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定义
如果把一个普通分数转换为十进制数，那么对于这个十进制数的序列 [1] （如果有整数部分，就把它排除在外） ，不论它是有限的还是无限的，我们都将它称作分数的尾数 。我们所采取的方法一直以来只用于对数的表达，这里我们拓展了它的用处。例如，分数 的尾数是125，分数 的尾数是1875，分数 的尾数是无限重复的054054…。
由这个定义立即可知，分母相同的分数 和 ，对应于分子对于模n 是同余还是非同余，就有相同或者不同的尾数。在一个有限尾数的右边添加任意多个0不改变这个尾数。分数 的尾数可以通过去掉 的尾数的第一个数字来得到；一般地，分数 的尾数可以通过去掉 的尾数的前v 个数字来得到。如果n 不大于10，分数 的尾数直接从一个有意义（即不等于0） 的数开始；如果n 大于10且不等于10的方幂，当组成n 的数字的个数等于k 时， 的尾数的前k -1个数字是0，并且第k 个数字就是有意义的。因此，如果 有不同的尾数（l ，m 对于模n 不同余） ，那么这两个尾数的前k 个数字一定不相同，至少第k 个数字一定不同。
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问题
给定分数 的分母及其尾数的前k 位数字，求分子m ，假定它小于n 。
解：我们把这k 位数字看作一个整数，把它乘以n ，然后把乘积除以10 k （把最后k 个数字舍去） 。如果商是一个整数（舍去的数字都是0） ，显然，它就是我们要求的数，并且给定的尾数是完整的，否则的话我们要求的分子就是第二大的整数，也即这个商舍去后面的十进制数字后加1。由上个条目结尾的说明我们可以轻松地理解这个规则，不需要更加详细的解释。
例：如果我们知道一个以23为分母的分数尾数的前2位数字是69，我们有乘积23×69＝1587。舍去最后两位数字，再加上1，我们就得到要求的分子是数16。
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我们先来讨论分母是质数或者质数幂的那些分数，然后我们来证明如何把剩下的分数化归为这种情况。我们立即发现，当p ＝2或者p ＝5时，分数 的尾数（我们假设它的分子a 不能被质数p 整除） 是有限的且由μ 个数字构成；当p ＝2时，这个被看作整数的尾数就等于5 μ a ，当p ＝5时，它就等于2 μ a 。这是非常显然的，无须过多解释。
但是，如果p 是其他的质数，那么不论r 取值多么大，10 γ a 都无法被p μ 整除。因此，分数 的尾数一定是无限的。我们假设10 e 是数10对于模p μ 同余于1的最小方幂［参考第3章，在那里我们证明了e 要么等于数（p -1）p μ -1 ，要么等于它的因数］ 。显然，10 e a 是序列10a ，100a ，1000a ，…对于同一个模p μ 同余于a 的第1个数。现在，按照条目312，我们通过分别去掉分数F 的尾数的第一个数字，前2个数字，…，前e 个数字，便可以得到分数的尾数。显然，在分数 的尾数中，只有在这前e 个数字之后（不能在它们之前） ，同样的数字才会重复。我们可以把这前e 个数字称为尾数或者分数F 的周期 ，它们自身通过无限次重复构成了这个尾数。这个周期的位数，即这个周期中的数字的个数（就等于e ） ，完全独立于分子a ，由分母单独决定。例如，分数 的周期是09，分数 的周期是428571 [2] 。
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因此，当我们知道了某个分数的周期，我们就可以得到这个分数的尾数的任意多位数字。现在，如果b ≡10 λ a （mod p μ ），如果我们将分数F 的周期的前λ 个数字（我们假设λ ＜e ，这是可以的） 写在剩下的e -λ 个数字之后，就能得到分数 的周期。因此，与分数F 的周期一起，我们同时也得到了所有这样的分数的周期：它们的分子对于分母p μ 同余于数10a ，100a ，1000a ，…。例如，由于6≡3×102 （mod 7），分数 的周期可以立即从分数 的周期推导出来，这个周期是857142。
因此，如果10是模p μ 的原根（条目57，89） ，由分数 的周期，我们可以立即推导出任意其他分数 的周期（如果分子m 不能被p 整除） 。我们这样求解：从原周期的左边起，取出与以10为基时，m 对于模p μ 的指标的大小相同的数字，写到它的右边。由此，我们可知，在这种情况下为什么数10总是取作表1中的基（见条目72 ） 。
如果10不是原根，我们就能够由分数 的周期推导出其周期的分数是哪些分子对于模p μ 同余于10的某个方幂的分数。设10 e 是对于模p μ 同余于1的10的最低次幂，并设（p -1）p μ -1 ＝e f ，并且取这样的一个原根r 作为基，使得f 是数10的指标（条目71） 。在这个系统下，其周期能够由分数 的周期推导出来的，它的分子就具有指标f ，2f ，3f ，…，e f -f 。同理，由分数 的周期，我们能推导出这样的分数的周期，它们的分子是10r ，100r ，1000r ，…，分别对应于指标f ＋1，2f ＋1，3f ＋1，…；由分子为r 2 （它的周期是2） 的分数的周期，我们可以推导出这样的分数的周期，它们的分子具有指标f ＋2，2f ＋2，3f ＋2，…，以及一般地，由分子为r i 的分数的周期，我们可以推导出这样的分数的周期，它们的分子具有指标f ＋i ，2f ＋i ，3f ＋i ，…。因此，只要我们得到了以1，r ，r 2 ，r 3 ，…，r f -1 为分子的分数的周期，借助于下面的法则，只是通过移项，我们就能得到其他分数的周期：在取r 作为基的系统中，令i是给定分数 的分子m 的指标［假设i小于（p -1）p μ -1 ］ ；它被f 除之后，我们得到i ＝α f ＋β ，其中α ，β 是正整数（或者0） ，且β ＜f ；这样做以后，通过把前α 个数字放到其余的数字之后（当α ＝0时我们保持周期不变） ，我们可以由以r β （当β ＝0时它是1） 为分子的分数的周期得到分数 的周期。这就解释了为什么在构建表1时，我们采用了条目72中的法则。
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按照这些原理，我们已经为小于1000的形如p μ 的所有的分母构建了一张表。有机会的话，我们会完整地发表它，甚至对它做进一步的解释。在目前，我们给出表3作为样本，仅限于100以内，这不需要解释。对于以10作为原根的分母，表里给出了分子为1的分数的周期（例如7，17，19，23，29，47，59，61，97） ；对于其余的分母，表中给出了分别以1，r ，r 2 ，r 3 ，…，r f -1 为分子的分数f 的个周期。我们用数字（0），（1），（2），…来区分它们，我们总是取与表1中相同的原根作为基r 。因此，从表1推导出分子的指标后，任何分子包含于这张表的分数的周期都可以通过上个条目给出的法则计算出来。然而，对于非常小的分母，不通过表1我们也能计算出它所属的分数的周期。如果我们按照条目313，通过普通除法计算出必要个数的尾数中的开头数字，从而将它和具有相同分母的分数的尾数区别开来（对于表3，必要的数字不超过2个） 。现在，我们检查对应于给定分母的所有周期，直到求出这些开头数字，它们标志着这个周期的开始。我们必须记住，这些数字可能是分开的，某个（或很多个） 数字出现在一个周期的结尾，其他数字出现在周期的开头。
例：求分数 的周期。由表1，对于模19，我们有ind 12＝2ind 2＋ind 3＝39≡3（mod 18）（条目57） 。对于这种情况，由于只有一个周期和分子1对应，我们必须把它的前三个数字移到末尾，才能得到要求的周期：631578947368421052。由前两个数字63同样可以简单地求出这个周期的开头。
假设我们想求分数 的周期。对于模53，ind 45＝2ind 3＋ind 5＝49。这里周期的个数是4＝f ，以及49＝12f ＋1。因此，从记为（1）的周期，我们必须把前12个数字移到最后的位置，从而我们要求的周期是8490566037735。
开始的数字“84”在表中是分开的。
我们这里指出——像我们在条目59中承诺的那样——借助于表3我们还能够求出对应于给定指标的数（在表中模是作为分母列出的） 。由前文可知，我们可以求出这样一个分数的周期，给定指数对应于它的分子（尽管未知） ，取与这个周期中的分母中的数字同样多的开头数字就足够了。根据条目313，由这些数字我们能推导出分子，也即对应于给定指数的数。
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通过前面的方法，对于任何这样的分数（它的分母是表内的质数或者质数幂） ，它的余数不用计算就能得出任意多位数字。但是，借助于我们在本章的开始所说的方法，我们可以把这个表的使用范围扩大，把那些分母是表内质数或质数幂的乘积的分数也包括进去。由于这样的分数可以分解成分母是其因数的其他分数，所以，这些分数可以被转换为十进制小数，我们只需要对这些十进制小数求和即可。显然，这个和的末尾的数字可能比它正确的数字小；但这个误差不可能超过被加分数的个数。所以，只要在计算这些分数时，所取的数字个数比我们对所给分数要求计算的位数更多一些，就是恰当的。例如，求分数 [3] 。它的分母是数16，9，5，49，13，47，59的乘积，根据上面所给的法则，我们得到
这些单个分数转换成十进制小数如下
这个和与正确值之间的误差一定小于十进制小数展开中在第22位上的5个单位，因此它的前20位的数字不可能改变。如果取更多位数字来计算，那么代替最后两位数17，我们得到数1893936…。显然，这种把普通分数转换成十进制数的方法，对我们要求很多个十进制数时非常有用；但当我们要求很少几位数字时，普通除法或者对数法一样好用。
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由于我们已经把分母是由若干个质数构成的分数，化归为分母是质数或质数幂的情况，那么我们只需要对它们的尾数补充一些说明。如果分母不包含因数2和5，那么尾数依然由周期构成，因为，在这种情况下，在序列10，100，1000，…中，我们最终会遇到这样一个项，它对于分母同余于1。同时，这个项的指数——可以通过条目92中的方法轻松地确定——就表明周期的位数，只要分子和分母互质，这个位数就与分子无关。如果分母形如2 α 5 β N ，N 表示与10互质的数，α 和β 至少有一个不等于0，这个分数的尾数，在前α 或者β （取两个中较大的） 个数字之后，就是周期性的。这些周期的长度与分母为N 的分数的周期相同。这是因为，原来的分数可以分解为分母分别是2 α 5 β 和N 的另外两个分数，其中第1个分数的尾数在前α 或者β 个数字后就结束了。关于这个主题，我们还可以补充其他结论，尤其是关于构建像表3那样的表格的技巧的结论。但是，为了简洁，我们就省却这一讨论，因为关于它的很多内容罗伯特森已经发表了（见l o c c i t ） ，伯努利也发表过（N o u v .m ê m A c a d B e r l i n ，1771，第273页） 。
