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如果对于模n ，g 是我们在第三章中所谓的原根，那么1，g ，g 2 ，…，g n -2 这n -1个数就对于模n 同余于数1，2，3，…，n -1。两个序列的次序虽然不同，但是第1个序列中的每个数同余于第2个序列中的每个数。由此立即可以推出，根［1］，［g ］，［g 2 ］，…，［g n -2 ］和Ω 相同。同理，当λ 是不能被n 整除的任意整数时，［1］，［λg ］，［λg 2 ］，…，［λg n -2 ］就与Ω 相同。进而，由于g n -1 ≡1（mod n ），不难发现，两个根［λg μ ］，［λg v ］对应于μ ，v 对于n -1是否同余，分别是相同的和不同的。
因此，如果G 是另一个原根，［1］，［g ］，［g 2 ］，…，［g n -2 ］就也和［1］，［G ］，［G 2 ］，…，［G n -2 ］除次序不同外都相同。进而，如果e 是n -1的因数，并且我们令n -1＝ef ，g g ＝h ，G g ＝H ，那么f 个数1，h ，h 2 ，…，h f -1 就对于n 同余于1，H ，H 2 ，…，H f -1 （无关次序） 。这是因为，假设G ≡g ω （mod n ），且μ 是一个小于f 的任意正数，以及v 是μω （mod f ）的最小剩余；那么，我们就有ve ≡μωe （mod n -1），因而g ve ≡g μωe ≡G μe （mod n ），也即H μ ≡h v ；即在第2个序列1，H ，H 2 ，…中的任意数就同余于序列1，h ，h 2 ，…中的一个数，反之亦然。因此，f 个根［1］，［h ］，［h 2 ］，…，［h f -1 ］就和［1］，［H ］，［H 2 ］，…，［H f -1 ］相同。同理，更一般的序列［λ ］，［λh ］，［λh 2 ］，…，［λh f -1 ］和［λ ］，［λH ］，［λH 2 ］，…，［λH f -1 ］相同。我们用（f ，λ ）表示这f 个根［λ ］，［λh ］，［λh 2 ］，…，［λh f -1 ］的和。由于取不同的原根g 不会改变这个和，那么它就与g 无关。我们就称这些根的总体为周期 （f ，λ ），且不计根的次序 [1] 。为了列出这样一个周期，我们将每个根简化为它最简单的表达式，即用λ ，λh ，λh 2 ，…对于模n 的最小剩余来代替它们，并且我们可以按照这些剩余的大小对这些项进行排序。
例如，对于n ＝19，2是原根，且周期（6，1）包含根［1］，［8］，［64］，［512］，［4 096］，［32 768］；或者［1］，［7］，［8］，［11］，［12］，［18］。类似地，周期（6，2）包含根［2］，［3］，［5］，［14］，［16］，［17］。周期（6，3）与前一个周期相同。周期（6，4）包含根［4］，［6］，［9］，［10］，［13］，［15］。
