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算术论著中很多常用结论都基于本部分探讨的定理。例如，判定给定的数是否可以被9，11或任何其他数整除的法则。对于模9，所有10的幂都和1同余；因此如果一个数形如a ＋10b ＋100c ＋…，则对于模9，它和数a ＋b ＋c ＋…有相同的最小剩余。因此，如果把一个数用十进位表示法表示，再把每个位置的数字相加，而不考虑它们的数值，它们的和与这个数有相同的最小剩余；因此如果前者可以被9整除，那么后者就能被9整除，反之亦然。对于除数3也是如此。而且，因为相对于模11，100≡1，总有102k ≡1，102k ＋1 ≡10≡-1，一个形如a ＋10b ＋100c ＋…的数与a -b ＋c …对于模11有相同的最小剩余。由此可以立刻推导出著名的法则。我们可以容易地推导出所有类似的法则。
从上述论证里还可以发现支配着算术运算验算法则的原理。具体说来，就是如果某数是由几个数通过加、减、乘或幂运算所得到的，那么用这几个数对于任意模（通常使用9或11，因为在十进制系统中容易找到剩余，正如刚才看到的那样） 的最小剩余代替它们，并做相同的运算。如果得到的结果与该数同余，则运算正确，否则运算有误。
既然这些结论和类似结论都已为大家熟知，在此便不做赘述。
[1] 显然，模必须取绝对值，即无正负符号。
[2] 采用这个符号是因为相等和同余之间非常相似。勒让德因为这个原因，在他的著作中（后面会经常引述此著作）同余和相等使用了同样的符号。为了避免混淆，我们对同余和相等的符号做了区分。
[3] 高斯为《算术研究》设计了8个部分，并且已经基本上写好了处理高阶同余的第8部分。但是，他决定只发表7个部分以节约出版费用。见作者序。
