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建立起这些概念以后，我们来整理一下关于同余的一些比较明显的性质。
对合数模同余的两个数，一定对这个模的每个除数也同余。
如果若干个数对于同一个模都有相同的剩余，那么，它们彼此都同余 （对于同一个模） 。
在下面这些定理中，我们也假定模都是相同的。
同余的数有相同的最小剩余；不同余的数有不同的最小剩余。
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给定数A ，B ，C ，…，以及数a ，b ，c ，…，如果数a ，b ，c ，…对于同样的模与数A ，B ，C ，…同余，即A ≡a ，B ≡b ，C ≡c ，等等，那么，A ＋B ＋C ＋…≡a ＋b ＋c ＋…。
如果A ≡a ，B ≡b ，那么A -B ≡a -b 。
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如果A ≡a ，那么kA ≡ka 。
如果k 是正数，那么条目7只是条目6的特殊情况，使A ＝B ＝C ＝…，a ＝b ＝c ＝…。如果k 为负，则-k 为正。因此，-kA ≡-ka ，因而kA ≡ka 。
如果A ≡a ，B ≡b ，则AB ≡ab ，因为AB ≡Ab ≡ba 。
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给定任意数A ，B ，C ，…，以及数a ，b ，c ，…，若数a ，b ，c ，…与数A ，B ，C ，…对于同样的模同余，即A ≡a ，B ≡b ，…则这两组数的乘积也同余，即ABC …≡abc …。
从条目7知AB ≡ab ，同理ABC ≡abc ，并可以推广到任意多个因数。
若所有数A ，B ，C ，…都相等，且所有数a ，b ，c ，…都相等，可得定理：若A ≡a 且k 是正整数，则A k ≡a k 。
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设X 是不确定数x 的形如Ax a ＋Bx b ＋Cx c ＋…的代数函数，其中A ，B ，C ，…都是任意整数；a ，b ，c ，…都是非负整数。那么，如果x 的取值关于某个模同余，则对应的X 的值也对于这个模同余。
令x 取值f ，g 且f ≡g ，从定理7知f a ≡g a 且Af a ≡Ag a ，同理Bf b ≡Bg b ，…。因此：Af a ＋Bf b ＋Cf c ＋…≡Ag a ＋Bg b ＋Cg c ＋…，证讫。
本定理可以推广到含多个不确定数的函数，这很好理解。
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因此，如果用连续的全部整数替换x ，函数X 的对应值就成为最小剩余，并构成一组序列。其中，间隔m （m 是模） 个项后，重复的项会出现，即此序列是以m 个项为周期并无限重复。例如，令X ＝x 3 -8x ＋6且m ＝5，那么，对于x ＝0，1，2，3，4，…，X 的值关于模5有这些最小正剩余：1，4，3，4，3，1，4，…，其中前5个数1，4，3，4，3是无限重复的。反过来，如果给x 依次赋予负值，序列的周期相同，但项的顺序相反。可知，整个序列不会出现这个周期之外的其他项。
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在上例中，X 不能与0或者2关于模5同余，X 更不能等于0或者2。因此等式x 3 -8x ＋6＝0和x 3 -8x ＋4＝0都没有整数解，也没有有理数解。更普遍地，如果X 是不确定数x 的函数，形式为：x n ＋Ax n -1 ＋Bx n -2 ＋…＋N ，其中A ，B ，C ，…是整数，n 为正整数（众所周知，所有代数方程都可以简化为这个形式） 。显然，如果对于某个模同余关系X ≡0不能成立，则方程X ＝0没有有理根。第8部分 [3] 将对此判别法进行充分探讨。但从这个例子可以看到这些研究的实用性。
