被低估的可替代解释
当你评估一种表述或论点时，要问问自己是否有另外一个原因——而不是对方已经给出的那个原因——可以对所汇报事实或观察做出解释。可替代解释总会存在，我们的工作就是针对已经给出的一个或多个原因做出权衡和考量，以便确定做结论的人是否已经得到最明显或可能性最大的结论。
例如，如果你走过大厅时遇见了几个朋友，而他们并没有对你的招呼做出回应，你也许会得出结论说他们对你有意见。但是，可替代解释可以是：他们当时并没有看见你；他们在赶时间参加会议；他们正在全神贯注于某事；他们正在参加一项心理测试；他们参加了沉默一小时誓言活动；或者他们暂时遭到了“掘墓盗尸人的入侵” [1] （也可能永远遭到了入侵）。
可替代解释不仅大量地出现在伪科学和伪知识中，它们也常常会出现在真正的科学领域。欧洲核子研究组织的物理学研究者对外报告称，他们发现中微子的运动速度比光速更快。这个发现若得到证实，将颠覆存在了一个世纪的爱因斯坦理论。然而最终证明，该发现不过是实验室里的直线加速器出现了电缆松动而造成的结果。这个例子突显出了一点：在极度复杂的实验中，与那些将彻底颠覆我们对宇宙性质的理解的事物相比，方法论上的缺陷几乎总会成为更有可能的解释。
与此类似，如果一个网页通过引用实验数据，向你展示了一种全新的、之前从未听说过的混合维生素，声称该药物可以让你的智商测试提高20分——制药公司居然不想让你知道这一点！那么你就应该弄清楚其他人都没有听过这种说法的可能性有多大，以及这种说法是否有这样一种简单的可替代解释：因为某人想要从中赚钱。
具有心灵感应的人、算命先生以及灵学家们通过看似不可能的读心术这种特殊技能赚到了大把的钞票。有一种解释认为，他们挖掘到了一种秘密隐藏的力量，而这种力量与我们所熟知的因果规律和时空性质格格不入。而一种可替代解释则认为，他们属于魔术师，使用的是魔术手段，只不过他们对自己的所作所为说了谎话而已。有一点可以作为后一种观点的佐证：职业魔术师的确存在，包括詹姆斯·兰迪 [2] 在内。直到现在，他都可以利用聪明的幻术来复制心灵感应者的每一种特技。为了尽力证实那些自称灵学家的虚假性，魔术师往往还会告诉你他所使用的技巧。公平地讲，我认为可能的情况是，正是这些魔术师在试图欺骗我们——他们才是真正的灵学家，害怕把自己的技巧解释给我们（可能惧怕虐待、绑架等）。他们只不过假装自己所使用的是聪明的幻术而已。但我们再回头看一下以上两种可替代解释：一种使我们摒弃一切已知的自然和科学知识，而另一种却并非如此。虽然任何心理学家、执法官员、商业人士、离婚夫妇、外国服务人员、间谍或律师往往会告诉你人们会说谎，但是他们这样做却有着各种各样的原因，有时候其频率和活跃度令人感到非常担忧。但如果你遇到了一种不太可能成立的表述，那么更有可能的（可替代）解释就是，那个把该表述告诉你的人肯定在说谎。
那些不使用灵学力量而努力预测未来的人——军事领导人、经济学家、商业战略家——的预测经常会出现较大的偏差，原因在于他们没有考虑到可替代解释。在这种情况下，一种叫作“前景规划”的商业实践应运而生——要考虑所有可能的结果，甚至那些看似不大可能的结果。这要做起来非常困难，就连专家甚至都会出错。1968年，威尔·杜兰特（Will Durant）和艾丽尔·杜兰特（Ariel Durant）写道：
在美国，盎格鲁–撒克逊家庭婴儿出生率低的情况造成了国家经济和政治影响力的减弱。罗马天主教家庭较高的婴儿出生率表明，到2000年，罗马天主教家庭将会成为国家级、市级以及州级政府的主导力量。 [3]
他们两人没有考虑到的情况是，在这中间的32年里，很多天主教徒会脱离教会。尽管教会禁止人们采用节育措施，但很多人却那样做了。对于他们在1968年的观点来说，其可替代解释真是难以想象。
有关社会和艺术方面的预测也被颠覆了：披头士时代的专家提出“吉他乐队即将过时”。贝多芬第五交响曲首次演奏时，当时的评论中有很多负面的看法。其中的一种观点认为，将来没有人再想听它了。科学也被颠覆了：专家称，高速运行的火车永远不能实现，因为乘客会因窒息而死。专家认为，光的传播介质是一种叫作“以太”的物质。科学和生活都不会静止不动。我们所能做的就是利用身边可以使用的最佳工具，评估证据的分量，并做出自己的判断。其中的一个工具尚未得到充分利用，那就是运用创造性思维为我们一贯的思考方式想象出可替代解释。
在刑事审判中进行法律论证时，可替代解释起着关键作用。我们在本书第一部分看到的框架效应 [4] ，以及没能理解到条件概率不可逆向使用，这两者都会造成很多错误的判决。
恰当的科学推理首先要建立两个（或多个）假设，然后再给出每种假设情况发生的概率。在法庭上，律师不应当把注意力集中在血型匹配的概率之上，而应当把关注点放在两种可能情况发生的概率上面：两个血液样本来自同一处的概率是什么，以及它们来自不同地方的概率又是什么。更确切地说，我们需要比较这两件事情的概率：假定嫌疑人有罪时，血液样本相匹配的概率，以及假定嫌疑人无罪时，血液样本相匹配的概率。或者说，我们可以比较这样的两种概率：根据现有数据，嫌疑人无罪的概率，以及根据现有数据，嫌疑人有罪的概率。我们还需要知道统计计量的准确性。2015年，美国联邦调查局（FBI）宣布，在显微镜下进行头发分析，所得结果在90%的情况下都不正确。 [5] 如果没有上述这些信息，法庭就不可能对案件做出公平、准确的判决。 [6] 也就是说，如果我们单从血型匹配的角度思考，那么我们相当于只考虑了一个方面的证据，即假定罪犯曾出现在犯罪现场时血液相匹配的概率。然而，对于可替代的假设情况下血液匹配的概率，我们却不得而知。我们所需要做的正是对这两种情况加以比较。
上述情况每时每刻都在发生。在英国的一个案件当中，犯罪嫌疑人丹尼斯·亚当斯（Dennis Adams）就完全是因为DNA证据而遭到了指控。 [7] 由于受害人无法将他从一组嫌疑人中指认出来，所以她在法庭上表示，丹尼斯并不像袭击她的人。该受害人补充说，丹尼斯看上去比袭击她的人大20岁。此外，丹尼斯还拥有案发当晚不在现场的证明，并且这一点也得到了第三方证人的证实。在审判中，检方可以拿出的唯一证据就是DNA相匹配。此外，丹尼斯有一个兄弟。虽然丹尼斯的兄弟的DNA也与从犯罪现场采集的DNA相匹配，但没有进一步的证据能够证明作案人是丹尼斯的兄弟。所以，调查人员并没有考虑丹尼斯的兄弟作案的可能性。然而，他们却同样没有其他的证据能够证明丹尼斯是作案人——唯一的证据只是他的DNA与犯罪现场的DNA样本相匹配。在那次审判当中，没有人考虑过这样的可替代解释：犯罪者有可能是丹尼斯的兄弟……丹尼斯在初审和上诉判决中均被判定有罪。
古人所建，外太空才能看到
你或许听到过这样的推测：人类生命并非在地球上进化而来；某个外星生命种族从天而降，种下了第一个人类生命的种子。这种推测本身并非没有道理，只不过没有真正的证据可以证明它而已。但这并不意味着这种推测不真实，也不意味着我们不应该去寻找相关证据，而是说明了这样的事实：有可能属实的某种事物，其实用性有限——也许它只对科幻小说有用处。
2015年《纽约时报》的一篇报道描述了哈萨克斯坦境内一种只能从太空才能观察到的神秘地面构造。
卫星图显示，在一个位置偏远、没有树木生长的北部大草原上，出现了一个巨大的土方工程。其形状呈几何图形，包括方形、十字形、直线和圆形在内，其面积足有几个足球场那么大。整个构造只能从太空中看到。据估测，其中最古老的图形距今已有8000年历史。
面积最大的图形位于新石器时代的一个人类聚居点。它是一个由101个隆起的土丘构成的巨大的四方形，对角由对角交叉线相连接。整个图形的占地面积比吉萨金字塔还大。另外还有一个图形是带三个分叉的卍字末端的“手臂”，呈Z字形，并向逆时针方向弯曲。 [8]
报道的描述很容易使人感到激动不已，使人联想到这些伟大的设计曾是古人向外星生命发送信号的一种方式，也许还遵守着来自外星球的严格指令。它们也许是古代外星飞船的降落场，或是一种编码信息，仿佛在传达着“发送更多食物”的信号一样。我们人类的天性本就如此——我们喜欢对超出常规的事物产生联想。我们是一个偏爱讲故事的物种。
任何有能力进行星际飞行的文明，必定会拥有比在地面上摆放巨大的土丘更为高效的通信方式。对这个相当明显的事实，我们暂时先不做考虑。此处必定存在一种可替代解释。幸运的是，《纽约时报》援引了这些神秘石头的发现者迪米特里·代伊（Dimitriy Dey）的话，为我们提供了下面这种可替代解释（尽管并不是所有报道这个发现的媒体都这样做了）：
“我认为它们从太空中被人们看到并非有意为之。”44岁的代伊先生在他的家乡库斯塔奈（Kostanay）接受采访时表示。他摒弃了那些与外星生命和纳粹有关的离奇推测（早在希特勒之前，万字符就是一个古老的、几乎普遍被人们使用的设计元素）。他推理说，在位于高处的地面上沿着直线所建立的这些图形是“用于跟踪太阳起落轨迹的水平天文台”。
与外星生命的解释相比较，一种古代日晷这种解释听起来似乎可能性更大。这并不是说该解释一定准确，但发掘合理的可替代解释恰恰是信息素质和评估表述工作的一部分。这个例子便是例证。
缺少对照组
所谓莫扎特效应，指的是每天听20分钟莫扎特的音乐能够暂时提高人的智商。这个效应之所以不可信，原因在于相关的实验缺少对照组。也就是说，实验给一组人听了莫扎特的音乐，而另一组人则无事可做。什么也不做的一组人不足以作为有事可做一组人的对照组。事实证明，如果你让人们做一些事情——几乎可以说任何事情——该效应就会消失。莫扎特效应的推动力并不是莫扎特的音乐能够提高智商，而是无所事事时的无聊感会暂时减少有效的智商。
如果你把20名患有头疼病的人带入实验室，并给他们服用新研制的一种神奇的头疼药。最终，10个人的头疼症状得到了缓解。这个实验其实什么也说明不了。某些头疼病的症状会自行缓解。这样的头疼病有多少种呢？我们不知道。在这个实验中，你需要有一个对照组。这组人不仅有着相似的年龄和背景，而且也患有类似的头疼症状。患者都抱有这样一种信念：只要病情好转，自己的健康状况就会得到改善。因此，你一定要给实验对照组提供某种东西，它能够像你所研究的新药物那样增强患者的这种信念。这就是著名的安慰剂。这种药丸的外观看上去和神奇的头疼药一模一样。所以，在实验结束之前，所有参加实验的对象都不知道谁服用的是哪种药。
在《逆转：弱者如何找到优势，反败为胜》（David and Goliath ）一书中，作者马尔科姆·格拉德威尔（Malcolm Gladwell）传播了一个无效的结论。他提出，失读症患者在实际生活中有可能还具备某种优势。这个建议促使很多父母相信，他们患有失读症的孩子不应该接受必要的教育补救措施。格拉德威尔实验的错误之处在于缺少了对照条件。假如他在实验中所选择的失读症患者能够改善自身的教育状况，那么他们在人生中所能够获得的成功将会比现在大多少？我们对此并不清楚。
缺少对照组的现象经常出现在人们的日常谈话之中。这要比在科学表述中更难以发现，因为我们从不注意从寻常谈话中去寻找。假设你读到——并正在验证——这样一项新研究：每天有规律地睡觉和起床可以提高工作效率与创造能力。你的一位艺术家朋友，无论从哪个方面衡量都称得上成功人士。她却反对说，她本人每天都是想睡就睡，经常熬夜，有时候还一睡就是20多个小时，但仍然感觉很好。然而，她的表述缺少对照组。假如她按照正常时间作息，那么她的工作效率和创造能力又会在现在的基础上提升多少呢？ [9] 我们不得而知。
有一对儿孪生兄弟，出生不久就被分开抚养——一个在纳粹德国，另一个在委内瑞拉。 [10] 一个按照罗马天主教信仰抚养，最终加入了希特勒青年团；另一个作为犹太人来养育。当这两兄弟阔别21年后重逢时，他们发现彼此的行为习惯仍然有很多的相似之处。 [11] 很多被这个故事吸引的人，都只能把其中的原因归结到遗传学上面：两人都用无名指挠头；两人都认为偷偷地走近陌生人然后大声打喷嚏这种行为比较滑稽；两人都在上嘴唇上留着修剪整齐的小胡子，都戴着矩形金属框眼镜，眼镜的上角都是圆形的；两人都穿着有肩章和军队风格口袋的浅蓝衬衫；两人的走路姿态相同，在椅子上的坐姿也一样；两人都喜欢黄油和辣味的食物，使用马桶前后都要冲刷马桶，读书时也都先读结尾部分；为了方便握笔，两人所使用的钢笔和铅笔上都缠上了胶带。
像上面这样的故事一定会促使你思考基因如何影响我们的行为方式。或者说，我们是否都属于一种自动装置，行为方式早已预先确定好了。要不然，怎样解释这种巧合情况呢？
嗯，有两种方法可以进行解释，而且它们都可归结为对照组的缺失问题。社会心理学家可能会说，人们倾向于用相似的方式来对待长相相似的人。人们对待有魅力的人会有别于没有魅力的人，对待身材高大的人也不同于身材低矮的人。如果你脸上显现出诚恳和无私的特征，那么人们对待你的方式就会与你脸上没有这些特征时不同。双胞胎兄弟的行为特征由他们各自所处的社交圈塑造成型。对于出生后分开养育的双胞胎这个“自然实验”而言，为了从中得出确切结论，我们需要由没有相关性的一组人组成一个对照组。这些人不但长相必须非常相似，而且从小就被分开抚养。
统计学家或行为遗传学家可能会说，在我们所做的成千上万件事情中，如果你的观察时间和努力程度足够，那么这样的情况就有可能出现：任何两个陌生人各自在服装、修饰打扮、喜欢的笑话，以及古怪的个人癖好方面，都会有惊人的相似性。 [12] 当没有这个对照组时——把陌生人聚集到一起，并记录下他们的行为习惯——我们就不清楚上述这个非常吸引人的双胞胎故事究竟是由遗传学决定的，还是纯属巧合。遗传学或许在其中也起到了一定的作用，但可能它所起的作用并没有我们想象中的那么大。
择优挑选
我们的大脑与生俱来的一项能力就是根据大千世界里每个瞬间所发生的亿万个事件来编造故事。其中的某些事件纯属巧合，并不具备任何实际意义：正当你思念一位很久没有联系的朋友时，她恰好打来了电话。这并不意味着你们两人具有某种精神力量；如果你在俄罗斯轮盘赌中连续获胜，这也并不意味着你能够永远保持连胜，并且理应把所有赌注都压到下一轮当中；假如没有获得资格认证的修理工这一次修理好了你的汽车，也并不意味着下一次他同样能够修理好你的汽车——或许他这次只不过是运气较好而已。
我们试举一例。试想你有这样一个特别喜爱的假设论点，即摄入过多的维生素D会使人心神不安，你就会想方设法地搜寻可以支撑这个论点的证据。但如果你只搜寻支撑性证据，那么你的研究就不恰当，因为你忽略了相反的证据——维生素D的摄入存在或多或少两种情况。然而，你却茫然不知，因为你根本就没有留意。用通俗的话来讲，科学家把这种做法叫作“择优挑选”（cherry-picking）那些符合你的假设的数据。恰当的研究方法则要求，你应当对任何事情都保持一种开放心态，并努力大胆地思考正、反两方面的证据，然后形成一种基于证据（而不是那种基于“哇，我希望是这样”）的研究结论。
与这种择优挑选的偏见相伴出现的另外一种偏见叫作选择过滤（selective windowing）。当你接触到的信息不能够代表全部信息时，选择过滤便会产生。假如你在一列火车上，透过“过滤车窗”观察一座城市，那么你只能看到这座城市的一部分，而这部分并不一定是一个有代表性的部分——你只能观察到该城市铺设了火车轨道的那个部分，以及可能存在的与之相关联的偏见。火车会产生噪声，富裕的人一般居住在没有噪声的地方，所以那些留下来居住在火车轨道附近的人一般收入都较低。如果你对一座城市的了解仅限于那些居住在火车轨道附近的人，那么你所看到的必定不是整座城市。
这个问题当然与本书第一部分关于数据收集和获得有代表性统计样本的重要性这两个讨论内容有关。我们努力理解这个世界的性质——或者至少理解一座有火车穿城而过的新城市——我们想为自己所见所闻的内容想出可替代解释。一个具有广泛适用性的好的可替代解释是：你只看到了整体的某一部分，而你所没看到的部分可能非常不同。
你的姐姐正在骄傲地向你展示她5岁女儿的画作。这个作品非常出色！如果你喜爱它，就把它装裱起来吧！但如果你要在孩子未来能否成为一名伟大画家方面做投资决定，你就会提出这样一些问题：谁修改了这幅画作？谁挑选了它？原画尺寸有多大？这位小毕加索在这幅画作之前还有多少作品？这些以往的画作绘制先后顺序怎样？利用选择过滤的方法，你可能看到的是一系列绝妙画作中的一部分作品，也可能是经过她的老师辨别和修改过的大量画作（属于平淡无奇一类）中的一幅可爱的小作品。
在新闻标题中，我们也能够看到选择过滤。一条新闻标题也许会宣称“支持这项立法的美国人比反对它的人多三倍”。按照本书第一部分介绍的步骤，即使你自己已经感觉比较满意，并认为该项调查的统计样本具有代表性并且从美国人中抽取了足够大的样本基数，但是你却不可以得出结论说，大多数的美国人都支持该项立法。情况也有可能是这样的：1%的美国人反对它，3%的美国人支持它，而94%的美国人则尚未做出决定。同样的花招也可以植入这样一条有关美国总统选举的新闻标题中：在总统预选中，支持候选人A的共和党选民人数比支持候选人B的共和党选民人数多了5倍。这个表述有可能反映了真实情况，但是也有可能忽略了这样的情况：民调显示，候选人C获得了80%的选票。
请你试着把硬币抛向空中10次。你心里“知道”硬币正面朝上的次数应该占到一半，但也有可能不是这样的。即使你投掷硬币1000次，你也极有可能不会得到500次正面朝上的结果，因为只有经过无限次数的尝试，才能获得理论上的概率。你投掷硬币的次数越多，那么你就越接近得到正面朝上和反面朝上50%∶50%的概率。它是违反直觉的，但在上述投掷硬币的序列中的某个时间点，你连续得到5次正面朝上结果的概率会非常接近100%。为什么它会如此违反直觉呢？我们的大脑还没有进化到能够完全理解随机性的程度。它一般并不是正面—反面—正面—反面这样的次序，但即使在一个随机序列中，也会有连续（也叫连串）的情况出现。这就使欺骗别人变得容易起来。请你自己用手机视频记录下连续投掷硬币1000次的过程。在每次投掷之前，你都宣布“这次的结果将会是连续5个正面的第一次出现”。接着，如果结果是正面朝上，在下一次投掷之前，说“这次是连续5个正面的第二次出现”。如果下次的结果是反面朝上，那么重新投掷。如果不是反面，那么在下一次投掷前，说“这次会是连续5个正面朝上的第三次出现”。然后，剪辑你的视频，使其只包含连续5次硬币正面朝上的片段。没有人会比你更聪明！如果你确实想要给人们留下较深的印象，那么就去做连续10次正面朝上的视频吧（每1000次投掷连续10次正面朝上的概率大约为38%。换个角度来看，如果你让房间里的100个人连续向上投掷硬币5次，那么其中的某个人得到连续5次正面朝上结果的概率为96%）。 [13]
当我们调查人们对于纽约市警察局的看法时，一位75岁的社会名流的观点很有可能与一个16岁有色人种男孩有着很大的不同，他们的看法受到了个人所看到的现象的选择性过滤。这位16岁的有色人种男孩可能汇报说，警察经常无故地把他叫住，对他进行种族性的评论，并像对待罪犯一样对待他，而那位75岁的社会名流可能根本无法理解为什么会出现这种状况。“我对该警局所有警员的印象都非常不错。”
保罗·麦卡特尼（Paul McCartney）和迪克·克拉克（Dick Clark）曾经把自己20世纪60年代电视节目的底片全部收购了。 [14] 从表面上看，这样做可以使他们把自己的过往历史资料掌握在自己手中。假如你是一位研究学者，或者是一位正在寻找档案资料的纪录片制片人，那么你的工作就会受到这两人选择性地呈现给你的视频资料的限制。当你查看某种表述的支撑性数据或证据时，一定要问问自己，对方呈现给你的部分是否能够代表整体。
选择性的小型样本
一般来说，小型统计样本不具备代表性。
假设你在负责一种新型混合动力汽车的营销工作。你想得到有关这款汽车燃油效率的表述，所以，你派了一名司机驾驶这辆汽车上路进行测试。结果发现，该车消耗1加仑 [15] 燃油可以行驶80英里。这看上去很不错——你的任务已经完成了！但是，也许你只是比较走运而已。你的竞争对手做了一项更大的测试，他们派出了5名司机驾驶5辆汽车上路。他们的测试结果是消耗1加仑燃油的行驶距离接近60英里。谁的测试准确呢？你们两者都准确！假设你的竞争对手的测试结果如下：
测试一：58英里/加仑
测试二：38英里/加仑
测试三：69英里/加仑
测试四：54英里/加仑
测试五：80英里/加仑
路况、外界气温以及驾驶习惯等都会给测试带来很多变量。如果你很幸运（而竞争对手不走运），你派出司机测试时得到了一个极端结果，可以使你兴高采烈地进行汇报（当然，如果你想优先选择，那么你就可以忽略上述的第一至第四个测试结果）。但是，如果研究人员想得到真相，他就需要一个更大的统计样本。一个做了50次不同的汽车行程测试的独立实验室或许会发现，这款汽车的平均燃油效率完全不同。一般来说，小型统计样本所得结果更有可能出现异常。更大的统计样本则可以更准确地反映世界的客观状况。 [16] 统计学家把它称为大数定律。
如果你观察一家乡村小医院一个月之内的婴儿出生率情况，就会发现70%的新生儿都是男孩。与此相对照，城市大医院里的新生儿则有51%是男孩。你就会想，乡村小医院里一定发生了某种有趣的事情。事实可能如此，但没有足够的证据可以确切地说明这一点。小型统计样本在这里又起到了作用。大医院可能出现每100个新生儿当中有51个新生儿是男孩的情况，而小医院里每10个新生儿当中有7个是男孩。这正如上文提到的投掷硬币的例子一样：概率各为50%的两个事件，其统计学上的平均数在大型统计样本中的辨识度最高。
那么，统计样本多大才算足够呢？判断这个问题是专业统计学家的工作。不过，在你试图弄清楚自己所阅读的统计资料时，也有粗略但现成的规则可供使用。对于人口统计来说（比如投票偏好、牙膏偏好等统计），你可以在网上轻松地搜寻到样本大小计算器。对于判断某事在本地的发生率这类的统计（比如新生儿是男孩的比例、普通人每天说自己感到饥饿的次数），你就需要了解研究对象的基础比例（或发生率）。假如研究人员想知道在一个特定社区里有多少例新生儿白化病患者。他查看了前1000个新生儿，并且发现其中没有白化病患者。如果他就此得出结论，这就不明智了，因为新生儿白化病的实际发病率每17000人中仅有1例。1000个新生儿的样本太小了——“小”是相对于你所研究对象的稀有性来说的。另外，如果他所研究的是早产儿发生率，那么统计样本为1000时就已经非常够用了，因为早产儿发生率实际上是每9个新生儿中有1例。 [17]
统计学素养
我们来思考这样一个街头游戏：有人在一个帽子或篮子里放置了三张卡片，每张卡片都有两面：一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是白色，一张卡片一面是红色，另一面则是白色。设置骗局的人从帽子中抽取了一张卡片，并向你展示了卡片的一面，它为红色。他下了5美元的赌注，赌的是该张卡片的另一面也是红色。 [18] 他期待你认为另一面是红色的概率为50%，所以你就会愿意赌他输。也就是说，那张卡片的另一面是白色的概率也同样为50%。你可能会做出这样的推理：
他向我展示了红色的一面。所以，他抽取的要么是一张两面都是红色的卡片，要么是一张一面白色、一面红色的卡片。这就意味着，他抽取出的那张卡片的另一面要么是红色，要么是白色，这两种结果的概率相等。我可以打赢这场赌博，因为如果我不能立即获胜，也会很快在接下来的赌局中获胜。
我们先不考虑赌徒谬误——很多人用增加一倍赌注的方式在俄罗斯轮盘赌中输了钱，最后才发现概率并不是一个自我修正的过程——那个骗子指望你也犯下同样的概率分配错误，而且他的讲话速度一般都会很快，以便分散你的注意力。比较有用的做法是采用绘图的方法把这里的概率计算出来。
下面就是这三张卡片的情况：
如果他展示给你的一面是红色，那么它就有可能是三种红色面中的任何一种情况。这三种情况中的两种，卡片的另一面是红色。只有在一种情况下，另一面才是白色。因此，如果他向你展示的卡片一面是红色，那么另一面也是红色的概率为2/3，而不是1/2。因为我们大多数人都没有想到这样的事实：对于两面都是红色的那张卡片，他可以向你展示其中的任何一面。如果你刚开始思考这个问题时出现了错误，请不要妄自菲薄——数学哲学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）和近来很多的教材编写者也犯过同样的错误。 [19] 当根据概率来评估表述时，一定要努力理解其中的模式。要做到这一点很难，但如果你能认识到概率往往让人难以捉摸，并且也能认识到在评估它们的时候我们大多数人都有的局限性，那么你被骗的可能性就会更小。但是，如果身边的每个人都赞同某种错误说法呢？也许就像皇帝的新装那样？
[1] 《掘墓盗尸人》是1955年美国作家杰克·芬尼（Jack Finney）创作的一部科幻小说。该书曾于1954年开始连载于《矿工杂志》，其中描写了来自外太空的种子侵入到加利福尼亚州米尔谷（Mill Valley）地区。种子进入熟睡中的人的身体，并长出与被侵入的人一模一样的人，新长出来的人由类似于植物的豆荚构成，而被入侵的人则化为了尘土。这些新长出来的人不会繁衍后代，且只能存活5年。如果没有受到阻止，它们将很快把地球化为一片死寂。——译者注
[2] 詹姆斯·兰迪（James Randi）是世界著名的职业魔术师、作家和演说家，1928年出生于加拿大，现居美国。——译者注
[3] Durant, W. & Durant, A. (1968). The Lessons of History. New York: Simon & Schuster.
[4] 框架效应（framing effects）指同一个问题的两种逻辑意义上相似的说法却最终导致了两种不同的决策判断的产生。框架效应是判断与决策研究领域一个非常重要的概念，而且被认为是行为决策研究中最具普遍意义的发现之一。——译者注
[5] Federal Bureau of Investigation(2015, April20) .FBI testimony on microscopic hair analysis contained errors in at least 90percent of cases in ongoing review [Press release]. https://www.fbi.gov/news/pressrel/press-releases/fbi-testimony-on-microscopic-hair-analysis-contained-errors-in-at-least-90-percent-of-cases-in-ongoing-review.
[6] Aitken, C. G. G. & Taroni, F. (2004). Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists, Second Edition. Chicester, UK: John Wiley & Sons, p. 95, citing Friedman, R. D.(1996). Assessing evidence. Michigan Law Review, 94, 1810–1838.
[7] Regina v. Dennis John Adams 1996 2 Cr.App.R. 467 and Aitken, C. (2003). Statistical techniques and their role in evidence interpretation. In Payne-James, J. Busuttil, A. and Smock, W. (eds), Forensic Medicine: Clinical and Pathological Aspects. Cambridge, UK:Cambridge University Press.
[8] Blumenthal, R.(2015). Built by the ancients, seen from space. New York Times, November 3, 2015, p. D2.
[9] I thank Stephen Kosslyn for sharing a version of this example with me.
[10] Grimes, W. (2015). Jack Yufe, a Jew whose twin was a nazi, dies at 82. New York Times, November 13, 2015, p. B8.
[11] Much of this is taken verbatim from Grimes (2015), op. cit.
[12] Dr. Jeffrey Mogil, personal communication.
[13] The formula is 1 – (1 – 1/2 5 ) 100
[14] I thank Ron Mann for this observation.
[15] 1加仑≈3.785升
[16] Note that in a large sample, you are more likely to find an anomalous (outlier) observation than in a small sample, but when looking at the mean , the mean of the large sample is far more likely to reflect the true state of the world (because there are so many more observations that can swamp the anomalous one).
[17] Kr?er, W. and Gigerenzer, G. (2005). How to confuse with statistics or: The use and misuse of conditional probabilities. Statistical Science, 20 (3) , 223–230. http://www.cdc.gov/reproductivehealth/maternalinfanthealth/pretermbirth.htm.
[18] Ibid. Technically, they note, this is an incorrect enumeration of simple events in a Laplacian experiment in the subpopulation composed of the remaining possibilities.
[19] Ibid.
