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问题
一个分数 的分母n 是两个互质的数a 和b 的乘积，将这个分数分解为两个分母分别是a 和b 的分数。
解：设要求的分数是 和 ，那么我们应当有b x ＋a y ＝m ；因此，x 就是同余方程b x ≡m （mod a ）的根。我们可以通过第2章中的方法求出这个根，并且y 就等于 。
显然，同余方程b x ≡m 有无限多个根，所有的根都对于模a 同余；但是，仅有一个根是正的而且小于a 。y 是负值的情况也是有可能的。顺便要指出的是，我们还能够通过同余方程a y ≡m （mod b ）求出y ，并且通过等式x 求出x 。例如，给定分数 ，4就是表达式 的一个值，所以 就能够被分解为 。
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如果给定分数 ，分母n 是任意个互质的因数a ，b ，c ，d ，…的乘积，那么，根据上个条目，它首先可以分解成两个分母是a 和b c d …的分数，然后再把分母是b c d …的分数分解成分母是b 和c d …的分数，再把分母是c d …的分数继续分解，以此类推，直到给定的分数被分解成这样的形式
显然，我们可以取分子α ，β ，γ ，δ ，…为正的并且小于它们的分母，但最后一个分子除外，因为其余的分子一旦确定，它就不是任意的了——它可能是负的或者大于它的分母（如果我们不预先假设n ＜m ） ——在这种情况下，最好是把分数表示为 的形式，其中ε 是正的且小于e ，k 是整数。最后，可以取a ，b ，c ，…为质数或者是质数幂。
例：分数 ，它的分母是4×3×7×11，按照这种方式 分解成 分解成 分解成 ，因此，用 代替 ，我们得出： 。
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分数 只能以唯一一种方式被分解成 的形式，使得α ，β ，…都是正的且小于a ，b ，…，也就是说，如果我们假设
并且，如果α ′，β ′也是正的，并且小于a ，b ，…，我们就一定有α ＝α ′，β ＝β ′，γ ＝γ ′，…，k ＝k ′。这是因为，如果等式两边乘以n ＝a b c …，就有m ≡α b c d …≡α ′b c d …（mod a ），由于b c d …与a 互质，一定有α ≡α ′，因此α ＝α ′。那么β ≡β ′，…，立即推出k ≡k ′。因为首先取哪个分母是完全任意的，显然，我们可以像上个条目中求α 那样来求所有的分子，也就是利用同余方程β a c d …≡m （mod b ）来求β ，γ a b d …≡m （mod c ）来求γ ，…。那么，求得的所有分数的和就等于分数 ，也即它们之间的差就是整数k 。这就给了我们检查计算的一个手段。那么，在前一个条目中，表达式 （mod 4）， 的值就直接给出了对应于分母4，3，7，11，分子分别为1，2，1，4，并且这些分数的和比给定的分数大1。
