305
定理
如果K 是由具有给定行列式D 的型构成的主类，C 是具有相同行列式的主族中的任意其他类，并且，如果2C ，3C ，4C ，…是由类C 通过做加倍，三倍，四倍，…得到的类（像在条目249中做的那样）；那么，通过把序列C ，2C ，3C ，…继续下去，如果足够长，我们就最终得到一个与K 相同的类。如果我们假设m C 是与K 相同的第一个类，且主族中类的个数等于n ，那么我们就得出：要么m ＝n ，要么m 是n 的因数。
证明
1．由于所有的类K ，C ，2C ，3C ，…一定都属于主族（条目247） ，这个序列K ，C ，2C ，…，n C 中的前n ＋1个类显然不可能都不相同。因此，要么K 就与C ，2C ，3C ，…，n C 中的一个类相同，要么这些类中至少有两个类是相同的。设r C ＝s C 且r ＞s 。我们就也有
并且
（r ＋1-s ）C ＝C
因此，（r -s ）C ＝K 。第1部分证明完毕。
2．由此也可以推出，要么m ＝n ，要么m ＜n 。接下来只需要证明，在第2种情况下m 是n 的因数。因为，在这种情况下，类
K ，C ，2C ，…，（m -1）C
（我们用 表示它们的总体） 并没有完全取遍主族中所有的类，设C ′是这个族中不包含于 中的一个类。现在，令 表示C ′与C 中的每个类合成得到的类的组合，即
C ′，C ′＋C ，C ′＋2C ，…，C ′＋（m -1）C
现在，显然 中所有的类彼此都不同，而且它们与 中的类也都不同，它们都属于主族。如果 和 完全取遍这个族，我们就有n ＝2m ，否则的话2m ＜n 。在后一种情况下，设C ′是主族中既不包含于 ，也不包含于 的任意一个类，并且用 表示由C ″与 中的每个类合成得到的类的组合，即
C ″，C ″＋C ，C ″＋2C ，…，C ″＋（m -1）C
显然，所有这些类彼此都不相同，并且 与 中的所有的类也都不相同，它们都属于主族。现在，如果 取遍这个族，我们就有n ＝3m ，否则的话n ＞3m 。在这种情况下，就有另外一个类C 包含于这个主族而不包含于 。以类似的方式，我们就发现n ＝4m 或者n ＞4m ，以此类推。现在，由于n 和m 是有限的数，主族就一定最终能够被取遍，并且n 就是m 的倍数，也即m 是n 的因数。第2部分证明完毕。
拉格朗日的《分析力学》
拉格朗日的分析力学，是由分析的方法推出包括固体力学和流体力学在内的所有力学。1788年，《分析力学》正式出版，拉格朗日在书中提出了著名的拉格朗日方程。由虚功原理和达朗贝尔原理可以得到所谓的“力学普遍方程”。在此基础上，拉格朗日进一步引进了广义坐标、广义速度和广义力，将力学普遍方程改造成适用于几乎一切力学系统的拉格朗日方程。可以说，18世纪数学家们创立的分析力学的最终成就，就是拉格朗日方程。
例：令D ＝-356，C ＝（5，2，72）。 [45] 我们就有2C ＝（20，8，21），3C ＝（4，0，89），4C ＝（20，-8，21），5C ＝（5，-2，72），6C ＝（1，0，356）。这里m ＝6，且对于这个行列式n 是12。如果我们取（8，2，45）作为类C ′， 中剩下的5个类就是（9，-2，40），（9，2，40），（8，-2，45），（17，1，21），（17，-1，21）。
306
上一个定理的证明与条目45和49中的证明非常类似，实际上，类的相乘理论与第3章讨论的主题的各个方面都有密切关系。尽管这个理论值得进一步开发，但本书的篇幅不允许我们讨论这个理论。我们这里只补充部分结论，省去那些需要太多细节的证明，留待其他机会再做更加完整的讨论。
1．如果序列K ，C ，2C ，3C ，…延伸到（m -1）C 以后，我们就再一次得到相同的类
并且，一般地（为了优美性，我们把K 看作C） ，对应于g 和g ′对于模m 同余或者不同余，类g C 和g ′C 就是相同或者不同的类。因此，类n C 总是与主类K 相同。
2．我们把类K ，C ，2C ，…，（m -1）C 的整体（我们上面用 表示） 称为类C 的周期 。一定不要把这个表述和条目186中讨论的具有正的非平方数行列式的约化型的周期 混淆。因此，由包含在同一个周期中的任意个数的类作合成，可以得到同样包含在这个周期中的一个类
3．由于C ＋（m -1）C ＝K ，所以类C 和（m -1）C 就是相反的类，因而2C 和（m -2）C 也是相反的类，3C 和（m -3）C 也是相反的类，…因此，如果m 是偶数，类 就与它自身相反，因而是歧类 。反过来，如果在 中存在K 之外的任意其他的类是歧类，例如g C ，我们就有g C ＝（m -g ）C ，因而 。由此可以推出：如果m 是偶数，除了K 和 之外， 中不可能存在任何其他的歧类；如果m 是奇数，只有K 是歧类。
4．假设包含在 中的任意的类h C 的周期是
显然，m ′h 是能够被m 整除的最小的h 的倍数。因此，如果m 和h 是互质的，我们就有m ′＝m ，并且两个周期包含相同的类，但排列的次序不一样。一般地，如果设μ 是m ，h 的最大公约数，我们就有 。因此，包含在 中的任意类的周期中的类的个数要么是m ，要么是m 的因数。事实上，在 中有m 项的周期的类的个数，与序列0，1，2，…，m -1中与m 互质的数的个数相同，如果用条目39中的符号，即有φ m 个类。一般地， 中有 项的类的个数，与序列0，1，2，…，m -1中与m 的最大公约数为μ 的那些数的个数相等。不难发现，这些类的个数是 。因此，如果m ＝n ，也即整个主族都包含于 中，那么，在这个族中总共有φ n 个类，它们的周期都包含了整个族；并且有φ e 个类，它们的周期包含e 个项，其中e 是n 的任意因数。当主族中有周期包含n 个项的任意类时，这个结论普遍成立。
5．在同一个假设下，排列主族中的类的最好的方法，是取一个有n 项周期的类作为基，然后按照它们在周期中出现的顺序排列主族中的类。现在，如果我们为主类赋予指标 0，为我们取作基的类赋予指标1，等等。那么，只要通过把指标相加，我们就能判断出主族中的任意类的合成所得到的类。下面以行列式-356为例子，我们取类（9，2，40）作为基，得到以下类
6．尽管与第3章类似，尽管我们对多于200个负的行列式以及更多的正的非平方数的行列式的研究，使得我们这里所指出的推测看起来似乎对所有的 行列式都是正确的。然而，当把这个分类表继续扩展下去时，这个结论也有可能是错误的。为了简洁，我们把整个主族都包含于一个周期中的行列式称为正则 ，把不具备这一性质的行列式称为非正则 。我们只能用一些评论阐述这个课题，它是高等算术里最深奥的秘密之一，也是最为艰深的探索之一。我们从下面的一般性说明开始。
7．如果C ，C ′是主族中的类，它们的周期由m ，m ′个类构成，M 是能够被m 和m ′整除的最小的数；那么，这个族中就存在这样的类，它们的周期包含M 项。将M 分解为两个互质的因数r ，r ′，其中一个因数（r ）整除m ，另一个因数（r ′）整除m ′ （参考条目73） ，那么类 就有所要求的性质。假设类C ″的周期包含g 项，我们就有
所以 就一定能够被m ′整除，也即g r 能够被r ′整除，因而g 能够被r ′整除。类似地，我们发现g 能够被r 整除，因此g 就能够被r r ′＝M 整除。由此推出，（对于给定的行列式） 包含在一个周期中的最大的类的个数可以被（包含在同一个主族中的类的） 任何一个其他周期中所含的类的个数整除。我们这里可以推导出求具有最大周期的类的方法（对于一个正则行列式，这个周期就包含全部主族） 。这个方法与条目73，74中的方法完全类似，但是实际上我们可以通过各种技巧简化运算。如果我们用最大周期中类的个数除以n ，那么对于正则的行列式，我们可以得到数1，对于非正则的行列式，我们就得到比1大的整数。这个商非常适合表示各种各样的非正则行列式，因此，我们把它叫作非正则性指数 。
8．到目前为止，我们还没有预先区分正则行列式和非正则行列式的一般性法则，尤其是在后者中既有质数又有合数。因此，我们这里添加一些特殊结论就足够了。如果在主族中能够找到多于两个歧类，那么它的行列式一定是非正则的，且非正则性指数是偶数；但是，如果这个族中只有一个或者两个歧类，那么它的行列式就是正则的，至少非正则性指数一定是奇数。所有形如-（216k ＋27）的行列式（除了-27外） 都是非正则的，并且非正则性指标能够被3整除。对于形如-（1000k ＋75）和-（1000k ＋675）的行列式（-75除外） ，同样的结论成立。这个结论也适合于其他无穷多个行列式。如果非正则性指数是质数p ，或者至少可以被p 整除，那么n 就能够被p 2 整除。由此推出，如果n 不含平方因数，那么这个行列式一定是正则的。只对于正的平方数 的行列式e 2 ，我们可以事先确定它是正则还是非正则的：当e 是1，或者2，或者是奇质数，或者是奇质数的幂时，它们是正则的；在其他所有情况下，它们都是非正则的。对于负的行列式，随着行列式变大，非正则的行列式就会更加频繁地出现。例如，在第1组的1000行列式中，我们找到13个非正则行列式（省略负号） ：576，580，820，884，900——它们的非正则性指数是2；243，307，339，459，675，755，891，974——它们的非正则性指数是3。在第2组的1000个行列式中，有13个非正则行列式的非正则性指数是2，15个非正则行列式的非正则性指数是3。在第10组中，有31个非正则行列式的非正则型指数是2，32个非正则行列式的非正则型指数是3。我们还不能确定在到-10000为止是否有非正则型指数大于3的行列式存在，而在超出这个界限之外，我们有可能找到由任何给定指数得出的行列式。随着行列式变大，很有可能负的非正则行列式出现频率与正则行列式出现频率的比值接近一个常数。它值得数学家们努力去确定。对于正的非平方数行列式，非正则行列式非常少见。非正则性指数是偶数的行列式一定有无穷多个（例如，3026的非正则性指数是2） 。似乎毫无疑问的是，存在一些非正则性指数是奇数的行列式，但我们必须承认，到目前为止还没有发现这样的行列式。
9．为了简洁，我们这里不讨论具有非正则行列式的，包含于主族中的类的最实用的排列方法。我们仅指出，由于一个基是不够的，我们必须取两个或者更多的类，利用这些类的乘积和合成得到所有其他的类。因此，我们就得到了二重指标 或者多重指标 ，对于正则行列式，它们所起的作用和单一指标所起的作用是一样的。但是，我们下次再详细讨论这个主题。
10．我们最后指出，由于这里以及上个条目讨论的所有性质特别地依赖于数，它所起的作用有点类似于在第3章中p -1所起的作用，这个数值得我们注意。因此，我们非常想要探索这个数和它所属的行列式之间的一般性联系。并且，我们应当有信心找到答案，因为我们已经成功地确立了（条目302） n 与族的个数（它可以事先确定） 的乘积的平均值的解析公式，至少对于负的行列式是这样。
307
上个条目的讨论仅考虑了主族中的类，因而对于只有一个族的正的行列式和只有一个定正的族的负的行列式——如果我们不讨论定负的族——这些研究已经足够了。那么，我们只需要对于剩下的（正常原始） 族补充一些评论。
1．如果G ′是和G 主族（行列式相同） 不一样的一个族，G ′中有1个歧类，那么G 中就存在同样多的歧类。设G 中的歧类是L ，M ，N ，…（包含主类K） ，G ′中的歧类是L ′，M ′，N ′，…，我们把前一个歧类的组合用A 表示，把后一个歧类的组合用A ′表示。显然，由于所有的类L ＋L ′，M ＋L ′，N ＋L ′，…都是歧类，它们彼此不同且属于G ′，因而一定也包含于A ′，A ′中类的个数不可能少于A 中类的个数；类似地，由于类L ′＋L ′，M ′＋L ′，N ′＋L ′，…都彼此不同，是歧类且属于G ，因而它们包含于A ，A 中类的个数不可能少于A ′中类的个数，因此，A 中类的个数一定等于A ′中类的个数。
2．由于所有歧类的个数等于族的个数（条目261和287.3） ，显然，如果G 中只有一个歧类，每个 族中就一定包含一个歧类；如果G 中存在两个歧类，那么在所有族的一半中，一定有两个歧类，另一半一定没有歧类；最后，如果G 中包含若干个歧类，例如存在a 个 [46] ，所有族的 部分一定包含a 个歧类，而剩下部分不包含歧类。
3．对于G 包含两个歧类的情况，设G ，G ′，G ″，…是包含两个歧类的族，且H ，H ′，H ″，…是不包含歧类的族，我们把第1个组合用 表示，把第2个组合用 表示。由于通过两个歧类的合成总是可以得到一个歧类（条目249） ，我们不难发现，由 中两个族的合成，总是可以得到G 中的一个族。进而，由 中的一个族和 中的一个族的合成，我们得到 中的一个族。这是因为，如果G ′＋H 不属于 而属于 ，G ′＋H ＋G ′一定包含于 ，但这是不可能的。因为G ′＋G ′＝G ，所以G ′＋H ＋G ′＝H 。最后，族G ＋H ，G ′＋H ，G ″＋H ，…以及H ＋H ，H ′＋H ，H ″＋H ，…都是各不相同的，因此它们的整体就分别与 和 相同。但是，由我们刚刚的证明可知，族G ＋H ，G ′＋H ，G ″＋H ，…都属于 并且取尽这个整体。因此，一定有其他的族H ＋H ，H ′＋H ，H ″＋H ，…都属于 ，即由 中两个族的合成，我们一定能得到 中的一个族。
4．如果E 是V 族中的一个类，族V 与主族G 不同，那么2E ，4E ，6E ，…都属于G ；且3E ，5E ，7E ，…都属于V 。因此，如果类2E 的周期包含m 项，显然，在序列E ，2E ，3E ，…中，与K 相同的类是2m E ，而所有在2m E 前面的类都不是，也就是说，类E 的周期包含2m 个项。因此，在不属于主族的任意类的周期中，项的个数要么是2n ，要么是2n 的因数，其中n 表示每个族中类的个数。
5．设C 是主族G 中一个给定的类，E 是族V 中的这样一个类，它加倍可以得到C （由条目286知，总是存在这样一个类） ，并且设K ，K ′，K ″，…是具有相同行列式的所有（正常原始） 歧类；那么E （＝E ＋K） ，E ＋K ′，E ＋K ″就是加倍后得到C 的所有的 类。我们设这个整体为Ω 。这些类的个数就等于歧类的个数，也即等于族的个数。显然，Ω 中属于族V 的类的个数和G 中的歧类的个数是相同的。因此，如果我们把这个个数用a 表示，那么，在每个族中要么有Ω 中的a 个类，要么就一个都没有。因此，当a ＝1时，每个族就包含Ω 中的一个类；当a ＝2时，所有族的其中一半就包含Ω 中的两个类，另外一半一个类也不包含。实际上，要么所有族的前一半与 完全相同（按照上面的定义） ，另一半与 完全相同，或者是反过来。当a 是更大的数时，所有族的 部分就包含Ω 中的类（每部分包含a 个类） 。
6．我们现在假设C 是这样一个类，它的周期包含n 个项。显然，当a ＝2且n 是偶数的情况下，Ω 中没有类能属于G ［否则，这个类就会属于类C 的周期中；那么，如果它是r C ，则可推出2r C ＝C ，我们就得出2r ≡1（mod n ），但这是不可能的］ 。因此，由于G 属于 ，Ω 中所有的类一定分布在 的族之中。因此，（对于正则行列式） G 中总共有φ n 个类，它们的周期有n 个项；对于a ＝2的情况，在 的每个族中有2φ n 个类，它们的周期有2n 个项，所以它们既包含它们自己所在的族，也包含主族；当a ＝1时，除了主族之外，每个族中都包含φ n 个这样的类。
7．有了这些结论之后，我们现在可以通过下面的方法来构建由所有 具有任意给定正则行列式的正常原始类构成的系统（我们把非正则行列式除外） 。任意选择一个周期有2n 项的类E ，这个周期包含它自己的族（我们称为V） 以及主族G ，将这2个族中的类按照在周期中出现的顺序排列。如果除了这2个族外不再有其他的族，或者似乎没有必要加上它们时（例如，对于只有两个定正的族的负的行列式） ，那么这项工作就完成了。但是，对于4个或者更多的族，剩下的族按照下面的方式处理。令V ′是剩下的族中的任意一个族，且V ＋V ′＝V ″。在V ′和V ″中就有两个歧类（要么各含1个歧类，要么在V ′或V ″其中一个有2个歧类而另一个不含歧类） 。任选其中一个歧类作为A ，显然，如果A 分别与G 和V 中的每个类合成，我们就得到了属于V ′和V ″的2n 个不同的类，它们取尽了这些族中的类，因此，这些族也可以排序。如果除了这4个族之外还有其他的族，设V 是剩下的族其中的一个，V'''' ，V''''' ，V'''''' 是V 分别和V ，V ″，V 合成所得到的族。这4个族V ，V'''' ，V''''' ，V'''''' 就包含了4个歧类，并且如果选择其中1个歧类A ′，并且与G ，V ，V ″，V 中的每个类合成，我们就得到了V ，V'''' ，V''''' ，V'''''' 中所有的类。如果还有更多的族，我们就以同样的方式继续合成，直到不存在更多的族。显然，如果要构建的族的个数是2 μ 个，我们总共就需要μ -1个歧类，并且，这些族中的每个类可以这样来得到：要么通过类E 的乘积，要么通过1个或者多个歧类与由这个乘积得到的类合成。下面举例子来阐释这些步骤。关于这种构建的用法及其简化技巧，我们就不多言了。
1）行列式-161有4个定正族；每个族中有4个类
2）行列式-546有8个定正族，每个族中有3个类
[1] 由前面的分析可知，这个定理可以应用于行列式等于0的型。但等式（αδ -βγ ）2 ＝1一定不能拓展到这种情况。
[2] 这些等式的来源是这样的：［7］由［1］×［2］得出（用［1］的左边与［2］的左边相乘，以及用［1］的右边与［2］的右边相乘，并使这两个乘积相等）；［8］由［1］×［4］＋［2］×［3］得出；下一个等式（没有标号）由［1］×［6］＋［2］×［5］＋［3］×［4］＋［3］×［4］得出；式［9］后面那个没有标号的式子由［3］×［4］得出；式［11］由［3］×［6］＋［4］×［5］得出；式［12］由［5］×［6］得出。后面我们总是会使用与此类似的表示方法，把计算留给读者去完成。
[3] 如果U ＝0，则这是不允许的；但这种情况下从第1，第3和第6个等式可以立即推出等式［19］，［20］和［21］。
[4] 由此我们可以轻松地推导出：AeU ＝（δγ ′-γδ ′）m ，2BeU ＝（αδ ′-δα ′＋γβ ′-βγ ′）m ，CeU ＝（βα ′-αβ ′）m 。
[5] 如果所有的值α ＋α ′，γ ＋γ ′，β ＋β ′，δ ＋δ ′＝0，那么这个比例就是不确定的，这个方法就不适用。但是，稍加注意就会发现，根据我们的假设，这种情况是不可能出现的。否则，我们就得到了αδ -βγ ＝α ′δ ′-β ′γ ′，即e ＝e ′，并且又因为e ＝-e ′，推出e ＝e ′＝0，也就推出B ′B ′-A ′C ′或者型F ′的行列式为零。我们完全排除这种型的讨论。
[6] 如果我们想在这种情况下使用术语，那么，可以说N 是表达式 （mod M ）的值或N 2 ≡D （mod M ），这就意味着数N 2 -D 是M 的倍数，因而等于0。
[7] 如果我们假设同一个表示来自两种不同的正常代换，那么它们一定就是：（1）x ＝mx ′-vy ′，y ＝nx ′＋μy ′，（2）x ＝mx ′-v ′y ′，y ＝nx ′-μ ′y ′。但是，由两个等式mμ ＋n v ＝mμ ′＋n v ′，μ （mb ＋nc ）-v （ma ＋nb ）＝μ ′（mb ＋nc ）-v ′（ma ＋nb ），不难推导出，要么M ＝0，要么μ ＝μ ′，v ＝v ′。但是，我们已经排除了M ＝0的情况。
[8] 有必要指出，如果型（a ，b ，a ′）的第1项a 或者最后1项a ′等于0，那么它的行列式就是正的平方数，因此在这种情况下这是不可能发生的。由于类似的原因，具有负的行列式的型，它的外项a ，a ′不可能有相反的符号。
[9] 可以证明型（A ，B ，C ）必定与其中的第二个型等价，但这里不需要这个结论。
[10] 显然，这种情况已经包含于条目180的第2条中。
[11] 如果数M ＝2 μ Sa α b β c γ …，其中a ，b ，c ，…表示形如4n ＋1的不相同的质数，S 是M 的所有形如4n ＋3的质因数的乘积。任何正数都可以简化为这种形式，因为，如果M 是奇数，我们设μ ＝0，且如果M 不含形如4n ＋3的因数，我们设S ＝1。如果S 不是平方数，则M 不能以任何方式分解为两个平方数之和。如果S 是平方数，当α ，β ，γ ，…中有一个是奇数时，M 就有 （α ＋1）（β ＋1）（γ ＋1）…种方式拆分为两个平方数之和；而当α ，β ，γ ，…都是偶数时，M 有 （α ＋1）（β ＋1）（γ ＋1）…＋ 种方式拆分为两个平方数之和（我们只关注平方数本身）。那些精于组合微分的人能够由我们的基本理论毫不费力地由条目105推导出这个定理（我们无法详细论述这种情况以及其他的特殊情况）。
[12] 这里的指标一定为奇数，因为，型F 与f 的首项符号显然相反（见条目187.2）。
[13] 显然，这里不会出现其他情况。因为，按照上一个条目，αβ -βγ ＝±1，这对界限不可能有相反的符号，它们也不可能都等于0。
[14] （Ⅱ）中的次序同（Ⅰ）中的次序是相同还是相反没有影响，即（Ⅰ）中（m ）是在L 的左边还是在它的右边没有影响。
[15] ψ是由Φ 通过把它的第一项和第三项对调，并对中间项取相反的符号导出的。对于序列中的其他型也是这样。
[16] 条目162中的α ，β ，γ ，δ ；α ′，β ′，γ ′，δ ′；A ，B ，C ；a ，b ，c ；e ，其值分别为：1，0，0，1；α n ，β n ，γ n ，δ n ；a ，b ，-a ′；a ，b ，-a ′；1。
[17] e 只有在这4个表达式和等式［1］中表示幂的指数，在所有其他情况下，这个字母都表示指标。
[18] 沃利斯在书中为了这个目的给出的评论站不住脚。他的谬误在于，他假设给定一个p ，可以求得整数a ，z ，使得 小于p ，且它们的差小于某个指定的数。当这个指定的差是常数时，这个结论是正确的；但是在这里它取决于a 和z ，因此它不是常数而是变化的。
[19] 参考其第11页。
[20] 通过代换m ，k ，0，n ，它就变换成（m ；k ）。参考条目159 。
[21] 更精确地讲，我们说所有正常代换包含于公式10t ＋55u ，t ＋2u ，-15t -55u ，-t -3u 中，其中t ，u 是所有满足方程t 2 -11u 2 ＝1的整数。
[22] 如果方程中第2，第4，或者第5项系数不是偶数，那么乘以2之后就得到我们这里讨论的方程。
[23] 我们这里选择使用术语“正常”和“反常”，因为没有比它们更合适的了。希望读者注意的是，不要寻求这里和条目157中它们的用法之间的联系，因为它们没有联系，但也无须担心会存在歧义。
[24] 为简洁起见，我们用代表型代替其所在的类。
[25] 如果行列式能够被8整除，它和数4的关系可以忽略，因为在此情况下，这个关系已经包含在它和数8的关系里了。
[26] 取a 作为a 0 ，b 作为b 0 ，…，显然，当λ ＝μ 或者λ ＞μ 时，同样的等式也成立。
[27] 在这个表示法中，我们必须非常小心型f ，f ′的代换系数p ，p ′，…的次序。不难发现的是，如果型f ，f ′的次序改变了，即前者成为后者，那么代换系数p ′，q ′必须与p ″，q ″互换，其他保持不变。
[28] 这些等式是这样得到的：由等式［5］×［5］-［1］×［2］就得到等式［12］；由等式［5］×［9］-［1］×［7］-［2］×［6］就得到等式［13］；由等式［10］×［11］-［6］×［7］就得到等式［14］；由等式［5］×［8］＋［5］×［8］＋［10］×［10］＋［11］×［11］-［1］× ［4］-［2］×［3］-［6］×［7］-［6］×［7］就得到等式［15］；由等式［8］×［9］-［3］×［7］-［4］×［6］就得到等式［16］；由等式［8］×［8］-［3］×［4］就得到等式［17］。用完全相同的方法可以得到其余6个等式，只要相应地交换等式［3］，［6］，［8］和［2］，［5］，［7］的位置，而其余的等式［1］，［4］，［9］，［10］，［11］不变即可。比如说，等式［18］可由等式［6］×［6］-［1］×［3］得到，等等。
[29] 这种推导等式Δ2 ＝dd ′的方法可满足我们当前的目的。我们本可以直接从等式［1］到［11］推导出02 ＝（Δ2 -dd ′）2 ，这个分析更加优美，但放在这里过于冗长。
[30] 读者可以很容易验证这个分析，这里我们省略详细的论证。
[31] 正如在比例的合成中（它与型的合成非常类似），除非有另外说明，我们通常理解的比例是正比。
[32] 这些符号的当前含义不会与条目234中的符号的含义混淆，因为，这里的这些符号表示的数对应的是条目234中用类似符号表示的数的乘积。
[33] 这里要指出的是，我们可以用a ′，2b ′，c ′；a ″，2b ″，c ″替代因数a ，2b ′，c ，从而推导出与Ψ 类似的其他18个等式。但是，由于它们对于我们的目的来说不是必要的，所以这里将其省去。
[34] 我们总是可以利用同余式 （mod A ）来实现这个目的。
[35] 或者是表达式h ν /（b ＋b ′）（mod h λ -v ）和表达式 （mod A ）的值。
[36] 因此，每当提到二元型或三元型时，我们就是指二次二元型或二次三元型。
[37] 为了简洁，我们这里忽略对行列式为0这种情况的讨论，因为这需要一种不太一样的方法。
[38] 我们由型f 变换成g 的代换推导出型g 变换成f 的代换；由型f 变换成 的代换，我们得到型g 变换成 的代换；并且，通过转置，我们得到型 变换成G 的代换。
[39] 如果我们能更充分地讨论这个问题，就能大大简化问题的解。非常明显的是，对于χ ，我们仅需要讨论整除型φ 的第一个系数的因数，无须考虑e 的任何其他的因数。我们会保留对这个问题的进一步讨论，留待更合适的时间进行。由这个问题的解我们也可以推导出条目213和214中的问题更简单的解。
[40] 如果f 是确定型，其他情况可以化归为这种情况；但是，如果f 不是一个确定型，那就必须使用完全不同的方法，且代换的个数就是无限的。
[41] 由三个奇数的平方和一定是同余于3（mod 8）也可以知道这是不可能的；两个奇数和一个偶数的平方和要么同余于2，要么同余于6；一个奇数和两个偶数的平方和要么同余于1，要么同余于5；以及最后，三个偶数的平方和要么同余于0，要么同余于4；但是，在后一种情况下，表示显然是反常的。
[42] 参考27页和105页。
[43] 当我们把“正常”这个表达从表示中挪用到分解时，一定要理解这个词的含义。
[44] 在本书付梓时，我们把这个表计算至-3000，并且也计算出了整个的第10组的1000个行列式的表，一些分开的100个行列式的表，以及一些仔细挑选出的单个行列式的表。
[45] 我们会一直用包含在这些类中的最简单的型来表示它们。
[46] 只有在非正则行列式中才可能发生，且a 总是2的方幂。
