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关于类的个数 （我们总是假定它们是定正的正常原始类） ，正的行列式与负的行列式的性质完全不同。因此，我们应当把它们分开讨论。这一点它们是一致的：对于给定的行列式，每个族中类的个数是相同的，因此，所有的类的个数就等于族的个数与每个族中所含的类的个数的乘积。
首先，就负的行列式而言，对应于连续的行列式-D ，-（D ＋1），-（D ＋2），…的类的个数构成一个与族的个数一样的无规律的序列。但是，类的平均个数（这里无须对它下定义） 是非常有规律地增加的，从下面的例子可以明显地看出。从-600到-501这100个行列式产生1729个类，所以类的平均个数是17.29。类似地，在第15组的100个行列式中，类的平均个数等于28.26；对于第24组到第25组的100个行列式，我们得到36.28；对于第61组，第62组，第63组的100个行列式，我们得到58.50；对于从第91组到第95组这500个行列式，我们得到71.56；最后，对于从第96组到第100组这500个行列式，我们得到73.54。这些例子表明，类的平均个数的增长速度比行列式的平均个数的增长速度慢得多，但是比族的平均个数的增长速度要快得多。稍加注意我们就会发现，类的平均数的增加与行列式的平方根的增加几乎是成比例的。实际上，通过理论研究我们发现，对应于行列式的类的平均个数可以近似通过 来表示。其中， ，e 是级数 …的和，δ ＝ 。这个公式计算出的平均值与我们从分类表记录下来的数值相比，只有很小的差别。借助这个公式，我们也可以近似求出对应于连续行列式-D ，-（D ＋1），-（D ＋2），…，-（D ＋m ＋1）的所有（定正的正常原始） 类的个数，不论两端的两个行列式差距多大。根据公式，我们把对应于这些行列式的类的平均个数相加，那么，我们就得到这个和等于
或者，近似地等于
例如，根据这个公式，对于从-100到-1这100个行列式，这个和就是481.1，然而实际上是477；对于从-1000到-1这1000个行列式，按照表查有15533个类，由公式得到15551.4个类；对于第2组1000个行列式，按照表查有28595个类，由公式得到28585.7个类；类似地，对于第3组1000个行列式，按照表查有37092个类，公式给出37074.3个类；对于第10组1000个行列式，按照表查有72549个类，公式给出72572个类。
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分类排列的负行列式的表帮助我们给出很多其他不同寻常的结论。对于形如-（8n ＋3）的行列式，除了行列式-3外，类的个数（既指属于所有族的类数，也指属于每个正常原始族中的类数） 总是能够被3整除。由条目256.6可知这个性质的原因。对于对应的型仅属于一个族的行列式，类的个数总是奇数。因为，对于这样的行列式，只存在一个歧类，即主类——其他的类总是成对地作为相反的类出现，所以它们一定是偶数个——因此这些类的总数是奇数。后面这个性质对于正的行列式也成立。进而，对应于相同给定分类（既给定了族的个数，也给定了类的个数） 的行列式的序列似乎总是会结束。我们通过一些例子来阐释这一非同寻常的性质（罗马数字表示定正的正常原始族的个数；阿拉伯数字表示包含在每个族中的类的个数；“…”后是对应于这个分类的行列式的序列。为了简洁，我们省略负号） 。
Ⅰ.1…1，2，3，4，7
Ⅰ.3…11，19，23，27，31，43，67，163
Ⅰ.5…47，79，103，127
Ⅰ.7…71，151，223，343，463，487
Ⅱ.1…5，6，8，9，10，12，13，15，16，18，22，25，28，37，58
Ⅱ.2…14，17，20，32，34，36，39，46，49，52，55，63，64，73，82，97，100，142，148，193
Ⅳ.1…21，24，30，33，40，42，45，48，57，60，70，72，78，85，88，93，102，112，130，133，177，190，232，253
Ⅷ.1…105，120，165，168，210，240，273，280，312，330，345，357，385，408，460，520，760
XVI．1…840，1320，1365，1848
类似地，对应于分类Ⅰ.9，有20个行列式（最大的行列式等于-1423） ，对应于分类Ⅰ.11的行列式有4个（最大的行列式等于-1303） ；分类Ⅱ.3，Ⅱ.4，Ⅱ.5，Ⅳ.2分别对应于不超过48，31，44，69个行列式。最大的行列式是-652，-862，-1318，-1012。由于我们用来举例的表已经扩展 [44] 到远远超过这里出现的最大的行列式，并且属于这些类的行列式不再有其他的了，所以似乎毫无疑问的是，前面的序列实际上终止了；通过类比，这个结论也可以推广到任意其他分类。例如，由于在第10组的全部的1000个行列式中，不存在与少于24个类对应的行列式，所以，极有可能的是：分类Ⅰ.23，Ⅰ.21，…；Ⅱ.11，Ⅱ.10，…；Ⅳ.5，Ⅳ.4；Ⅳ.3，Ⅷ.2在我们到达数-9000之前就已经完整了，或者至少它们几乎没有接近-10000的行列式。然而，要对这些结论做严格 证明似乎非常困难。值得注意的是，所有对应的型能被分成32个或者更多的族的行列式，在它的每一个族中至少含有两个类，因此根本不存在分类XXXⅡ.1，LXIV.1，等等（这些行列式中最小的是-9240，它对应于分类XXXⅡ.2） 。似乎非常有可能的是，随着族的个数增加，更多的分类会消失。在这个方面，上面给出的那65个与分类Ⅰ.1，Ⅱ.1，Ⅳ.1，Ⅷ.1，XVI.1对应的行列式是非常特殊的，并且，我们不难发现，它们，也只有它们具有两个非常显著的性质：所有由属于它们的型构成的类都是歧类；所有包含在同一个族中的型都是既正常等价，又反常等价的。欧拉先生（在N o u v .m ê m A c a d B e r l i n ，1776，第338页） 已经挑选出了这65个数（他是在另一个和这里不太一样的问题中提出的，他还提出了一个不难证明的判别法，我们后面会提到） 。
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由具有正的平方数行列式k 2 的二元型构成的正常原始类的个数是完全可以预先确定的。这个个数就等于与2k 互质且小于2k 的数的个数；由这个事实，并通过一个不太困难的推理（我们这里将其省去） ，我们推导出，属于行列式k 2 的类的平均个数近似等于 。但是，在这个方面，正的非平方数行列式呈现出奇特的现象——少量的类，例如，分类Ⅰ.1或Ⅰ.3或Ⅱ.1等，只对于较小的负数或平方数行列式才会出现，并且这个序列很短。反过来，对于正的非平方数行列式，只要它们不是太大，大部分的分类在它的每一个族中只有一个类。因此，像Ⅰ.3，Ⅰ.5，Ⅱ.2，Ⅱ.3，Ⅳ.2等这样的分类都是非常稀有的。例如，在不超过100的90个非平方数的行列式中，有11个，48个，27个行列式分别对应于分类Ⅰ.1，Ⅱ.1，Ⅳ.1，仅有1个行列式（37） 的分类是Ⅰ.3，有2个（34和82） 的分类是Ⅱ.2；有1个（79）的分类是Ⅱ.3。尽管如此，随着行列式的增大，大的类的个数就会常常出现。因此，从101到200的96个非平方数行列式中，2个行列式（101，197）有分类Ⅰ.3，4个行列式（145，146，178，194）有分类Ⅱ.2，3个行列式（141，148，189）有分类Ⅱ.3。在从801到1000的197个行列式中，3个行列式有分类Ⅰ.3，4个行列式有分类Ⅱ.2，14个行列式有分类Ⅱ.3，2个行列式有分类Ⅱ.5，2个行列式有分类Ⅱ.6，15个行列式有分类Ⅳ.2，6个行列式有分类Ⅳ.3，2个行列式有分类Ⅳ.4，4个行列式有分类ⅤⅢ.2。剩下的145个行列式在每个族中只有1个类。这是个令人感到好奇的问题，值得数学家花功夫研究：在1个族中只有1个类的行列式的数量逐渐减少所依赖的规律是什么。到目前为止，我们无法通过理论或者通过观察确定这样的行列式是否只有有限的个数（这看起来似乎不大可能） ，或者它们无限 地减少出现的次数，或者它们出现的频率越来越接近一个固定的界限。类的平均个数的增大速度只比族的平均个数增大速度快一点点，而比行列式的平方根的增大速度慢得多。在800到1000之间，我们发现类的平均个数等于5.01。我们可以补充这样一条结论，它在某种程度上恢复了正数和负数行列式之间的类比关系：对于正的行列式D ，与其说它是本身的类的个数，不如说它是与量 （t 和u 是除了1，0外能满足方程t 2 -D u 2 ＝1的最小的数） 的对数的乘积类似于负的行列式的类的个数，这个乘积的平均值也可以用形如 的公式来表示。可是，到目前为止我们还无法从理论上来确定常量m ，n 的值。如果可以从几百个行列式的比较中得出一个结论的话，那么m 的值似乎非常接近 。但是，我们将在其他合适的场合更详细地论述上述平均值的研究原理，它的增长不服从分析规律，而是渐进地接近这样一个规律。我们接着进入下一个关于具有相同行列式的不同的正常原始类之间的对比的问题，并以此作为如此长的本篇的结束。
