神通广大的贝叶斯思维
请回忆一下我们在本书第一部分提到的有关贝叶斯概率的概念。在贝叶斯概率中，根据新近得到的数据或先验概率，你就可以把自己对某事物的认识进行修正或更新——假定你表现出了某些症状，计算你患有肺炎的概率，或者假定选民的居住地点，计算他们把选票投给某个政党的概率。
在计算贝叶斯概率时，我们首先给假设条件指定一个带有主观性的概率（事前概率），然后根据所收集的数据对这个概率进行修正（所得的概率即事后概率。由于这种概率是在你进行了实验之后计算而得出的，故称事后概率）。在检验假设之前，如果我们已经有理由认为它真实，那么用不了太多的证据就能将其证实。反之，如果我们认为假设不太可能成立，那么就需要更多的证据加以证实。
从贝叶斯算法的角度来说，那些可能性不大的表述与可能性较大的表述相比，前者就需要更强有力的证据。假设你的朋友说他曾经看到窗外有某种飞行物出现，根据你近期对那个窗口的观察经验，你也许愿意考虑三种假设：它是一只知更鸟、一只麻雀或者一头猪。你可以为这三种可能的情况分别指定概率。朋友现在给你看了一张一头猪在窗外飞行的照片，尽管有此照片为证，但先前你认为猪可以飞行的概率非常小，所以其事后概率也仍然会非常小。现在，你或许又会考虑新的假设，即朋友的那张照片是伪造的，或者还存在其他欺骗性手法。此时，如果你联想到了可以使用四重表的方法，以及假定诊断结果呈阳性时计算患有乳腺癌的概率的例子，那么就理应如此——在计算贝叶斯概率时，使用四重表便是方法之一。
有些证据与我们已知的情况相一致。同这些证据相比，科学家们应当为那些与标准理论或模型相悖的证据设置更高的检验门槛。在老鼠和猴子身上进行过无数次成功的实验之后，我们发现用于治疗逆转录病毒（retroviral）的一种新药品也适用于人类。此时，我们并不会觉得惊讶——我们往往乐于接受那些遵循了标准化验证惯例之后的证据。一项只有数百个实验对象参与的单一研究也会使我们信服。然而，如果某人告诉我们说，采用导气入穴位的方法在金字塔下面连续坐上三天可以治愈艾滋病，那么与单一实验相比，这种情况就需要更强有力的证据。因为它不仅过于牵强，而且此前也没有相关的例证可循。我们想要看到的是这种结果可以多次重复出现，并且要在不同的条件下出现。归根结底，我们要的其实是元分析。
贝叶斯概率法并不是科学家们在处理不可能事件时唯一可以采用的方法。在探索希格斯玻色子 [1] 是否存在时，物理学家们所设定的门槛要比一般门槛的严格度高出5000倍（当时使用了常规的统计测试方法，而不是贝叶斯算法）——并不是由于希格斯玻色子存在的可能性更小（其存在几十年来就一直是一种假设），而是由于犯错的成本太高（这种实验的花费极其高昂）。
司法科学界的一个例子也许最能说明贝叶斯法则的应用。下面这条司法科学的基础原则是由法国物理学家、律师埃德蒙·洛卡尔（Edmond Locard）发展而来的：凡接触必会留下痕迹。 [2] 洛卡尔认为，违法犯罪者要么在犯罪现场留下了证据，要么就是他带走了证据——在他的举止、身体或者衣服上面——这些都能表明他曾去过什么地方或者做过什么事情。
假设有一名犯罪分子在赛马比赛前闯入马厩去给马下药，那么他必定会在犯罪现场留下痕迹——脚印，或者皮肤碎屑、头发、衣服碎片等。 [3] 犯罪证据已经从犯罪分子身上转移到了犯罪现场。同理，他也会带走马厩里的泥土、马的毛发、地毯纤维以及其他东西。此时，犯罪证据又从犯罪现场转移到了犯罪分子身上。
现在，我们假设有人在事发第二天被捕。警方从他的衣服、双手、指甲等上面取得了证据样本，并且发现这些样本和犯罪现场的样本具有相似之处。地区检察官想要评估这种证据的作证力度。因为犯罪嫌疑人有罪，所以两种样本间存在相似性，或者，犯罪嫌疑人无辜，但却与犯罪分子有过接触——这种接触也会留下痕迹，又或者，非常无辜的犯罪嫌疑人事发时身处另外一个畜棚，无辜地与另外一匹马发生了接触，因而可以解释两种证据样本之间的相似性。
客观概率，比如犯罪嫌疑人的DNA与犯罪现场采集的DNA样本相匹配的概率，和那些个人的主观看法，比如证人的可信度，或者警方罪案调查科负责保管DNA样本的警官的诚实度和其所做跟踪记录的可信度，对于这二者而言，使用贝叶斯法则可以把它们结合起来。犯罪嫌疑人有前科吗？或者他是否对赛马一无所知，并且和那些涉赛人员没有任何联系，因而具有很好的不在场证明？这些因素都可以给我们提供一个可以证明嫌疑人有罪的、事前的主观概率。
美国司法系统有这样一个假设：在被证明有罪之前，犯罪嫌疑人一概清白无辜。 [4] 如果我们教条地照搬这条假设，那么犯罪嫌疑人有罪的事前概率就为零，并且任何证据——不管有多么糟糕，都不会产生一个大于零的事后概率，因为你的计算结果总要乘以零。建立犯罪嫌疑人无罪的事前概率还有一种更为合理的方法，即把统计群组当中的每个人作案的概率皆视为均等。如此一来，如果被捕的犯罪嫌疑人隶属于一个拥有100000人口的城市，并且案件调查人员有理由相信作案者是这个城市的居民，那么嫌疑人有罪的事前概率就是十万分之一。当然，证据能够缩小统计群组的范围。例如，当我们知道犯罪现场没有强行闯入的迹象时，犯罪嫌疑人就必定是那50名能够进入马厩的人员之一。
我们的事前假设是犯罪嫌疑人有罪的概率是0.02（50名能够进入马厩的人员之一）。现在，让我们假设作案者与马匹共处时发生过撕扯现象，所以犯罪现场发现了人的血迹。我们的司法团队告诉我们说，犯罪嫌疑人血样的DNA与取自犯罪现场血样的DNA相匹配的概率是0.85。我们按照此前的做法来创建一张四重表。首先，我们填写该表下方那一排方格：犯罪嫌疑人有罪的概率为0.02（“是否有罪：是”一栏），其无罪的概率为0.98。实验室告知我们，血液DNA相匹配的概率为0.85，所以我们把这个数字填写到四重表左上部的方格当中，即犯罪嫌疑人有罪并且血液相匹配的概率。这就是说，四重表的左下部方格数字必定是0.15（上下部两个方格的概率之和必为1）。血液相匹配的概率0.85意味着其他事情：其他人在现场留下血液的概率为0.15，而此人并不是我们要找的犯罪嫌疑人，这将使其获得赦免并得到无罪判决。在四重表右半边的人当中，血液样本与犯罪现场血液样本的DNA相匹配的概率为0.15，所以我们用49×0.15得到7.35，并把这个结果数字填写到右上部的方格中。我们再用49减去它，从而得到表格右下部方格的数字。
现在我们就可以计算出自己想让法官和陪审团来评估的信息了：
P（嫌疑人有罪∣血液相匹配）= 0.85/8.2 = 0.10
P（嫌疑人无罪∣血液相匹配）= 7.35/8.2 = 0.90
上述证据说明，犯罪嫌疑人无罪的概率大约是其有罪概率的9倍。我们计算的起点是他有罪的概率为0.02，所以新的信息实际上使他有罪的概率增加了5倍。尽管如此，他无罪的概率仍然很大。
然而，假设又有了一些新的证据——在犯罪嫌疑人的外衣上发现了马的毛发，而且该毛发属于被下了药的马的概率为0.95（该毛发属于其他马匹的概率只有0.05）。我们现在就可以把贝叶斯概率串联起来，重新填写一张四重表。在该表的下半部分方格中我们填入刚才计算出来的数字0.1和0.9（统计学家有时说昨天的事后概率就是今天的事前概率）。如果你愿意把这些数字看作“1/10”和“9/10”，也没问题。所以，你也可以把它们填写成整数。
从司法团队处我们已经得知，马的毛发样本相匹配的概率为0.95。用1乘以0.95，所得结果就是四重表左上部方格的数字。用1减去0.95，所得数字即四重表左下部方格的数字。如果毛发样本与受害赛马的毛发相匹配的概率为0.95，那么这就意味着该毛发与其他动物毛发相匹配的概率为0.05（这将使得犯罪嫌疑人无罪），所以四重表右上部方格的数字应当等于0.05乘以9，即0.45。现在，经过计算，我们看到：
P（嫌疑人有罪∣证据）= 0.68 P（证据∣嫌疑人有罪）= 0.95
P（嫌疑人无罪∣证据）= 0.32 P（证据∣嫌疑人无罪）= 0.05
新的证据向我们表明，在假定新证据真实的条件下，犯罪嫌疑人有罪的概率大约是其无罪概率的两倍。很多律师和法官并不懂得如何采用这样的方法来组织证据，但是，现在你已经明白这种方法是多么有用。那种认为P（嫌疑人有罪∣证据）= P（证据∣嫌疑人有罪）的错误想法非常普遍，所以它就有了这样的一种别称——“检察官谬误”。 [5]
实际上，贝叶斯算法的运用可以通过数学计算完成而无须使用四重表。如果你对数学算法感兴趣，可以参阅本书附录中的例子。
[1] 希格斯玻色子（Higgs boson），又称上帝粒子（God particle），是粒子物理学标准模型预言的一种自旋为零的玻色子。它是标准模型中最后一种未被发现的粒子，可以帮助解析为何其他粒子会有质量。——译者注
[2] Inman, K., & Rudin, N. (2002). The origin of evidence. Forensic Science International , 126 (1),11–16.
Inman, K., & Rudin, N. (2000). Principles and Practice of Criminalistics:The profession of forensic science . Buca Raton, FL: CRC Press.
[3] I’ m basing this section on the discussion found in Aitken, C. G. G. & Taroni, F. (2004). Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists, Second Edition. Chicester, UK: John Wiley & Sons, pp. 1–2,and using their setup and terminology.
[4] Aitken, C. G.G. & Taroni, F. (2004). Op. cit.
[5] Thompson, E.L.; Shumann, E. L. (1987). Interpretation of statistical evidence in criminal trials: The prosecutor’ s fallacy and the defense attorney’ s fallacy. Law and Human Behavior 2 (3): 167 .
