腺癌）= 0.93。对于一个由1000名普通妇女组成的样本，我们使用一张四重表进行描述。另外，再附加这样一条信息：57%的妇女都属于高危人群，以及妇女患乳腺癌的概率是0.8（如上文所提）。据此，我们就可以计算P（乳腺癌∣高危人群）。妇女们在知道这个统计概率后，才可以去咨询外科医生。
假定一位妇女属于高危人群，那么她患癌症的概率并不是那位医生错误认为的93%，而是7/570，即1%。那位医生把妇女患癌症的概率高估了实际值的近100倍。可想而知，其后果是多么具有灾难性。
你也许会感到四重表就像是一种怪异的小练习，但是形象化地列出数字以简化计算过程的做法，实际上是科学的、批判性的思考方法。有了这些计算所得的结果，你就可以把问题的不同部分进行量化，从而使自己的决定变得更加有理有据。虽然四重表的计算功能如此强大，但令人惊讶的是，并非每个人在高中时期都曾接受过这方面的教育。
思考统计数据和图表
我们大多数人不仅很难通过心算得出概率和统计数据，而且也很难体察出复杂数字表格中所存在的数字模型。我们往往更偏爱栩栩如生的图片、图像和文字描述。在做决定之际，我们经常会过分看重这些图片和描述，而不是统计信息。此外，我们还倾向于错误地理解和解释图表。
我们中的很多人由于惧怕数字，所以会盲目接受那些硬塞给我们的数字。这样做会促使自己做出糟糕的决定，得出错误的结论。我们还有一种倾向，即只把批判性思考运用在那些我们不赞同的事情上面。在当今的信息时代里，虚假事实戴上了真正事实的面具，真假信息鱼龙混杂、难以分辨，数字经常占据着重要论述和重大决定的核心位置。糟糕的统计数据也随处可见。正如社会学家乔尔·贝斯特（Joel Best）所说，这不只是因为其他人全部都是说谎者。 [17] 糟糕的统计数据是由人做出来的——而且往往是那些充满热情和善意的人——他们对自己宣扬的内容并没有做批判性思考。
人们对于数字的恐惧感使他们无法对统计数据进行分析。同样的恐惧感也使得他们无法仔细分析那些存在于图表、数轴标签和他们的表述中的数字。世界充满各种巧合，怪诞的事情很有可能发生，但是，当两个事物同时发生变化时，并不能说明它们之间一定存在因果关系，或者它们同等地与隐藏着的第三种因素有关联。受到这种关联或巧合蒙蔽的人一般都不能很好地理解概率、因果关系以及随机性在事物中的角色。你可以编造这样一个故事：在过去300年间，海盗数量的减少和恰巧同时出现的全球气温上升，这二者必定表明海盗在控制全球变暖方面起着关键作用。不过，这不仅是一种草率的思考，而且是一种对证据的错误解释。有时，这种错误逻辑的传播者本就心知肚明，但他们却期望你不会注意到；而有时，就连他们自己也被蒙在鼓里。但现在，你的认识已经得到了提高。
[1] This example comes from Best, J. (2012) and my childhood friend Kevi.
[2] The principle of symmetry can be broadly construed to include instances where outcomes are not equally likely but still prescribed, such as a trick coin that is weighted to come up heads two-thirds of the time, or a roulette wheel in which some of the troughs are wider than others.
[3] We could also conduct the experiment with a small number of people many times, in which case we would expect to obtain different numbers. In this case, the true probability of the drug working is going to be somewhere close to the average (the mean) of the numbers obtained in all the experiments, but it’ s an axiom of statistics that larger samples lead to more accurate results.
[4] Classic probability can be thought of in two different ways: empirical and theoretical. If you’re going to toss a coin or draw cards from a shuffled deck, each time you do this is like a trial in an experiment that could go on indefinitely. In theory, you could get thousands of people to toss coins and pick cards for several years and tally up the results to obtain the proportion of time that different outcomes occur, such as “getting heads” or “getting heads three times in a row.” This is an empirically derived probability. If you believe the coin is fair (that is, there’s no manufacturing defect that causes it to come up on one side more than the other), you don’t need to do the experiment, because it should come up heads half of the time (probability = .5), in the long run, and we arrive at this theoretically , based on the understanding that there are two equally likely outcomes. We could run a similar experiment with cards and determine empirically and theoretically that the chances of drawing a heart are one in four (probability = .25) and that the chances of drawing the four of clubs is one in fifty-two (probability ≌.02).
[5] Aitken, C. G. G. & Taroni, F. (2004). Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists, Second Edition. Chicester, UK: John Wiley & Sons.
[6] Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under uncertainty: Heuristics and biases. Science , 185 (4157), 1124–1131.
[7] 优势证据规则是对双方所举证据的证明力进行判断时所确立的规则，属于采信规则。即当证明某一事实存在或不存在的证据的分量与证明力比反对的证据更具有说服力，或者比反对的证据可靠性更高时，由法官采用具有优势的一方当事人所列举的证据认定案件事实。——译者注
[8] For further discussion, and more formal treatment, see Iverson, G. R. (1984). Bayesian Statistical Inference. Thousand Oaks, CA: Sage, and references cited therein.
[9] I thank my student Alexandra Ghelerter for this example. See also Nobles, R., & Schiff, D. (2007). Misleading statistics within criminal trials. Medicine, Science and the Law, 7–10.
