323
在第5章，我们给出了通过二元型m x 2 ＋n y 2 求给定的数A 的所有表示法的一般性方法。当然，它和求不定方程m x 2 ＋n y 2 ＝A 的解是一样的。如果我们已经得到了表达式 对于模A 本身，以及以A 被它的平方因数除得的数为模的全部的值，那么，从简洁的角度来说，这个方法没有什么需要改进的了。然而，对于m n 是正数的情况，我们给出一个方法，当那些值还没有被计算出来时，这个方法比直接法简便得多。我们假设数m ，n ，A 是正数且彼此互质，其他的情况可以轻而易举地被化归为这种情况。我们只要推导出x ，y 的正值就够了，因为其他的值可以由这些值通过改变符号导出。
显然，x 一定要使得 （我们用V 表示） 是正整数，而且是平方数。第1个条件要求x 不大于 ；第2个条件要求当n ＝1时成立，n 不等于1时就要求表达式 是n 的二次剩余。并且，如果我们用±r ，±r ′，…表示 的各个不同的值，那么x 就一定包含于形如n t ＋r ，n t -r ，n t ＋r ′，…的数中。最简单的方法是用所有小于界限 的这些形式的数（我们把它们的整体记作Ω ） 代替x ，只保留它们中使得V 是平方数的那些数。在下面的条目中，我们将指出如何尽可能地减少试验的次数。
324
如在前面的讨论中一样，我们下面用到的排除法涉及任意若干个数，我们同样称它们为排除数 。下一步，我们将求出这样的x 的值，使得V 的值成为排除数的非剩余，再将这样的x 的值从Ω 中去掉。这里的推理和条目321中的推理完全类似，因此，我们应当只使用质数和质数幂作为排除数。对于质数幂是排除数的情况，假如我们已经对这个质数的所有较低次幂使用了排除法的话，我们只需要在V 的值中排除掉那些非剩余，它们是所有较低次幂的剩余。
设排除数是E ＝p μ （我们可以有μ ＝1） ，p 是质数且不能整除m ，并且假设 [4] p v 是能整除n 的p 的最高次幂，设a ，b ，c ，…是E 的二次非剩余（当μ ＝1时，取全部；当μ >1时，只取必要的那些，即较低次幂的剩余） ，计算同余方程
m z ≡A -n a ，m z ≡A -n b ，m z ≡A -n c ，…，（mod E p v ＝p μ ＋v ）
的根，并用α ，β ，γ ，…记这些根。不难发现，如果对于x 的某些值，x 2 ≡α （mod E p v ），那么，对应的V 的值就同余于a （mod E ），即模E 的非剩余。类似地，对于剩下的数β ，γ ，…，这个结论也成立。反过来，不难发现，如果x 的某个值使得V ≡a （mod E ），那么对于这个值我们就有x 2 ≡α （mod E p v ）。因此，x 的所有这样的值（它使得x 2 对于模E p v 不同余于α ，β ，γ ，…中任何一个数） 就能导出V 的这样的值（它对于模E 不同余于a ，b ，c ，…中任何一个数） 。现在，从数α ，β ，γ ，…中选择所有是E p v 的二次剩余的数，并且记为g ，g ′，g ″，…。计算表达式 的值，把它们记为±h ，±h ′，±h ″，…。这样做完之后，就可以安全地把形如E p v t ±h ，E p v t ±h ′，E p v t ±h ″，…的所有的数从Ω 中去掉，在做完这个排除之后，所有形如E u ＋a ，E u ＋b ，E u ＋c ，…的V 的值不可能对应于Ω 中x 的任何值。显然，当数α ，β ，γ ，…都不是E p v 的二次剩余时，Ω 中没有任何x 的值能够导出这样的V 的值。因此，在这种情况下，数E 不能当作排除数使用。以这种方式，我们想使用多少个排除数都可以，从而可随意地减少Ω 中的数。
我们现在来看一下是不是可以使用整除m 的质数和它们的幂作为排除数。设B 是表达式 的值，显然，不论我们给x 取什么值，V 总是对于模m 同余于B 。因而，为使所给方程可解，B 必须是模m 的二次剩余。设p 是m 的任意奇质因数。由假设可知，它不整除n 或者A ，因而也不整除B 。对于x 的任意值，V 不但是p 的剩余，也是p 的任意次幂的剩余；因此，p 以及它的任意次幂都不能被取作排除数。类似地，如果m 能够被8整除，为使所给方程可解，必须有B ≡1（mod 8），因而对于x 的任意值，V 都同余于1（mod 8），并且2的方幂就不适合作为排除数。如果m 能够被4整除但不能被8整除，我们一定有B ≡1（mod 4），并且表达式 的值就是1或者5，我们记作C 。对于x 的偶数值，我们有V ≡C ；对于x 的奇数值，有V ≡C ＋4（mod 8）。因而，当C ＝5时必须把偶数值去掉，当C ＝1时必须把奇数值去掉。最后，当m 能够被2整除但不能被4整除时，像前面那样设C 是表达式 的值，它就是1，3，5或7，并且设D 是表达式 的值，它就是1或3。现在，由于V 的值总是同余于C -2D x 2 （mod 8），所以对于x 的偶数值，它同余于C ，对于x 的奇数值，它同余于C -2D ，由此推出，当C ＝1时，x 的所有奇数值都要去掉，当C ＝3且D ＝1，或者C ＝7且D ＝3时，x 的所有偶数值都要去掉。剩下的x 的所有值都能导出V ≡1（mod 8），也就是说，V 是2的任意次幂的剩余。最后剩下的情况是，当C ＝5，或者C ＝3且D ＝3，或者C ＝7且D ＝1时，不论x 是奇数还是偶数，我们得出V 等于3，5或者7（mod 8）。由此推出，在这些情况下，所给方程根本无解。
《九章算术》书影
《九章算术》，我国现存最早的古代数学代表作之一，全书共9卷，分为246题202术。此书作者已不可考，一般认为是经历代各家增补修订，而逐渐成为现今定本。书中总结了自先秦以来的中国古代数学，既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。在数学史上，它标志着我国古代数学体系的形成。
现在，通过排除法求x 的值的方法也能用来求y 的值。因此，应用排除法来解所给的问题总是有两种方式（除了m -n ＝1，这时两种方式相同） 。我们通常应当选择使得Ω 中项的个数更少的那个方式，而这个个数是可以预先估计的。顺便要指出的是，在几轮排除之后，如果Ω 中所有的数都被排除了，这就意味着所给方程是不可解的。
325
例：设所给方程是3x 2 ＋455y 2 ＝10857362。我们用两种方式求解：首先考察x 的值，然后考察y 的值。这里x 的上界是 ，它处于1902和1903之间，表达式 的值是354，表达式 （mod 455）的值是±82，±152，±173，±212。所以，Ω 是由以下33个数构成：82，152，173，212，243，282，303，373，537，607，628，667，698，737，758，828，992，1062，1083，1122，1153，1192，1213，1283，1447，1517，1538，1577，1608，1647，1668，1738，1902。
在这种情况下，数3不能用作排除数，因为它整除m 。对于排除数4，我们得出a ＝2，b ＝3，所以，α ＝0，β ＝3，g ＝0，且表达式 的值是0和2，因此，所有形如4t 和4t ＋2的数，即所有的偶数必须从Ω 中排除。我们把剩下的16个数的总体记为Ω ′。对于E ＝5，它也整除n ，同余方程m z ≡A -2n 和m z ≡A -3n （mod 25）的根是9和24，它们都是25的剩余。表达式 和 的值是±3，±7。如果我们从Ω ′中排除所有形如25t ±3和25t ±7的数，那么还剩下这10个数（记为Ω ″） ：173，373，537，667，737，1083，1213，1283，1517，1577。对于E ＝7，同余方程m z ≡A -3n ，m z ≡A -5n ，m z ≡A -6n （mod 49）的根是32，39，18。它们都是49的剩余，且表达式 的值分别是±9，±23，±19。当我们从Ω ″中排除所有形如49t ±9，49t ±19，49t ±23的数之后，还剩下这5个数（Ω ）：537，737，1083，1213，1517。对于E ＝8，我们有a ＝5，所以，α ＝5，即α 是模8的非剩余。因此，数8不能作为排除数。和排除数3的理由相同，数9同样不能作为排除数。对于E ＝11，数a ，b ，…分别为2，6，7，8，10，v ＝0，所以数α ，β ，…分别为8，10，5，0，1。这些数中，0，1，5是11的剩余。因此，我们从Ω 中排除形如11t ，11t ±1，11t ±4的数，还剩下数537，1083，1213。如果我们试用这些数，那么相应地得到V 值21961，16129，14161，只有第2个值和第3个值是平方数。因此，所给方程有2组正整数解x ，y ，即x ＝1083，y ＝127；x ＝1213，y ＝119。
其次，如果我们想用排除法来求这个方程的另一个未知数，那么就调换x 和y ，把方程写作455x 2 ＋3y 2 ＝10857362，这样我们就能保留条目323，324里的记号。那么，x 的值的上限位于154和155之间，表达式 （mod n ）的值是1， 的值是＋1和-1。因此，Ω 包含所有形如3t ＋1和3t -1的数，即直到154（含154） 的所有不能被3整除的数，一共有103个这样的数。对于排除数3，4，9，11，17，19，23，使用上面给出的法则，我们必须排除形如9t ＋4；4t ，4t ±2（也即所有的偶数） ；27t ±1，27t ±10；11t ，11t ±1，11t ±3；17t ±3，17t ±4，17t ±5，17t ±7；19t ±2，19t ±3，19t ±8，19t ±9；23t ，23t ±1，23t ±5，23t ±7，23t ±9，23t ±10的数。在删除了所有这些数之后，我们还剩下数119，127，它们都使得V 是平方数，并得到和上面相同的解。
326
前面的方法如此简洁，几乎没有什么需要补充的了。但是，还有很多可以简化计算的技巧。我们这里只介绍几个，并把讨论限定在排除数是不能整除A 的奇质数，或者是这样的质数的幂的情况。剩下的情况可以通过类似的方式来讨论，或者化归为这种情况。我们首先 假设，排除数E ＝p 是不能整除m ，n 的质数，表达式 的值分别是 。由同余方程 导出数α ，β ，γ ，…。实际上，通过在条目322中使用过的一个技巧，不用计算同余方程，我们就能确定数 。对应于表达式 （mod p ）的值，也即数-m n （它们是一回事） 是p 的剩余或者非剩余，这些数就与p 的所有非剩余或者所有剩余（0除外） 相同。因此，在上个条目的例子中，对于E ＝17，我们有k ＝7，-m n ＝-1365≡12是17的非剩余；因此数 …就是1，2，4，8，9，13，15，16，且数α ，β ，…就是8，9，11，15，16，3，5，6。这些数中的剩余是8，9，15，16，所以±h ，±h ′…等于±5，±3，±7，±4。对于那些经常要解这类问题的人，如果他们同时要对若干个质数p ——在双重假设（即-m n 是模p 的剩余或者非剩余） 下——对应于各个值k （1，2，3，…，p -1）去计算值h ，h ′，…，那么，他们就会发现这种方法极其有用。当数k 和-m n 都是p 的剩余或者都是p 的非剩余时，数h ，-h ，h ′，…的个数总是等于 ；当k 是p 的剩余，-m n 是p 的非剩余时，这个个数总是等于 ；当k 是p 的非剩余，-m n 是p 的剩余时，这个个数总是等于 。但为了简洁，我们此处必须略去这个定理的证明。
其次，我们可以非常快速地解释E 是整除n 的质数的情况，或者是这种情况：E 是（奇） 质数的幂，不论它能不能整除n 。我们把这些情况放在一起讨论，保留条目324的符号，令n ＝n ′p v ，使得n ′不能被p 整除。对应于μ 是偶数或者奇数，数a ，b ，c ，…就是p μ -1 乘以所有小于p 的数（0除外） 或者p μ -1 乘以所有模p 的非剩余中小于p 的数。我们用u p μ -1 来表示它们，u 是不确定的数。设k 是表达式 的值，它不能被p 整除，因为A 不能被p 整除。所有的数α ，β ，γ ，…就对于模p 同余于k ，因此，如果k N p ，则p μ 不会把任何数从Ω 中排除出去；但是，如果k R p ，从而k R p μ ＋v ，设r 是表达式 的值（所以r 不能被p 整除） ，并且设e 是表达式 的值，那么，我们就有α ≡r 2 ＋2e r a p v （mod p μ ＋v ），显然，α 就是p μ ＋v 的剩余，且表达式 的值就是±（r ＋e a p v ）。因此，所有的数h ，h ′，h ″，…就可以由r ＋u e p μ ＋v -1 表示，其中，u 的取值有几种情况：当μ 是偶数时，u 是所有小于p 的数（0除外） ；当μ 是奇数且e R p 时（也即当-2m r n ′R p 时） ，u 是所有模的p 非剩余中小于p 的数；当μ 是奇数且-2m r n ′N p 时，u 是所有的剩余（0除外） 。
但是，正像我们对每个排除数求出数h ，h ′，h ″，…一样，我们可以通过机械计算来完成排除法本身。如果这看起来有用，读者就可以轻而易举地运用这种技巧。
最后，我们应当指出，所有这样的方程a x 2 ＋2b x y ＋c y 2 ＝M ——其中b 2 -a c 是负值，记为-D ——可以轻而易举地化归为我们在上个条目中讨论的形式。如果我们设m 是数a ，b 的最大公约数，并且设
方程就等价于m x ′x ′＋n y 2 ＝a ′M 。这个方程可以按照我们上面给出的法则解出。只有这样的解——其中x ′-b ′y 能够被a ′整除，即可以给出x 的整数值——要保留下来。
