第5节 当A 是负数时，解同余方程x 2 ≡A 的另一种方法
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第5章里方程a x 2 ＋2b x y ＋c y 2 ＝M 的直接解法，是假设我们知道表达式 的值。反过来，只要b 2 -a c 是负数，上面的间接解法给出了求这些值的一个非常快速的方法，当M 的值比较大时，这种方法也比条目322及其后条目中的方法更好。但是，我们要假定M 是质数，或者如果它是合数，它的因数是未知的。如果知道质数p 整除M ，并且M ＝p μ M ′，使得M ′不包含因数p ，那么，更加方便的是分别去求表达式 对于模p μ 的值，以及对于模M ′的值（由它对于模p 的值可得到它对于模p μ 的值，条目101） ，然后由它们的组合就可以推导出对于模M 的值（条目105） 。
因此，我们来求表达式 的所有的值，其中D 和M 是正数，且M 包含于x 2 ＋D 的因数的形式中（条目147及其后） ——否则的话，我们就预先知道不存在任何数满足这个表达式。我们要求的这些值总是成对存在且彼此相反。设它们是±r ，±r ′，±r ″，…，且D ＋r 2 ＝M h ，D ＋r ′r ′＝M h ′，D ＋r ″r ″＝M h ″，…，我们用 …分别表示型（M ，r ，h ），（M ，-r ，h ），（M ，r ′，h ′），（M ，-r ′，h ′），（M ，r ″，h ″），（M ，-r ″，h ″），…所属的类，并且用 表示这些类的总体。一般来说，这些类要按照未知的类来讨论。很清楚的是，首先 ，它们都是定正的和正常原始的类。其次 ，它们都属于同一个族，其特征 容易由数M 的性质来确定，即由它与D 的（以及必要时它同4或者8） 之间的关系来确定 （参考条目230） 。由于我们假设了M 包含于x 2 ＋D 的因数的形式，我们可以预先确定，一定存在一个行列式为-D 的定正的正常原始族对应于这个特征，即使表达式 的值不存在。因此，由于这个族是已知的，我们可以求出属于这个族的所有的类，并分别用C ，C ′，C ″，…表示，用G 表示它们的整体。那么可知，每个类 …一定与 中的某个类相同。还可能出现这样的情况： 中的若干个类彼此相同，因此都和G 中的同一个类相同。那么，如果G 中只包含一个类， 中的所有的类必定都和这个类相同。因此，如果我们从类C ，C ′，C ″，…（每个类） 中选择一个最简单的型f ，f ′，f ″，…，那么 中的每个类中将只包含这些型中的一个。现在，如果a x 2 ＋2b x y ＋c y 2 是包含于 中的一个型，那么就有两种属于值r 的由这个型给出的M 的表示法，且如果其中一个是x ＝m ，y ＝n ，另一个就是x ＝-m ，y ＝-n 。唯一的例外是当D ＝1时，在这种情况下，就存在4种表示（见条目180 ） 。
由此推出，如果我们求出数M 由每个型f ，f ′，f ″，…给出的所有表示（使用上个条目中的间接法） ，并且由它们推导出属于各个表示的表达式 （mod M ）的所有的值（条目154以及其后） ，我们会得到这个表达式的所有的值。实际上，它们每个都出现2次，或者，如果D ＝1，就出现4次；问题解决。如果我们在f ，f ′，…中不能找到任何表示出M 的型，这就意味着它们不属于 中的任何一个类，因而应当被排除掉。但是，如果M 不能被所有这些型表示，那么-D 一定是M 的二次剩余。关于这些运算，我们应当记住以下这些结论：
1．我们这里使用的数M 由型f ，f ′，…给出的表示，是那些与未知数的值互质的表示；如果存在其他的表示，其中这些值有公约数μ （当μ 2 整除M 时这是可能发生的，当μ 2 整除 时一定会发生） ，那么，为了我们现在的目的，一定要完全排除这些表示，即使在其他情况下它们可能是有用的。
2．其他条件相同的情况下，显然，类f ，f ′，f ″，…的个数越少，涉及的计算量就越少。那么，当D 是条目303中讨论的65个数其中的一个时，计算量最少，因为它们每个族中只有一个类。
3．由于x ＝m ，y ＝n 和x ＝-m ，y ＝-n 这两个表示总是属于同一个值，显然，我们讨论其中y 是正的那个表示就足够了。不同的表示总是对应表达式 的不同的值，且所有不同的值的个数就等于这种表示的个数（我们总是排除D ＝1的情况；D ＝1时，第1个个数就是第2个个数的一半） 。
4．只要我们知道了两个相反数r ，-r 中的一个，就立即知道另一个，运算就可以在一定程度上被简化。如果从M 由包含在类C 中的型给出的表示可以导出值r ，即 ，那么，相反的值-r 显然是由与C 相反的类中包含的型给出的表示法导出，除非C 是歧类，否则，这个相反的类总是和C 不一样。由此推出，当G 中的所有的类不全为歧类时，只需要考虑剩下的类中的一半。我们可以排除掉每对相反的类的其中一个，只计算一个值，就可以立即写出另外一个相反的值。如果C 是歧类，两个值r 和-r 就会同时出现，也就是说，如果我们从C 中取歧型a x 2 ＋2b x y ＋c y 2 ，那么，值r 就从表达式x ＝m ，y ＝n 得到，值-r 就从表达式 得到。
5．对于D ＝1的情况，只有1个类，从中我们可以选取型x 2 ＋y 2 。如果从表达式x ＝m ，y ＝n 可以得到值r ，那么这个值也可以从x ＝-m ，y ＝-n ；x ＝n ，y ＝-m ；x ＝-n ，y ＝m 得到，并且相反的值-r 就由x ＝m ，y ＝-n ；x ＝-m ，y ＝n ；x ＝n ，y ＝m ；x ＝-n ，y ＝-m 得到。因此，在这些只构成1个分解的8个表达式中，只要一个表达式就足够了，我们把由它得到的值及其相反的值结合起来就可以得到其他表达式。
6．根据条目155，表示M ＝a m 2 ＋2b m n ＋c n 2 所属的表达式 的值是μ （m b ＋n c ）-v （m a ＋n b ）或任何对于模M 和它同余的数。取这样μ ，v 的值，使得μ m ＋v n ＝1。如果我们用υ 表示这个值，我们就有
因此，υ 是表达式 的值；同理，我们发现它也是表达式 的值。这些公式往往比导出这些公式的原公式更好用。
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例：1．求表达式 的所有的值。对于模4，3，5，7，13，数M 同余于1，1，1，6，11，因而它就包含于式x 2 ＋1，x 2 ＋3，x 2 -5的除数型，以及式x 2 ＋7，x 2 -13的非除数型中，即它包含于式x 2 ＋1365的除数型。类 所在的族的特征就是1，4；R 3；R 5；N 7；N 13。这个族中只包含一个类。从这个类中我们选择型6x 2 ＋6x y ＋229y 2 ，为了求出数M 由这个型给出的所有表示，我们设2x ＋y ＝x ′，那么我们有3x ′x ′＋455y 2 ＝2M 。这个方程有4个y 为正值的解，即y ＝127，x ′＝±1083；y ＝119，x ′＝±1213。由这些解我们得到方程6x 2 ＋6x y ＋229y 2 ＝M 的4组y 为正值的解
第1个解给出了v 是表达式 或 的值，这个值是2350978，第2个解给出了相反的值-2350978，第3个解给出了值2600262，第4个解给出了相反的值-2600262。
2．求表达式 的值。类 所在的族的特征就是1和7，8；R 11；R 13。因此，它是主族，包含3个类，它们由型（1，0，286），（14，6，23），（14，-6，23）代表。我们可以忽略第3个型，因为它和第2个型相反。由型x 2 ＋286y 2 ，我们可以求得数M 的两个y 是正值的表示，即y ＝103，x ＝±1113。由此我们推出所给表达式的值：1493445，-1493445。我们发现，M 不能用型（14，6，23）表示，所以我们推断该表达式只有这两组值。
3．给出表达式 的值，类 一定包含于特征为3和5，8；R 5；N 7的族中。这个族中只有一个类，它的代表型是（5，0，14）。我们在计算时会发现数997331不能由型（5，0，14）表示，因而-70一定是数997331的二次非剩余。
