由于统计数据本身是数字，所以于我们而言，它们似乎代表了冷冰冰的、铁一般的事实。然而，切勿忘记这一点：统计数据由人们收集而来。统计的对象、方法、结果和文字说明皆由参与统计过程的人进行甄选和采用。 [1] 因此，数字并非事实，它们仅仅是对事实的一种诠释。而且，这种诠释还会因人而异。
有时候，数字本身就是错的。此时，最便捷的处理方法是快速检查数字的合理性。然而，即便通过了合理性测试，数字的收集方法、解读方法和图示方法方面的错误，也会让你对事物产生错误的认知。
很多时候，要快速评判某种表述是否合理，只需对相关数字进行思考或粗略计算。切勿轻信盲从，一定要多加思考。
当评估一个表述的合理性时，我们并不在意相关数字的准确性。这种做法看似有悖常理，但数字的准确性在此处确实无关宏旨。我们根据常识即可对很多类似下面的表述做出判断：如果伯特称，一只水晶酒杯从桌上落下，砸到厚厚的地毯却没碎，这听起来似乎合理；而如果欧尼说，该酒杯从40层大楼的楼顶落到水泥地面，依然完好如初，则必定不合理。我们判断的依据来自生活常识和日常经验。同理，假如有人自称200岁，或始终能在拉斯韦加斯轮盘赌局中获胜，又或跑步速度可达40英里 [2] /小时，这些就纯属无稽之谈了。
我们试举一例。怎样评估以下表述？
在加利福尼亚州解除大麻禁令的35年间，吸食大麻的人数每年都会增加一倍。
合理吗？从何处入手判断？我们假设35年前加利福尼亚州只有1人吸食大麻。当然，这个数字非常保守（要知道，1982年美国全境逮捕了50万名吸食大麻者）。如果按35年间每年翻一倍计算，所得结果会从最初的1人变为170亿人，远远高于全世界的总人口（试算一下，你就会发现，按照该算法，实际上21年后吸食大麻的人数就已超过100万：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2048，4096，8192，16384，32768，65536，131072，262144，524288，1048576）。因此，该表述不但不合理，而且不可能成立。然而，很多人由于惧怕数字，所以都算不出来，十分遗憾。其实，如此例所示，只需运用小学数学知识和合理假设即可算出准确结果。
我们再举一例。假设你刚当上电话推销员，负责向没有戒心的潜在客户推销。因为这个行为极有可能惹恼客户，所以老板要激励心存担忧的你，他宣称：
我们最好的推销员每天都能完成1000个销售额。
该表述合理吗？你自己试着拨打一个电话号码，完成拨号最快也需要5秒钟，等对方的电话铃响起又需5秒。假设每接通一个电话，你都能完成一个销售额。虽然现实中未必如此，但我们确保最理想的假设条件。你完成推销说辞并说服对方需要10秒，拿到其信用卡号和通信地址又需要40秒。这样，完成一次通话，需要一分钟（5 + 5 + 10 + 40 = 60秒）。那么，一个小时内你能完成60个销售额。也就是说，即使马不停蹄地工作，一个工作日一个人最多也只能完成480个销售额。因此，即使在理想状况下，每天完成1000个销售额的说法也不合理。
有一些表述的评估难度更大。请看下面这条摘自2013年《时代周刊》的新闻标题：
使用手机的人比用马桶的人还多。 [3]
怎样分析呢？我们可以思考一下发展中国家缺乏管道设施的人数，以及发达国家的多数民众不只拥有一部手机这样的观察经验。不能因为该标题看似合理，我们就不假思索地欣然接受它。我们只不过无法立即判定它为荒唐可笑的表述而已。要评估这个表述，还需借助其他手段，但这无疑已超出分析合理性的范畴。
如果不亲自做一点研究，评估表述有时就会比较吃力。的确，报纸和网站理应为你完成这项工作。然而，它们难免会百密一疏。于是，一些统计数据便如同“脱缰之马”一般乘虚而入，并站稳脚跟。几年前，媒体曾对下面的这项统计数据进行了大肆报道：
美国每年都有150000名女孩和年轻妇女死于厌食症。 [4]
为了检查其合理性，我们必须做一些深入思考。按照美国疾病控制与预防中心的说法，每年由各种原因导致的、年龄在15~24岁的女孩和年轻妇女的死亡人数约为8500人。如果再加上每年25~44岁年龄段妇女的死亡人数，总人数也只不过为55000人。 [5] 所以，一年内死于厌食症的人数绝不可能达到死亡总人数的3倍。 [6]
在一篇发表于《科学》杂志的文章中，路易斯·波拉克（Louis Pollack）和汉斯·韦斯（Hans Weiss）宣称，自通信卫星公司成立以来，
打一次电话的费用降低了12000%。 [7]
如果某一项费用降低了100%，那么它必然为零（不论最初的数字是多少）。如果费用降低200%，对方就要支付给你与他们的某个产品或服务的售价相等的金额。费用降低100%的现象是不可能的，降低12000%更是无稽之谈。 [8] 发表于同行评审的《管理学发展期刊》（Journal of Management Development ）上的一篇文章则宣称，在实施了一项新的顾客关心战略之后，顾客投诉数量减少了200%。 [9]
更有甚者，丹·凯珀尔（Dan Keppel）竟然以《物有所值：在股票、共同基金和每种金融需求方面节省200%的资金》（Get What You Pay For: Save 200% on Stocks, Mutual Funds, Every Financial Need ）作为其书名。他拥有工商管理学硕士头衔，理应处理得更好才是。
当然，在使用百分率时一定要采用同样的基数，只有这样才能保证计算结果有可比性。现有薪水降低50%后，在这个新的、更低的薪资额基础上增加50%的做法，绝对不能把你损失的一半薪水全部弥补回来。其原因在于，百分率的基数已经发生变化。假如你的周薪为1000美元，薪水降低50%后，你的周薪变为500美元。在此基础上把周薪再增加50%，你的周薪也只不过变为750美元。
虽然百分率看似简单、可靠，但是却常常令人感到困惑。如果银行利率由3%上浮至4%，即增长了1个百分点或33%（因为1%的增长以3为基数，所以1/3≈0.33）。而如果利率从4%下降到3%，相当于降低了1个百分点，但却不是降低了33%，而是降低了25%（此时，1个百分点的下降以4为基数）。研究人员和媒体记者不能永远做到谨慎区分百分点和百分率，但是本书的读者理应做到。 [10]
《纽约时报》曾报道了一家位于康涅狄格州的纺织厂由于用工成本高而关停，并且搬到了弗吉尼亚州。 [11] 该报称，康涅狄格州的用工成本“包括工资、补助和失业保险——比弗吉尼亚州高20倍”。该报道合理吗？假设其合理，那么你就会想到：应该有大量的公司会从康涅狄格州搬到弗吉尼亚州——而不是只有这一家纺织厂。果真如此的话，那么现在你也理应听到相关的消息了。实际上，上述报道并非实情。为此，《纽约时报》不得不做出更正声明。那么，这种错误的报道是怎样出现的呢？当时，负责此次新闻报道的记者没有理解该工厂的一份内部报告。实际上，康涅狄格州的用工成本中只有一项，即失业保险是弗吉尼亚州的20倍。当我们把这项成本与其他成本计算在一起时，康涅狄格州的总失业成本其实只高出了1.3倍，而并非20倍。这位记者从未接受过企业管理方面的专业培训，所以情有可原，我们不必苛责于她。要找出此类错误，就要求我们迂回一步，进行独立思考。这一点任何人都可以做到（那位新闻记者和负责的编辑当时应当做到这一点）。
新泽西州正式通过了一项立法，规定已育有子女的母亲在领取社会福利的同时，不能再领取额外补助。 [12] 一些立法人员认为，新泽西州的妇女生孩子只是为了增加个人每月的福利金额。立法实施两个月后，立法者宣称，由于新生儿数量下降了16%，“家庭福利封顶”法（“family cap” law）大获成功。《纽约时报》报道称：
新法实施两个月后，该州公布的统计数字表明，领取社会福利的妇女所生的新生儿人数下降了16%。 [13] 相关立法官员开始庆祝该项立法迅速见效。
请注意，他们统计的不是妊娠数量而是新生儿人数。这就会出现什么问题呢？要知道，妊娠期一般约为9个月，所以立法实施后，前两个月内新生儿数量的下降不能简单归因于立法本身，其原因极有可能是出生率正常的周期性波动（出生率的变化具有周期性）。
即便如此，上述报道还存在一些依靠合理性检查发现不了的问题：
……一段时间以后，16%的下降幅度逐渐减小为10%左右。直到此时，州政府才开始慢慢意识到，出生报告存在漏报的情况。原来，很多新生儿的母亲认为，既然自己的社会福利不会增加，那么就没有必要将刚出生的孩子上报了。 [14]
上面的例子说明了统计数字收集方法存在的问题——我们自认为统计调查覆盖了所有的统计对象，实际上并非如此。有时，一些推理错误往往更难被发现。但是，通过练习，我们可以提升自己的判断力。下面，我们先来了解一种经常被误用的统计学基础工具。
饼状图是一种可以直观地表示百分率的简易工具。它可以显示整体中不同部分的分布情况。或许，你想知道一个学区在诸如教职工工资、教学材料和设施维护方面的预算支出的百分比情况。又或许，你想了解一下教学材料预算资金在算术、科学、语言艺术、体育、音乐等学科上分配的百分比情况。饼状图的基本使用规则是各百分比的总和必须等于100%。试想有一个大圆饼，假如有9个人都想要其中的一个等份，那么你就不能把圆饼切成8份，而只需把圆饼按人数等份切割即可。尽管饼状图的使用规则如此简单，但却不能阻止福克斯新闻（Fox News）发布下面这样的饼状图：
饼状图使用第一规则：各百分比总和必须为100%
（2010年，福克斯新闻）
你可以想象一下这种情况是如何产生的。由于选民可以选择投票支持一个以上的总统候选人，所以不应该用饼状图来表示选举结果。
[1] This sentence is nearly a direct quote from Best, J. (2005). Lies, calculations and constructions: Beyond How to Lie with Statistics . Statistical Science, 20(3), 210–214.
[2] 1英里≈1609米。
[3] Wang, Y. (2013, March 25).More people have cell phones than toilets, U.N. study shows. http://newsfeed.time.com/2013/03/25/more-people-have-cell-phones-than-toilets-u-n-study-shows/.
[4] Steinem, G.(1992). Revolution from Within . New York: Little, Brown and Company.Wolf, N. (1991). The Beauty Myth . New York: William Morrow.
[5] This example came to my attention from Best, J. (2005). Lies, calculations and constructions: Beyond How to Lie with Statistics. Statistical Science, 20 (3), 210–14. The statistics are available at www.cdc.gov.
[6] Maybe you’ re in the accounts payable department of a big corporation. An employee put in for reimbursement of gasoline for the business use of his car, $5,000 for the month of April. Start with a little world knowledge: Most cars get better than twenty miles per gallon these days (some get several times that). You also know that the fastest you can reasonably drive is seventy miles per hour, and that if you were to drive ten hours a day, all on the freeway, that would mean 700 miles a day. Keep that up for a standard 21.5-day work month and you’ ve got 15,050 miles. In these kinds of rough estimates, it’ s standard to use round numbers to make things easier, so let’ s call that 15,000. Divide that by the fuel economy of 20 mpg and, by a rough estimate, your employee needed 750 gallons of gas. You look up the average national gas price for April and find that it’ s $2.89. Let’ s just call that $3.00 (again, rounding, and giving your employee the benefit of the doubt — he may not have managed to get the very best price every time he filled up). $3/gallon times 750 gallons = $2,250. The $5,000 on the expense report doesn’ t look even remotely plausible now. Even if your employee drove twenty hours a day, the cost wouldn’ t be that high. https://www.fueleconomy.gov/feg/best/bestworstNF.shtml retrieved August 1, 2015. e.g. http://www.fuelgaugereport.com/.
[7] Pollack, L. & Weiss, H. (1984). Communication satellites: countdown for Intelsat VI. Science, 223(4636), 553.
[8] I suppose you could spin a story that makes this true. Maybe a widget used to cost $1, and now, as part of a big promotion, a company is not just willing to give it to you for free, but to pay you $11,999 to take it (that’ s a 12,000 percent reduction). This happens in real estate and big business. Maybe an old run-down house needs to be razed before a new one can be built; the owner may be paying huge property taxes, the cost of tearing down the house is high, and so the owner is willing to pay someone to take it off of his or her hands. At one point in the late 1990s, several large, debt-ridden record companies were “selling” for $0, provided the new owner would assume their debt.
[9] Bailey, C., & Clarke, M. (2008). Aligning business leadership development with business needs: the value of discrimination. Journal of Management Development , 27 (9), 912–934. Other examples of a 200 percent reduction: Rajashekar, B. S., & Kalappa, V. P. (2006). Effects of planting seasons on seed yield & quality of tomato varieties resistant to leaf curl virus. Seed Research, 34 (2), 223–225. http://www.bostoncio.com/AboutRichardCohen.asp.
[10] Illustration . 2016 by Dan Piraro based on an example from Huff, ibid.
[11] I’m grateful to James P. Scanlan, attorney-at-law, Washington, D.C., who answered my query to the membership of the American Statistical Association, and provided me with this misuse.
[12] This example comes from Spirer, L., Spirer, H. & Jaffe, A. J. (1987). Misused Statistics , p. 194. New York: Marcel Dekker. Miller, J. (1996, Dec. 29). High costs are blamed for the loss of a mill. New York Times, Connecticut Section . and n. a. (1997, Jan. 12) Correction, New York Times , Connecticut Section.
[13] McLaren, K. J. (1993). New Jersey Welfare’ s Give and Take; Mothers Get College Aid, but No Extra Cash for Newborns. New York Times . See also: Henneberger, M. (1995 April 11 ). Rethinking Welfare: Deterring New Births — A special report; State Aid Is Capped, but to What Effect? New York Times .
[14] Ibid.
