数轴的诡计
虽然人类的大脑进化至今仍旧不能处理数量巨大的、以数字表示的数据文本，但人的眼睛却可以捕捉形象化数据所含有的模式。通过制作表格来展示每个单一的数值是一种呈现数据的方式。虽然这种方式呈现出来的数据最准确，但其可解释性却又最小。不过，对于绝大多数人来说，在这样的数据中识别模式和趋势比较困难，或者说几无可能。因此，我们需要依靠图表的辅助。图表一般分为两大类：一类使用形象化的方式来代表每一个数据点（如散点图）；另一类采用的是数据缩减的方式，我们借以把数据汇总考查，比如只分析数据的算术平均数或中位数。
使用图表操纵、扭曲和错误地呈现数据的方法有很多种。认真细致的信息接收者总能做到免受其害。
数轴未做标记
用统计图表说谎的最基本方法是在数轴上不做任何标记。如果不标记数轴，那么你就可以随意绘制图表！我们来看一个例子。在一个学术大会上，一个学生向听众展示了下面这样一张图（已重新绘制）： [1]
这张图传达的是什么意思呢？从报告的文本中我们了解到，这个大会的议题是关于精神分裂症患者的大脑激活。那HCs又代表什么意思呢？我们不得而知，但从报告文本看——它所代表的内容是在与精神分裂症对比——所以我们猜想，它可能代表的是“健康管理”。现在，HCs和SZs两者看起来确实有不同之处，但是，嗯……图中的y轴标有数字，但却没有任何单位！我们面前的这张图到底代表什么？考试分数？大脑活动水平？激活脑区的数量？是他们吃掉的吉露牌布丁的数量，还是他们最近6周观看的、由约翰尼·德普（Johnny Depp）主演的电影数量？（公平地讲，参加这个大会的研究人员随后在一本由同行评审的期刊上发表了上图所示的研究结果，并且在一家网站指出图中的错误之后，对该图做了更正。）
下面例子中的图是关于一家出版公司的销售总额的，并且剔除了营销初期的销售数据。 [2]
这张图的情况正如前例一样，只不过这次的问题出在了x轴上。虽然x轴上标记了数字，但却没有说明数字代表的是什么。此例的情况多少有些不言自明：我们猜想2010年、2011年等指的是自然年度或财务年度，各年份之间的图形凹凸起伏说明是按照月份来取的数据（由于没有标记，所以我们只能猜想）。图中完全没有y轴，所以我们不清楚它衡量的内容（是销售单位，还是货币单位）。我们也不知道每条水平直线的意义。该图描述的可以是销售额从50美分/年增长到5美元/年，或者从5000万增长到5亿。不要担心，此图还附有一条有用的说明：“这又是一个收获很大的年份。”我们只好认同这种说法了。
截短纵轴
一张绘制精良的图能够清晰地向你展示出一个连续体相关的终止点。如果你记录的是数量的实际或预计变化情况，这一点尤为重要。因为你的目的是要让读者从图中得出正确的结论。如果你的图表示的内容是犯罪率、死亡、出生、收入或其他任何可以取0值的数量，那么0就是图的最低点。但如果你的目的是制造一种使人感到恐慌或愤慨的效果，那么就要在接近图最低点的地方开始画y轴——这样做能够使你想要凸显的差异得到强化，因为人的眼睛会注意到图展示的差异大小，同时差异的实际大小却被弱化了。
2012年，福克斯新闻播报了下面这张图， [3] 其目的是说明如果布什总统的减税计划终止将会发生的情况。
这张图给人的直观感觉是税率将会大幅上升：右边的条形图的大小是左边的条形图的6倍。谁希望自己要缴的税上涨5倍呢？有数字恐惧症的人或仓促之间看到这张图的人，也许根本没有时间仔细分析，所以他们发现不了实际的税率是从35%涨到39.6%。也就是说，如果布什总统的减税计划终止，实际税率的上涨幅度只不过是13%，并非该图所示的600%（4.6%的上涨幅度相当于起始税率35%的13%）。
假如y轴从0开始，那么13%的税率上涨幅度便一目了然：
横轴或纵轴不连续 [4]
我们假设有这样一个城市：在过去的10年里，该市的犯罪率每年都以5%的速度增长。据此，也许你会画出如下这张图。
这张图并没有问题。假如你现在是一名家庭安全系统销售员，你想通过制造恐慌心理来促使人们购买你的产品。你使用与上面的图完全相同的数据，只要在x轴上截去一小段从而使其不连续，就可以扭曲真实情况，巧妙地骗过人们的眼睛（见下图）：
该图给人的直观印象是犯罪率陡然上升了。不过，你对真实情况心知肚明。图中x轴上的不连续相当于把5年的数据强行用在了之前图中两年所占据的空间中，难怪犯罪率会明显上升。这就是绘图的一个基本缺陷，但由于大多数读者根本不会仔细地观察数轴，所以这样的图才侥幸得以存在。
你大可不必束缚自己的创造力（只截断x轴），还可以通过在y轴上制造不连续来得到相同的效果，然后再把不连续之处加以掩盖。既然这里已经提到了，那么就让我们来截断y轴。
这样做多少有些卑劣的意味。大多数读者只会看图内的曲线，并不会留意竖轴上两个刻度的间隔刚开始时为40，刻度达到200后，相邻刻度的间隔为8。这是不是让人感觉非常有趣？
诚实的做法是采用第一张图，其数轴的连续性比较合理。现在，如果要批判性地评估这个统计数据，那么你或许会问，数据的收集或表达方式是否存在某些掩盖了潜在事实真相的因素。
一种可能的情况是，犯罪率的上升只发生在一个治安状况极其糟糕的社区，整个城市所有其他地区的犯罪率实际上都在下降。或许，警方和社区认定某个特定社区的治安已经无法管理了，所以终止了在那里的执法活动。整体来说，这个城市是安全的——甚至可能比从前还安全——只有其中的一个社区是整个城市犯罪率上升的罪魁祸首。
另一种可能的情况是，我们把各种不同的社会抱怨混在了一起，然后将其全放在了“犯罪”这个包罗万象的类别中。由此，我们忽视了这样一个重要的考虑：也许，该城市的暴力犯罪率已经下降为0，所以警方腾出了大把的时间，转而把主要精力放在为那些走路不遵守交通规则的人开罚单上了。
在努力理解这个统计数据的真正意义时，也许你会进一步提出一个最显而易见的问题：“在那段时期，这个城市的总人口出现了怎样的变化？”假如该城市的人口每年以高于5%的速度增加，那么整个城市的人均犯罪率实际上下降了。为了说明这一点，我们可以把该城市每10000人的犯罪数量绘制成如下这张图。
选择恰当的刻度和数轴 [5]
你在自己所在社区的房地产经纪公司工作，负责把过去10年本社区房屋价格的变化情况绘制成图。一直以来，房屋价格每年都以15%的速度稳定上涨。
如果你想真正地为人们敲响警钟，为什么不改变x轴，把你现在还未拿到相关数据的年份也加到图中呢？像这样人为地在x轴上面增加额外的年份，可以实现压缩曲线的可视部分的效果并增加曲线的坡度，如下图所示。
请留意这张图怎样骗过了你的眼睛（不，你的大脑），让你得出两个错误的结论：第一，在1990年的某个时候，房屋价格一定很低；第二，到2030年，房屋价格将会飙升到几乎没有人买得起的地步。最好现在就购买一套房子！
上述两张图都扭曲了真实情况，因为它们使一个稳定的增长率直观上看起来似乎变成了一个不断上涨的增长率。在第一张图中，y轴上2014年的15%的增长率似乎比2006年高了两倍。有很多事物都是以恒定速度变化的：工资、物价、通货膨胀、某个物种的数量以及疾病的受害者。 [6] 当你面对一种稳定增长（或下降）的情形时，最准确的数据呈现方法是使用对数刻度。当使用对数刻度时，相等的百分比变化会以y轴上的相等距离表示出来。所以，恒定的年度变化率则变成了一条直线，如下图所示。
可怕的双y轴
只需知道绝大多数读者都不会仔细观察图这一点，图的制作者们便可以编制出各种谎言而依然能够侥幸成功。这种情况使得很多人对各种非真实的事情深信不疑。请思考下面这张图，它说明的是25岁的吸烟者和不吸烟者的预期寿命对比情况 [7] 。
这张图清楚地说明：一，吸烟的危害随着时间的推移而不断累积；二，吸烟者很可能比不吸烟者死得更早。在40岁时，这两类人死亡可能性的差别并不明显。但到80岁时，吸烟者死亡的可能性猛增了一倍还多，从30%增长到了60%以上。这种呈现数据的方法既简洁又准确。但假如你是一名年仅14岁的吸烟者，你很想说服父母让他们允许你吸烟。此时，这张图显然无法帮助你。所以，你便发挥自己的特长，使用双y轴，即在该图的右边增加一个y轴。新增加的y轴采用不同的刻度，而且只适用于不吸烟者。这样，重新绘制后的图如下所示。
从上图中可以得知，无论吸烟与否，人们死亡的可能性几乎都是相等的。吸烟对你毫无害处，变老才会危及生命！双y轴的图带来的麻烦在于，你总是可以随意地更改第二个y轴的刻度。
《福布斯》杂志历史悠久，是一个公认的可靠信息来源。该杂志曾使用过一张类似于上面的图，来说明公立学校每名学生的学习费用投入与他们的SAT [8] 考试成绩之间的关系。 [9]
从上图来看，似乎增加每名学生的学习费用投入（黑线）对于提高他们的SAT考试成绩（灰线）没有任何作用。那些反对政府财政支出的政客便可以借此宣扬，公立学校学生的学习费用投入是一项浪费纳税人税金的举措。但你现在已经明白，图中第二个y轴的刻度是可以随意选择的。假如你是一所公立学校的管理人员，也许你依然会采用相同的数据，但会改变图中右边数轴的刻度（见下图）。瞧！增加学生的学习费用投入可以使学生得到更好的教育，因为学生的SAT成绩确实提高了！
显然，修改后的图说明了完全不同的情况。哪张图反映了真实情况呢？你可能需要一种方法，来衡量一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。这就是统计学中的相关性分析。相关系数的取值范围为–1到1。当相关系数为0时，说明一个变量和另一个变量毫不相关；当相关系数为–1时，说明当一个变量增长时，另一个变量却在下降，两个变量的这种变化完全同步发生；当相关系数为1时，说明当一个变量增长时，另一个变量也随之增长，二者的这种变化也完全同步发生。上面讨论的第一张图，说明了相关系数为0的情况，而第二张图说明了相关系数接近于1的情况。这个数据集实际的相关系数是0.91，关联度很高。至少在这个数据集中，当学生的学习费用投入越大时，其SAT成绩也会越优秀。
使用相关性分析，还可以很好地预估你所研究的变量究竟可以对结果做出多大程度的解释。 [10] 0.91的相关系数告诉我们，通过研究公立学校为每名学生投入的学习费用，我们就可以解释91%的学生的SAT成绩。也就是说，相关性分析告诉我们，学习费用投入可以在多大程度上说明SAT成绩的差异。
2015年秋，在美国国会的一个委员会会议期间，一场围绕双y轴图的争论爆发了。当时，众议员詹森·查菲茨（Jason Chaffetz）展示了一张图。该图描述的是美国计划生育协会提供的两项服务：堕胎与癌症筛查和预防。 [11]
当时，这位众议员试图提出这样一种政治观点：在7年之间，美国计划生育协会所提供的堕胎服务的数量增加了（他对此持反对意见），同时癌症筛查和预防服务的数量却减少了。虽然美国计划生育协会并没有否认这位众议员的观点，但是，在这张扭曲了事实的图中，堕胎服务的数量似乎超过了癌症筛查和预防服务的数量。或许该图的绘制者内心多少有些愧疚，所以还在数据点的位置标出了实际数字。我们暂时先接受图中的数据，然后进行仔细分析。图中，离现在最近的一年（2013年）的堕胎服务的数量是327000例，而癌症筛查和预防服务的数量几乎是其3倍，达到935573例（顺便提一下，堕胎服务的数字如此整齐，而癌症筛查和预防服务的数字又如此精确，不免有些让人心生疑虑）。这是一个非常凶险的例子：隐性的双y轴图居然两边都没有y轴！
如果该图绘制得当，应该如下所示：
我们可以看到，堕胎服务的数量略微增长，而癌症筛查和预防服务的数量则呈现下降趋势。
关于最初的那张图，还有一点让人感到怀疑：图中的线条非常平滑。这在数据图中非常罕见。绘图者很有可能选取了两个特殊年份——2006年和2013年的数据，并在比较了两者之后，将这两点用一条平滑的直线直接连接了起来。或许，他有意选择了这两个年份，目的是要强调差异；又或许，介于2007年和2012年中间的年份的相关数据波动很大。对此，我们均无法准确得知。平滑的线条给人一个完美的线性（直线）函数的印象，但这种情况极不可能出现。
类似这样的图并非总能表达人们期望的那种意义。美国计划生育协会的任务就是尽可能多提供一些堕胎服务（同时对面临癌症死亡威胁的人弃之不顾）？除了这样的解释之外，难道就没有对上述数据的其他解释了吗？请看第一张图。2006年，美国计划生育协会提供了2007371次癌症筛查和预防服务，同时还进行了289750次的堕胎服务。它提供的癌症筛查和预防服务的数量几乎是堕胎服务的数量的7倍。到2013年，两种服务数量的差距缩小了，但癌症筛查和预防服务的数量仍然几乎是堕胎服务数量的3倍。
美国计划生育协会的主席西塞尔·理查兹（Cecile Richards）曾经对上述两种服务的数量差距的缩小做出了解释。一些抗癌服务项目在就医指南方面出现的变化，比如巴氏涂片检验，减少了需要做癌症筛查的人数。其他方面的变化，诸如社会对堕胎的态度、社会人口的年龄、卫生保健替代品的增加，都会影响美国计划生育协会提供这两项服务的数量。因此，图中的数据并不能够证明美国计划生育协会赞成堕胎。即使它赞成，这些数据也无法用作相关证据。
[1] Tully, L. M.,Lincoln, S. H., Wright, T., & Hooker, C. I. (2011). Neural mechanisms supporting the cognitive control of emotional information in schizophrenia. Poster presented at the 25th Annual Meeting of the Society for Research in Psychopatholog y. https://www.researchgate.net /publi cation/266159520_ Neural_ mechanisms_ supporting_ the_ cognitive_ control _ of_ emotional_ information_ in_ schizophrenia. I first found this example at www.betterposters.blogspot.com.
[2] http://pelgranepress.com/index.php/tag/biz/.
[3] I’ve redrawn this for the sake of clarity. For the original, see http://loudfront.mediamatters.org/static/images/item/fbn-cavuto-20120731-bushexpire.jpg.
[4] Spirer, Spirer & Jaffe, op. cit.pp. 82–84.
[5] Example from Spirer, Spirer & Jaffe,op. cit., p. 78.
[6] Spirer, Spirer & Jaffe, op. cit., p. 78.
[7] These data taken from Jha, P., Ramasundarahettige, C., Landsman, V., Rostron, B., Thun, M., Anderson, R. N., . . . & Peto, R. (2013). 21st-century hazards of smoking and benefits of cessation in the United States. New England Journal of Medicine , 368 (4), 341–350, Figure 2A for women. Survival probabilities were scaled from the National Health Interview Survey to the U.S. rates of death from all causes at these ages for 2004 with adjustment for differences in age, educational level, alcohol consumption, and adiposity (body-mass index). I’m grateful to Prabhat Jha for her correspondence about interpreting this. This form of presentation is based on that of Wainer, H. (1997). Visual Revelations: Graphical Tales of Fate and Deception from Napoleon Bonaparte to Ross Perot. New York: Copernicus/Springer-Verlag.
[8] SAT（Scholastic Assessment Test，即学术能力评估测试）是美国广泛采用的一种大学入学标准化考试。——译者注
[9] This example from Wainer, H. (1997). Visual Revelations: Graphical Tales of Fate and Deception from Napoleon Bonaparte to Ross Perot. New York: Copernicus/Springer-Verlag, p. 93. The original appeared in Forbes (May 14, 1990). Of course, there are other variables. Are the spending increases reported in actual or inflation-adjusted dollars? Was the time frame 1980–88 chosen to make that point, and would a different time frame make a different point?
[10] There is some controversy about whether to use r or r - squared . For the defense of r , see: D’ Andrade, R., and Dart, J. (1990). The interpretation of r versus r 2 or why percent of variance accounted for is a poor measure of size of effect. Journal of Quantitative Anthropology, 2 , 47–59. Ozer, D. J. (1985). Correlation and the coefficient of determination. PsychologicalBulletin, 97 , 307–315.
[11] Planned Parenthood Roth, Z. (2015). Congressman uses misleading graph to smear Planned Parenthood.msnbc.com, Sept. 29, 2015, 2:13 p.m. Politifact explored this issue further, examining the data between the endpoints and furnishing additional contextual information to go along with the usual graph-centered criticism. See https://perma.cc/P8NY-YP49.
