恶搞数字汇报
关于是否要买进一种新款汽水的股票，你正绞尽脑汁地思索着。这时，你在该公司的年度报告中偶然发现了这样一张销售数据图。
上图显示，桃色可乐公司的销售业绩非常不错——销售额呈现稳定增长的趋势。现在来看，购买该公司的股票并不存在任何问题。但在此处，我们再运用一些现实知识可能会起到较好的作用。汽水市场的竞争异常激烈，虽然桃色可乐公司的销售额正在增长，但也许并没有竞争对手的销售额的增长速度快。作为一名潜在的投资者，你真正需要分析的是桃色可乐公司与其他公司的销售额对比情况，或者说要分析该公司的销售额随着其所占市场份额的变化而呈现怎样的变化。当市场快速发展时，桃色可乐公司的销售额有可能只是略微上升，而其竞争者的市场收益则更大。下面展示的是一张非常有用的双y轴图。从该图所示的内容来看，桃色可乐公司的发展前景并不乐观。
尽管我们知道，一些不道德的绘图者能够通过修改图中右侧y轴，使图呈现出他们想要的任何内容，但此处的这种双y轴图却无可指责，因为它的两个y轴分别代表不同的内容，其数量不可以共用同一个数轴。这里的情况不同于前文有关美国计划生育协会的那张图。那张图把相同的数量（美国计划生育协会提供的服务），分别用两个不同的数轴来表示。尽管两个数轴衡量的是相同的内容，但为了操控读者的认知，它们却采用了不同的刻度。这样的做法扭曲了整张图。
看一下桃色可乐公司的盈利状况也有助于你做出是否购买该公司股票的决定：利用在生产和销售方面的效率优势，该公司极有可能在销量较低的情况下获得更多的利润。有人援引了一项统计数据，或者向你展示了一张图，并不能表明他们所持的观点得到了证明。我们应当齐心协力，确保自己得到真正重要的信息，并且忽略那些无关紧要的信息。
假设你在一家公司的公共事务办公室工作。该公司生产一种叫作Frabezoid的玩具。在过去几年，由于公众对该产品的需求一直很大，其销量逐年增长。通过新增生产设施、增加员工人数，以及为员工升职、加薪，公司扩大了经营规模。上司走进你的办公室，满脸阴郁。他解释说，公司最近的销售报告出来了，同上个季度相比，Frabezoid的销量下降了12%。公司总裁即将召开一次大型新闻发布会，商谈公司未来的发展前景。总裁在召开发布会时有一个惯例，即每次发布会上，他都要在身后的大屏幕上向与会者展示一张大图，以便介绍Frabezoid的销售情况。销量下降的事实一旦传扬出去，公众就有可能认为Frabezoid不再值得拥有了，这种情况会导致销量进一步下跌。
你该怎么办呢？如果你如实地绘制一张过去4年里Frabezoid的销量图，那么它应该如下图所示。
图中曲线呈现的下降趋势正是问题所在。要是有办法把这段曲线变成上涨趋势该多好！
是的，确实有办法！我们可以绘制累计销量图。不按照每个季度的销量绘图，代之以绘制每个季度的累计销量，即迄今为止的总销量。
只要你哪怕销售一个Frabezoid，累计销量图都会呈现增长趋势，就像下面这张图一样。
如果仔细观察这张图，我们仍然可以发现一些蛛丝马迹，它们还是能够表明上季度的销售情况比较糟糕。尽管图中最近几个季度的销售曲线依然呈现上升趋势，但曲线的上升坡度却变小了。这就是销量下降的线索。不过，我们的大脑并不善于觉察这样的变化率（这在微积分中叫作一阶导数，即曲线斜率的术语名称）。因此，以平常人的眼光来看，该图似乎说明公司的销量表现依然十分强劲。如此一来，你便可以让为数众多的消费者相信Frabezoid依然值得拥有。
在苹果公司最近召开的一次iPhone手机销售会议上，首席执行官（CEO）蒂姆·库克（Tim Cook）采用的正是这种方法 [1] 。
资料来源：2013 The Verge, Vox Media Inc. (live.theverge.com/apple- iphone-5s-liveblog/)
在同一张图中绘制不相关的事物
世界上有如此多的事物同时处于不断的变化之中，所以必定会出现一些巧合。公路上绿色卡车的数量也许和你的薪水同时在增加。在你的童年时期，电视节目的数量也许随着你身高的增长而增多。但是，这并不意味着其中的一件事物引发了另一件事物。当两个事物相互之间产生关联时，无论其中的一个是否引发了另一个，统计学家都称它们相关。
有这样一句著名的格言：“相关并不暗含着因果关系。”形式逻辑对这个法则做了两种系统的阐述：
（1）在此之后，即以此为因。
这种逻辑谬误产生于这样的认知，即认为由于Y发生在X之后，所以X导致了Y的发生。人们一般都会在早晨上班之前刷牙，但刷牙并不是人们上班的原因。在这个例子中，刷牙和上班的关系甚至可能正好相反。
（2）与此同时，即以此为因。
这种逻辑谬误产生于这样的认知，即认为由于两件事同时发生了，所以其中一件事必定是另一件事发生的原因。为了透彻地说明这个问题，哈佛大学法学院学生泰勒·维根（Tyler Vigen）曾经专门编写了一本书并创建了一个网站，全部以“假性共存—相关”作为专题， [2] 比如下面这个。
解释这张图的方法有四种：（1）溺水死亡导致了尼古拉斯·凯奇的电影上映；（2）尼古拉斯·凯奇的电影上映导致了游泳池溺水死亡事件的发生；（3）第三种因素（尚未查明）导致了上述两个事件的发生；（4）它们两者毫不相干，其表面上的相关性不过是巧合而已。如果我们不对相关和共存加以区别，那么就可以宣称，维根的图“证明”了尼古拉斯·凯奇具有防止游泳池溺水死亡事件发生的作用。此外，防止游泳池溺水的最好措施就是鼓励他少拍电影。这样一来，尼古拉斯·凯奇就可以像他本人在2003年和2008年向世人展现的那样，不断地运用自己的有效救生技能。
在一些情况中，具备相关性的事物之间其实并没有实际的联系，它们的相关仅仅是巧合而已。而在另外一些情形下，人们可以在相关的事物之间找到某种因果联系，或者至少可以编造一个合理的说法以便获得新的数据。
我们可以直接排除第一种解释。因为电影的制作和上映需要时间，所以在同一年中溺水死亡事件的大量出现不可能导致尼古拉斯·凯奇电影的大量上映。那么第二种解释呢？或许，人们沉迷于尼古拉斯·凯奇电影的情节，结果导致他们失足落入游泳池并溺亡。对尼古拉斯·凯奇电影的沉醉，也可能同样提升了交通事故率和重型机械的受伤率。在做更多的数据分析之前，我们尚不得而知，因为该图对此并未进行说明。
那么，存在第三种因素导致两件事同时发生，这种解释又怎样呢？我们可以猜想，经济发展趋势使这两件事情发生：经济发展得更好会促使人们在娱乐休闲活动方面增加投入，制作的电影越来越多，越来越多的人会去度假和游泳。如果真是这样，那么图中描述的两件事——尼古拉斯·凯奇的电影上映和游泳池溺水死亡，都不是彼此出现的原因。取而代之的是，第三种因素，即经济发展，导致了两者的发生。统计学家将其称为解释相关性的第三种因素，这方面的例子为数众多。
可能性较大的情况是，这两件事情并不相关。如果我们花足够多的时间和精力，那么必定能够发现两个不相关的事物彼此并不相同。
随着穿短裤的人越来越多，冰激凌的销量也会上升。这两件事并不相关，导致它们产生的第三种因素是夏天气温升高。在你的童年时期，一年之中播放的电视节目数量可能与你的身高增长相关，但是促使这两件事发生的毫无疑问是电视扩大市场的时代和你身高增长的阶段恰好处于同一时期。
那么，怎样知道具备相关性的事物之间存在因果关系呢？一种方法是做控制实验，另一种方法则是应用逻辑推理。但是，一定要谨慎处理，否则你很容易陷入语义学的困境之中。导致人们穿雨衣的原因，是外面下了大雨，还是人们不想被雨水淋湿（下雨的后果）？
兰德尔·门罗（Randall Munroe）曾经在他绘制的网络漫画《xkcd 》中巧妙地回答了这个问题。 [3] 有两个明显都是大学生的火柴人正在交谈。其中一个说，他以往总认为相关性暗含着因果性。后来，他去上了统计学课程。现在，他不再这样认为了。另一个学生说：“听起来好像统计学课程起作用了。”第一个学生回答说：“嗯，也许吧。”
欺骗性插图
利用统计学说谎的人经常会使用信息图来引导舆论，他们凭借的正是大多数人不会深究由其精心筹划的信息。请思考下面这张图，它可用于吓唬你，让你相信恶性通货膨胀正在吞噬你的血汗钱。
乍一看，这张图的确很吓人。请你再仔细观察一下，图中的剪刀裁剪美元的位置并不是整个纸币的4.2%处，而是大约42%的地方。当你的视觉系统和逻辑思维系统二者产生矛盾时，除非你费尽全力去克服视觉上的偏见，否则最终获胜的往往是视觉系统。 [4] 准确的信息图如下图所示，但它给人们情感上带来的冲击力却弱化了很多。
解释说明和统计样本单位
一般情况下，统计数据的收集和汇报工作都能够比较恰当地得以完成。但是对于某些人来说，比如记者、律师，以及任何非统计学专业人士，他们在报告统计数据时往往会犯错。要么是因为他们误解了统计数据，要么是因为他们没有意识到措辞方面的一些细微变化会改变其含义。
那些想要使用统计学知识的人往往找不到现成的统计学家来帮忙，所以他们只好让缺乏专业培训的人来解答自己在统计学方面的疑问。公司、政府机构、非营利组织以及传统的夫妻式杂货店，都会从诸如销量、顾客、趋势、供给链等统计学数据中获益。在运用统计学知识的任何阶段，比如在实验性设计，数据的收集、分析或解释过程中，都会出现使用者不能胜任统计工作的情况。
汇报的统计数据有时并不恰当。如果你正在说服股东，让他们相信你的公司经营状况良好，那么或许你会发布有关年度销量的统计数据，并且向他们展示公司的销量呈现稳定增长的趋势。然而，如果你的公司的产品的市场正处于扩张期，那么产品销量的增长原本就是可以预见的。投资方和分析人士真正想要了解的极有可能是你的公司的产品的市场份额是否出现了变化。假如由于竞争者突然发难，抢走了你的消费者，导致你的市场份额出现下滑趋势，那么怎样才能使销售情况报告仍然看起来很有吸引力呢？你只需要对真正相关的市场份额统计数据不予报告，而代之以报告销量的统计数据。销量在不断上升！一切都没有问题！
人们在25年前的按揭申请中所显示的财务状况，对于建立今天的风险模型来说，很可能没有什么用处。网站上的消费者行为模式很快就会变得过时。 [5] 建造过街天桥时所用的混凝土的整体性统计数据，与统计建设桥梁所用的混凝土的整体性数据，也许毫无关联（即使两个建设工程刚开始时都使用同一种混凝土，湿度和其他因素也有可能使其出现偏差）。
你可能听说过类似“4/5的牙医都推荐患者使用高露洁牙膏”这样的说法。这是真实情况。这些已有几十年历史的广告，其背后的广告代理商想让你相信，牙医们最看好高露洁而非其他品牌的牙膏。这却不是真实情况。英国广告标准局曾针对以上说法展开仲裁调查，并最终裁定它是一种不公正的说法。其原因在于，高露洁公司的调查问卷允许牙医们推荐的牙膏不止一种。事实上，高露洁最大的竞争者的品牌名称在该问卷中出现的频率几乎和高露洁一样（在高露洁广告中你却看不到这个细节）。 [6]
本书有关平均数的部分曾涉及统计样本单位这个问题，在有关图的部分也对该问题含蓄地做了讨论。如果你不仔细思考人们传递给你的信息，那么凭借对统计样本单位的操纵，人们就可以用无数个手段来欺骗你。有线电视网络公司C-SPAN（美国一家提供公众服务的非营利性媒体公司，由美国有线电视业界联合创立）的一条广告声称，其服务范围“可覆盖”一亿个家庭。 [7] 这并不意味着有一亿人在收看C-SPAN的节目，甚至还有可能意味着没有任何一个人在收看它的节目。 [8]
对统计样本单位的操纵还能够影响公共政策。一项针对洛杉矶市区各街道垃圾回收量的调查显示，其中一条街道的垃圾回收量是其他街道的2.2倍。在市政局为该街道的居民颁发奖章，表彰他们为绿色城市建设所做的贡献之前，我们先来问问怎么会出现这样的数字。一种可能的情况是，这条街道的居民人数比其他街道多两倍以上——也许是因为街道很长，也许是因为该街道上有很多公寓楼。除非整个市区的街道都相同，否则，以街道为单位来衡量垃圾回收量就是不恰当的统计。更好的统计方法是按照住户（衡量每个家庭的垃圾回收量）来统计。由于人口多的家庭的物质消费比人口少的家庭要多，所以以个人为单位统计垃圾回收量是最好的做法。也就是说，我们要调整垃圾回收数量的统计样本的单位，把街道上的居民人数考虑在统计当中，因为这才是这项统计工作正确的统计样本单位。
2014年，整个加利福尼亚州干旱肆虐。同年，《洛杉矶时报》对加州兰乔圣菲市的居民用水情况进行了报道。 [9] “9月，该地区住户平均每天耗用的水量几乎是加州南部沿海家庭每天用水量的5倍。这为他们赢得了‘全加州最大民用水挥霍者’这个不光彩的名声。”但是，住户并不是这项统计恰当的统计单位。更好的统计单位应当是个人——一种可能性是兰乔圣菲市居民的家庭规模更大，这就意味着洗澡的人更多，洗碗的人更多，使用冲水马桶的人也更多。另一种可能性是，以英亩 [10] 为统计单位，兰乔圣菲市住户的家庭占地面积往往更大。也许为了防火和其他原因，住户在土地上都种上了绿色植被。所以，兰乔圣菲市住户的占地面积虽然较大，但是每平方英亩消耗的水量却并不比加州其他地方多。
实际上，在《纽约时报》发表的一篇针对同一问题的文章中，我们可以找到有关这方面的一些暗示：“州政府负责民用水的官员曾提醒大家，不要对比各地区之间的人均用水量。他们表示，他们预计地产面积很大的富裕社区的用水量最高。”
上述文章的问题在于，它们对数据做了调整，目的是使兰乔圣菲市居民的用水量看起来好像超出了配额。但是，它们提供的数据——正如上文中有关洛杉矶垃圾回收的例子一样——实际上并没有证明其目的。
采用计算比例而不计算实际数字的方法，往往有助于提供正确的统计样本单位。假设你是一家公司的西北地区销售经理，负责销售的产品是通量电容器（flux capacitor，1985年电影《回到未来》中提到的时间机器的核心部件）。虽然你的销量已经提高了很多，但仍然比不上公司销售方面的“涅墨西斯”（希腊神话中的复仇女神，此处喻指不能战胜的对手）——来自西南销售区的杰克。这几乎没有公平可言，他负责的地区不仅地理面积更大，而且人口更多。然而，公司会根据你向上级展示的产品销售能力发放奖金。
有一种方法可以合理地汇报你的销售业绩：根据你负责地区的面积和人口来汇报销量。换言之，在绘制销量图时，要按照销售区内平均每人或每平方英里的销量，而不是按照通量电容器的销售总量。采用这两种方法中的任何一个，你的销售业绩都会比别人优秀。
新闻报道表明，2014年是飞机失事最为严重的年份之一：全年发生22次飞行事故，造成992人死亡。但是，如今的飞机其实比以往更加安全。 [11] 由于现在的航班数量比以往多得多，992的死亡数字相对于每100万名乘客（或每100万英里的飞行距离）的死亡数字来说，其实代表着很大幅度的下降。在一家主流航空公司的任何单程飞行过程中，你死于飞机失事的概率大约为五百万分之一。这比你死于其他任何活动的概率都要小，比如步行穿过街道和吃东西（噎死或食物中毒致死的概率比死于飞机失事的概率还要高1000倍）。在此处，比较的基准非常重要。这些统计数据的时间跨度都是一年。我们还可以改变统计基准，转而分析一小时内这些活动的情况，而这将改变整个统计量。
似是而非的差异
当我们试图弄清楚两个待处理对象之间是否存在差异时，常常需要运用统计学知识：同一块土地上施用的两种化肥、两种不同的止痛药、两种截然不同的教学方法、两组不同的薪水（比如，做同一种工作的男人和女人的薪水）。两个待处理对象存在差异的原因有很多种：它们之间可能确实存在差异；统计样本中可能存在混淆因子，它们却与实际的统计对象毫不相干；计量方法可能有误；还可能存在随机变异——出现了一种小概率差异，它有时出现在方程的一边，有时出现在另一边，这要取决于你查看的时间。研究者的目标在于寻找稳定、可靠的差异，而我们则要努力把差异和实验误差区别开来。
不过，我们对于新闻媒体使用“显著”一词的方式一定要保持警惕。因为对统计学家来说，这个词语的含义并不是“显著”。统计学中的“显著”指的是统计结果通过了数学测试，比如t测验、卡方检验、回归分析以及主分量分析等（这样的测试方法有几百种）。统计学意义上的显著性测试，可以对用纯粹巧合解释统计结果的容易度进行量化。当统计对象数量庞大时，即使程度上很琐碎的小差异都能够超出变化和随机模式解释的范围。这些测试并不能知晓哪个差异具有显著性，这是一种人为判断。
在两个统计群组当中，你的统计对象越多，就越有可能找到各个统计对象之间的差异。假设我要测试两种汽车——福特汽车和丰田汽车的年度维修成本，我所采用的方法是，看一下每种汽车（各10辆车）的修理记录。比方说，假定福特汽车每年维修成本的算术平均数比丰田汽车高8美分。这个小差异极有可能达不到统计学意义上的显著，而且很明显的一点是每年8美分的维修成本差异不会成为选择购买哪种汽车的决定因素——由于差异太小，因此无须考虑。但是，如果我看的是500000辆汽车的修理记录，这个8美分的差异便具有了统计学上的显著性。但是，从实际意义来说，这个差异却无关紧要。类似地，一种治疗头疼的新药物可能在统计学意义上能更迅速地治愈你的头疼，但如果只是快了2.5秒，谁又会在意它呢？
内插法和外推法
星期二，你走到屋外的花园里，看见了长到4英寸 [12] 高的蒲公英。星期四，你又看了一眼，蒲公英已经长到6英寸。那么，星期三时蒲公英有多高呢？我们不能确切地知道答案，因为我们并没有在星期三时测量蒲公英的高度（同一天，你从苗圃店里购买了除草剂，回家的路上还遇到了堵车）。但你却可以猜测：星期三时蒲公英的高度有可能是5英寸，这就是内插法。内插法指的是利用已知的两个数据点，估算出你想要知道的位于这个两点之间的那个点的数值。
6个月后，蒲公英会长到多高呢？如果它每天生长1英寸，你就可以回答说6个月（约180天）后它将长高180英寸，长到186英寸，或者说高度超过15.5英尺。此处，你所使用的方法就是外推法。但是你见过这么高的蒲公英吗？一般人都没见过。因为当蒲公英长到一定高度时，其自身的重量会把它压倒，或者它会死于其他自然方面的原因，或者被人踩踏，又或者会被除草剂除掉。内插法并不是一种十全十美的方法，但如果两个观察对象相互间的关系非常紧密，那么使用内插法一般都能做出较好的估计。使用外推法的误差则更大，因为你的估计已经超出观察对象的范围。
一杯咖啡的温度降到室内温度所需要的时间，是由牛顿热力学定律决定的 [13] （还受到其他因素的影响，比如气压和杯子的组成成分等）。如果你的咖啡的起始温度为145华氏度（62.78摄氏度），那么随着时间的推移，你会观察到其温度降低的情况如下表所示。
你的咖啡的温度每分钟会降低5华氏度。如果你在两个观察点之间进行内插，比方说，你想知道两个测量时间点中间咖啡的温度，那么你的内插所得数值将会非常准确。但如果你从上述温度模式中进行外推，那么你很有可能得到一个荒谬的结果，比如说30分钟后咖啡的温度将会降至冰点。
外推法没能考虑到这样一个物理学上的限制条件：咖啡的温度不可能降到室温以下。同时，外推法还忽略了另外一个情况：当咖啡的温度降到与室温接近时，下降的速度会减缓。所以，咖啡冷却函数图形的其余部分应当如下图所示。
请留意，图中前10分钟内的曲线坡度在10分钟之后没有继续保持——曲线变得平直了。这说明，当你使用外推法时，有两件事情非常重要：（1）必须要有大量的观察点；（2）必须具备关于所统计事件发生过程的一些知识。
精确度和准确度
当我们看到数字具有精确度时，往往会认为它们也具备准确度。但事实上，精确度和准确度并不是一回事。如果我说“如今很多人都在购买电动汽车”，你会认为我只是在做猜测。如果我说“售出的新汽车中有16.39%是电动汽车”，你就想当然地认为我所说的是实际情况。可是，你却混淆了精确度和准确度。上述数据有可能是我编造的，也有可能是我在电动汽车4S店附近的少数人中抽取了统计样本。
请回想一下我在上文中提到的《时代周刊》的那个标题，即“使用手机的人比用马桶的人还多”。这种表述并非不合理，但却是对事实的一种扭曲，因为联合国的一项研究表明事实并非如此。联合国的研究报告称，可以使用手机的人比可以使用马桶的人多。我们知道，这种表述又完全是另外一回事。几十个人可以共同使用同一部手机。尽管全球范围内卫生设施的缺乏仍然令人忧心，但该杂志的标题听上去让人觉得，假如你去统计数量，会发现世界上的手机数量比马桶还要多。然而，这种观点并没有数据的支撑。
当你在统计学中见到类似“可以使用到”这样的表述时，一定要提高警惕。人们可以使用到医疗保健服务，不过这意味着这些人的居住地距离有医疗设施的地方比较近，并不是说这些医疗场所就一定会接纳他们，或者人们就一定能够负担得起医疗费用。正如你在上文中已经了解到的那样，尽管C-SPAN公司的电视节目可以覆盖到1亿个家庭，但它并不能表明有1亿人在收看该公司的电视节目。 [14] 只要能够说明，世界总人口中有90%的人位于互联网连接点、铁路、道路、飞机起落跑道、港口或狗拉雪橇路线等周边25英里之内，那么我就可以宣称，全世界有90%的人都“可以阅读到”本书。 [15]
比较截然不同的事物
用统计数据说谎的一种方式是对比不相同的事物，比如比较数据集、人口、产品类型等，并且假装它们是相同的。正如一句古老的谚语所说，你不能对比苹果和橘子（比喻截然不同的事物）。
采用较隐蔽的方法，你就可以宣称，战争时期（比如阿富汗战争）在部队服役要比待在美国本土舒适的家里更为安全。这种说法的推理起点是：2010年，有3482名美国现役军事人员丧生。 [16] 鉴于美国军队的总人数为1431000人 [17] ，所以军队现役人员每1000人中就有2.4人牺牲；而2010年，全美国每1000人中死亡的人数为8.2。 [18] 换言之，身处作战地区的军人的安全率是居住在美国本土的人的3倍多。
这是什么情况呢？上述两个统计样本没有相似性，所以不能直接将其加以比较。现役军人一般都是健康状况良好的年轻人。这些人的伙食很好，医疗条件也很好；而美国总人口却包括了老年人、病人、黑帮成员、瘾君子、飞车党、掷刀游戏（一种儿童技巧游戏，不能让掷出的刀子在地上呈竖立状态的玩家，即被罚以用牙齿拔地上的刀）玩家，以及很多饮食和医疗条件都很差的人。 [19] 所以，无论身处何地，美国大众的死亡率都较高。美国军队现役人员并非全部都身处作战地区——其中一些人待在非常安全的军事基地，或坐在五角大楼的办公室里，抑或驻扎在位于郊区零售商场的部队征兵处。
《美国新闻与世界报道》曾经刊载了一篇文章。该文比较了20世纪30年代美国全国范围内分别支持民主党和共和党的选民人数比例。它的问题在于，统计抽样方法已经随着时间的流逝而发生了变化。在20世纪三四十年代，人们采用的抽样方法是现场采访或信件邮递，而到了70年代则通过电话采访进行抽样调查。20世纪早期的电话抽样结果偏向于那些拥有座机的人，即富裕阶层。至少在那个年代，富裕的选民倾向于投票支持共和党。进入21世纪，手机成为抽样调查的途径。此时的抽样结果则偏向于那些选择支持民主党的年轻选民。我们无法确切地知道，20世纪30年代以来，支持民主党和共和党的选民人数的比例是否发生了变化。原因在于，相关的统计样本相互之间存在矛盾之处。我们普遍认为自己研究的是同一件事情，但事实上却并非如此。
当我们做一份比较报告，对比现在和30年前摩托车事故死亡率的下降情况时，同样会出现上述问题。相比于以两轮摩托为主的20世纪，距离现在越近的年份，三轮摩托的数量越多。你比较的也有可能是这样的两个对象，即法律尚未要求必须佩戴头盔的年代与多数州都要求佩戴头盔的现今时代。
在做统计结论之前，一定要当心样本方面的变化！《美国新闻与世界报道》曾撰文写到，医生数量在12年里增加了，而同一时期医生的平均工资则显著下降。 [20] 读者会从中获取什么信息呢？你或许会下结论说，由于医生人数太多，所以现在不是选择成为医生的好时机。而且，由于医生人数大于社会需求，所以每个医生的薪水都下降了。你的结论可能是正确的，但在上述报道中却没有证据可以支撑这个结论。
另一种同样合理的观点认为，在12年里，专业分工的深入和医疗技术的进步为医生创造了更多的就业机会，所以医疗行业的职位增加了，医生的总人数也随之增长。那么，医生薪水下降又怎样解释呢？也许，很多年老的医生退休了，年轻医生则填补了他们的职位。由于这些年轻医生从医学院毕业后刚刚参加工作，所以他们的薪水要低一些。不过，我们也找不到可以支撑这种观点的论据。一个人在统计学方面的一个重要素养，即在于能够认识到，对于一些统计数据，就像上面列举的那样，不能够简单地对其加以解释。
有时，人们之所以会比较截然不同的事物，是因为它们来自不一致的次级样本，即人们忽略了一个自己尚没有认识到其重要性的细节。例如，当从一块施用了新品种化肥的农田中抽取玉米样本时，你也许并没有注意到，一些玉米穗获得的日照更多，而另一些玉米穗吸收的水分更多。再比如，在研究交通模式如何影响街道路面的重新铺设时，你可能没有意识到，某些街道表面的水流更多，从而影响了所需要的沥青数量。
统计样本的混合是指把不相同（不同种类）的事物全部放在同一处或归入同一类别——对比截然不同事物的一种形式。如果你考察的是由同一家工厂生产的有缺陷齿轮的数量，那么你就有可能把两种完全不同的齿轮放在一起计数，从而使最终的统计数字满足你的特定目的。
下面我们举一个公共政策方面的例子。试想，你计划调查青春期前的少年和青春期青少年的性行为。你如何混合（合并在一起）数据在很大程度上会影响人们怎样看待你的数据。如果你的调查研究旨在为青少年教育和咨询中心筹集资金，你可以采用发表一份统计数据的方法，比如“年龄在10岁到18岁的学龄青少年中有70%的人属于性欲旺盛者”。有没有更好的方法呢？如果说十七八岁的青少年性欲旺盛，我们并不会感到吃惊，但居然说10岁的孩子也这样！这种方法不仅肯定会让孩子的祖父母们感到悲伤难过，而且也会促使他们立即交钱送孩子到青少年教育和咨询中心。显然，10岁至18岁这个单一的类别把那些有可能性欲旺盛的青少年和其他并非如此的孩子完全混为一谈。对把年龄相似且有相似体验的青少年个体混杂在一起的分类方法进行拆分，就是比较有益的做法。比如，可以将其分为10岁至11岁、12岁至13岁、14岁至15岁、16岁至18岁等不同类别。
上述调查本身存在的问题并非仅此一个。所谓的“性欲旺盛”是什么意思呢？调查人员究竟向学生们提了哪些问题？或者，他们到底有没有向学生提问？也许被提问的只是学生的父母们。各种主观上的偏见都会融入类似这样的统计数字。“性欲旺盛”的含义尚待商讨，它的定义会使被调查对象对问题的回答出现很大的不同。当然，被调查者也可能不讲真话（报告偏差）。
我们再举一例。假如你想把失业问题作为一个一般性的问题来探讨，那么就存在这样一种风险，即把背景情况很不同的人和真正的失业者混杂到一起。一些人身体上有残疾，所以无法参加工作；一些人由于在工作中偷窃或醉酒因而让雇主有正当理由将其解雇；有一些人想要工作却没有接受过相关培训；一些人在监狱服刑；还有一些人不打算再工作了，因为他们已经回到学校学习、加入了修道院或者靠家里来养活自己。当用统计数据来影响公共政策，或者为某事筹集善款，抑或营造社会舆论时，人们经常会忽视统计样本的细微差别，但正是这些细微的差别造成了完全不同的统计结果。
统计样本的细微差别本身往往揭示了数据的模式。 [21] 人们成为失业者的原因不尽相同。酗酒和偷窃的人成为失业者的可能性要比其他人高4倍。这些数据模式所蕴含的信息丧失在了混合样本当中。把这些因素作为你的数据的一部分，将有助于你弄清楚哪些人是失业者及其失业原因，最终可以促使那些真正需要就业培训的人得以接受相关培训，或者促使那些匿名戒酒中心数量不足的城镇增加其数量。
如果从事行为跟踪研究的研究人员和机构采用事物的不同定义，或者采取不同的观测事物的程序，那么最终的统计数据就会变得非常不同甚至混杂。如果你想确定那些同居但尚未正式结婚的情侣的数量，那么你就可能需要借助于由不同的县和州的相关机构此前收集到的相关数据。但在此处，采用不同的定义会产生一个分类上的问题：怎样算是同居？它是由一周内两个人一起过夜的数量来决定的吗？还是要看他们的个人所有物的所在地，抑或要看他们的通信地址？在一些司法管辖区内，同性情侣是合法的，而其他地区则不然。如果你使用不同的方案在不同的地区采集数据，最终的统计数据就没有什么意义了。当各个数据采集点之间在数据的记录、收集和计量方法上存在较大的差别时，最终统计结果的意义就有可能并不是你所认为的那样。
最近有一个报告表明，西班牙年轻人的失业率达到了令人惊诧的23%。该报告其实把一般来说应当出现在不同类别中的人混杂在了同一个样本之中：它把没有找工作的学生也算作失业人员，同时还把刚被解雇的工人和正在找工作的工人也归入失业人员之列。
在美国，人们用6个不同的指数（分别命名为U1至U6）来跟踪失业情况（由劳动统计局统计）。 [22] 这些指数反映了对“失业”真实含义的不同解释。它可以包括正在找工作的人、在学校里但没找工作的人，以及那些在公司做兼职工作但正在谋求一个全职工作的人等。
2015年7月，《今日美国》报道称，美国的失业率下降到了5.3%，“这是自2008年4月以来的最低值”。 [23] 综合性更强的新闻机构，包括美联社（AP）、《福布斯新闻》和《纽约时报》均报道了失业率明显下降的原因：很多失业的人放弃了寻找工作，所以从技术上来讲已经不能再将其视为工作人口了。 [24]
统计样本的混合并不总是错误的。你或许会选择把学校里男生和女生的考试成绩进行混合，尤其在不能证明他们的成绩不相同的情况下——实际上，为了增加你的统计样本（这样可以为你的研究提供一个更稳定的估计），这样做反而比较好。对统计类别的定义无论是过于宽泛（如前文提到的性行为情况调查），还是不一致（如关于同居情侣的统计），都会带来统计解释上的问题。但如果统计类别定义得恰当，那么样本的混合则有助于我们做出有效的数据分析。
假设你在犹他州政府里面工作，适逢一家全国性的婴儿服装制造公司计划搬到犹他州。你正在思考，如果自己能证明犹他州新生婴儿的数量很大，那么就能更好地吸引该公司到犹他州来。因此，你登录政府人口普查网站Census.gov，并绘制了一张关于美国各州新生婴儿数量的图。
从图上看，犹他州在新生儿数量方面要高于阿拉斯加州、华盛顿特区、蒙大拿州、怀俄明州、南达科他州、北达科他州以及东北部几个面积较小的州。但是，与加利福尼亚州、得克萨斯州、佛罗里达州及纽约州相比，犹他州却并不能算是出现了婴儿潮。不过，请等一等。你所绘制的这个图展示的是新生儿的原始数据，所以它必然会显得比较有利于那些人口数量更大的州。与此相反，你还可以按照各州总人口中每1000人的新生儿数量来重新绘制此图，结果如下图所示。
看来，这个方法也没有奏效。犹他州的新生儿数量看上去似乎和美国其他各州并无分别。怎么办呢？修改图下面颜色由灰到黑的长方形格子所代表的数字范围！你可以很轻易地改变每个类别中的数值。通过把犹他州的婴儿出生率单独放在一个方形格子中，你就可以使犹他州在美国其他州中脱颖而出。
当然，这个方法之所以奏效，是因为犹他州的婴儿出生率确实在美国各州中最高——虽然并没有高出很多，但仍是最高的。选择一个由带颜色的方形格子代表的样本类别，并把犹他州的婴儿出生率数值单独放在其中，犹他州便凸显出来。假如你想把其他州中的某一个凸显出来，那么就需要采用其他种类的编造方法，比如按照每平方英里、平均每个沃尔玛商场，抑或人均可支配收入，来绘制新生儿数量图。只要你努力地反复尝试上述方法，最终总能够找到一种衡量标准，从而为美国50个州中的任意一个绘制一张这样的图。
什么才是绘制此类图的正当方式，是那种不撒谎的方式吗？这个问题属于价值判断的范畴。不过，相对中庸的一种做法是，在5个类别中，每类都保证20%的州数，即在每个带颜色的格子中，放入相同个数的州。
另外一种方法是使每个方形格子所代表的婴儿出生率范围相等。
此类的统计学障眼法——除了上述最后一张图之外，其他图均使用了不相等的方形格子宽度——不仅非常普遍，而且经常出现在直方图中。下图描述了2015赛季美国职业棒球大联盟排名前50的球员的平均击球率 [25] （包括全美和美国职业联盟）。
现在，假设你是其中一名击球率为0.327的球员，你的排名属于第二高的那个类别。球员奖金即将发放，今年你不再想给球队管理层任何拒绝给你奖金的理由——你已经购买了一辆特斯拉汽车。所以，修改图中方格子的宽度，把你的击球率结果数字与其他两位击球率达到0.337的球员混合在一起。如此一来，你就进入年度最佳球员之列了。在具体绘图时，把图出现的缺口补齐（因为0.327的方格子中已经没有球员），从而在x轴上创造出一段几乎没人可以注意到的不连续的数字间隔。
似是而非的样本类别细分
与样本类别混合相反的做法是样本类别细分，它也能使人们相信各种虚假信息。为了把X说成是导致Y出现的首要原因，我只需要把其他原因细分为越来越小的类别。
假设你在一家生产空气净化器的公司工作，你需要完成这样一项工作：证明在美国，呼吸道疾病是导致死亡的首要疾病，它排在心脏病和癌症之前。事实上，截至今天，美国排在第一位的致死性疾病仍然是心脏病。美国疾病控制与预防中心报道称，2013年致死率排名前三的疾病 [26] 为：
心脏病：611105例
癌症：584881例
慢性下呼吸道疾病：149205例
现在，我们抛开家用空气净化器有可能无法显著地预防呼吸道疾病这样令人烦心的细节性问题不谈，上面这些统计数字并不能突出你公司产品的重要性。你也很想每年拯救超过100000条生命，这一点毋庸置疑。但是，从产品营销的角度来看，诸如你公司“致力于预防致死率排在第三的疾病”之类的宣传说法，并不能给人留下深刻的印象。但，请等一等！心脏病并非只有一种，它有很多种：
急性风湿热和慢性风湿性心脏病：3260例
高血压性心脏病：37144例
急性心肌梗死：116793例
心力衰竭：65120例
像这样的心脏病种类还有很多。下一步，我们把癌症也细分为更小的次级类别。通过不对样本种类进行混合，并且创造出这些非常好的细分类别，你就成功做到了——慢性下呼吸道疾病现在俨然成了致死率最高的疾病。你也已经为自己赢得了一份奖金。一些食品公司就采用了这种细分样本类别的策略，从而隐藏了其产品中脂肪和糖分的含量。
[1] http://qz.com/122921/the-chart-tim-cook -doesnt-want-you-to-see/; http://www.tekrevue.com/tim-cook-trying -prove-meaningless-chart/.
[2] http://www.tylervigen.com/spurious -correlations.
[3] https://xkcd.com/552/.
[4] This example is based on one in Huff, ibid.
[5] This is nearly a direct quote from De Veaux, R. D. & Hand, D. J. (2005). How to lie with bad data. Statistical Science, 20 (3), 231–238, p. 232.
