342
关于以下讨论的目的，并不是没有意义的。我们的目的是，把X 逐渐地分解成越来越多的因式，使得它们的系数能用次数尽可能低的方程确定。在这个过程中，我们最后会得到单因式，也就是Ω 中的根。我们要证明的是，如果数n -1可以以任意方式分解成整因数α ，β ，γ ，…（我们可以假定它们每个都是质数） ，那么X 就能分解成α 个次数为 的因式，它们的系数由次数为α 的方程决定。每一个因式，借助于次数为β 的方程，又可以把Ω 分解为β 个 次的因式。因此，如果我们用v 表示因数α ，β ，γ ，…的个数，那么对Ω 中的根的确定就化归为去解次数分别为α ，β ，γ ，…的v 个方程。例如，当n ＝17时，n -1＝2×2×2×2，所以要解4个二次方程；对于n ＝73，要解3个二次方程和2个三次方程。
尺规作图
尺规作图是起源于古希腊的数学课题。这是一种只使用无刻度的圆规和直尺，且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题的方法。尺规作图的研究促成了多个数学领域的发展。对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，并发现了一批著名的曲线。高斯在此章中就讨论了以尺规作圆内接多边形的方法。图为圆内接正五边形的尺规作图示例。
在下面的内容中，我们必须经常考虑根r 的方幂，它的指数也是方幂。这种表达式是难以排版的。因此，为了简化，我们就使用下面的缩写。对于r ，r 2 ，r 3 ，…，我们记作［1］，［2］，［3］，…，并且一般地，把r λ 记为［λ ］，这里λ 是任意整数。这些表达式不是完全确定的，但只要我们从Ω 中取一个特定的根作为r ，也即［1］，那么这些表达式就是确定的了。一般地，对应于对于模同余或者不同余，［λ ］，［μ ］就分别相等或者不相等。进而，［0］＝1；［λ ］·［u ］＝［λ ＋u ］；［λ ］ v ＝［λv ］。对应于λ 能不能够被n 整除，和［0］＋［λ ］＋［2λ ］…＋［（n -1）λ ］就要么等于0，要么等于n 。
