第3节 方程x n -1＝0的根的理论（假定n 是质数）
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定理
如果函数X 能够被更低次的函数
整除，那么系数A ，B ，…，L 不可能全为整数。
证明
设X ＝PQ ，且 是由方程P ＝0的根构成的总体， 是由方程Q ＝0的根构成的总体，那么Ω 就由 和 构成。进一步设 是 中的根的相反的根构成的总体， 是 中的根的相反的根构成的总体，并且设包含于 中的根是方程的根R ＝0［这个方程也就是 x λ ＋（Kx λ -1 /L ）＋….＋（Ax /L ）＋（1/L ）＝0］，并设那些包含于 中的根是方程S ＝0的根。显然，如果我们把 和 中的根合在一起，就得到了总体Ω 以及RS ＝X 。现在，我们必须区分四种情况：
1．如果 和 相同，那么P ＝R 。在这种情况下，显然 中成对的根总是互为倒数，因而P 就是 对形如x 2 -2x cos ω ＋1的因式的乘积；因为这样的因式等于（x -cos ω ）2 ＋sin2 ω ，由此可知，对于x 的任意真实值，P 一定有真实正值。设方程P ′＝0，P ″＝0，P ＝0，…，P v ＝0的根分别是 中根的平方，三次方，四次方，…，n -1次方，并且设x ＝1时，函数P ，P ′，P ″，…，P v 的值分别是p ，p ′，p ″，…，p v ，那么，由我们上面所说的可知，p 就是正的量，同理，p ′，p ″，…也是正的量。因此，p 是函数（1-t ）（1-u ）（1-υ ）…在以 中的根代替t ，u ，υ 时所取的值；p ′是这个函数在以 中的根的平方代替t ，u ，υ ，…时所取的值；…；以及0是当t ＝1，u ＝1，υ ＝1，…时函数的值；那么，p ＋p ′＋p ″＋…＋p v 的值就是能够被n 整除的整数。而且，乘积PP ′P ″…就等于X λ ，因而pp ′p ″…＝n λ 。
现在，如果P 中所有的系数都是有理数，根据条目338，P ′，P ″，…中所有的系数就也是有理数。但是，根据条目42，所有这些系数一定是整数。因此，p ，p ′，p ″，…也是整数。并且，由于它们的积是n λ ，并且它们的个数是n -1＞λ ，所以它们中的一些（至少有n -1-λ 个） 一定等于1，并且剩下的要么等于n ，要么等于n 的方幂。并且，如果它们中的g 个等于1，那么它们的和p ＋p ′＋…就同余于g （mod n ），因而一定不能被n 整除。因此，我们的假设是不成立的。
2．如果 和 不相同，但是包含一些公共的根，设 是公共的根的总体，且T ＝0是以它们为根的方程，那么，（由方程理论可知） T 就是函数P ，R 的最大公因式。 中成对的根就是互为倒数的，并且和我们之前看到的那样，T 中不是所有的系数都是有理数。但是，从我们求最大公因式的运算的本质就可以知道，如果P 的系数都是有理数，因而R 的系数也都是有理数，那么T 的系数一定是有理数。因此，我们的假设是荒谬的。
3．如果 和 要么相同，要么有共同的根，我们可以用完全相同的方式证明Q 中的所有的系数不全是有理数；但是，如果P 的系数都是有理数，则Q 的系数都是有理数，所以这是不可能的。
4．如果 和 没有共同的根，且 和 也没有共同根，那么 中的所有的根一定能够在 中找到， 中的所有的根一定能够在 中找到。因此，P ＝S 且Q ＝R 。因而，X ＝PQ 就是P 和R 的乘积，即
那么，令x ＝1，我们得出
nL ＝（1＋A …＋K ＋L ）2
现在，如果P 中的所有系数是有理数，那么根据条目42，它们也是整数，那么L 应当整除X 中的最后一项系数，即整除1；所以L 一定等于±1，因而n 就是平方数。但这与假设矛盾，所以这个假设不成立。
因此，根据这个定理可知，不论X 怎样分解因式，至少有一些系数是无理数，所以它只能通过高于一次的方程确定。
