用贝叶斯法则预测未来（赢得纸牌比赛）
确定性与不确定性
2004年世界纸牌冠军联赛上，发牌员看着安妮·杜克，等着她的决定。桌子中间放着一摞价值45万美元的圆形筹码，世界上9位顶级纸牌玩家——除了安妮以外，都是男性——围坐在桌旁，他们不耐烦地等着她下注。这场比赛在电视上同步播出，冠军将会获得200万美元的奖金，亚军没有任何奖励。
发牌员还没有发任何公共牌，安妮手里拿着一对10。她手气很好，已经把她的大多数筹码都放进底池了。现在，她必须决定是否押上自己的所有赌注。其他玩家都已经把牌面朝下放表示退出，只有一人例外。这个人就是葛瑞格·瑞摩，被戏称为“化石人”。他是一位来自康涅狄格州的矮胖绅士，口袋里放着几块树皮化石，戴着一副蜥蜴眼的全息太阳镜。
安妮不知道“化石人”手里是什么牌。几秒钟前，根据牌局的进展，她感觉自己胜券在握，可就在这时，“化石人”押上了他的所有赌注，这彻底打乱了安妮的计划。难道“化石人”之前一直在骗她？一步步地诱惑她押下越来越大的赌注，然后一举击败她？或者他想用如此大的赌注把她吓退？
所有人都注视着安妮，她不知道该何去何从。
她可以选择退出，但这意味着她将失去几万美元的赌注、过去9个小时里取得的所有成绩等她付出极大的努力所赢得的一切。
她也可以选择接受“化石人”的挑战，押上所有赌注。如果失败了，她会被淘汰出局。如果成功地赢了这一局，她就会成为本阶段比赛的成绩领先玩家，离200万美元的奖金又近了一步。这笔钱可以用来支付孩子的学费，偿还按揭贷款，甚至可以解决棘手的离婚问题以及所有不确定的麻烦，这些事经常让她晚上胃痛。
她再次看了看桌上的那堆筹码，巨大的压力让她喘不过气。在生活中，安妮时常感到恐惧，严重的时候她会把自己关在房间里。20年前，她在哥伦比亚大学读大二时，因为极度焦虑而恳求医生为她治疗，两周后出院。
安妮沉默了45秒，思考该怎么办。“对不起，”她说，“我让大家等太久了，但这真的是一个很艰难的决定。”
安妮的心思全在那对10上，考虑着已知和未知的信息，安妮喜欢纸牌游戏的这种确定性。这种游戏的关键技巧就是预测最有可能出现的结果是什么。统计数据让安妮获得了掌控力，她也许不知道确切的结果，但她能准确算出对或错的可能性。纸牌桌给她一种平静的感觉。
此时，“化石人”却破坏了这种平静的感觉，因为他下的赌注和安妮头脑中的任何情景都不匹配，她不知道如何估计哪种结果最有可能出现，她愣住了。
“很抱歉，”她说，“我还需要一点儿时间。”
在安妮的童年记忆中，她的妈妈坐在厨房的餐桌旁，拿着一盒烟、一杯苏格兰威士忌、一副纸牌，一遍遍地玩着单人纸牌游戏，直到酒杯空了、烟灰缸满了，她才踉跄着倒在沙发上，沉沉睡去。
安妮的爸爸是新罕布什尔州圣保罗中学的一位英语教师，圣保罗中学是一所寄宿学校，学生大多是参议员和企业高管的孩子。安妮家的房子和这所学校的一间宿舍相连，所以，每次她的父母因为她妈妈酗酒或者她爸爸赚钱少而争吵时，她确定住在她家隔壁的学生能够听得一清二楚。她总觉得自己在学校里像个局外人：因为贫困，无法和富有的孩子一起度假；因为聪明，无法和那些受欢迎的女孩打成一片；因为焦虑，在嬉皮士群体中备感不适；因为对数学和科学的浓厚兴趣，无法加入学生会。对安妮来说，想在这种环境中生存，关键是要学会预测。如果她能够预测出哪些学生的社会资本会增加还是下降，就更容易避免钩心斗角。如果她能够预测出父母什么时候会吵架或者她妈妈什么时候会喝醉，她就知道带同学回家是否可行。
“如果你有一位酗酒的家长，你就会花很多时间预测接下来会发生什么。”安妮对我说，“而且，你永远不知道能不能吃上晚饭，也没有人告诉你什么时候可以安心睡觉，你总处在一场暴风雨即将来临的焦虑状态。”
高中毕业后，安妮进入哥伦比亚大学，她很快就锁定了心理学系，那是她一直在寻找的专业。心理学课程把人类的行为总结成可理解的规则和社交模式，比如人格的不同类型、焦虑的成因，以及关于家长酗酒行为对孩子的影响。她开始了解为什么有时会感到极度焦虑，为什么有时感觉无法离开自己的床，为什么认为随时都有坏事发生。
当时，认知科学取得新进展，把科学的严谨性与长期缺乏系统分析的人类行为研究结合在一起，这带来了心理学的一次变革。心理学家和经济学家合作研究人为什么会做他们想做的事，其中最令人兴奋的研究（以后说不定会获得诺贝尔奖）是关于人如何做决定。研究人员想知道，尽管抚养孩子的成本（就经济和工作压力而言）如此之大，而回报（比如，爱和满足感）却难以估算，为什么有些人还是决定要孩子？人们为什么把孩子送到学费高昂的私立学校，而不是免费的公立学校？为什么有的人曾经风流成性，现在却想结婚？
事实上，我们很多重要的决定都是在试图预测未来。我们把孩子送到私立学校，这在某种程度上是用现在的金钱押注未来能够收获的幸福和机遇。我们决定生一个孩子，是因为我们预测为人父母的喜悦将会超过无数个不眠之夜的痛苦。我们决定结婚——虽然这听起来一点儿也不浪漫——是因为我们预估安定的生活要比邂逅无数个新欢更划算。能否做出正确的决定，这取决于我们是否拥有预测未来的基本能力。
令心理学家和经济学家感兴趣的是，在日常生活中，人们以怎样的频率在未来的各种可能性中做出选择，才不至于对每次选择的复杂性感到无能为力。另外，他们发现有些人更善于预测未来的各种可能性，并做出最优选择。为什么有些人能够做出更好的决定？
大学毕业后，安妮申请加入了宾夕法尼亚大学的认知心理学博士项目，获得了学校的补助，并开始发表论文。经过5年的努力，安妮发表了一系列论文，也获得了一些奖项。距离拿到学位还差几个月，安妮得到邀请去几所大学发表“求职演讲”。如果表现出色，她肯定会得到其中一所大学的教授职位。
她的第一场演讲是在纽约大学，演讲的前一天晚上，安妮乘火车来到曼哈顿。整整一周，她都为此焦虑不安。那天晚饭时她开始呕吐，一小时后她喝了一杯水，又开始呕吐。安妮无法缓解自己的焦虑不安，一直在想她犯了一个错误，其实她根本不想当大学教授，她做求职演讲只是因为这个选择似乎是最安全、最可预测的。最后，她打电话给纽约大学推迟了这次演讲的时间，她的未婚夫飞到曼哈顿把她接回宾夕法尼亚，她住进医院，几个星期后才出院。然而，这种焦虑感依然挥之不去，就像躺在她胃里的一块灼热的石头。出院后，安妮来到宾夕法尼亚大学给学生们上课，那节课让她感到恶心和紧张，差点儿晕过去。安妮决定下一节课不上了，求职演讲不做了，教授也不当了。
她把研究资料塞进汽车后备厢，告诉教授她短期内可能不会回学校了，然后开车去了美国西部。她的未婚夫在蒙大拿州比林斯市郊找到一所价值11000美元的房子，安妮认为即使是这个价位，也不便宜。不过，那时的她已经筋疲力尽，什么都做不了。她把博士毕业论文放进壁橱，躺在沙发上，不愿去想任何事情。
几周后，她的哥哥霍华德·莱德勒打电话邀请她去拉斯韦加斯度假。霍华德是一名职业纸牌玩家，在过去的几年里，每逢春天他都会带安妮去金砖赌场度假。霍华德参加纸牌锦标赛，安妮则坐在赌场的游泳池边。无聊时，她也会走进赌场观看哥哥比赛，或者动手玩几局。然而，这次接到哥哥的电话时，安妮却以她身体不舒服为由拒绝了哥哥的邀约。
这让霍华德很担心，因为安妮很喜欢拉斯韦加斯，以前从没有拒绝过他。
“为什么你不在当地找一个能玩纸牌游戏的地方？”他说，“也许它能带你走出房间。”
当时安妮已经结婚了，她让丈夫去打听一下当地有没有这样的地方。后来，他们得知比林斯有一家水晶雅座酒吧，退休的农场主、建筑工人和保险业务员每天下午都会在那家酒吧的地下室里玩扑克牌。那是一个烟雾弥漫、沉闷无趣的地方。安妮某天下午去了那里，感觉不错。几天后，她又去了那家酒吧，赢得50美元。“对我来说，纸牌游戏结合了我喜欢的数学和大学所学的认知科学。”安妮对我说，“你会看到玩家们彼此虚张声势；抽到好牌时，强忍住内心的兴奋；还有我们曾在课堂上花好几个小时讨论的各种各样的行为。每晚我都会给我的哥哥打电话，和他聊聊当天的牌局。他帮我分析我错在哪里，或者别人怎样读懂了我的牌，或者下一次我应该怎么做。”一开始，她的纸牌技艺并不出众，但她常常赢钱，能够一直玩下去。她发现，在纸牌桌上，她再也没有胃痛。
很快，安妮成了水晶雅座的常客，每天都像上班一样下午3点准时到达那里，半夜才离开。她会记笔记，验证自己的策略。哥哥给她寄来一张2400美元的支票，前提是她要把赢到的钱分给他1/2。一个月后，安妮赢来的钱减去分给哥哥的钱后还剩下2650美元。第二年春天，哥哥又一次邀请她去拉斯韦加斯，她驱车14个小时到达赌场，还买了一个参加锦标赛的席位，她在第一天就赢了3万美元的筹码。
3万美元比安妮做研究生时一整年的收入还多。她对纸牌游戏的理解比大多数玩家都透彻得多。她知道，失手一次并不意味着失败，而是一次经验的积累。“通过这一点，我可以看出中级玩家和高级玩家的区别。”安妮对我说，“如果你是中级玩家，那么你会想了解尽可能多的规则。中级玩家渴望确定性，而高级玩家则能够利用这一点击败前者，因为这会导致中级玩家更容易被看穿。”
“为了成为高级玩家，你必须学会向对手发问的技巧。比如，你想退出了吗？你想下注吗？你还有好牌可以出吗？通过对方的回答，你就能更准确地预测牌局结果。纸牌游戏就是一种用自己的筹码更快地获取对手信息的游戏。”
在那次纸牌锦标赛的第二天，安妮赢得了95000美元的筹码，排名第26位。她的名次排在几百位职业玩家之前，要知道，有些人已经征战赌场几十年了。三个月后，她和丈夫搬到了拉斯韦加斯。再后来，她给宾夕法尼亚大学的教授打电话，说她不回去了。
一分钟过去了，安妮手上仍然拿着那对纸牌10。如果“化石人”手里有一对大于10的扑克牌，比如两张Q，而且安妮不叫牌，那么她在这场比赛中几乎必输无疑；但如果她赢了这一局，她就会成为这个牌桌上的赢家。
安妮头脑中浮现的所有赔率和概率图表都在促使她做一件事：接受“化石人”下的赌注。但是，每次安妮下注时向他提问，他的回答都很理智。如果没有充分的把握，他不会把全部筹码都押上。现在，即使安妮一次次地加码，他还是押上了自己的所有筹码。
安妮意识到，“化石人”明白在这个时候让她做出让步是很困难的。不同于牌桌上的其他玩家，“化石人”知道她不是纸牌名人堂的成员，也知道这是她第一次参加有电视直播、百万观众观看的比赛，他或许还知道她曾担心自己并不属于这里，只是电视节目制作方需要比赛中出现女性面孔，才邀请了她。
安妮突然意识到，她一直都在想自己的牌很差，而“化石人”给人的感觉则是拿了一手好牌，一直在下注。事实上，他的确有一手好牌。安妮多心了，或者至少她认为自己多心了，她也不知道。
她看了看手里的那对10，又看了看桌上的45万美元的赌注，还是决定退出比赛，“化石人”拿走了那些筹码。安妮不知道自己的决定是否正确，因为“化石人”没有义务给任何人看他的牌。一位玩家悄悄在她耳边说：“你的判断完全错了，如果你坚持下去，一定会赢得这一局。”
安妮退出后，“化石人”手里拿着一张10和一张9，又一次把所有筹码放进了底池。他的牌技很高超，选择也很正确，然而当其他的牌落到桌子上，形势开始扭转，哪怕是最聪明的纸牌玩家也会输给运气。运用概率知识可以帮你预测可能性，但不能保证你期待的结果一定会出现。就这样，“化石人”出局了。他起身离开牌桌时，弯下身子对安妮说了一句话。
“我知道那时你手中的牌让你很为难。”他说，“告诉你吧，我有两张K，所以你退出是对的。”
“化石人”说完这句话后，安妮感到自己胃里的那颗灼热的石头消失了。从选择退出那一刻起，她一直在胡思乱想，猜“化石人”手中的牌，反复思考那个牌局，想弄清楚她的选择是否正确，现在她可以安心地回到比赛中了。
当然，想弄清楚事情的来龙去脉很正常。当我们意识到有很多选择都是在我们无法预测未来的情况下做出的，我们会备感惊骇。我肚子里的宝宝出生时会是一个健康的孩子吗？我和我的未婚夫10年后依然会像现在深爱彼此吗？我的孩子要上私立学校吗，当地的公立学校能把她培养好吗？做出正确的选择离不开对未来的预测，但预测通常是不确定甚至令人害怕的，因为它迫使我们直面未知的未来。矛盾的是，要想更好地做出决定，我们必须学会坦然面对不确定性。
然而，学会与不确定的感觉做斗争的方式有很多种。有些方法通过精确地计算你已知的和未知的信息，使模糊的未来变得可以预见。
安妮仍留在世界纸牌冠军联赛的赛场上，她有足够的筹码参加比赛，发牌员继续给每位玩家发牌，新的一局开始了。
牌桌上寻找确定性的傻瓜
2011年，美国国家情报总监办公室给几所大学提供了补助资金，邀请它们参加一个旨在“极大地提高情报预测的准确性和时效性”的项目。每个学校都要建立一个外事专家团队，对未来进行预测。研究人员会对做出最精准预测的团队进行研究，关键是弄清楚他们是如何做到的。政府希望这些研究成果能够帮助美国中央情报局的分析人员更高效地工作。
参与该项目的大多数学校都采取了标准的研究方法。他们聘请教授、研究生、国际政策研究员和其他专家组成外事专家团队，要求他们解答一些悬而未决的问题（比如，公民纲领党会赢得波兰议会选举吗？），看他们会如何作答。所有人都表示，研究各种各样的解决方案，能够给美国中央情报局提供一些的新观点。
然而，有两所大学选择了与众不同的研究方法。一群来自宾夕法尼亚大学和加州大学伯克利分校的心理学家、统计学家和政治学家，决定借着政府资助的机会研究能否把普通人培养成更好的预测者。这个团队把这一项目称为“良好判断力计划”（GJP），他们并没有聘请专家，而是招募各种人，加起来有几千人，包括律师、家庭主妇、硕士研究生、忠实的报纸读者等。他们请这些人参加一个在线预测课程的学习，教给他们预测未来的不同方法。经过一段时间的培训后，他们要求那些人回答与专家相同的外事问题。
两年来，GJP开展培训课程、观察参与者的预测过程并收集数据。研究人员跟踪调查哪些人表现更好，以及不同的培训课程会对他们的表现产生什么影响。最终，GJP团队发布了他们的研究成果：哪怕只是给参与者提供很简短的培训（比如教给他们预测未来的各种方法），就能够提高他们预测的准确性。而且，更令人吃惊的是，有一种旨在培养人们的概率思维的课程，对提高人们的预测能力有显著效果。
GJP的概率思维课程引导参与者不去猜测将会发生什么，而是思考可能出现的不同结果。这门课程教会他们把未来想象成一系列可能出现的结果，每一种结果发生的可能性都是不同的。“大多数人在思考未来时毫无条理性可言。”GJP的负责人、宾夕法尼亚大学计算机科学教授莱尔·安戈尔说，“他们往往以这种口气说话：‘我今年有可能去夏威夷度假。’那么，你需要弄清楚你去夏威夷的可能性是51%，还是90%。这关乎你是否购买不可退机票的决定。”GJP的概率思维课程的目标是，让人们学会如何把直觉变成统计估值。
例如，在一项练习中，研究人员让参与者分析当时的法国总统尼古拉斯·萨科齐能否成功连任。
研究人员指出，预测萨科齐能否连任法国总统，最少应该考虑三个变量。第一个变量是目前是否在任。根据法国总统竞选的历史数据，像萨科齐这样的在任总统，再次参加竞选的平均支持率为67%。根据这一变量，有人就会得出结论：萨科齐成功连任的可能性是67%。
不过，需要考虑的不只有这一个变量。萨科齐已经失去了很多法国选民的支持，根据民意测试，由于他的支持率较低，成功连任的可能性只有25%。按照这个逻辑，他失败的可能性是75%。此外，还需要考虑经济因素。当时法国经济停滞不前，经济学家猜测萨科齐只会得到45%的支持率。
因此，有三种可能的结果：一种是萨科齐获得67%的支持率；一种是他获得25%的支持率；一种是他获得45%的支持率。第一种可能的结果是他成功连任的可能性很大，第二种是他会输得很惨，第三种是很难下定论。如何把三种不同的结果整合为最终的预测？“你只要把这三种结果的平均数算出来即可。”研究人员解释说，“如果你无法判断哪一个变量更重要，就用等量加权的方法。［（67%+25%+45%）÷3］≈46%，即预测出萨科齐连任的可能性为46%。”
三种可能的结果
9个月后，萨科齐获得了48.4%的支持率，弗朗索瓦·奥朗德取代他成为新一任法国总统。
这是最基本的概率思维，研究人员用简单的例子诠释了一个简单的道理：各不相同的结果可以被整合成一种预测。如果这种逻辑变得更复杂，专家们通常会用概率曲线（可以展示不同结果分布的曲线图）来解释不同的结果。例如，如果让人猜萨科齐所属党派在法国议会中能够赢得多少席位，专家可能会用概率曲线来解释该党派赢得议会席位和萨科齐成功连任总统之间的相关性。
事实上，萨科齐落选后，人民运动联盟（UMP）也受到了很大的影响，只得到194个议会席位。
GJP的培训课程教给人们预测未来的不同方法，但一个贯穿始终的核心观点是：未来不是一个结果，而是多个各不相同的可能性，最终实现的是其中一个。人们可以把可能出现的不同结果放在一起，再预测哪一个结果更有可能实现。
这就是概率思维，它把多元的、相互矛盾的结果放在一起思考，并估计它们的可能性。“我们不习惯想象未来的多种可能性，”GJP的另一位负责人芭芭拉·梅拉斯说，“我们生活在确定性中。所以，当想象未来的多种可能性时，一些人会感到不安，因为他们不得不考虑一些他们不希望发生的事情。”
GJP的研究人员写道，对参与者进行概率思维培训能使他们的预测准确性提高50%。“接受概率思维培训的团队表现最佳。”一位观察者写道，“参与者首先学会把自己的直觉转变成概率思维，接着与团队其他成员在线讨论，并对这些可能性进行调整。他们几乎每天都在这样做……而拥有充分的理论知识，对他们的预测并没有太大帮助。从不同的出发点审视一个具体问题，快速地对不同的可能性做出调整，这种能力的作用更大。”
培养概率思维需要我们质疑自己的假设，并习惯接受事物的不确定性。要想更好地预测未来，更好地做出决定，我们就必须知道自己希望发生之事和有可能或不可能发生之事的区别。
“如果你现在百分之百地确定爱你的女朋友，那么这再好不过了。但如果你正在考虑向她求婚，你是否知道30年后你们仍然在一起的概率是多少？”曾帮助推行GJP计划的加州大学伯克利分校哈斯商学院的教授唐·摩尔说，“我不能准确地告诉你未来30年你们是否还深爱彼此，但我能给你一些有关你们感情历久弥坚的概率、你的目标能够实现的概率、你们的孩子可能改变你们关系的概率等统计数据。在此基础上，你可以根据你的经历，以及你认为可能或不可能发生的情况，对这些可能性进行调整，这有助于你做出更准确的预测。”
“长远来看，这很有意义，因为即使你现在百分之百地确定你爱她，概率思维也会促使你考虑现在看来无伤大雅，但未来至关重要的问题；它还会促使你诚实地面对自己，包括坦承有些事情是你不确定的。”
安妮成为职业纸牌玩家后，她的哥哥与她坐在一起，向她解释赢家和普通玩家的区别在哪里。霍华德说，输家总是在牌桌上寻找确定性，而赢家能够坦承自己不知道的东西。事实上，了解自己有哪些不知道的东西也是一种巨大的优势，是可以用来和其他玩家对抗的资本。当安妮给霍华德打电话抱怨自己输了比赛、运气不好、抽到差牌等时，她的哥哥总会让她停止抱怨。
“你有没有想过自己就是那个在牌桌上寻找确定性的傻瓜？”他问道。
安妮玩的纸牌游戏是得州扑克，每位玩家手持两张底牌，接着发牌员发出5张公共牌，牌面朝上放在桌子的正中央。每位玩家把自己的两张底牌和5张公共牌组合在一起，谁的牌最大谁就获胜。
霍华德对安妮说，他最开始学习玩纸牌游戏时，经常在午夜时分和华尔街的金融人士、世界桥牌冠军、数学怪才一起玩。几万美元的赌注可以玩很多局，天亮后，他们还会一起吃早餐，分析之前的牌局。霍华德由此意识到，纸牌游戏最难的并不是计算部分，只要练习的次数足够多，任何人都能够记住赔率，或者学会如何预测赢得底池奖金的概率，真正的难点在于如何根据概率做出正确的选择。
例如，你正在玩得州扑克，你的底牌是一张Q和一张桃心9，发牌员在桌上放了4张公共牌：
最后一张公共牌即将发出，如果这张牌也是桃心，你就可以拿到一手同花牌，或者说5张桃心牌，运气还算不错。通过快速心算可以得知，既然一副牌有52张，4张桃心已经发出，那么还剩下9张桃心和37张非桃心牌。换句话说，有9张牌可以与你手上的牌组成同花牌，另外37张牌则不能。那么，得到同花牌的概率是9：37或者约为20%。[1]
换句话说，凑不成一手同花牌并牌失去筹码的概率是80%。根据这个概率，新玩家通常会选择退出，因为他们着眼于确定的信息：得到一手同花牌的概率较小。为了不把筹码押在可能性很小的结果上，他们选择放弃。
但是，职业纸牌玩家却不这么看。“一个好的纸牌玩家并不在意确定性，”安妮的哥哥对她说，“他们更关心自己知道什么和不知道什么。”
假如一位职业纸牌玩家手里有一张Q和9张桃心，希望得到一手同花牌。她看到对手押注10美元，底池筹码总额为100美元，再次计算自己赢钱的概率。为了继续玩下去，并看看最后一张公共牌是不是桃心，这位玩家只需要跟着对手押下10美元的赌注。如果这位玩家赌上10美元，并凑成了一手同花牌，她就会赢得100美元。这位玩家的赔率是10：1，如果她赢了，那么她押下的每一美元都能获得9美元的净收益。
现在，这位玩家可以通过想象玩这局牌100次，来权衡这些概率。她不知道这局能不能赢，但她知道如果她玩100次这局牌，她平均能赢20次，每次得到100美元，那么20次一共能赢2000美元。
而且，这位玩家知道玩100次最多只会让她损失1000美元（因为每次只押注10美元）。所以，就算她输80次、赢20次，她仍然能赚1000美元（得到的2000美元减去1000美元的成本）。
明白了吗？即使不明白也没关系，因为概率思维能让职业玩家懂得接下来该怎么做。她知道有很多东西都无法预测，但如果她玩同一牌局100次，她就有可能赢得1000美元，所以这位玩家没有选择退出。如果多玩几局就能获得回报，那么即使这一局的结果不确定也没关系，重要的是从长远来看可以获得收益。
“大多数玩家都拼命地在牌桌上寻找确定性，这误导了他们的选择。”安妮的哥哥告诉她，“成为高级玩家就必须学会坦然面对不确定性。如果你能够接受不确定性的存在，就能让概率为你所用。”
安妮的哥哥霍华德也参加了这一次冠军联赛，“化石人”退出牌局时，霍华德就在安妮的身边。在过去的20年里，霍华德已经成长为世界最优秀的纸牌玩家之一。他拥有两条世界纸牌系列赛的手链，还获得了几百万美元的奖金。在冠军联赛开始时，安妮和霍华德很幸运，不需要直接参与大赌注的竞赛，而现在7个小时已经过去了。
先是“化石人”因为运气不佳出局，接着是另一位拿过9次冠军的71岁玩家道尔·布朗森，因为冒险尝试让自己的筹码翻倍而出局。24岁就获得世界纸牌系列赛冠军的菲尔·艾维，由于安妮手中的A和Q大过他手中的A和8，也出局了。现在，牌桌上只剩下最后三个玩家：安妮、霍华德和菲尔·海默斯。安妮和她的哥哥不可避免地要“自相残杀”，三个人在牌桌上较量了90分钟后，安妮拿到了一对6。
她开始计算她知道的和不知道的东西，她知道自己手上的牌很好，从概率的角度出发，如果她玩100次，将会得到不错的结果。“有时在教别人玩纸牌游戏时我会告诉他们，有些情况下，你甚至连牌都不用看就可以下注了。”安妮对我说，“因为如果底池赔率对你有利，你就可以下注，这一点你要记住。”
她的哥哥霍华德似乎也拿到了好牌，因为他把自己的31万美元的筹码全都放在牌桌上。菲尔·海默斯选择退出，只剩下安妮兄妹二人。
“我选择摊牌。”安妮说。
他们把自己的牌摊开：安妮有一对6，霍华德有一对7。
“好牌，老哥。”安妮说。霍华德有82%的可能性赢得这一局，得到50多万美元的筹码，成为这一局的领先玩家。从概率的角度看，他们的方法都是正确的。“安妮做出了正确的选择，”霍华德后来说，“她判断的依据是概率。”
发牌员翻开前三张公共牌。
“天哪！”安妮捂着脸说，“我的天啊！”
公共牌中的方块6和两张Q可以为安妮凑成一手“满堂红”。如果安妮和霍华德反复玩这一局100次，那么霍华德有可能赢82次。可是，这次不一样了，发牌员把最后两张公共牌放在桌子上。
霍华德出局了。
安妮从椅子上跳了起来，抱住她的哥哥。“对不起，霍华德。”她小声说道，然后跑出演播厅，还没到大门口就哭了起来。
“没关系。”霍华德在大厅找到她并对她说，“现在，你去打败菲尔吧！”
“你必须建立这种思维方式，”霍华德后来对我说，“我还把这种方法教给了我的儿子。当时，他正在申请大学，内心惴惴不安。我们选择了12所学校——4所保底、4所成败各占一半，还有4所需放手一搏——并计算他被这些学校录取的概率。”
根据网上公布的这些学校的统计数据，霍华德和他的儿子计算出每所学校录取他的概率，然后对所有概率进行加权平均。这是最基本的数学问题，哪怕是英语专业的人也能在谷歌搜索引擎的帮助下完成计算。霍华德父子通过计算得知，儿子至少能够被其中一所学校录取的概率为99.5%，被好学校录取的概率超过50%，不过，进入他最心仪学校的概率不甚乐观。“预测结果虽然令人失望，但他不再那么焦虑了。”霍华德说，“因为他明白即使不一定能被他最向往的学校录取，但肯定会收到至少一所大学的录取通知书。”
“概率是最接近于算命的东西。”霍华德说，“你必须有足够强大的内心，才能坦然面对概率‘告诉’你的所有可能的结果。”
[1]纸牌游戏是一种概率中有概率的游戏，这个例子诠释了概率思维和底池赔率的概念。
贝叶斯法则
20世纪90年代末，麻省理工学院的一位认知科学教授约书亚·特南鲍姆开始进行一项关于人们在日常生活中如何做预测的大规模研究。我们几乎每天都会遇到很多只需稍想一下就能回答的问题，例如预估会议要开多久、两条路线中哪一条更顺畅、全家出游去海边还是去迪士尼乐园。这些都在预测各种结果出现的可能性。我们也许并没有意识到这就是概率思维，特南鲍姆想了解我们的大脑在这个过程中是怎样运行的。
特南鲍姆的专业是计算机认知，主要研究计算机与人类在信息处理方面的相似性。计算机是具有确定性的机器，只要你往计算机里输入可以比较海边和迪士尼乐园的好玩程度的具体公式，就能预测出你的家人是喜欢海边还是迪士尼乐园，而人类即使从未去过海边或者迪士尼，也能够做出类似的决定。因为根据过去的经验，一家人出去野营时，孩子们总是会抱怨，他们更喜欢看动画片，我们的大脑由此推断出，也许米奇和高飞更能满足每个家庭成员的需求。
“我们的思维是如何从简单变复杂的呢？”特南鲍姆在2011年的《科学》杂志上写道，“每位父母都知道——并且经过科学家的证实——一般2岁的孩子通过大人举几个例子，就能学会使用像‘horse’（马）或者‘hairbrush’（毛刷）这样的新单词。”对于一个2岁的孩子来说，这两种事物有很多共同点：单词发音接近；从识字卡片上看两者都有长长的身体，还有很多直线（一种是腿，另一种是鬃毛）；颜色也相似。不过，即使一个孩子只见过一次马的图片、用过一次毛刷，也能很快明白两个单词之间的区别。
对计算机而言，需要有明确的指令告诉它什么时候该用“马”、什么时候该用“毛刷”。比如，4条腿有可能是马，100根鬃毛则可能是毛刷。但是，儿童在学会说一整句话之前就有这种判断能力。“依靠感官输入的信息做出判断，这是一项了不起的技能。”特南鲍姆写道，“儿童是如何做到只通过一个或几个例子来掌握这些子集之间的界限的？”
换句话说，在不知道所有可能的结果的概率的情况下，为什么我们如此善于预测某类事情并做出决定？
为了回答这一问题，特南鲍姆和他的同事托马斯·格里菲斯设计了一项实验。他们在网上搜索不同种类的可预测事件的数据，比如一部电影可以获得多少票房、一个人能活多久、一个面包需要烤多长时间。他们之所以对这些事情感兴趣，是因为如果把每一件事的多种可能性绘制成图表，就会出现一个明显的模式。比如，电影票房往往呈现出一个基本规律：每年都会有几部电影赚得盆满钵满，而大多数电影则票房成绩平平。
在数学领域，这被称为“幂律分布”（power law distribution）。我们可以把某一年上映的所有电影的票房收入绘制成一张图：
把其他事件绘制成图表也会产生不同的模式。以人类的寿命为例，一个人的死亡概率在出生那年达到小高峰（因为一些新生儿会在出生后不久夭折），但是如果一个婴儿在出生后头几年能够存活下来，就有可能安然度过之后的几十年。接着，从40岁开始，人的死亡概率开始增加，50岁以后逐年升高，在82岁时达到顶峰。
人类的寿命符合正态或者高斯分布曲线，如下图所示：
大多数人都理解他们需要用不同的方法来预测不同的事件，比如电影的票房收入和人的寿命，尽管我们并不了解娱乐业的发展趋势或者医学数据。令特南鲍姆和格里菲斯好奇的是，人们如何能够无师自通地知道如何做这些预测。于是，他们搜集具有明显分布模式的事件，从票房收入、人类寿命到诗歌的长度，再到国会议员的事业发展［依据厄兰分布（Erlang distribution）］，以及蛋糕的烤制时间。
接着，他们让几百名学生根据给出的数据进行预测，数据如下：
一部电影目前的票房收入是6000万美元，它最终的票房收入是多少？
一个人今年39岁，他/她最终的寿命有多长？
一个蛋糕已经在烤箱里烤制了14分钟，还需要烤多久？
一个人已任美国国会议员15年，他的任期还有多长？
除此之外，学生没有获得其他任何信息，也不知道幂律分布或者厄兰曲线。在没有任何关于概率计算方法提示的情况下，要求他们仅根据上述数据进行预测。
尽管已知信息有限，这些学生的预测却准得令人吃惊，他们知道，票房收入已有6000万美元的电影属于大片，所以它很有可能再赚取3000万美元的票房收入。如果一个人能活到30多岁，就很有可能再活50年。如果一个人已任国会议员15年，他就很有可能再任职7年，因为在职是他的一种优势，不过能力再强的议员也可能受到政治形势的影响而下台。
如果问这些学生，他们是按照什么思维逻辑做出预测的，估计没几个人能说出来，他们只是给出自认为正确的答案。平均而言，他们的预测结果的准确率不到10%。事实上，特南鲍姆和格里菲斯把学生对每一个问题的所有预测结果绘制成图表后，发现分布曲线几乎完全符合他们依据网上数据得到的真正模式。
同样重要的是，每位学生显然明白不同的预测需要使用不同的推理方法。而且，他们虽然不知道为什么，但他们知道有关人类寿命的预测符合正态分布曲线，有关票房收入的预测则符合幂律分布。
一些研究者把这种凭直觉做预测的能力称为“贝叶斯认知”（Bayesian cognition）或者“贝叶斯心理学”（Bayesian psychology），因为如果让计算机做这样的预测，它必须利用贝叶斯法则的一种变化形式——一个数学公式，一般还需要同时运行几千个模型，并对比几百万个结果。[1]贝叶斯法则的核心理念是：即使只有少量数据，我们仍然能够通过提出假设并根据对事物的观察来修正这些假设，从而达到预测未来的目的。假设你的哥哥说他约了一位朋友共进晚餐，你可能会预测他要见的朋友有60%的可能性是一位男性，因为他的大多数朋友都是男性。现在，假设你的哥哥说和他一起吃晚餐的是他的同事，你也许会改变你的预测，因为你知道他的大多数同事都是女性。根据一两个数据，加上你自己的假设，用贝叶斯法则就可以准确地计算出和你哥哥一起吃晚饭的人是男性或女性的概率。如果有更多的信息出现，比如他朋友的名字叫帕特，他/她喜欢看冒险类电影和时尚杂志，贝叶斯法则就能进一步增加这个概率的准确度。
人类不需要费太多心思就能做出类似的计算，而且预测结果往往准确得令人吃惊。我们大多数人都从未学过有关人类寿命的精算表，但根据经验我们知道，蹒跚学步的孩子死亡是相对少见的事，而90岁的老人去世则是很自然的事。我们大多数人都不会注意票房数据，但我们知道每年都会有几部街谈巷议的电影，还有一大批上映一两周就会被下线的电影。所以，我们能够根据自己的经验做出有关人类寿命和票房收入的假设。而且，参加葬礼或者看电影的数量越多，我们的直觉就越敏锐。人类是神奇的贝叶斯预言者，尽管我们并没有意识到这一点。
不过，有时候我们也会出错。例如，特南鲍姆和格里菲斯请学生们预测一位已经在位11年的法老还能继续统治埃及多少年，大多数学生都认为法老类似于其他国家的统治者，如：欧洲国家的国王。很多人通过历史书籍和电视得知，许多统治者都有早逝的命运；但一般来说，如果一位国王或者女王顺利地度过中年，他们通常会一直在位，直到去世。按照这个逻辑，特南鲍姆的学生认为法老也是这样。因此，学生们推测埃及法老还能统治这个国家23年。
如果是英国国王，这个预测就是准确的；但对于埃及法老而言，这个预测则是错误的。因为4000年前人们的平均寿命比较短。大多数法老如果活过了35岁，就被视为长寿。因此，正确答案是：一位统治埃及已有11年的法老有可能再统治这个国家12年，最后死于疾病或者古埃及常见的其他原因。
学生们的推理方法是正确的，他们直觉上认为法老的统治年限符合厄兰分布。但他们的假设——贝叶斯称之为“先验概率”（prior probability）或者“基础比率”（base rate）——是错误的。而且，因为他们对古埃及人寿命的预测是错误的，所以接下来的预测也受到了影响。
“我们能够根据很少的信息预测，再根据自己的经验调整预测结果，这真是了不起。”特南鲍姆对我说，“但前提是，我们一开始的假设是正确的。”
那么，我们怎样才能做出正确的假设？答案就是要有全方位的经验。我们的假设是以自己的生活经验为基础的，但构成我们经验的样本往往都存在偏差，因为我们往往更容易记住成功而非失败的经验。例如，我们大多数人通过阅读报刊和杂志了解商界，一般会选择去客流量大的餐馆就餐，倾向于看热门电影。问题在于，这种经验让我们更多地看到成功的案例。报刊和杂志会用更多版面报道市值10亿美元的创业公司，而非几百家破产企业。在去往常常人满为患的那家比萨店的路上，我们几乎注意不到那些门可罗雀的餐馆。换句话说，我们习惯于关注成功，所以我们频繁地预测成功的概率，因为我们做预测时所依赖的经验和假设来源于我们看到的成功，而不是那些我们视而不见的失败。
相反，很多成功人士则花大量时间寻找有关失败案例的信息。他们阅读报刊商业版面时，会关注那些破产的企业。他们和没有获得晋升的同事一起吃午餐时，会询问后者问题出在什么地方。他们在年终审查时，要求听到的不只是表扬的声音。他们会仔细检查信用卡对账单，想弄清楚存款为什么没有预期的那么多。他们下班回家后会总结当天出现的失误，而不是忽略那些不起眼的小问题。他们会问自己，为什么某次通话不像他们预想的那样顺利，或者自己在会议上的发言能不能再简洁一些。我们有着天生的乐观主义倾向，总喜欢忽略自己的错误，也不关注别人的小失误。但是，做出准确的预测需要依赖以生活经验为基础的假设。如果我们只关注好消息，就相当于在给自己设置障碍。
“最优秀的企业家能够很清醒地意识到只和成功人士交谈的危险，”曾参与GJP项目和从事创业心理学研究的加州大学伯克利分校唐·摩尔教授说，“他们热衷于花时间和那些失败的人相处，而我们大多数人都会对失败者退避三舍。”
这是学习如何更好地做决定的最重要的秘诀之一：正确的选择取决于我们对未来的预测。准确的预测要求我们接触尽可能多的成功和失败案例，我们只有分别坐在拥挤和冷清的剧院里，才能知道电影票房会怎样；我们只有花时间与儿童和老人相处，才能准确地预测出人的寿命；我们只有与表现优异和碌碌无为的同事交谈，才能培养敏锐的商业直觉。
这很难做到，因为成功的案例更容易吸引眼球。人们习惯于不向刚刚被解雇的朋友问会让他们尴尬的问题，也不愿意问同事离婚的原因。但是，要想获得基础比率，我们必须了解正反两个方面的信息。
