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如果我们把周角，即4个直角之和表示为P ，且如果m ，n 是整数，n 是质因数a ，b ，c ，…的乘积；那么，按照条目310中的方法，可以把角A ＝ 化归为型A ＝［（α /a ）＋（β /b ）＋（γ /c ）＋…］P ，利用已知的方法，这个角的三角函数可以用各个角 ，…的三角函数来求出。因为我们可以取a ，b ，c ，…是质数或者质数幂，所以，讨论把圆分成质数份或者质数幂份就够了，从a 边形，b 边形，c 边形，…可以立即得到n 边形。然而，我们把讨论限定于把圆分成（奇） 质数份的情况，主要是因为：对应于角 的圆函数可以通过解p 的二次方程从角 的圆函数推导出来；通过解三次方程，由这些导出属于角 的圆函数，…。因此，如果我们已经有了一个正p 边形，那么，为了确定正p λ 边形，我们一定要求p 的λ -1次方程。虽然下面的理论也可以拓展到这种情况，但我们不能避免这多个p 次方程，且当p 是质数时也无法降低它们的次数。例如，下面证明正十七边形可以用几何方法作出，但为了得到289边形，是没有办法避免解17次方程的。
第2节 关于圆弧（它由整个圆周的一份或若干份组成）的三角函数的方程并化归为方程x n -1＝0的根
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大家知道，所有的形如 的角的三角函数可以由n 次方程的根来表示，其中k 一般地表示所有的数0，1，2，…，n -1。正弦 由方程（Ⅰ）的根表示
余弦 由方程（Ⅱ）的根表示
以及正切 由方程（Ⅲ）的根表示
对于n 的任意奇数值，这些方程都成立，且方程Ⅱ对于偶数值也成立。如果我们设n ＝2m ＋1，它们可以轻而易举地化归为m 次方程。对于方程Ⅰ和Ⅲ，需要两边先除以x ，再用y 代替x 2 。而方程Ⅱ包含x ＝1（＝c o s 0），其余的根可以分成两两相等的值 …］。因此，左边可以被x -1整除，并且商是一个平方式。如果我们从此平方式中取出平方根，那么方程Ⅱ就可化归为下面的方程
它的根是角 的余弦。到目前为止，对于n 是质数的情况，这些方程还没有任何进一步简化。
尽管如此，这些方程像x n -1＝0那样可以提取，以适合我们的目的。它的根与上面的根联系密切，也就是说，如果我们为了简洁，用i 表示假想的量 ，方程x n -1的根就是
这里k 是我们取的所有的数0，1，2，…，n -1。由于 ，所以方程Ⅰ的根就是 或者 ，方程Ⅱ的根就是 ，最后，方程Ⅲ的根就是 。因此，我们的研究要基于对方程x n -1＝0的讨论，并且假设n 是奇质数。为了不打断研究的次序，我们首先讨论下面的引理。
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问题
给定方程z m ＋Az m -1 ＋…＝0（W ），求这样一个方程（W ′），使得它的根是方程（W ）的根的λ 次幂，这里λ 是给定的正整数指数。
解：如果我们用a ，b ，c ，…表示方程W 的根，用a λ ，b λ ，c λ ，…表示方程W ′的根。利用牛顿著名的定理，由方程W 的系数，我们可以求出根a ，b ，c ，…的任意次幂的和。因此，我们求出和
a λ ＋b λ ＋c λ ＋…，a 2λ ＋b 2λ ＋c 2λ ＋…，…，a mλ ＋b mλ ＋c mλ ＋…
并且，按照同一个定理，通过相反的步骤导出方程W ′的系数。第2部分证明完毕。同时可知，如果W 中所有的系数是有理数，那么W ′中所有的系数也是有理数。并且，通过另一个方法可以证明，如果W 中所有的系数都是整数，那么W ′中所有的系数也都是整数。我们这里不会再花更多时间讨论，因为对于我们的目的来说这不是必要的。
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方程x n -1＝0（我们总是假设n 是一个奇质数） 只有一个实根，x ＝1；剩下的由方程
给出的n -1个根都是虚根；我们用Ω 表示它们的整体，并且用X 表示方程
因此，如果r 是Ω 中的任意一个根，我们就有1＝r n ＝r 2n …，并且一般地，对于e 的任意正整数值或者任意负整数值，有r en ＝1。因此，如果λ ，μ 是对于模n 彼此同余的整数，我们就有r λ ＝r μ 。但是，如果λ ，μ 对于模n 彼此不同余，那么r λ 和r μ 就是不相等的；因为，在这种情况下，我们可以求得一个整数v 使得（λ -μ ）v ≡1（mod n ），所以r （λ -μ ）v ＝r ，且r λ -μ 一定不等于1。因此，由于所有的值1（即r 0 ），r ，r 2 ，…r n -1 都是不同的，所以它们就给出了方程x n -1＝0的所有的根，因而数r ，r 2 ，r 3 ，…，r n -1 的总体和Ω 相同。那么，更一般地，如果e 是不能被n 整除的任意正整数或者负整数，Ω 就和r e ，r 2e ，r 3e ，…，r （n -1）e 相同。因此，我们有
并且，由此推出
即
如果我们得出像r 和 （即 r n -1 ）的2个根，或者一般地，r e 和r -e ，那么，我们就称它们为互为倒数的根 。显然，两个单因式x -r 和 的乘积是实数，并且等于x 2 -2x cos ω ＋1，其中角ω 要么等于角 ，要么等于它的某个倍数。
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如果用r 表示Ω 中的一个根，我们就可以用r 的方幂表示方程x n -1＝0的所有的根，这个方程的若干个根的乘积可以由r λ 表示，其中λ 要么等于0，要么为正数且小于n 。因此，如果我们用φ （t ，u ，υ ，…）表示未知数t ，u ，υ ，…的有理代数函数，它是形如ht α u β u γ …的项的和；显然，如果我们用方程x n -1所有的根替换t ，u ，υ …，例如t ＝a ，u ＝b ，υ ＝c ，…，那么，φ （a ，b ，c ，…）可以简化为下面的形式
用这样的方式，系数A ，A ′，…（其中一些系数不出现，因而等于0） 就是确定的量。并且，如果φ （t ，u ，υ ，…）中的所有系数（即所有的h ） 都是整数，那么所有这些系数A ，A ′，A ″，…就都是整数。如果我们再分别用a 2 ，b 2 ，c 2 ，…代替t ，u ，υ ，…，那么已经简化为r σ 的每一项现在就变成r 2σ ，因而
并且，一般地，对于任意的整数值
这个定理非常重要，是以后讨论的基础。由此，我们还可以推出
以及
因此，这个和是整数，并且当φ （t ，u ，υ ，…）中所有的系数都是整数时，它能够被n 整除。
